精品解析：四川江油中学2025-2026学年高一下学期5月教学质量检测数学试题

江油中学2025级高一下5月 教学质量检测 数 学 试 题 考试时间： 120分钟 总分：150 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，所以. 2. 如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是边上靠近点的三等分点， 所以， 又因为， 所以. 3. 若平面内的两个向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】应用数量积运算律计算得出，再应用夹角余弦公式计算求解. 【详解】因为，所以 所以，所以. 4. 已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】求出梯形的面积，再利用斜二测画法直观图与原图形面积关系求解即得. 【详解】梯形中，，而， 则梯形的高， 因此梯形的面积， 而在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的， 所以原图形OABC的面积为. 故选：D 5. 已知圆锥的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由扇形的弧长公式与面积公式求解即可 【详解】设圆锥的底面半径为，侧面展开扇形的半径为， 因为底面周长， 所以扇形的弧长， 所以， 所以圆锥的侧面积为， 故选：D 6. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 不含的直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得或，分类讨论可得结论. 【详解】由和正弦定理，可得， 因，代入上式，化简得：， 即，故得或， 当时，，所以，此时是直角三角形； 当时，，又，， 则或（舍去），此时为等腰三角形. 综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形. 故选：B. 7. 在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据判断即可. 【详解】因为，所以 所以，即， 所以这样的三角形解的个数为2个，如图. 8. 已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作辅助线，找到二面角的平面角，利用相关线段长度，结合二面角的余弦值求出的长度，再利用勾股定理求出正三棱锥的高，设外接球半径为，根据外接球的性质，结合勾股定理列出关于的方程，求解出，最后利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接. 由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 的虚部为1 C. 若，则的最大值为2 D. 若是关于的方程的根，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，，故A正确; 对于B，对于复数，叫做复数的实部，叫做复数的虚部；则复数的虚部为1，故B正确; 对于C， 设 ，，即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆； ，其几何意义是圆上的点到的距离. 圆心到点的距离为1，圆的半径为1， 圆上的点到点的最大距离为1+1=2，即的最大值为2，故C正确; 对于D，是关于的方程的根，，整理得； ，解得，； ，故D错误. 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A. 利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换求解；B.利用正弦定理求解；C.利用余弦定理，结合基本不等式求解；D.利用余弦定理，结合基本不等式求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以，则，即，故A错误； 由正弦定理得外接圆的半径为，即， 所以外接圆的面积为，故B正确； 由余弦定理得，即，则， 当且仅当时，等号成立，所以三角形的面积为：，故C正确； 由，得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以三角形的周长为，故D错误， 故选：BC 11. 已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则动点的轨迹经过的内心 D. 若，则动点的轨迹经过的外心 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据得到，同理得到，故；B选项，取的中点，故，故⊥，取的中点，同理可得⊥，点P是的外心，故；C选项，由正弦定理得到，故，点P在的中线上，C错误；D选项，作出辅助线，结合向量数量积运算法则得到，从而得到，点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心. 【详解】A选项，因为，所以， 所以，同理可得， 故点是的垂心， 故，故A正确； B选项，取的中点，则，故，故⊥， 取的中点，则，故，故⊥， 故点P是的外心，故，B正确； C选项，由正弦定理得，故， 故， 取的中点，则， 故点P在的中线上，重心在其上，故C错误； D选项， ， 设的中点，， 所以， ， 所以， 故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上. 12. 如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【详解】在中，由余弦定理得 ， 所以，在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 在中， ，故． 13. 已知向量 ，若，向量在向量上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【详解】， 由得，即， 解得 . ， ∴向量在上的投影向量为. 14. 在中，已知，则的形状为________． 【答案】等腰或直角三角形 【解析】 【分析】借助正弦定理与余弦定理可将原等式化简，即可得解. 【详解】由正弦定理及余弦定理可得： ， 即有，化简得， 故或，则为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形. 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）若向量与垂直，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算列方程求解参数； （2）先根据数量积大于0列出不等式，再排除向量同向共线的情况，得到参数的取值范围 【小问1详解】 ，解得； 【小问2详解】 若向量与的夹角为锐角，则 且与不同向共线， 且，解得且， 或. 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． （1）证明：； （2）求D到平面MOB的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直得到，继而通过平面PAD，最终完成证明 （2）建系利用向量法求解或利用等体积法求解 【小问1详解】 连接PO，BD，如图一所示， ，，∵平面平面ABCD， 平面平面，平面，平面ABCD， 平面ABCD，， 又 平面PAD，平面PAD， 又平面PAD，. 【小问2详解】 由（1）得,又∵O为AD的中点,， ,是正三角形，, . 法一：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图一所示的空间直角坐标系， 则 ， ， 设平面MOB的一个法向量为， 则即， 取，则， ， ∴点D到平面MOB的距离， ∴点D到平面MOB的距离为. 法二：连接MD，设点D到平面MOB的距离为h， ， ，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的， 即，，， ，∴点D到平面MOB的距离为. 17. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，，的平分线交于点，求线段的长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知式展开后逆用和角公式和辅助角公式化简得到，借助于三角形内角范围即可求得角； （2）由三角形面积公式和等面积建立方程，求解即得； （3）方法一：作 于点，过点作，由题可得点在之间，根据图形得，推得，即可代入三角形面积公式求得其范围；方法二：由正弦定理可得，求出利用正切函数的单调性求得，代入三角形面积公式即可求得其范围 【小问1详解】 即 因 ，则，故，解得 . 【小问2详解】 由（1）已得 由为的平分线，可得 设，由可得 ， 即 解得 ，即. 【小问3详解】 方法一：如图，作 于点，过点作，交直线于点， 当点在之间时， 为锐角三角形 ∴，即，因，则得， 的面积的取值范围为. 方法二：由正弦定理，可得 ∵均为锐角 解得 故 可得 故 又 ，的面积的取值范围为 18. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. （1）若为中点，求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； 【小问2详解】 取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； 【小问3详解】 当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点：当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，设点P为的费马点，求； （3）设点在三角形内，到三角形的三个顶点的距离之和的最小值为，若，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由结合两角和与差的正弦公式以及、即可得解. （2）由费马定义得，设，则由结合正弦定理形式的面积公式以及得，接着再结合数量积定义公式即可求解. （3）由题意得P为费马点，，设，则由得，接着分别由、和结合余弦定理和得，进而结合基本不等式即可建立关于的不等式，从而求解关于的不等式即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理有， 所以，又因为、， 所以，故，故. 【小问2详解】 由（1），所以的三个内角均小于120°， 所以由费马点定义有， 设，若 则由得， 即， 整理得， 所以 . 【小问3详解】 由题意P为费马点，， 设， 则，故， 在、和中由余弦定理分别得 ， ， ， 又，所以， 所以，即， 因为， 所以，结合可得当且仅当等号成立， 又，所以， 整理得，解得或， 又，所以， 综上所述，实数的取值范围是，故实数的最小值为. 【点睛】关键点睛：求实数的最小值关键点1是利用得；关键点2是分别由结合余弦定理和得，进而由两式和结合基本不等式建立关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江油中学2025级高一下5月 教学质量检测 数 学 试 题 考试时间： 120分钟 总分：150 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若平面内的两个向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 10 5. 已知圆锥的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 不含的直角三角形 7. 在中，角所对的边长分别为．若，则这样的三角形解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 8. 已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 的虚部为1 C. 若，则的最大值为2 D. 若是关于的方程的根，则 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ） A. B. 外接圆的面积为 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 11. 已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则动点的轨迹经过的内心 D. 若，则动点的轨迹经过的外心 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上. 12. 如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________． 13. 已知向量 ，若，向量在向量上的投影向量为__________. 14. 在中，已知，则的形状为________． 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）若向量与垂直，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． （1）证明：； （2）求D到平面MOB的距离． 17. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，，的平分线交于点，求线段的长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. （1）若为中点，求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点：当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，设点P为的费马点，求； （3）设点在三角形内，到三角形的三个顶点的距离之和的最小值为，若，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $