专题06 解直角三角形及其应用、圆综合、四边形小题、几何压轴大题（4大考点）（重庆专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题06 解直角三角形及其应用、圆综合、四边形小题、几何压轴大题 4大考点概览 考点01解直角三角形及其应用 考点02圆综合 考点03四边形小题 考点04几何压轴大题 解直角三角形及其应用 考点01 1．（2026·重庆·一模）春风有信，花开有期，某公园设置了如图所示、、、四个观景点，这四个观景点在同一平面内，点在点的正东方向，点在点的南偏东45°方向，且在点的南偏东60°方向，点在点的正西方向，且在点的南偏西30°方向，千米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若小张和小李分别从观景点、出发，小张以2千米/小时的速度从观景点步行到观景点，小李从观景点以4千米/小时的速度跑到观景点，在运动过程中，小张出发多少千米后恰好与小李相距千米？（结果保留一位小数） 2．（2026·重庆·一模）为助力乡村振兴与智慧农业发展，某智慧农场采用“地面巡检车+低空植保无人机”协同作业模式检测作物生长情况．如图，点，，，在同一平面内，已知点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，且在点的东北方向，点在点正东方向，且在点的正南方向处．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)无人机从点出发沿往处行进检测作物生长情况，巡检车从点出发沿往处行进检测作物生长情况，无人机行进一段路程后发现作物生长数据异常，于是将数据同时传输给指挥中心与巡检车（数据传输瞬时完成），此时无人机行进的路程与无人机到指挥中心的直线距离之比为，且无人机到巡检车的直线距离恰好等于无人机到指挥中心的直线距离，请问无人机传输数据时，巡检车距离指挥中心多少千米？（结果保留小数点后两位） 3．（2026·重庆巴南·一模）春节期间，某公园举办“迎新春·闹花灯”主题活动．公园平面图如图所示，已知花灯区在祈福区的正北方向，游客服务中心在的北偏东方向，美食区在的北偏西方向相距400米处，在的东北方向，且在游客服务中心的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求美食区和花灯区之间的距离；（结果保留根号） (2)小顺和小意相约游玩，小顺从美食区出发沿路线行走，小意从祈福区出发沿路线行走，两人同时出发，小顺的速度是小意速度的2倍．当小顺到祈福区的距离恰好是小意到祈福区的距离的3倍时，求小意此时与游客服务中心之间的距离．（结果保留整数） 4．（2026·重庆万州·一模）为了提高海上航行能力，军舰甲、乙在如图所示的海域进行航行训练．，，，为同一平面内的四座小岛．岛位于岛的正东方向，岛位于岛的北偏西方向海里处，岛位于岛的东南方向，岛位于岛的正北方向，大于海里．（参考数据：，，） (1)求小岛、间的距离；（结果保留根号） (2)甲、乙两军舰同时从岛出发前往岛进行航行训练，甲军舰沿航行，乙军舰沿航行，甲军舰的速度与乙军舰的速度之比为．两军舰同时到达岛处，求小岛、间的距离（结果精确到海里）． 5．（2026·重庆·一模）小佳和小馨两姐妹约定一起去U城天街吃晚餐．如图A，B，C，D在同一平面内．已知家A位于学校B的北偏东方向，位于高新天街D的北偏西方向，位于U城天街C的北偏东方向：学校B位于U城天街C的北偏东方向且距离6千米处：高新天街D位于U城天街C的正东方．（参考数据：） (1)求家A与U城天街C的直线距离（结果保留根号）； (2)小佳需要从家A出发，骑自行车匀速先到学校B拿数学作业，然后再到U城天街C吃晚餐；同时，小馨也从家A出发，先乘坐公交匀速前往高新天街D取维修的手机，再从高新天街D乘坐地铁1号线到U城天街C吃晚餐．已知骑自行车的速度为15千米/小时，公交车的速度为20千米/小时，地铁的速度为60千米/小时．小佳进校拿作业的时间与小馨取手机及转乘等待的时间相同，且路途畅通（红绿灯时间忽略不计）．请通过计算说明谁先到达U城天街C吃晚餐？（结果保留） 6．（2026·重庆·一模）如图，，，，是某科技公司的四个试验基地，且，，，在同一平面内，位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求和两试验基地之间的距离；（结果保留整数） (2)现甲从基地出发沿前往地办公，乙以基地出发沿方向前往基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的倍．当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地多少千米？（结果保留整数） 7．（2026·重庆·一模）为弘扬志愿服务精神，传承红色基因，杨家坪中学的志愿者们积极行动，通过清理社区周边垃圾、宣讲环保知识，将红岩精神融入实践．如图，是某社区的平面勘测图，在的北偏东方向，千米，在的正东方向，千米，在的东南方向，且在的正东方向．（参考数据：，） (1)求的长度；（结果保留小数点后一位） (2)小皆和小能作为志愿者，同时从地出发，小皆沿路线前往地，小能沿路线前往地，已知小皆与小能的速度之比为，出发0.6小时后小皆在由到的途中恰好位于小能的西北方向．求小皆从地出发多少时间后到达地（结果保留小数点后一位）． 8．（2026·重庆·一模）为加大科技进校园的力度，某市举办了机器狗越障大赛．如图，每个得分点，，，，都在同一平面内，点位于点的南偏东方向及点的正西方向上，点位于点的东北方向米及点正东方向100米处，点位于点的北偏西方向及点的东北方向上．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离（结果保留小数点后一位）； (2)小中与小华是这次比赛的队友，小中的机器狗“梦想”从点出发，沿路线到达补给点．同时，小华的机器狗“成真”从点出发，沿路线到达点为“梦想”补给．机器狗“梦想”到达点的同时，机器狗“成真”也到达点，这时机器狗“成真”出现小故障，小华立即开启修复模式，此模式下，机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半．当机器狗“梦想”位于机器狗“成真”的北偏西方向时，机器狗“成真”恢复正常．求此时机器狗“成真”与点的距离（结果保留小数点后一位）． 9．（2026·重庆·一模）如图，四边形是某小区步道，点，，，在同一平面内，点在点的南偏东方向，点在点的正东方向，点在点的正东方向，点在点的北偏西方向，且两地相距米．（参考数据：，，） (1)求两地的距离（结果保留根号）； (2)小昆从点出发沿步行到终点，同时小萱从点出发，沿步行到终点，小昆与小萱步行的速度之比为，当他们首次相距100米时，求此时小萱与点的距离（结果保留整数）． 10．（2026·重庆沙坪坝·一模）科技赋能环保，智慧守护自然，嘉陵江重庆段的某一水域采用智能船进行水质监测．如图，，，，在同一平面内，，是智能船的水质监测基站．位于的正东方向，位于的正北方向20米处，位于的北偏东方向20米处，且位于的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)求，之间的距离；（结果保留小数点后一位） (2)甲，乙两船同时分别从，出发沿，方向进行水质监测，甲，乙两船的速度之比是．当两船相距20米时，甲船检测到疑似被污染的水样，准备立即返回基站，求此时甲船距离基站有多远？（结果保留小数点后一位） 圆综合 考点02 11．（2026·重庆·一模）如图，四边形内接于，已知，为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·重庆巴南·一模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·重庆万州·一模）如图，点，，在上，，的度数是（   ） A． B． C． D． 14．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图，四边形内接于．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 15．（2026·重庆·一模）如图，是的直径，点、在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 16．（2026·重庆秀山·一模）如图，点A，B，C在上，点是劣弧的中点，若，则 的度数是（     ） A． B． C． D． 17．（2026·重庆·一模）如图，，是⊙的两条切线，、是切点，是优弧上一点，且，则的度数为（    ） A．20° B．30° C．40° D．80° 18．（2026·重庆·一模）如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·重庆·一模）如图，是的直径，点在上，连接，以为边作平行四边形，交于点，交于点，连接，交于点，连接、，若，，，则的长度为______． 20．（2026·重庆·一模）如图，在中，和为直径，弧等于弧，连接，过点的切线交的延长线于点，若的半径为，则的值为___________，的值为___________． 21．（2026·重庆巴南·一模）如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为，则______，______． 22．（2026·重庆万州·一模）如图，为的直径，点是上一点，点是上的点，四边形为菱形，交于点，连接，若，，则______． 23．（2026·重庆铜梁·一模）如图，以为直径的垂直弦于点，过点作于点，交于点，交于点，连接，，，，，则______，线段______． 24．（2026·重庆秀山·一模）如图，为的直径，点A在上，的平分线交于点D，连接．已知，，则的长为________，过点D作，交的延长线于点E，则的长为____________． 25．（2026·重庆·一模）如图，以为直径的与相切于点交于点的延长线交的延长线于点交于点，连接交于点，若，则的长度为___________，的长度为___________． 26．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图，是的直径，弦于点．以，为邻边构造平行四边形，连接交于点，过点作交于点，垂足为点．若，，则的长度为________． 27．（2026·重庆·一模）如图，在中，，为的中点，以线段为直径的交于点，过点作，交于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则_______． 28．（2026·重庆·一模）如图，在平行四边形中，顶点、、在上，与相切于点，连接对角线，在对角线上取点，满足，连接并延长交于点，连接，其中的半径为，，则线段的长度为___________，线段的长度为___________． 四边形小题 考点03 29．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图，正方形的边长是2，是边上一点，连接，平分交于点，连接．若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 30．（2026·重庆铜梁·一模）如图，将边长为的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 31．（2026·重庆·一模）如图，在边长为的正方形中，点为正方形外部一点，连接、、、，线段、分别交边于点、，将沿翻折至正方形所在平面内，使得点的对应点恰好落在线段上，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 32．（2026·重庆·一模）如图，在正方形中，点在对角线上，且，点在上，连结，，且，连结交于，则的值为（    ） A． B． C． D． 33．（2026·重庆秀山·一模）如图，在正方形中，点E在边上，作平分交于点F．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 34．（2026·重庆·一模）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接，，若，点是的中点，连接，与交于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 35．（2026·重庆·一模）如图，在正方形中，点在边上且，连接．点为边上一点，过点作于点，交于点，点在边上，连接，，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 36．（2026·重庆·一模）如图，正方形边长为4，点是对角线上一点，．过点作于点于点，连接．延长交于点，连接，则的长为（） A． B． C． D． 几何压轴大题 考点04 37．（2026·重庆·一模）在菱形中，对角线与交于点O． (1)如图1，若，求菱形的面积； (2)如图2，若E为延长线上一点，连接，将绕点D顺时针旋转至，连接，所在直线交延长线于点G，延长至点H，使得，I为延长线上一点，且，求证：． (3)如图3，若，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接，请直接写出的最大值． 38．（2026·重庆铜梁·一模）如图，已知在中，，点E在直线上，连接，过点C作于点D，交于点F． (1)如图1，若点E在线段上，平分，，，求的长度； (2)如图2，若点E在线段上，，延长至点G，连接，满足，请用等式表示线段，和的数量关系并证明． (3)如图3，若，将沿翻折至所在平面得到，连接，点P为的中点，连接，在E点运动过程中，当取最大值时，直接写出此时的值． 39．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在中，，点D是所在平面内一点，连接． (1)如图1，若，点D在边上，平分，，求的长； (2)如图2，若，点D在边上（点D不与点A，C重合），将射线绕点B顺时针旋转，在旋转后的射线上取一点E，连接，使得，过点E作于点G，过点D作于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若点D在直线下方，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，，，当四边形的面积取最小值时，在直线上取一点P，连接，将沿翻折到四边形所在的平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 40．（2026·重庆·一模）在中，，点是所在平面内一点，连接． (1)如图1，若，点在边上，平分，，求的长； (2)如图2，若点在边上，．将线段绕点顺时针旋转得到，连接交边于点．用等式表示线段之间的数量关系，并证明： (3)如图3，若，．连接，将绕点顺时针旋转得到，且点，，三点共线，连接．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的面积． 41．（2026·重庆沙坪坝·一模）在中，，，点是上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)如图1，点在边上，，连接．若，求的长度； (2)如图2，点是的中点，，点在边上，点在射线上，连接，，．若，．求证：； (3)点在直线上，，点在边上，且．是直线上一点，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到．当取最小值时，请直接写出的面积． 42．（2026·重庆万州·一模）在中，． (1)如图，若，，求度数； (2)如图，点为上一点，，连接，点为的中点，连接，当时，用等式表示线段与线段的数量关系，并证明； (3)如图，当，，点在内，，点在直线上运动，将绕点顺时针转60°得到，连接，当最小时，直接写出最小值． 43．（2026·重庆·一模）在中，，，点是平面内一点，连接，点为线段上一点． (1)如图1，若点在边上，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，若、、三点共线，，求； (2)如图2，若点在边上，连接、，点为的中点，若．证明：； (3)如图3，点在外部，连接，，将沿所在直线翻折到，且始终满足、、三点共线，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，．当取最小值时，请直接写出的面积． 44．（2026·重庆·一模）如图，在中，，为边上一点，连接． (1)如图1，若，过作交其延长线于点，，，求线段的长． (2)如图2，若，延长至点，连接使，连接，点为线段上一点，连接，取中点，连接，若，猜想与之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，将绕点逆时针旋转得线段，连接，在直线上取一点，连接，当最小时，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当最小时，请直接写出的面积． 45．（2026·重庆·一模）在中，，点D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接，，． (1)如图1，当时，连接，过点E作于点G，若，，求四边形的面积： (2)如图2，当时，在上取一点H，连接，使，将沿翻折到所在平面内，得到，连接并延长，交于点P，连接．用等式表示线段、、的数量关系并证明： (3)如图3，当，时，的中线，交于点I，．点J是边上一动点（不与端点重合），连接．以为边在右侧作等边，连接，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，作交直线于点N．在点J运动过程中，当取最小值时，在直线上取一点Q，连接，关于直线对称得到，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 46．（2026·重庆秀山·一模）如图，在中，． (1)如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，求的度数； (2)如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图，若，将绕点旋转得到线段，连接，当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 47．（2026·重庆·一模）如图，在中，点是边上一点（不与端点重合），连接． (1)如图1，，，线段的垂直平分线交于点，连接，若，求的度数； (2)如图2，若点是的中点，将线段绕点逆时针旋转至，使得，连接．以为斜边在上方作，且满足，连接，交的延长线于点．用等式表示线段、、的数量关系并证明； (3)如图3，，，，点是的中点，点是直线上一动点，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 48．（2026·重庆巴南·一模）如图，在中，，点是上一点，． (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，若，，，连接，若点是的中点，连接，求证：； (3)如图3，若，，点是直线上一点，点关于的对称点是，连接，，当取最大值时，请直接写出的面积． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06解直角三角形及其应用、圆综合、四边形小题、几何压轴大题 ☆4大考点概脱 考点01解直角三角形及其应用 考点02圆综合 考点03四边形刻小题 考点04几何压轴大题 考点01 解直角三角形及其应用 1.(2026重庆一模)春风有信，花开有期，某公园设置了如图所示A、B、C、D四个观景点，这四个观 景点在同一平面内，点D在点A的正东方向，点C在点D的南偏东45°方向，且在点A的南偏东60°方向， 点B在点C的正西方向，且在点A的南偏西30°方向，CD=3√2千米.（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73， √6≈2.45) 60 45 (1)求AB的长度（结果保留根号）： (②)若小张和小李分别从观景点A、B出发，小张以2千米/小时的速度从观景点A步行到观景点B,小李从 观景点B以4千米/小时的速度跑到观景点C,在运动过程中，小张出发多少千米后恰好与小李相距2√3千 米？（结果保留一位小数） 【答案】(1)AB的长度为2√3千米 (2)小张出发2.0千米后恰好与小李相距2√3千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用等，熟练掌握相关知识点，利用辅助线构建直角三角形 是解题的关键。 (I)过点A作AR⊥CB于点R,过点D作DS⊥CB于点S.则AR=DS=3,解RtAABR求出AB,即可解 答； (2)设x小时后，小张恰好与小李相距2√3千米，此时AM=2x,BN=4x,由题意可知过点A作 AR⊥CB于点R,过点M作MT⊥CB于点T,利用解直角三角形和线段的和差，表示出MT、NT,再利用 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 勾股定理建立方程，即可得解 【详解】(1)解：如图，过点A作AR⊥CB于点R,过点D作DS⊥CB于点S. 60 45 R 则∠ARB=∠DSC=90° 在RtaDSC中，：∠SDC=45°，DC=3√2 :AR=DS=3 由题可得，∠BAR=30 在Rt△ABR中，：∠BAR=30°，AR=3 AB=AR =2V3 c0s30° 答：AB的长度为2√3千米 (2)解：如答图，由题意，设x小时后，小张恰好与小李相距2√5千米，此时AM=2x,BN=4x, D 60 30 45 :AB=2V3, B TR BM=2V3-2x, 过点A作AR⊥CB于点R,过点M作MT⊥CB于点T, 在Rt△BAR中，：∠BAR=30°， ∠MBT=60° 在Rt△BMT中，：∠MBT=60 .BT=BM.cos60°=V3-x,MT=BM.sin60°=3-√3x .NT=BN-BT=4x-(3-x)=5x-3 在Rt△TNM中，MT2+TW2=MW2 3-5x+(5x-5=(25 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解方程，得飞=45 x3=0(舍) 7 则AM=2x= 8V 1 ≈2.0 答：小张出发2.0千米后恰好与小李相距2√3千米， 2.(2026重庆.一模)为助力乡村振兴与智慧农业发展，某智慧农场采用“地面巡检车+低空植保无人机”协 同作业模式检测作物生长情况.如图，点A,B,C,D在同一平面内，己知点B在点A的正北方向，点C 在点A的北偏东30°方向，且在点B的东北方向，点D在点A正东方向，且在点C的正南方向15km处.（参 考数据：2≈1.41,6≈2.45，√7≈2.65) 北 西→东 南 B 30% D (I)求BC的长度（结果保留根号）； (2)无人机从点C出发沿CB往B处行进检测作物生长情况，巡检车从点D出发沿DA往A处行进检测作物生 长情况，无人机行进一段路程后发现作物生长数据异常，于是将数据同时传输给指挥中心D与巡检车（数 据传输瞬时完成)，此时无人机行进的路程与无人机到指挥中心D的直线距离之比为1：2，且无人机到巡检 车的直线距离恰好等于无人机到指挥中心D的直线距离，请问无人机传输数据时，巡检车距离指挥中心D多 少千米？（结果保留小数点后两位） 【答案】(I)BC=5√6km 2)无人机传输数据时，巡检车距离指挥中心D8.25千米 【分析】(I)过点B作BE⊥CD交CD于点E,可知LBCD,∠ACD的度数，在R1aACD中，解直角三角形 可求得AD的长，易知四边形ABED是矩形，得到BE=AD,在Rt△BCE中，解直角三角形可求得BC的长； (2)如图，无人机所在位置记为点P,巡检车所在位置记为点Q,过点P作PH⊥AD于点H,交BE于点 根据题意可得，6=)，PO=PD,可得到QH=HDD,设QH=HD=,根据线段之间的 量关系结合解直角三角形分别表示出PH、PD,在R1aPHD中，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】(I)解：如图，过点B作BE⊥CD交CD于点E, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 C 西 →东 南 459 B E 309 由题意可知，AB‖CD,∠FBC=45°，∠BAC=30°，CD=15km, :∠BCD=∠FBC=45°，∠ACD=∠BAC=30°， 在Ra4CD中，AD=CDita∠ACD=CDan30°=15x5-5N5km, 3 :∠BED=∠D=LBAD=90°， ·四边形ABED是矩形， .BE AD =53km BE 在Rt BCE中， BC= _BE-55-=5N6(km), sin∠BCE sin45° (2)解：如图，无人机所在位置记为点P,巡检车所在位置记为点Q,过点P作PH⊥AD于点H,交BE于 点M, 北 西 →东 南 459 B M 30% AO H .PH‖ABIICD, ∠BPM=∠FBC=45°， 易知，△BPM和△BCE是等腰直角三角形， :BM PM CE BE =53km PC 1 根据题意可得，PD2'P2=PD, ∴.QH=HD=QD, 2 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设QH=HD=xkm, :∠MED=∠EDH=∠MHD=90°， :四边形MEDH是矩形， :MH DE CD-CE=(15-53km,ME HD xkm ·BM=BE-ME=5V5-xkm, ÷PM=BM=(55-xkm, PH=PM+MH=(5v5-x+15-55=(15-x)km,BP=V2BM=V2(55-x=5V6-2xkm, :.PC=BC-BP=5/6-(5/6-2x)=2x(km), ..PD=2PC=22x(km), 在RtAPHD中，PH2+HD2=PD2, (15-x+x2=(22x)°， 整理得2x2+10x-75=0, 解指x5+s5.5万-到.5x265--4125负值已含去。 2 2 即QH=HD=4.125km, ∴.QD=2QH=8.25km 答：无人机传输数据时，巡检车距离指挥中心D825千米 3.(2026重庆巴南一模)春节期间，某公园举办“迎新春·闹花灯”主题活动.公园平面图如图所示，已知花 灯区C在祈福区A的正北方向，游客服务中心D在A的北偏东30°方向，美食区B在A的北偏西75°方向相 距400米处，C在B的东北方向，且C在游客服务中心D的南偏西75°方向.（参考数据：√2≈1.41， V3≈1.73，√6≈2.45) 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 西干东 南 75D1 30 B 75 (1)求美食区B和花灯区C之间的距离；（结果保留根号） (2)小顺和小意相约游玩，小顺从美食区B出发沿B→C路线行走，小意从祈福区A出发沿A→D路线行走， 两人同时出发，小顺的速度是小意速度的2倍.当小顺到祈福区A的距离恰好是小意到祈福区A的距离的3 倍时，求小意此时与游客服务中心D之间的距离.（结果保留整数） 【答案】()美食区B和花灯区C之间的距离为200+200W3米 (2)小意与游客中心D之间的距离约为552米 【分析】(1)过A作AH⊥BC于H,利用解直角三角形求出BH,CH即可求出答案； (2)假设小顺到达点K,小意到达点L,求出AN,DN,AL,即可求出答案。 【详解】(1)解：过A作AH⊥BC于H, 75 4581H 30 B A 由题意得，∠ACB=45°，∠CAB=75°，AB=400米， ∠ABC=180°-75°-45°=60°， 在Rt△ABH中，∠AHB=90°， BH=ABc0s60°=200米，AH=ABsin60°=200sin60°=200√5， 在Rta ACH中， :∠AHC=90°，∠ACH=45°， :CH=4H=2005米，4C=4H。=200N6米 sin45° :BC=BH+CH=200+200√3米 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 答：美食区B和花灯区C之间的距离为200+200W3米 (2)如图，假设小顺到达点K,小意到达点L, 75 20 B a75 M 由题，设AL=x米，则BK=2x米，AK=3x米， 过K作KM⊥AB于M, ∠KMB=∠KMA=90°， 在RtABKM中，MB=BK cos60°=x米，KM=BK sin60°=√5x米， ·.AM=(400-x)米， 在Rt AKM中，：AK2=KM2+AM2, (3x)2=(V3x)+(400-x)2 :x=-80+80V6,x2=-80-80V6(不合题意，舍去)， AL=-80+80V6米， 由(1)知AC=200√6米， 过点C作CN⊥AD于N, ∠ANC=∠CND=90°， :∠CAD=30°， ∠ADC=45°， 在Rt△ACN中，CN=ACsin30°=100V6米，AW=4Ccos30°=300W2米， 在Rt△CDN中，∠CDN=45°， .DN=CN=100V6米 :DL=ANW+DN-AL=300V2+100V6-(80W6-80)≈552（米）， 答：小意与游客中心D之间的距离约为552米 4.(2026重庆万州一模)为了提高海上航行能力，军舰甲、乙在如图所示的海域进行航行训练.A,B, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C,D为同一平面内的四座小岛.D岛位于A岛的正东方向，B岛位于D岛的北偏西30°方向20海里处， C岛位于B岛的东南方向，C岛位于D岛的正北方向，AB大于20海里.（参考数据：√2=1.41，√5≈1.73 ，V5≈2.24) 北 0 ()求小岛C、D间的距离；（结果保留根号） (②)甲、乙两军舰同时从B岛出发前往A岛进行航行训练，甲军舰沿B→A航行，乙军舰沿B→D→A航行， 甲军舰的速度与乙军舰的速度之比为4：7.两军舰同时到达A岛处，求小岛A、B间的距离（结果精确到1海 里) 【答案】(1)10√5-10)海里 (2)34海里 【分析】(1)过点B作BE⊥CD,交DC延长线于E,根据LCBE=45°得出BE=CE,利用∠BDE的三角 函数可求出BE=10,DE=10√5，利用线段的和差关系求出CD的长即可： (2)过点B作BH⊥AD于H,可得四边形BHDE是矩形，DH=BE=I0,BH=DE=IOV3,根据两船速 度的比得出两船航行路程之比为4：7，设AB=4x,则BD+HD+AH=7x,利用勾股定理列方程求出x的 值，再取符合条件的值即可得答案， 【详解】(I)解：如图，过点B作BE⊥CD,，交DC延长线于E, H 由题意可知，∠BDC=30°，∠CBE=45°，∠ADC=90°，BD=20, 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BED=90°，BE=CE, :BD=20,∠BDC=30°， :BE=CE=BD-sin30=10,DE=BD-co530=20x5-105, 2 .CD=DE-CE=103-10, .小岛C、D间的距离10V3-10)海里 (2)解：如(1)中图，过点B作BH1AD于H, .四边形BHDE是矩形，DH=BE=I0,BH=DE=10V5, :甲军舰的速度与乙军舰的速度之比为4：7，两军舰同时到达A岛处， 六B→4与B→D→A的航行路程之比为4：7，即。4B。=4, BD+AD7' 设AB=4x,则BD+DH+AH=7x, .AH=7x-10-20=7x-30, AB2=AH2+BH2, (4x)2=(7x-30)2+(10V5)2, 解得：x=70±10V5 11 280±40W5 .4x= 11 :AB大于20海里， 4x-280+40534. 11 小岛A、B间的距离为34海里， 5.(2026重庆·一模)小佳和小馨两姐妹约定一起去U城天街吃晚餐.如图A,B,C,D在同一平面内.已 知家A位于学校B的北偏东75°方向，位于高新天街D的北偏西30°方向，位于U城天街C的北偏东30°方 向：学校B位于U城天街C的北偏东15°方向且距离6千米处：高新天街D位于U城天街C的正东方.（参 考数据：√2≈1.41,5≈1.73，√6≈2.45) 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 西 →东 A 南 B75 15/ 15 30 (1)求家A与U城天街C的直线距离（结果保留根号）； (2)小佳需要从家A出发，骑自行车匀速先到学校B拿数学作业，然后再到U城天街C吃晚餐；同时，小馨 也从家A出发，先乘坐公交匀速前往高新天街D取维修的手机，再从高新天街D乘坐地铁1号线到U城天 街C吃晚餐.已知骑自行车的速度为15千米/小时，公交车的速度为20千米/小时，地铁的速度为60千米/ 小时.小佳进校拿作业的时间与小馨取手机及转乘等待的时间相同，且路途畅通（红绿灯时间忽略不计）.请 通过计算说明谁先到达U城天街C吃晚餐？（结果保留0.01） 【答案】(1)家A与U城天街C的直线距离为36千米 (②)小馨先到达U城天街C吃晚餐 【分析】本题考查方位角的理解和行程问题的综合应用.正确理解"北偏东"北偏西"的方向角含义是解题关 键 (1)过点A作AG⊥CD于G,先求得∠ABC=120°，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于F,再根据直角 三角形的性质求得AC的长； (2)根据时间=路程÷速度即可求解， 【详解】(1)解：由题意，知∠ACD=∠ADC=60°， AC=AD,△ACD是等边三角形，∠CAD=60°， 过点A作AG⊥CD于G, ∠C4G=)∠CAD=30°，LBAG=7型 :家A位于学校B的北偏东75°方向，学校B位于U城天街C的北偏东15°方向， ∠ABC=180°-75°+15°=120°， 如图，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于F, 在RtA BCF中，∠F=90°，∠FBC=180°-∠ABC=60°， .LBCF=30,FB-1BC-1x6-3.CF=BC-BF=3. 2 2 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△AFC中，∠FAC=∠BAG-∠CAG=75°-30°=45°， ∠FCA=∠FAC=45°，AF=FC=3V3, AC=√FC2+AF2=3V6; A 15 30 D (2)解：小佳从4→B→C所用的时间为：35-3+6÷15≈0.55（小时）， 小馨从A→D→C所用的时间为：3√6÷20+3√6÷60≈0.49（小时） 0.49<0.55, :小馨先到达U城天街C吃晚餐. 6.(2026重庆·一模)如图，A,B,C,D是某科技公司的四个试验基地，且A,B,C,D在同一平面 内，B位于A的正东方向60km处，D位于A的南偏东30方向40km处，C位于B的正南方向，D位于C的 南偏西60方向.（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，V5≈2.24） 北 西→东 A B 梦 309 60 D (1)求B和C两试验基地之间的距离；（结果保留整数） (②)现甲从A基地出发沿AD前往D地办公，乙以B基地出发沿BA方向前往A基地，两人同时出发，乙的速 度是甲速度的2倍.当两人的距离是甲到A基地距离的2√3倍时，甲距离A基地多少千米？（结果保留整数） 【答案】(I)B和C两试验基地之间的距离约为12km (2)当两人的距离是甲到A基地距离的2√5倍时，甲距离A基地10km 【分析】(I)作DE⊥AB于E,作CF⊥DE于F,在RtAADE中，解直角三角形可求得AE,DE,进而得 到BE,证明四边形BEFC为矩形，得到CF=BE,在RtADCF中，解直角三角形可求得DF,进而可得EF, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即可得到BC; (2)如图，当两人的距离是甲到A基地距离的2√3倍时，甲运动到点M处，乙运动到点N处，作 MQ⊥AB于点Q,连接MN,则MN=2√3AM,设AM=xkm,可表示出MN,BN,AN,在RtAAMO中， 解直角三角形可表示出AQ,MQ,QN,在Rt△MNQ中，根据勾股定理列一元二次方程，解方程即可得解. 【详解】(I)解：如图，作DE⊥AB于E,作CF⊥DE于F. 北 西→东 E B 南 C H30 60 D 由题意得∠HAB=∠B=90°，∠HAD=30°，∠DCP=60°， ∠DAE=∠HAB-∠HAD=60°， 在Ra4DE中，AE=AD-cos∠D1E=40x=20m, DE=AD:sin∠DAE=40x5 =20V3km, BE=AB-AE=60-20=40km. DE⊥AB,CF⊥DE,∠B=90°， :四边形BEFC为矩形，∠CFD=90°， CF=BE=40km,∠FCP=90°， LDCF=LPCF-∠PCD=30°， ÷在RLDCF中，DF=CF tan30=40x5_40,5km. 33 ÷EF=DE-DF=20N5405_205km 3 3 ·BC=EF=20V 3 km≈12km, 即B和C两试验基地之间的距离约为12km; (2)解：如图，当两人的距离是甲到A基地距离的2√3倍时，甲运动到点M处，乙运动到点N处， 作MQ1AB于点Q,连接MN,则MN=2√5AM,∠MAQ=90°-30°=60°， 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 西→东 A 南 H30 60° D 设AM=xkm,则MN=2√3xkm, :甲乙同时出发，且乙的速度是甲速度的2倍， :BN 2AM 2xkm .AN AB-BN =(60-2x km 在RtAM0中，Ag=AM-cos∠MAQ= F2h,M0=AM-sin∠Ma0= -xkm 2N=AW-A0=60-2x-1x= 5 2x=60 2*m. 在RtAMNO中，根据勾股定理得：QN2+MQ=MN2, 整理得x2+60x-720=0, 解得x1=-30+18V5≈10，x2=-30-185(负值，舍去). 答：当两人的距离是甲到A基地距离的2√3倍时，甲距离A基地10km, 7.(2026重庆·一模)为弘扬志愿服务精神，传承红色基因，杨家坪中学的志愿者们积极行动，通过清理社 区周边垃圾、宣讲环保知识，将红岩精神融入实践.如图，是某社区的平面勘测图，B在A的北偏东30方 向，AB=2千米，C在B的正东方向，BC=3千米，D在C的东南方向，且D在A的正东方向.（参考数据： V3≈1.73，V6≈2.45) 北 iB 西 →东 南 (I)求CD的长度；（结果保留小数点后一位） (2)小皆和小能作为志愿者，同时从A地出发，小皆沿路线A→B→C前往C地，小能沿路线A→D→C前 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 往C地，己知小皆与小能的速度之比为3：4，出发0.6小时后小皆在由B到C的途中恰好位于小能的西北方 向.求小皆从A地出发多少时间后到达C地（结果保留小数点后一位）. 【答案】(1)2.5千米 (214小时 【分析】(I)过B作BE⊥AD于E,过C作CF⊥AD于F,根据矩形判定与性质得出BE=CF, EF=BC=3,在Rt△ABE中，解直角三角形求出AE、BE的长度，在Rt△CDF中，解直角三角形求出 DF,CD即可； (2)设出发0.6小时后小皆在由B到C的位置为M、小能的位置N,过M作MH⊥AD于H,根据矩形的 判定与性质得出BE=MH=5,BM=EH,在Rt△MNH中，解直角三角形求出HN=√5，设小皆的速度为 3xkm/h,小能的速度为4xkm/h,根据BM=EH列方程为0.6×3x-2=0.6×4x-1-√5，解出x的值，最后根 据时间=路程÷速度求解即可. 【详解】(1)解：过B作BE⊥AD于E,过C作CF⊥AD于F, 北 iB 西→东 南 则四边形BEFC是矩形， :BE=CF,EF =BC=3, 根据题意，得∠BAE=90°-30°=60°，∠DCF=90°-45°=45°， 在Rt△ABE中，AB=2, AE=AB.cos.∠BAE=2×cos60°=1，BE=AB·sin∠BAE=2×sin60°=√3， :CF=3, 在Rt△CDF中，DF=CF.tam∠DCF=5xan45=5,CD=CF-V5 =√6≈2.5， cos∠FCD cos.45° 答：CD的长度约为2.5千米 (2)解：设出发0.6小时后小皆在由B到C的位置为M、小能的位置N, :M在N的西北方向，D在C的东南方向， MN∥CD, 如图，过M作MH⊥AD于H, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 北 iB M ic 西个东 南 A E H W 则四边形BEHM是矩形， .BE=MH=√5，BM=EH, 在Rt△MNH中，∠HMN=45°， .HN=MH.tan∠HMN=√5xtan45°=√5， 小皆与小能的速度之比为3：4， 设小皆的速度为3xkm/h,小能的速度为4xkm/h, 0.6×3x-2=0.6×4x-1-√5， 解得x引6-小。 2+3一-5+114（小时）. 小皆从4地出发到达C地所需要的时间为3×5-) 2 8.(2026重庆一模)为加大科技进校园的力度，某市举办了机器狗越障大赛如图，每个得分点A,B, C,D,E都在同一平面内，点B位于点A的南偏东60方向及点C的正西方向上，点D位于点C的东北方 向30√2米及点A正东方向100米处，点E位于点D的北偏西30方向及点A的东北方向上.（参考数据： √2≈1.41，√5≈1.73，V6≈2.45) 北 西一东 南 45 309 A D 60° 459 B (①)求点B到点C的距离（结果保留小数点后一位）： (②)小中与小华是这次比赛的队友，小中的机器狗“梦想”从点B出发，沿B→A→E路线到达补给点E.同 时，小华的机器狗“成真”从点C出发，沿C→D→E路线到达点E为“梦想”补给.机器狗“梦想到达A点 的同时，机器狗“成真”也到达D点，这时机器狗“成真”出现小故障，小华立即开启修复模式，此模式下，机 器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半.当机器狗“梦想”位于机器狗“成真”的北偏西75°方向时， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 机器狗“成真”恢复正常.求此时机器狗“成真”与点D的距离（结果保留小数点后一位）. 【答案】()18.1米 (2)25.1米 【分析】(I)过B作BF⊥AD于F,过C作CG⊥AD于G,在Rt△CDG,RteABF中，分别求得 GD,CG,AF,进而根据BC=FG=100-AF-GD,即可求解； (2)设机器狗“梦想”的位置为M,机器狗“成真”的位置为N时满足题意，连接MN,过E作EH⊥AD于 点H,EK⊥MN于点K,设HD=x,DN=y,在Rt△AEH中，根据AD=1O0=AH+HD得出 x=503-50在，在Rt△MEK,Rt△EKN中，分别表示出EK,进而求得y的值，即可求解. 【详解】(1)解：如答图： 北 西 一东 南 309 459 609 B 过B作BF⊥AD于F,过C作CG⊥AD于G, ∠AFB=∠CGD=90°， 由AD、BC都是东西方向，即AD∥BC,则∠FBC=∠AFB=90°， :四边形BCGF是矩形，即BF=CG,BC=FG, 由题意，得LBAF=30°，∠GCD=45°， 在Rt△CDG中，∠GCD=45°，CD=30N2, GD=CD.sin45=302x=30 CG=CD-cos45=30xV =30, 2 在Rt△ABF中，∠BAF=30°，BF=CG=30, AF=BF =30÷5 =305. tan30 3 .AD=100, AF+FG+GD =100, BC=FG=100-30V3-30=70-30V3≈18.1（米）， 答：点B到点C的距离为181米. 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)设机器狗梦想”的位置为M,机器狗“成真”的位置为N时满足题意，连接MW,过E作EH1AD于 点H,EK⊥MN于点K, 北 西一 一东 南 45 30°：∠EKM=LEHD=90°， H 60° 459 B 由题可得∠EDA=60°，∠EAD=45°.故∠AEN=75° 设HD=x. 在RtAEHD中，∠EDH=60,DH=x, .EH=DH.tan60°=√5x, 在RtA AEH中，∠EAH=45°，EH=V3x, AH =EH =V3x, tan45 AD =100=AH+HD, V3x+x=100, .x=50V5-50,即AH=EH=√3x=150-505, ED=2HD=100V3-100,AE=V√AH'+EH2=150V2-50√6， 设DN=y,由修复模式下机器狗成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半可得AM=2y, 由题意可知∠ENM=75°-30°=45°，∠NME=60°， ME=150√2-50V6-2y,NE=100V3-100-y, RIAMEK中，∠EMK=60°，得EK=ME:sin60=3150J2-50V6-2 RIA EKN ZKNE-4s,EK -EN.sin4S-21003-100-y) 50-50w6-2-9ow5-1m- 解得，y=30√2+10V5-10√6-10≈25.1（米）， 答：此时机器狗“成真”与点D的距离约为25.1米。 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(2026重庆一模)如图，四边形ABCD是某小区步道，点A,B,C,D在同一平面内，点B在点A的 南偏东30°方向，点D在点A的正东方向，点C在点B的正东方向，点A在点C的北偏西45°方向，且 A、C两地相距300米.（参考数据：√5≈1.41，√5≈1.73，√6≈2.45) D A 309 459 ()求A、B两地的距离（结果保留根号）： (2)小昆从点B出发沿BA步行到终点A,同时小萱从点A出发，沿AD步行到终点D,小昆与小萱步行的速 度之比为3：2，当他们首次相距100米时，求此时小萱与点A的距离（结果保留整数） 【答案】(1)100√6 (2)当他们首次相距100米时，此时小萱与点A的距离约为93米 【分析】(I)过点A作AE⊥BC于点E,解直角三角形即可求得AE,AB; (2)设他们首次相距100米时，小昆在点M,小萱在点N,过点M作MF⊥AD于点F,分别求得 FN,FM,在RtAFMN中，MW2=FW2+FM2,根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解. 【详解】(1)解：如图所示，过点A作AE1BC于点E, A 309 E B 依题意，∠CAE=∠ECA=45°，∠BAE=30°，AC=300(米) ÷AE=AC-sin ACE=300x2 =150√2（米） AE AB=- 150N2=100W6 cOS∠EAB √3 (米) 2 (2)解：如图，设他们首次相距1O0米时，小昆在点M,小萱在点N,过点M作MF⊥AD于点F, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30 M B :MN=100米 :小昆与小萱步行的速度之比为3：2， .BM AN =3:2 设AW=2x米，则BM=3x米，AM=100V6-3x米， 在RtAAMF中，∠MAF=60° 4F=∠M4F-4w-5o6-）米，Fw=AF-m∠FM=5ar-1505-3 2 米 :x-4-06--24、6-米 在RtaFMN中，MN2=FN2+FM2 w-a6-∫f05-9） 解得：x= 400V6-100 400W6+100 (不是第一次相距100米，舍去) 19 19 ·AW=2x= 800V6-200 ≈93（米） 19 答：当他们首次相距100米时，此时小萱与点A的距离约为93米. 10.(2026重庆沙坪坝一模)科技赋能环保，智慧守护自然，嘉陵江重庆段的某一水域采用智能船进行水 质监测.如图，A,B,C,D在同一平面内，A,B是智能船的水质监测基站，B位于A的正东方向， D位于A的正北方向20米处，C位于D的北偏东60°方向20米处，且位于B的北偏西30°方向上.（参考数 据：√2≈1.41，V5≈1.73) 北 60 西 →东 D 南 30° B 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()求A,C之间的距离；（结果保留小数点后一位） (②)甲，乙两船同时分别从A,B出发沿AC,BC方向进行水质监测，甲，乙两船的速度之比是1：2.当两 船相距20米时，甲船检测到疑似被污染的水样，准备立即返回基站，求此时甲船距离A基站有多远？（结 果保留小数点后一位) 【答案】1)34.6米 (2)11.5米 【分析】(I)过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E,在RtaCED中，分别求出ED=I0米，EC=ION3米 可得AE=30米，在Rt△AEC中，由勾股定理可得AC≈34.6米： (2)如图，甲、乙两船分别在M,N处时，连接MN,当MN=20时，过点N作NF⊥AC于点F.根据 AD=DC米可得∠DAC=30°，得出∠CAB=LCBA=∠ACB=60°可判断ABC是等边三角形，得到 AC=BC=20V3米；设AM=x,则BN=2x，CM=20V3-x,CN=20W3-2x,在Rt△CFN中求出 CF=I0V3-x,FN=30-√3x.得出FM=10√5.在RtAMFN中根据勾股定理列方程 105+(30-√5x)=202求解即可. 【详解】(1)解：如图，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E, 600 309 Bi 则∠E=90°， 在RtACED中，∠EDC=60°，DC=20米， :.ED=DC.cos60=10(米)，EC=DC.sin60°=10V3(米)， :AD=20米， :AE=AD+DE=30(米)， 在Rt△AEC中，AC=VAE2+CE2=20√5≈34.6（米）， 答：A,C之间的距离约为34.6米. (2)解：如图，甲、乙两船分别在M,N处时，连接MN,当MN=20时，过点N作NF⊥AC于点F AD=DC, 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DAC=∠DCA, :∠EDC=∠DAC+∠DCA=60°， :∠DAC=30°. :∠CAB=∠DAB-∠DAC=60°， 又：∠ABC=90°-30°=60°， ∠ACB=60°， △ABC是等边三角形， .AC=BC=20V5米， 设AM=x,则BN=2x,CM=20V5-x,CN=20V5-2x, 在Rt△CFN中，CF=CN:cos60°=10√3-x,FN=CN.sin60°=30-V3x, :FM CM -CF=103. 在Rt△MFN中，FM2+FN2=MN2, (105+30-V3x)°=202. 解这个方程，得5-05≈115,5-405（不合题意，舍去). 3 3 答：此时甲船距离A基站约为11.5米。 考点02 圆综合 11.(2026重庆一模)如图，四边形ABCD内接于O0,已知AB=AC,D为AC上一点，若LBAC=80°， 则∠D的度数为() D A.100 B.110° C.120° D.130° 【答案】D 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】根据题意，得AB=AC,求得∠ABC=50°，再根据圆的内接四边形对角互补求解即可. 【详解】解：AB=AC, :AB=AC, ∠ABC=∠ACB, :∠BAC=80°， :∠ABC=∠ACB=50°， 由四边形ABCD内接于OO, ∠D=180°-∠ABC=130°. 12.(2026重庆巴南一模)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，若∠A=70°，则∠DCE的度数为() E A.70° B.140° C.110° D.35 【答案】A 【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”即可求得答案。 【详解】解：因为四边形ABCD是O0的内接四边形，∠A=70°， 所以∠BCD=180°-∠A=110°. 所以∠DCE=180°-∠BCD=70°. 13.(2026重庆万州一模)如图，点A,B,C在00上，∠A0B=110°，∠C的度数是() B A.45 B.55° C.85° D.110° 【答案】B 【分析】同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，据此求解， 【详解】解：：∠A0B=110°， :∠C=L40B=550 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(2026重庆沙坪坝一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，若∠D=100°，则∠B的度数是() D 0 A.60° B.80° C.100° D.120° 【答案】B 【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答 【详解】解：：四边形ABCD内接于OO, ∠B+∠D=180°， ∠D=100°， ∠B=180°-∠D=80°. 15.(2026重庆一模)如图，AB是⊙0的直径，点C、D在⊙0上，若∠ABC=25°，则LBDC的度数是 () A.50° B.65° C.75° D.85 【答案】B 【分析】根据AB是O0的直径，∠ACB=90°，再由三角形内角和定理求出∠A的度数，结合∠D=∠A即 可得到答案。 【详解】解：：AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∠ABC=25°， .∠A=65°， BC=BC, ∠BDC=∠A=65° 16.(2026重庆秀山一模)如图，点A,B,C在00上，点C是劣弧AB的中点，若∠B0C=70°，则 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABC的度数是() A.25 B.30° C.35° D.40° 【答案】C 【分析】本题考查了等弧对等角，圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键。 根据点C是劣弧AB的中点即可求解. 【详解】解：连接OA, :点C是劣弧AB的中点， .AC=BC, .∠A0C=∠B0C=70°， AC=AC' :∠ABC=∠40C=35° 2 17.(2026重庆一模)如图，PA,PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，C是优弧AB上一点，且 ∠P=100°，则∠C的度数为() A.20° B.30° C.40° D.80 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理，利用切线性质可得∠OAP=∠OBP=90°再根据在四边形 OAPB中，内角和为360°，即可求出，∠AOB,最后利用圆周角定理即可求出∠C. 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：：PA,PB是⊙O的两条切线， ∴.∠OAP=∠OBP=90°， ∴.∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P =360°-90°-90°-100 =80°， :∠C=∠A0B=400 2 18.(2026重庆一模)如图，PB,PC是O0的两条切线，切点分别为B,C,若∠A=62°，则∠P的度数 为() B A.72° B.48° C.65° D.56° 【答案】D 【分析】根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据切线的性质得到∠OBP=∠OCP=90°，最后利用四边 形内角和定理求出∠P的度数 【详解】解：：∠A与∠BOC分别是⊙0中BC所对的圆周角和圆心角， ∠B0C=2∠A=2×62°=124°， PB,PC是⊙O的两条切线， OB⊥PB,OC⊥PC, ∴.∠OBP=∠OCP=90°， 在四边形OBPC中， ∠P=360°-∠0BP-∠0CP-∠B0C=360°-90°-90°-124°=56°. 19.(2026重庆一模)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，连接AC,以AC为边作平行四边形 ACDE,CD交OO于点F,AB⊥AE交CD于点G,连接AD,交OO于点H,连接EH、HC,若 HC=4V5,GF=3,tan∠ADE=2,则EH的长度为。 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G 【答案】√74 【分析】作O0的直径HQ,交于⊙0于点Q,连接QC,OF,则OF=5,过点C作CM⊥HQ于点M,证 明四边形OMCG是矩形，过点H作HS⊥DC于点S,交AE于点T,证明四边形ATHO是正方形，根据勾股 定理，求解即可。 【详解】解：作⊙0的直径HQ,交于⊙0于点Q,连接QC, ∴.∠HCQ=90°， AC为边作平行四边形ACDE, AC∥DE,AC=DE, :∠ADE=∠DAC, ∴.∠ADE=∠DAC=∠HQC ∴.tan∠ADE=tan∠DAC=tan∠HQC=2, 2 CH CO .HC=45, C0=2V5, ..HO=CH2+CO2=10, 连接0F, 则0F=5, 根据垂径定理，得GC=GF=3, 0G=√0F2-GF2=4, AG=0A+0G=9, AC=AG2+GC2=310, 过点C作CM⊥HQ于点M, 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据题意，得CM-H0=CH.CQ, ..CM=CH.CO45x25 =4 HO 10 .MO=CO2-CM2=2, ∴.OM=OQ-MQ=3, ∴OM=GC=3,OG=CM=4, :四边形OMCG是平行四边形， CM⊥Hg, ·四边形OMCG是矩形， :OH∥DC, 过点H作HS⊥DC于点S,交AE于点T, :四边形OHSG是矩形， :HS=OG=4,SG=OH=5, 由平行四边形ACDE, :AE∥DC, .ST=AG=9, TH=ST-HS=9-4=5, :∠HTA=∠TA0=∠A0H=90 ·四边形ATHO是矩形， :0A=0H, :四边形ATHO是正方形， .AT=H0=0A=0H=5, .∠AH0=45°， OH IDC, .∠HDS=45°， :DS HS=4, DC=DS+SG+GC=4+5+3=12, .AE=DC=12, 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M Q.ET=AE-AT=12-5=7, B EH=V√ET2+HT2=V52+72=√74 20.(2026重庆一模)如图，在OO中，AB和CD为直径，弧BC等于弧BE,连接DE,过点D的切线 DM交BA的延长线于点M,若o0的半径为6，OF=30 则DE的值为 EG的值为 B 【答案】 36 3613 5 6 【分析】利用BE=BC得等圆心角LEOB=∠BOC,连接EO得∠EOC=2∠BOC,再由圆周角定理得 ∠BDC=B0C=∠B0C,从而证得DE1B,由相似三角形：DEF:0F求出DE-9,再利用垂径 定理和勾股定理求出OH和DM进一步求出OM,过E作EN⊥AB,由矩形的性质求出EN、MN,用勾股 定理求出ME=4V13,最后连接CG、DG,利用同角的余角相等证得∠MDG=∠MED,由aMDG∽aMED 得MD2=MG·ME,求出MG和EG. 【详解】解：连接EO, BE BC, .∠EOB=∠B0C, :∠E0C=∠E0B+∠B0C=2∠B0C, 又∠EDC=∠EOC, 21 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠EDC=×2∠BOC=∠BOC, :∠BOC=∠AOD, ∠EDC=∠AOD, ∴DE‖AB, :DE‖AB,AE交DO于F, △DEF∽△OAF, DE DF OA OF :0A=6,0D=6,0F=30 , .DF=OD-OF=6- 3066-3036 1111-111 36 DE=10_6 6305 11 .DE=6× 636 559 B 过点O作OH1DE于点H,由垂径定理，DH=HE=)DE=18, 2 在RtaD0H中，OD=6,DH= 5 :.OH=OD2-DH2= 324 36- 57624 25 =V25=5 DE‖AB, ∠D0M=∠HD0, :DM是切线， .OD⊥DM,即∠ODM=90°， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt&ODM中，tan∠DOM= DM OD' 24 tan∠HD0=OH-5_4 DH183' J .DM =OD.4 6 38, :0M=V0D2+DM2=V36+64=√00=10， OA=6,OM=10, MA=0M-0A=10-6=4, MB=MA+AB=4+12=16, OH⊥DE,EN⊥AB,DE I AB, :四边形OHEN是矩形， ..EN-OH =24 .ON HE=18 MN=M0+ON=10+18_68 5=5 在RtAEMN中，ME=√EN2+MW2 24) +5 =4, 连接DG,CG, :DM是切线，CD是直径， .∠MDC=90°即∠MDG+∠GDC=90°， 在Rt△CGD中，∠GDC+∠DCG=90°， ∠MDG=∠DCG, 又：∠DEM=∠DCG, ·∠MDG=∠DEM, :∠DMG=∠EMD, △MDG∽△MED, MG MD MD ME .MD2=MG.ME, .MG.ME=82=64, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MG=64=64-16N13 ME41313' EG=ME-MG=45_163_363 13 13 故答案为： 3636V13 5’13 B 【点晴】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的 性质，以及勾股定理；构造辅助线是解题的关键， 21.(2026重庆巴南一模)如图，四边形ABCD内接于圆O,AC为圆0直径，BD、AC交于点E,点B是 C的中点，DG圳圆0于D,交C4延长线于G.若4B=32,点0到DC的距离为5，则4CE● AG= Q G D 【答案】 6 2 【分析】过点O作0H1CD于H,连接0D,证明LABC=90°，求出AC=6,则OC=AC=3,求出 CD=125 D-5 5 5 证明：610：60C,得到8码8设4G=,则0G=,在ua00G中 由勾股定理即可求出AG, 【详解】解：：点B是AC的中点， :AB=BC, AB=BC=3V2,∠ADB=∠CDB, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AC为圆O直径， ∠ABC=90°， .∠BAC=∠ACB=45°， AC=AB2+BC2=2AB=6: .OC=5AC=3, 2 如图，过点O作OH⊥CD于H,连接OD, B H D 则CH=HDCD,OH-5 在Rta0CH中，CH=VOc2-OH_65 ·CD=2CH=125 5 :AC是⊙0的直径， LADC=90°， 又O是AC的中点，H是CD的中点， OH是△ADC的中位线， ∴.AD=2OH= 6W5 :DG切00于D, .∠0DG=∠0DA+∠ADG=90°， :∠ADC=∠0DA+∠0DC=90°， ∠ADG=∠ODC, 0D=0C, .∠0DC=L0CD, ∠ADG=∠OCD, :∠G=LG, aGAD∽aGDC, 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 GA AD 65 GD CD 2 设AG=x,则GD=2x, 在Rt△0DG中，OD2+DG2=OG2, .32+(2x)2=(3+x)2, 解得x=2或x=0(舍去)： 故AG=2. 22.(2026重庆万州一模)如图，AB为00的直径，点E是AB上一点，点C是⊙0上的点，四边形 ACDE为菱形，CD交OO于点F,连接EF,若EF⊥AB,AB=4,则OE=· OE 【答案】2√5-4/-4+2√5 【分析】连接OF,过点O作OH⊥CF于H,设OE=x,根据垂径定理得出CH=FH,根据菱形的性质得 出CD∥AB,CD=DE=AE=2+x,进而可得四边形HOEF是矩形，OE=HF=CH=x,可得， DF=2-x,在Rt△OFE和Rt△DEF中，利用勾股定理列方程求出x的值即可. 【详解】解：如图，连接OF,过点O作OH⊥CF于H,设OE=x, .CH=FH, :四边形ACDE为菱形， .CD∥AB,CD=DE=AE, :EF⊥AB, EF⊥CD, .四边形HOEF是矩形， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..0E=HF=CH=x, AB=4, ..0A=0B=OF=2,AE DE AD=2+x, .DF=CD-CF=2+x-2x=2-x, 在Rt△OFE中，EF2=OF2-OE2, 在Rt△DEF中，EF2=DE2-DF2, “0F2-0E2=DE2-DF2,即22-x2=(2+x)2-(2-x)2, 解得：x=25-4(负值舍去). 0E=2V5-4. 23.(2026重庆铜梁一模)如图，以AB为直径的⊙O垂直弦CD于点E,过点D作DF⊥AC于点F,交 ⊙O于点G,交AB于点H,连接AG,CG,EF,CD=4,AH=3,则AG=,线段CG= D 【答案】 3 √5 【分析】通过同角的余角相等可得∠AHG=∠ACD,再通过圆周角定理可得∠AGH=∠ACD,等量代换 结合等角对等边可证得AG=AH=3,从而可得AC垂直平分GH,连接CH，进而证明CG=BD,得 到∠HDE=∠DAE,从而根据tan∠HDE=tan∠DAE列式计算即可得到HE的长，在RtaHED中，利用 勾股定理可得DH的长，从而得解 【详解】解：：DF⊥AC,AB⊥CD, .∠AFD=∠AEC=90°， ∴∠AHG+∠CAE=∠ACD+∠CAE=90°， ∠AHG=∠ACD, 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠AGH=∠ACD, :∠AGH=∠AHG, :AG=AH=3, AC垂直平分GH, 如图，连接CH, CG=CH,CG=CB. :直径AB⊥弦CD, AB垂直平分CD,CB=BD, :CH=DH,CG=BD ∴.CG=DH,∠HDE=∠DAE, :CD=4, ∴.DE=5CD=2, 2 在RtaHED中，tan∠HDE=HE DE 在Rt△AED中，tan∠DAE=DE AE HE DE DE AE ,即DE2=HE:AE, 设HE=x,则AE=AH+HE=3+x, 22=x(3+x, 整理得x2+3x-4=0, 解得x=1,x2=-4（舍去)， ∴.HE=1, 在RtAHED中，DH=√HE2+DE2=2+22=5, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CG=5. 24.(2026重庆秀山一模)如图，BC为00的直径，点A在⊙0上，∠BAC的平分线AD交⊙0于点D, 连接CD.己知AC=8,AD=7N2,则AB的长为 ,过点D作DE∥BC,交AB的延长线于点E, 则DE的长为 B D 【答案】 6 35 4 【分析】连接BD,过点C作CF⊥AD于点F，根据圆周角定理得到LBAC=∠BDC=90°，由角平分线的 性质得到∠BAD=∠CAD=45°，在Rt△ACF中，CF=AC.sin45°，利用勾股定理求出CD、BC,进而求 出AB的长，根据平行线的性质得到LCBD=∠BDE,根据角平分线性质和圆周角定理得到∠BDE=∠DAB, 证明aBED∽△DEA,则 0-0-进面得到花DE、BDE,利用B=AB+BE列出等式】 7 求解即可 【详解】解：如图，连接BD,过点C作CF⊥AD于点F, C:.∠CFA=∠CFD=90°， E D :BC为⊙0的直径， ,∠BAC=∠BDC=90°， :∠BAC的平分线AD交⊙O于点D, ∠BD=2CaD-B1C-x0=45, :BD CD, 在Rt△ACF中，∠CAF=45°， :CF=4Csin45°=8x5-42, 2 .DF=AD-CF=7N2-4V2=3√2， 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RtDCF中，由勾股定理得：CD=VCP2+DF=V4V2+32'=52, BD=5√2， 在RBcD中，由勾股定理得：BC=VBD2+CD=5列+52=10， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=√BC2-AC2=V10-82=6; DE∥BC, ∠CBD=LBDE, :∠CBD=∠CAD, .∠BDE=∠CAD, :∠BAD=∠CAD, ∠BDE=∠DAB, :∠BED=∠DEA, ∴.△BED∽△DEA, BD ED BE DA EA DE 即5V2_EDBE 12 EA DE AB=?DE、BE=DE, 5 AE=AB+BE, DE-64S DE 7 解得：DE= 4 【点晴】本题考查圆周角定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形， 熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键 25.(2026重庆一模)如图，以AC为直径的O0与BC相切于点C,AB交00于点D,D0的延长线交BC 的延长线于点E,DF⊥AC交OO于点F,连接BF交OO于点G,若BD=3AD,AC=4,则CE的长度为 ,GF的长度为 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G B 【答案】 25 6212 7 【分析】连接AF、DG、CD,过点F作FM⊥AB,交BA的延长线于点M,设AD=x,则BD=3x,证 明△4CDn△CBD,得出D_CD CD BD 求出CD2=AD.BD=3x2,，根据勾股定理得出x2+3x2=42,求出x=2 证明∠ODC=∠E,得出CE=CD=2V3;证明△DBGAFBA,得出 架侣求出G8回，再球 7 出结果即可。 【详解】解：连接AF、DG、CD,过点F作FM⊥AB,交BA的延长线于点M,如图所示： D B 设AD=x,则BD=3x, :AC为00的直径， ∠CDA=90°， ∴.∠BDC=180°-90°=90°， .ZCDA=ZBDC, :O0与BC相切于点C, ∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCD=90°=∠BCD+∠CBD, ∴.∠ACD=∠CBD, .△ACD∽△CBD, AD CD CD BD CD2=AD.BD=3x2, 在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2+CD2=AC2, 即x2+3x2=42, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：x=2,负值舍去， AD=2,BD=3×2=6,CD=VAC2-AD2=2V5, Fsin∠ACD=D=2-1 AC42 ∠ACD=30°， .∠BCD=90°-∠ACD=60°， :0C=0D, .∠0DC=∠ACD=30°， ·∠E=∠BCD-∠0DC=30°， :ZODC ZE CE=CD=23: :DF⊥AC,AC为O0的直径， AF AD, .AF=AD=2, :AC⊥DF, .∠CAF=∠CAD=90°-∠ACD=60°， ∠FAM=180°-∠CAF-∠CAD=60°， :FM⊥AM, .LAMF=90°， :AM=AF.cos60°=2×)-1， 2 FM=AF.sin60°=2× 5: 2 .BM BD+AD AM =9, BF=√BM2+FM2=2V21, :四边形ADGF为圆内接四边形， ∠ADG+∠AFG=180°， :∠BDG+∠ADG=180°， ∠BDG=∠AFG, :∠DBG=∠ABF, .△DBG∽△FBA, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD BG BF=AB' 6 BG 即 226+2' 解得：BG=8v2 GF=BF-BG=221-8121621 7 7 26.(2026重庆沙坪坝一模)如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点F,以AD,CD为邻边构造平行 四边形ADCE,连接DE交AB于点G,过点A作AH⊥DE交OO于点H,垂足为点M·若GF=I,AE=4 则AH的长度为 E D H 【答案】26v5 15 【分所】先证明&4BG:F8G,得到5=C=G 求出线段长度，再根据等面积法算出AM,再根据 FD GF DG OD2=OF2+FD算出半径，最后根据tan∠AEM=tan/MAG算出即可. 【详解】解：连接BD,OD,过O作OP⊥AH交AH于P, G D :·四边形ADCE是平行四边形， ∴AE=CD=4,AE∥CD, ∴∠AEG=∠FDG,∠EAG=∠DFG, △AEG∽△FDG, AE AGEG FD GF DG :CD⊥AB, 0c0, 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 GF=1,AE=4,FD=2, 4AG EG 21D6 .AG=2,EG=2DG, AF=3, 在Rt△AFD中，AD=√AF2+DF2=V32+22=3, 在Rt△EAG中，EG=√AE2+AG2=V42+22=√20=25， DG=√5， DE =EG+DG=35, S.AGE=2 4Ex4G=4x2=4. 2x6E×4M=2x25×4M=4, 1 AM=4 5 设圆的半径为r,则OF=3-r, 在Rt△0DF中，OF2+FD2=OD2 r2=(3-r月2+22， r=3 6 :∠AEM+∠EAM=90°，∠EAM+∠MAG=90°， .∠AEM=∠MAG, ∴tan∠AEM=tan∠MAG, AG OP_1 AE AP 2' 设P0=x,则AP=2x,A0=√5x, :5x=13 , 解得x=13v5 30 AP=13V5 15 又：OP⊥AH 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷AH=24P=26V5 15 【点晴】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点是解决本 题的关键 27.(2026重庆一模)如图，在ABC中，AB=AC,E为BC的中点，以线段AC为直径的⊙O交AB于 点D,过点D作DG∥BC,交AC于点G,连接EG并延长，交⊙O于点F,连接OF,CF.若OF∥BC ,CG=1,则CF2= O B E 【答案】25+5 【分析】连接DE,AF,设LBAC=2a,BE=x,AC=2r,证明△BDEABCA得出BE=EC=√F,进而 证明AF=AG=AD=2-1,证明ABDEABCA,得出，=5+3，在R1△AFC中，勾股定理即可求解. 2 【详解】解：如图，连接DE,AF, 设∠BAC=2a,BE=x,AC=2r AB=AC, .∠B=LACB DG∥BC, :∠ADG=LABC,∠AGD=∠ACB .∠ADG=LAGD ·AD=AG .BD =CG=1,0G=0C-GC=r-1, :在ABC中，AB=AC,AC为OO的直径 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE⊥BC,BE=EC, .∠B=∠ACB=90°-a, 又：∠ADE+∠BDE=180°，∠ADE+∠ACB=180° LBDE=LACB=90°-a .∠BED=180°-∠B-∠BDE=2 :∠DBE=∠CBA,∠BED=∠BAC=2a △BDE∽△BCA BD BE BC AB' 即 1x 2x 2r “.x=√F,即BE=EC=√F :OF∥BC, a0GF∽△CGE OG OF CG EC r-1r 解得：r=5+3 2 AC=2r=√5+3 :∠BAC=2a,AB=AC,AE⊥BC, ∠DAE=LCAE 又：AD=AG,AE=AE .△ADE≌△AGE(SAS :ZAEG ZAED ∴∠CEG=∠BED=2a LEGC=90°-a=∠ECG :EG=EC 又∠AGF=∠EGC=90°-a,∠AFE=∠ACE=90°-a ∴.LAGF=LAFG .AF =AG=AD 2r-1 :AC是00的直径， .ZAFC=90 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CF2=AC2-AF2=(2r)2-(2r-1)2=4r-1=4× 5+3 2 1=25+5 28.(2026重庆一模)如图，在平行四边形ABCD中，顶点A、B、D在⊙0上，CD与O0相切于点D, 连接对角线BD,在对角线BD上取点E,满足BE=2ED,连接AE并延长交OO于点F,连接BF,其中 00的半径为10 tan∠BCD=3,则线段AB的长度为 线段BF的长度为 D C 【答案】 20v13 13 【分析】连接DO并延长交AB于点H,连接OF,过点B作BM⊥AF于点M,过点A作AG⊥CD交CD延 长线于点G,延长FO交OO于点T,连接DT、DF,延长AF交CD于点N,先解RteADH求出DH,由 圆0半径为10 ，则0H=D1-9-3-9,在6A0中，运用匀股定度建立方程求郁￥径甲可：在 3 Rt AGN中，由勾股定理求解AN=√AG2+GN?=2√3，延长FO交O0于点T,连接DT,然后证明 △DNF△AND,求出NF=2E,则AF=AW-NF=24E,由∠BAM=∠HNG,得到 13 13 cos∠BAM=c05∠ANG,则可求AM=8E,那么BM=AB-AM_12E,FM=AF-AM=6丽， 13 13 13 最后对Rt△BMF运用勾股定理求解即可， 【详解】解：连接DO并延长交AB于点H,连接OF,过点B作BM⊥AF于点M,过点A作AG⊥CD交 CD延长线于点G,延长FO交OO于点T,连接DT、DF,延长AF交CD于点N, N :CD与⊙0相切于点D, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OD⊥DC, .∠0DC=90°， :平行四边形ABCD, AB∥CD,AB=CD,∠BCD=∠DAB, ∠0HA=∠0DC=90°， DH⊥AB, :DH经过圆心， AH -HB-748 :tan∠BCD=3, an∠DAB=3=DH AH :DH =3AH =3BH, 圆0半径为=10， 3 .OH=DH- 1 3 =3AH- 3 :在Rt△A0H中，由勾股定理得，AH2+OH=AO, anam-9-9 解得AH=2或AH=0(舍去)， .CD=AB=2AH=4,DH=3AH =6; :AG⊥CD, ∴.∠G=∠HDC=90°， AG∥DH, :AB∥CD, :四边形AGDH为平行四边形， .AH=DG=2,AG=DH=6, :BE =2ED, ED 1 BE2' :AB∥CD, .△ABE∽△NDE, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4=2 DN=2, “在Rt AGN中，AN=VAG2+GN2=V62+42=2V3, :FT是直径， .∠FDT=90°， :OD⊥DC, ∴∠TD0=∠FDN=90°-∠0DF, :0D=0T, ∴∠T=∠TDO, :∠T=∠DAF,∠TDO=LFDN .ZDAF Z FDN :∠DNF=∠AND, .△DNF∽△AND, DN NF ·ANND 2 NF 六2=2， WF=23 13 AF AN-NF =24113 13 :AB∥CD, .∠BAM=∠ANG, cos /BAM=cos∠ANG, AM NG AB AN' 421’ AM=83 13 8M=a4.2,M=AF-4w-8而 13 BF=BM+FM7= 0W13 13 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：4， 20v13 13 【点晴】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形， 平行四边形的判定与性质等知识点，难度大，正确添加辅助线，熟练掌握各知识点是解题的关键， 考点03 四边形小题 29.(2026重庆沙坪坝一模)如图，正方形ABCD的边长是2，E是边AB上一点，连接DE,EF平分 ∠BED交BC于点F,连接DF,若∠EFD=90°，则DE的长度是() E 3 C.5 D.6 【答案】A 【分析】根据正方形的性质得到AB=BC=CD=AD=2,∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，设BE=x,则 AE=2-x,作FG⊥DE交DE于G,证明△FEG≌△FEB(AAS),得到BE=EG=x,∠EFG=∠EFB,证明 △DFG≌aDFC(AAS),得到DG=DC=2,则DE=2+x,根据勾股定理求出x的值，即可求出DE的长度. 【详解】解：：正方形ABCD的边长是2， ∴AB=BC=CD=AD=2,∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°， 设BE=X,则AE=2-x, 作FG⊥DE交DE于G, A D G E :EF平分∠BED交BC于点F, .FG=FB,∠FEG=LFEB, 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠B=∠FGE=90°， :△FEG≌△FEB(AAS, ∴BE=EG=x,∠EFG=∠EFB, :∠EFD=90°， :∠EFG+∠DFG=∠EFB+∠DFC=90°， .∠DFG=∠DFC, DF=DF,∠DGF=∠C=90°， .aDFG≌aDFC(AAS, .DG=DC =2, .DE=2+x :∠A=90°， 22+(2-x)2=(2+x2, 解得：x=0.5, DE=2+0.5= 2 30.(2026重庆铜梁.一模)如图，将边长为4的正方形纸片ABCD沿着BE折叠，使得点A落在点G处，再 将△DEF沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作CF的平行线与BG交于点H,则FH的长为() D G H B A.2 B. 4 c. D. 【答案】D 【分析】由翻折的性质，得AE=ED,根据EH‖AB‖DF,可得BH=HF,证明△ABE∽△DEF,可求出 DF的长度，最终可求出FH的长. 【详解】解：由翻折的性质， 可得AE=EG,EG=ED,∠AEB=∠GEB,∠DEF=∠GEF, .AE ED =2, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EH ABI DF, DE FH AE BH .BH HF, ZAEB=ZGEB,ZDEF ZGEF, ∠AEB+∠DEF=90°， :∠AEB+∠ABE=90°， ∠DEF=∠ABE, 又：∠A=∠D=90°， ∴△ABE∽△DEF, ABAE ÷DEDF 解得DF=1, .BF=BG+GF=5, 31,(2026重庆一模)如图，在边长为2√0的正方形ABCD中，点E为正方形ABCD外部一点，连接AE、 BE、CE、DE,线段BE、CE分别交AD边于点M、N,将AABE沿BE翻折至正方形ABCD所在平面内， 使得点A的对应点F恰好落在线段CE上，若CE=8,则aEMN的面积为() B 5 B. c D. 10 【答案】A 【分析】过点B作BH⊥CE于点H,连接AC,由折叠和正方形的性质可得BF=BC,进而可得FH=CH, ∠FBH=∠CBH,由勾股定理可求得AC、AE的长，然后得到△BEH是等腰直角三角形，∠AEF=90°，在 RteBCH中，由勾股定理得，列方程求解可得BH,CH的长，证明△AEN∽△CDN,由相似三角形的性质 可得到AN=CCN,EN=4-0AW,在R1aAEN中，由勾股定理可求得4N,EN的长，再证明 5 △EMN∽aEBC,由面积比等于相似比的平方即可得解 【详解】解：如图，过点B作BH⊥CE于点H,连接AC, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由折叠可知，BF=AB,∠ABE=∠FBE,∠AEB=∠FEB, :四边形ABCD是正方形， .AB=BC=2v10, BF=BC,AC=AB2+BC22)+(20)=45. :FH=CH,∠FBH=∠CBH, :∠ABC=∠ABF+∠CBF=2∠FBE+2LFBH=2(∠FBE+∠FBH=2∠EBH=90°， ∠EBH=45°， :△BEH是等腰直角三角形， BH=EH,∠AEB=∠FEB=45°， ∠AEF=90°， .AE=√AC2-CE2 =45-8=4, 设BH=EH=x,则CH=CE-EH=8-x, 在R1aBCH中，由勾股定理得，BH+CH2=BC2, 即x2+(8-x2=(21o, 解得x=2或x=6, 由三边关系可知，BH=EH=6,CH=FH=2, :∠AEN=∠CDN=90°，∠ANE=∠CND, aAEN∽aCDN, AN EN AE CNDN=Cn，即AWEN 42 'CW210-AW210√101 AN -10CN,EN=4-10 在RIAAEN中，由勾股定理得，AE2+EN2=AN2, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 即4+410 AN =AN2, 解得AN=4 (负值已舍去) 3 .EN=4 AD川BC, △EMN∽△EBC, 4)2 SEMN EN )2 3 CE P 36 CEBH=二×8×6=24， 3 .S.EMN= S.ENC=3 36 32.(2O26重庆一模)如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，且DE=BE,点F在BC上，连 结EF,EC,且EF=CE,连结AF交BD于G,则 EG 的值为() EF D G B 4. 45 B. 5 C.45 15 D. 3 5 【答案】B 【分析】考查正方形性质、等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、勾股定理；用几何推理+相似+勾 股解题，关键是先证F为BC中点，再用相似得线段比，易错点是比例关系看错、勾股计算错误. 先由正方形对角线得45°角，结合EF=CE证F是BC中点；再由AD川BC得△AGD∽aFGB,推出 BG:GD=1:2,算出EG;最后用勾股定理求EF,化简得出比值. 【详解】 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E G B FM 过E作EM⊥BC于M. 正方形中BD是对角线，∠DBC=45°， 设BE=3a,则DE=a,BD=4a, 正方形边长AB=BC=2√2a· 由△BEM是等腰直角三角形， .BM EM 3V2 a,MC=BC-BM= 2 2 由EF=CE, .FM MC 2, :BF=BM-FM=V2a=BC,即F是BC中点. 正方形中AD∥BC, 故AGD△FGB,相似比AD:BF=2:1, ·BG:GD=1:2. 由BD=4a, 。 .BG =BD 3 3a, 又：BE=3a, EG BE BG 3a 4 5 -a=-a. 34 3 在R1△EFM中，EM= 3v2 a 由勾股定理： EF-EM+FM- =5 5a EG 3 EF 5a 3 故选：B 33.(2026重庆秀山一模)如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，作BF平分∠CBE交CD于点F.若 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE=5,DE=7,则CF的长为() F D A.42 B.46 C.8 D.9 【答案】C 【分析】过点F作FG⊥BE于点G,由角平分线性质定理得CF=FG,运用HL证明RtABCF≌RtABGF得 BG=BC=12,求出EG=1,设CF=x,则FG=x,DF=12-x,在Rt△DEF和Rt△EFG中运用勾股定理可 得72+(12-x)=12+x2,求出x的值即可. 【详解】解：AE=5,DE=7, .AD=AE+DE=5+7=12, :四边形ABCD是正方形， :AB=BC=CD=DA=12 ,∠A=LC=90 过点F作FG⊥BE于点G,连接EF,如图： F E G :BF平分∠CBE,且FC⊥BC,FG⊥BE, CF=FG,LBGF=∠C=90°， 又BF=BF, :RtABCF≌RtABGF(HL), .BG=BC=12, 在Rt△ABE中，AB=12,AE=5, 由勾股定理得：BE=√AB2+AE2=V122+52=13, .EG=BE-BG=13-12=1, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设CF=x,则FG=x,DF=CD-CF=12-x, 在Rt△DEF中，DE=7,DF=I2-x, 由勾股定理得：EF2=DE2+DF2=72+(12-x: 在Rt△EFG中，EG=I,FG=x, 由勾股定理得：EF2=EG2+FG2=1P+x2, 72+(12-x)2=12+x2, 解得：x=8, CF的长为8. 34.(2026重庆一模)如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边DC上，连接AE,AF,若 EAF=45,点G是4E的中点，连接DG，与F交于点H，若)4，则的值为() FH H B E A. 20 B. 6 21 C.5 D.3i7 24 17 【答案】B 【分析】延长CD至点P,使PD=BE,连接AP,EF,延长DG交CB的延长线于点M,交AB于点N, 设AB=BC=CD=AD=4a,根据5-万，可得AE=厅a,BE=a,CE=3,再证明 CD 4 △ADG≌△EMG(AAS),可得EM=AD=4a,从而得到BM=ME-BE=3a,CM=7a,然后根据 :BMX:CMD,可待8N-号a,从而得到AN=B-BN-a,再证明A4DP≌&ARE(SAS),可得 ∠DAP=∠BAE,AP=AE,结合LEAF=45°，可得∠PAF=∠EAF,可证明△AEF≌△APF(SAS),可得 设DF=x,则PF=EF=a+X,CF=4a-x,在Rt△CEF中，利用勾股定理可得DF=】 由△AHNAFHD,即可求解 【详解】解：如图，延长CD至点P,使PD=BE,连接AP,EF,延长DG交CB的延长线于点M,交AB 于点N, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P D M B E 在正方形ABCD中，∠ABC=∠ADC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=BC=CD=AD,AD∥BC,AB∥CD, 设AB=BC=CD=AD=4a, :AE-7 CD 4 :AE =17a, BE=AE2-AB2=a, .CE =3a, :点G是AE的中点， .AG=EG, :AD∥BC, :.∠ADG=∠M,∠DAG=∠GEM, .△ADG≌AEMG(AAS), :EM AD=4a, .BM ME-BE =3a,CM =7a, :AB∥CD, ∴.△BMN∽△CMD, BM BN 3a BN CMcD,即 7a 4a 12 :BN 70, ·AN=AB-BN=1 70, :PD=BE,∠ADP=∠ABE=90°，AD=AB, △ADP≌△ABE(SAS, ∴∠DAP=∠BAE,AP=AE, :∠EAF=45°， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 LBAE+LDAF=45°， ∠PAF=∠DAP+∠DAF=45°=∠EAF, AFAF, △AEF≌△APF(SAS), :PF=EF, 设DF=x,则PF=EF=a+x,CF=4a-x, 在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2, (3a2+(4a-x)2=(a+x, 12 解得：x=5a, DF= 5, :AB∥CD, △AHN∽aFHD, 16 AH AN 7a 0 FH DF-12= 21 35.(2026重庆一模)如图，在正方形ABCD中，点E在4B边上且BE=，BA,连接CE.点F为BC边上 一点，过点F作GF⊥CE于点H,交AD于点G,点K在AB边上，连接DH,KG,KH,若AB=DH, ∠KGF=45,则K 的值为() CH G D A.34 B.34 C.34 D.V34 5 6 10 【答案】C 【分析】先设出正方形边长，过点D作DN∥GF交EC于点K,通过正方形中的内十字模型，平行四边形的 性质得出EC=DN=GF,再用相似三角形的性质求出CK的长度，由等腰三角形的三线合一求出CH的长， 进而求出CF、HF的长，从而得到G点是三等分点；过点K作KM⊥GF于点M,过点M作PM‖AD, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 连接GN交PM的延长线于点Q,由一线三垂直得出KM,GM的长，再由勾股定理即可求出KH的长，从 而得出比值： 【详解】解：设正方形ABCD的边长为3a, BE=-BA, 3 :BE =a, 在Rt△CBE中，CE=VBC2+BE2=V3a+a2=N10a, :四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD=3a,∠B=∠BCD=90°， 过点D作DN∥GF交EC于点K, :GF⊥CE,DN∥GF,GDIFN, :DN⊥EC,四边形GFND是平行四边形， .∠NDC+∠DCK=90°，∠DCK+LECB=90°，GD=FN, .∠NDC=LECB, G D K M .△ECB≌NDC(ASA) K B C :DN=EC=GF=10a,CN=a, ·∠B=∠CHF=∠CKN=90°， :∠BCE=∠HCF=∠KCN .△EBC∽△FHC∽NKC BE HF KN 1 BC CH CN3' .CK=30a, 10 :DH=DC,DN⊥EC, CH=2CK=100 Hf-分ioa,Pc=2a :.GD FN a, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.AG =2a, 过点K作KM⊥GF于点M,过点M作PM‖AD,连接GN交PM的延长线于点Q, GD=NC,GDII NC,∠BCD=90°， :四边形GNCD是矩形， .GN CD‖AB, ∠A=90°，AG∥P0, ·四边形APQG是矩形， .PQ=AG=2a,∠MPK=∠GQM=90°， :KM⊥MG,∠KGM=45°， .KM=GM,∠PMK=∠QGM, .APMK≌QGM(ASA) .PM=GO, MO 1 PM 3 :G0=PM-3a,M0=2a 3 1 KM=GM =10 a :.HM-GF-HF-GM-0a, 10 KH=8灯 KH 34 CH 6 【点晴】本题考查了正方形中的内十字模型、一线三垂直模型、相似三角形的判定与性质，平行四边形的 判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，几何法的核心是通过模型转化（正方形中的内十字模型、 线三垂直模型、等腰直角三角形等)将分散的条件集中到可计算的直角三角形中。 36.(2026重庆一模)如图，正方形ABCD边长为4，点F是对角线BD上一点，FD<FB.过点F作 FH⊥CD于点H,FG⊥BC于点G,连接GH,AF.延长BD,GH交于点E,连接CE,AF=√O,则CE 的长为() 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D B G C 23 B. C.82 D.4i3 5 2 3 【答案】C 【分析】利用正方形的对称性得出CF=AF,结合矩形性质和勾股定理求出CG,CH的长，建立平面直角坐 标系求出点E的坐标，最后利用两点间距离公式求解. 【详解】解：连接CF D F/H B G C :四边形ABCD是正方形，F在对角线BD上， 点A与点C关于BD对称， :CF=AF=10 :FH⊥CD,FG⊥BC,∠BCD=90°， “四边形FGCH是矩形， .FG=CH,FH=CG 设CG=x,CH=y,则FH=x,FG=y. 在RIA FGC中，CG+CH=CF2,即x2+y2=10 :四边形ABCD是正方形， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠DBC=∠BDC=45°， :FG⊥BC, :△BGF是等腰直角三角形， .BG=FG=y, BC=BG+GC=4, x+y=4, x+y=4 联立x+y2=10 x=1 解得 =3或 x=3 y=1 :FD<FB,且FD=√2FH=V2x,FB=V2FG=2y, .x<y, x=1,y=3,即CG=1,CH=3. 以C为原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 则C(0,0),G(-1,0),H(0,3),B(-4,0),D(0,4) [-k+b=0 设直线GH的解析式为y=x+b,则 b=3, k=3 解得 b=3 .直线GH的解析式为y=3x+3, 同理可求直线BD的解析式为y=x+4. y=3x+3 联立 y=x+4 1 X= 解得 2 9 p=2 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点04 几何压轴大题 37.(2026重庆一模)在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O D B B 图1 图2 图3 (I)如图1，若AC=8,BD=6,求菱形ABCD的面积； (②)如图2，若E为CA延长线上一点，连接DE,将DE绕点D顺时针旋转120°至DF,连接EF,EF所在 直线交DA延长线于点G,延长CA至点H,使得AH=AG,I为AB延长线上一点，且 ∠AIH+∠AGF=30,∠DAB=60°，求证：AI-AE=√3AD. (3)如图3，若BD=6,AD=5,E是AD延长线上的一点，连接BE,作AFBE与△ABE关于直线BE对称， EF交射线AC于点P,连接BP,请直接写出PB-PC的最大值. 【答案】(1)24 (2)见解析 3)44-339 5 【分析】(1)直接根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可； (2)由旋转得到DF=DE,∠EDF=120°，又菱形的性质得到AD=CD,∠CDA=180°-∠BAD=120°， LDAC=LBAC=LACD=∠ACB=30°，进而得到LFDA=∠EDC,连接AF,可证得△ADF≌aCDE(SAS), 得到AF=CE,∠FAD=∠ECD=30°，由LI+∠H=∠CAB=30°，∠AIH+∠AGF=30°，得到∠H=∠G, 再证∠HAI=∠GAF=150°，从而有△AHI≌△AGF(ASA),得到AI=AF=CE,再在菱形ABCD中，求得 AC=√3AD,即可得证结论： (3)由勾股定理得PB=V0B2+0P2=V0P2+9,根据PC=P0-0C=P0-4,可求出 9 9 PB-PC=4+ V0P2+9+0P ，根据 OP2+9+OP >0,且√OP2+9+0P的值随着OP的值增大而增大，得 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9 到当OP有最小值时，V0P2+9+0P有最小值，即此时 有最大值，PB-PC有最大值.过点 V0P2+9+0P B作BM⊥AD于M,作BN⊥FE于点N,由菱形ABCD的面积可得BM= 24 5 ，则由轴对称的性质可得 AM-,由勾股定理得0P=PB?-3,则当PB有最小值时，OP有最小值，由垂线段最短 BP≥BN= ，放当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为头，据此求解即可。 24 【详解】(1)解：：AC=8,BD=6, 5m4C-D-×8x6=24. 2 (2)解：：将DE绕点D顺时针旋转120°至DF, ∴DF=DE,∠EDF=120°， 四边形ABCD是菱形， AD=CD,AB∥CD,∠BCD=∠DAB=60°，AC平分∠DAB和∠BCD, .∠CDA=180°-∠BAD=180°-60°=120°， DAC=∠BAC=)∠DAB=30 ∠4CD=∠4CB=∠BCD=30°， .∠EDF=LCDA, LEDF+LADE=LCDA+∠ADE,即∠FDA=∠EDC. 连接AF, :在△ADF和△CDE中， DF=DE ∠ADF=∠CDE, AD=CD :△ADF≌△CDE(SAS), AF=CE,∠FAD=∠ECD=30°， 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠I+∠H=∠CAB=30°，∠AIH+∠AGF=30°， ∠H=∠G, :∠HA1=180°-∠CAB=180°-30°=150°， ∠GAF=180°-∠FAD=180°-30°=150°， ∠HAI=∠GAF. :在△AHI和△AGF中， ∠H=∠G AH=AG ∠HAI=∠GAF △AHI≌aAGF(ASA), :AI=AF, .AI=CE. :在菱形ABCD中，AC⊥BD, .∠A0D=90°， :∠DA0=30°， ÷D0=AD, A0=√AD2-D02 :在菱形ABCD中，AC=2AO=√5AD, .AI-AE=CE-AE =AC=3AD. (3)解：：在菱形ABCD中，BC=AD=5,AC1BD,B0=D0=BD=x6=3, 1 2 2 .在RtaB0C中，C0=VBC2-B02=V52-32=4, 在Rt△B0P中，PB=√0B2+0P2=√0P2+9, :PC=P0-0C=P0-4, .PB-PC=OP2+9-(PO-4) =4-0P+V0P2+9 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0p2+9-0PV0p2+9+0p =4+ V0p2+9+0P =4+ 0P2+9-0p2 NOP2+9+OP =4+ JOP2+9+OP 9 V0P2+9+0P >0,且√0P2+9+0P的值随着OP的值增大而增大， 9 当OP有最小值时，V0P+9+0P有最小值，即此时OP+9+OP有最大值，PB-PC有最大值. 过点B作BM⊥AD于M,作BN⊥FE于点N, E B AC=2C0=2×4=8, AC.BD=1x8x6=24, 2 又S菱形ABCD=AD·BM,即24=5BM, BM=24 由轴对称的性质可得BN=BM=24。 5 :在Rt△P0B中，0P=√PB2-0B2=√PB2-32=VPB2-9, 当PB有最小值时，OP有最小值， :由垂线段最短可知8P≥BN=24 :当点P与点N重合时，BP有最小值，最小值为24 ·OP的最小值为VPB2-9 24 -9= 3√39 5 9 44-3V39 4+ =4+ “PB-PC的最大值为√OP2+9+OP 24,3V39 5 5 5 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 38.(2026重庆铜梁一模)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E在直线BC上，连接AE,过点 C作CD⊥AB于点D,AE交CD于点F. A D 图1 图2 图3 (I)如图1，若点E在线段BC上，AE平分∠CAB,CB=10,BE=6,求CF的长度； (2)如图2，若点E在线段BC上，LCEA=45°，延长BC至点G,连接FG,满足∠AFD=∠AFG,请用等 式表示线段CG,AC和BC的数量关系并证明， 4 (3如图3，若am∠4BC=行，将△ACE沿ME翻折至ABC所在平面得到ACE,连接BC',点P为BC的 中点，连接DP,在E点运动过程中，当DP取最大值时，直接写出此时DP的值。 BE 【答案】(1)4： (2)CG=BC-AC,证明见详解； ⊙0 9 【分析】(1)利用同角的余角相等得到LACD=90°-∠BAC=LACD=LB,利用角平分线的定义和三角形 的外角的性质得到∠CFE=∠CAE+∠ACD=LBAE+LB=∠CEF,从而得到CF=CE=CB-BE,从而得解； (2)根据题意可知是aCEA等腰三角形，∠CEA=∠CAE=45°，CA=CE,再利用三角形的外角的性质证 明∠B=∠G,过点E作HE⊥BC交CD的延长线于点H,从而证明△ACB≌aCEH(AAS), △GEF≌△HEF(AAS),得到EG=EH=BC,继而得证： (3)设DC=I2a,继而求得DB,BC,AC和BA,结合翻折的性质得到AC=AC',过点P作PO‖AC交 于点O,则点O为BA的中点，且OB=0A=AB,那么，点E在直线BC上运动过程中，缝 AC=AC'=20a,则点C的运动轨迹为以点A为圆心AC'为半径的圆上运动，那么点P的运动轨迹为以点 O为圆心OP=二4C为半径的圆上运动.当DP取最大值时，则点P、点O和点D共线时，求得此时0D, DP和BC',连接EC',则∠EC'B=90°，进一步求得cos∠ABC,求得即可BE, 【详解】(1)解：CD⊥AB,∠ACB=90°， :∠ACD=90°-∠BAC=∠B, 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：AE平分∠CAB,CB=10,BE=6, ∠CAE=∠BAE, ∴.∠CFE=∠CAE+∠ACD=∠BAE+∠B=∠CEF, .CF=CE=CB-BE=10-6=4; (2)解：CG=BC-AC,证明如下： 由(1)得：∠ACD=∠B, :∠CEA=45°，LACB=90°， ∠CEA=LCAE=45°，CA=CE, :LAFD=∠AFG, .Z ACD Z CAE=Z CEA+ZG=ZG+Z CAE, LG=∠ACD, .∠B=∠G=∠ACD, 过点E作HE⊥BC交CD的延长线于点H,如图， H B E G 图2 则LH=90°-∠BCD=LB=LG,∠GEF=∠HEF=45°， 在△ACB与△CEH中， ∠H=∠B ∠ACB=∠CEH=90° CA=CE △ACB≌ACEH(AAS), :EH =BC, 在△GEF与△HEF中， ∠G=∠H ∠GEF=∠HEF EF=EF 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △GEF≌△HEF(AAS), :EG=EH, :BC EG, :CG=EG-CE=BC-AC, 即CG=BC-AC; (3)解：设DC=12a, tan∠ABC=4 tan∠ABC=DC-4 BD 3' 解得DB=9a, BC=VDB2+DC2=V(9a)2+(12a)2=15a, :tan∠ABC= AC 4 BC3 解得AC=20a, BA=VCB2+AC2=V5a)2+(20a)2=25a, :将△ACE沿AE翻折至△ABC所在平面得到△AC'E, .AC=AC'=20a, 过点P作PO川AC交AB于点O,如图： E B ∴△BOPn△BAC', 点P为BC的中点， OP BO BP 1 AC AB BC2' 25 :OB=0A=1AB= 2 2a,op-4c=10a, 2 :点E在直线BC上运动过程中，始终有AC=AC', .点C的运动轨迹为以点A为圆心，AC'=20a为半径的圆上运动， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :点P的运动轨迹为以点O为圆心，OP=I0a为半径的圆上运动， 当DP取最大值时，则点P、点O和点D共线时，如图， B E 此时，OD=0B-BD=a,DP=0D+OP= 7 2a+10a=27。 =20,BC'=AB+AC'=25a+20a=45a, 连接EC',则∠EC'B=90°， Cos∠ABC=BC=3BC BA 5 BE BE=、 BC 45a =75a cOS∠ABC3 27 :DP24 9 BE 75a 50 39.(2026重庆大渡口一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D是ABC所在平面内一点，连接BD E B D D 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠BAC=30°，点D在AC边上，BD平分∠ABC,AD=2,求AB的长； (②)如图2，若∠BAC=30°，点D在AC边上（点D不与点A,C重合），将射线BD绕点B顺时针旋转60°， 在旋转后的射线上取一点E,连接AE,使得AE=BE，,过点E作EG⊥AC于点G,过点D作DH⊥AB于 点H,探索线段BC,EG,DH之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若点D在直线AB下方，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BE,连接AD,AE, ∠EAD=75°，AB=6,当四边形ADBE的面积取最小值时，在直线AB上取一点P,连接DP,将△DBP沿 BD翻折到四边形ADBE所在的平面内得到△BDQ,连接AQ,当AQ取最小值时，请直接写出△ADQ的面 积. 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(I)2√5 (2)V3DH+EG=2BC,证明见详解 6③95-272+27 【分析】(1)由三角形内角和定理求得∠ABC的度数，再由角平分线的定理得出 ∠ABD=∠DBC=∠ABC=30°，紧接着根据等腰三角形等边对等角得出AD=DB=2,最终利用勾股定理 及解30°直角三角形的性质求得结果； (2)连接ED,过点E作EK⊥AB,先证明△BEK≌△BDC(ASA),得出BDE是等边三角形，根据等边三 角形的性质得出DE=BD,∠BDE=60°，再利用解30°直角三角形的性质得出AG=GD=DH，证明 △EGD≌△BHD(SAS),得出EG=BH,最终将BC,EG,DH的关系转化到线段AB即可； (3)利用旋转的性质证明△EBA≌△DBH(SAS),构造出△ABH为等边三角形， S四边形ADBE=S△ABD+S△BE=S△ABD+S△BDH=S△ABH-S△ADH,由于△ABH的面积为定值，要使四边形ADBE的面 积最小，则△ADH的面积为最大，根据定弦定角可知点D的轨迹是以点O为圆心，半径为 OA=OH=54H=35的H上运动，由翻折的性质得出点Q的轨迹在直线BH上，当40L1BH时，40有 最小值，即点Q为BH中点，从而得出D'B是等边三角形ABH的中垂线，利用相似三角形的判定与性质及 解30°直角三角形的性质得出相关线段的值，最终可求得△ADQ的面积. 【详解】(1)解：：∠BAC=30°，∠ACB=90°， ∠ABC=90°-30°=60°， 又：BD平分∠ABC, ∠ABD=∠DBC= ∠ABC=30°， 2 ∠BAC=∠ABD=30°， :AD=DB=2, 在R△DBC中，DC=BD=1, 由勾股定理得，BC=√BD2-DC2=√5， 在Rt△ABC中，AB=2BC=2V3, 即AB的值为2√5. (2)解：V3DH+EG=2BC, 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证明如下：如图，连接ED,过点E作EK⊥AB, E H K G AE =BE, ·△AEB是等腰三角形， ·EK为△AEB的中垂线， .AK =BK 在Rt△ABC中，∠BAC=30°，2BC=AB, AK=BK=BC,∠ABC=90°-∠BAC=60°， 又：∠EBD=60°， ∴.∠EBK+LKBD=∠KBD+∠DBC=60°， ∠EBK=∠DBC, 在△BEK和△BDC中， ∠EKB=∠DCB=90° BK=BC ∠DBC=∠EBK △BEK≌△BDC(ASA, .BE =BD, :BDE是等边三角形， ∴DE=BD,∠BDE=60°， 又：DH⊥AB,∠BAC=30°， .∠ADH=90°-∠BAC=60°， :∠ADE+∠EDH=∠EDH+∠HDB=60°， ∠ADE=∠HDB, :AE=BE, .AE=DE, 又：EG⊥AD, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AG=GD,即AG=GD=2AD, 在Ra4DH中，∠H4D=30,DH-号4D,AH=2DH-Dr=5DH, .AG=GD=DH, 在△EGD和△BHD中， GD=DH ∠GDE=∠HDB, DE=BD .△EGD≌△BHD SAS, :EG=BH, 2BC=AB, .AH BH =3DH +EG=2BC=AB, 即√3DH+EG=2BC. (3)解：如图，将BA绕点B逆时针旋转6O°得BH,连接AH,DH, :BE=BD,∠EBD=60°， ∴∠EBA+LABD=∠ABD+∠DBH=60°， ∴∠EBA=∠DBH, 在△EBA和△DBH中， EB=DB ∠EBA=∠DBH, AB=BH .△EBA≌aDBH(SAS), 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AEB=∠BDH, 又：AB=BH=6,∠ABH=60°， :△ABH为等边三角形， .S四边形ADBE=S△ABD+S△ABE=S△ABD+S△BDH=S△ABH-S△ADH, :△ABH的面积为定值，要使四边形ADBE的面积最小， :△ADH的面积为最大， ∠EAD=75°， ∠AEB+∠ADB=360°-∠EAD-∠EBD=225°， ∠ADB+∠BDH=225°， LADH=360°-LADB+∠BDH=135°， :.如图构造△ADH的外接圆O0,劣弧AH的圆周角为180°-LADH=45°， .圆心角为45°×2=90°，即∠A0H=90°， :半径为04=OH=254H=32,即00是定圆， 2 :点D的轨迹是以点O为圆心，半径为OA=OH=3v2的AH上运动， 当OD⊥AH时，△ADH的面积最大，记此时D为D, OA=OH,BA=BH, :OB垂直平分AH, 点O,D,B三点共线， 记AH与OB的交点为G, :点P是AB上一动点，△D'BP沿D'B翻折得△BDQ, ∴BP=BQ,∠PBD'=∠D'BQ, :等边三角形△ABH中，BO⊥AH, .ZABG ZHBG ∴∠D'BQ=∠D'BH, 点Q在直线BH上， 当AQ'⊥BH时，AQ有最小值，即点Q为BH中点， 连接D'Q',G0, :口OB◆口垂直平分口AH口，即点G为AH□的中点， GO∥AB, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、△GHQ'∽△AHB, “由三角形中位线定理得： G0'1 S.GOH 1 S。AHB AB 4 :AG=GH=三AH=3, “在R△ABG中，BG=√AB2-AG2=3V5, 5.am-4hBG=6x35=95, 1 :.S.com=4V3的 :点G为等腰Rt△AOH斜边AH中点， .AG=GO=GH=-AH=3, ∴GD'=OD'-OG=3√2-3， 过点Q作QM⊥BG, :Q'M∥GH, .△MBQ'∽△GBH, 又：点O为BH中点， MO'BO'1 GH BH 2' 坚行第得g SaAD'Q=S△ABH-S△4B0-S△AD'G-SaGH0-SAGD'Q G-AQBQ'-AGDG-S-D =5-35-×3x35-)-x95-35-月 95-272+27 4 【点晴】本题考查了旋转的性质，翻折的性质，解30°直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边 三角形的性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理， 40.(2026重庆一模)在ABC中，∠ACB=60°，点D是ABC所在平面内一点，连接AD. 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 (I)如图1，若LABC=30°，点D在BC边上，AD平分∠BAC,CD=2,求AC的长： (②)如图2，若点D在BC边上，AD=AC.将线段AB绕点A顺时针旋转120°得到AE,连接ED交边AC于点 F.用等式表示线段AD,BC,CF之间的数量关系，并证明： (3)如图3，若LABC=60°，AC=2.连接CD,将CD绕点C顺时针旋转120°得到CE,且点A,D,E三 点共线，连接DE,BD,当BD取最小值时，在直线BC上取一点P,连接EP,EB,将△BEP沿BE翻折到 ABC所在的平面内，得到△BEQ,连接CQ.当CQ取最小值时，直接写出CEQ的面积. 【答案】(1)3+1 (2)2AD=BC+2CF,证明见详解 29 【分析】(1)在ABC中，∠ACB=60°，∠ABC=30°，得出∠BAC=90°，根据AD平分∠BAC,得出 ∠CAD=45°，过D作DH⊥AC于H,在Rt△CDH中，解三角形求出CH=1,DH=√3，在Rto AHD中， 根据∠HAD=45°，解三角形求出AH=DH=√5，即可解答 (2)证明△ACD是等边三角形，得出AC=AD=CD,∠CAD=60°，由旋转得AE=AB,∠BAE=120°，证 明∠EAC=∠B,过点E作EG∥BC交AC于点G,证明△AEG≌△BAD(ASA,得出AG=BD,EG=AD, EG=CD,证明AFEG≌：FDC(AAS),得出FG=CF=CG,结合BD=BC-CD=BC-AD, AG=AC-CG=AD-2CF,即可证明2AD=BC+2CF, (3)证明ABC是等边三角形，得出AC=BC=AB=2,由旋转得CD=CE,∠DCE=I20°，则 ∠CDE=∠CED=30°，根据A,D,E共线，得出∠ADC=150°，则点D在以AC为弦的定圆⊙0上，由圆外 一点到圆上一点距离的最值得BD最小时，D在OB连线上，连接OA,OC,设OB与AC交于点F,OB的延 长线与00交于点O,连接OA,OC,得出∠A0C=2∠A0'C=60°，△A0C是等边三角形， 0A=0C=AC=AB=BC=2,即可得AC10B,∠CB0=∠COD=∠C0A=309,4F=CF=1,AD=CD, 2 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求出BF,CD,设AE与BC交于点K,证明CE=EK,BK=BD,∠BKE=∠BDA=IO5°，从而证明 △ADB≌△EKB(SAS),得出LEBC=LABF=30°，根据折叠可得∠EBC=∠EBQ=30°，则∠CBQ=60°，即 点Q在直线I上运动，则当CQ⊥BQ时，CO取得最小值，证明四边形CFBQ是矩形，则CQ=BF=√3，过 点E作EL1CQ,求出EL,再根据S,c0CQ-EL求解即可， 【详解】(1)解：在ABC中，∠ACB=60°，∠ABC=30°， ∠BAC=180°-60°-30°=90°， :AD平分∠BAC, ∠CAD=45°， 过D作DH⊥AC于H, B 图1 在Rt△CDH中，CD=2,∠C=60°， :CH=CD-cos60°=2×】=1，DH=CD-sin60°=5， 在Rto AHD中，∠HAD=45°， .AH DH=3, .AC=AH+CH=3+1. (2)解：结论：2AD=BC+2CF. 证明：：AD=AC,∠ACB=60°， .△ACD是等边三角形， AC=AD=CD,∠CAD=60°， 由旋转得AE=AB,∠BAE=120°， ∠EAC+LBAD=∠BAE-∠CAD=60°， 又∠ADC是△ABD的外角， ∠ADC=60°=∠B+LBAD, ∠EAC=∠B, 过点E作EG∥BC交AC于点G, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 G 4 5 B D 图2 则∠1=∠C=60°， ∠2=180°-∠1=120° 又∠3=180°-∠ADC=120°， ∠3=∠2， 在△AEG和△BAD中， ∠EAG=∠B AE=AB, ∠2=∠3 △AEG≌△BAD(ASA, :AG=BD,EG=AD, AC=AD=CD, ∴.EG=CD, 在aFEG和△FDC中， [1=∠C ∠4=∠5， GE=CD △FEG≌△FDC(AAS), FG-CF-CG. BD=BC-CD=BC-AD, AG=AC-CG=AD-2CF, .AD-2CF=BC-AD, 整理得2AD=BC+2CF. (3)解：：∠ACB=60°，∠ABC=60°， :ABC是等边三角形， .AC=BC=AB=2, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由旋转得CD=CE,∠DCE=120°， ∠CDE=∠CED=30°， :A,D,E共线， .∠ADC=150°， :点D在以AC为弦的定圆⊙O上， B E 由圆外一点到圆上一点距离的最值得，BD最小时，D在OB连线上， 此时BD=OB-OD=OB-0A, 连接0A,OC,设OB与AC交于点F,OB的延长线与00交于点O,连接OA,OC, 则∠A0'C=180°-∠ADC=180°-150°=30°， ∴.∠A0C=2A0'C=60°， :0A=0C, “△AOC是等边三角形， ∴.OA=0C=AC=AB=BC=2, AC⊥OB, :∠CB0=∠C0D=∠C0A=30,AF=CF=1,AD=CD, 2 0F=BF=2-F=5,∠C4D=C0D=15=∠4cD, :DF=0D-0F=2-V3,∠DCB=∠DAB=60°-15°=45°， .CD-CF+DF-+(2-)-28CE=2DCE-ZDCB=75. 设AE与BC交于点K, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠CDE=∠CED=30°， .∠I=∠CED+∠CAD=75°，∠3=∠BAD+∠ABD=75°， :∠1=L2=∠3=∠BCE .CE=EK,BK=BD,∠BKE=∠BDA=I05°， AD=CD,CD=CE, .AD=EK △ADB≌△EKB(SAS), ∴LEBC=∠ABF=30°， 根据折叠可得∠EBC=∠EBQ=30°， :∠CBQ=60°， 即点Q在直线1上运动， :当CQ⊥BQ时，CQ取得最小值， 此时∠CFB=∠FBQ=∠CQB=90°， :四边形CFBQ是矩形， Co=BF=3, 过点E作EL⊥CQ, 则=c6=号小6-同 5wc0L-x5x96-列-35 41.(2026重庆沙坪坝一模)在ABC中，AB=AC=4,∠BAC=90°，点D是BC上一点，连接AD,将 AD绕点A逆时针旋转a得到AE,连接DE. 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 备用图 (I)如图1，点D在边BC上，a=90°，连接CE.若BD=√2，求DE的长度； (2)如图2，点D是BC的中点，M=90°，点F在边AB上，点G在射线AE上，连接CF,DF,DG.若 ∠AFC=∠BFD,∠EDG=LCFD-∠ACF.求证：DF+CF=DG; (3)点D在直线BC上，a=45°，点H在边AB上，且AB=4AH.Q是直线AE上一点，将△AHQ沿HQ所 在直线翻折到ABC所在的平面内，得到△PHQ.当PE取最小值时，请直接写出PED的面积， 【答案】(1)25 (②)见解析 3)2+32 4 【分析】(1)因为ABC是等腰直角三角形，AB=AC=4,∠BAC=90°，所以先利用勾股定理求出BC的 长度.因为AD绕A逆时针旋转90°得到AE,所以∠DAE=90,AD=AE,又∠BAC=90°，可推出 ∠BAD=∠CAE,进而证明△BAD≌△CAE,得到CE=BD,∠ACE=∠B=45°，从而得出∠DCE=90°，先 求出DC的长度，再在Rt DCE中用勾股定理求出DE的长度 (2)因为D是BC中点，ABC是等腰直角三角形，所以AD=BD=DC,∠BAD=LCAD=45°， AD⊥BC,因为∠AFC=∠BFD,可考虑构造全等三角形，在AC上截取CM=BF,证明△BDFO△CDM ,得到DF=DM,∠BDF=LCDM,结合己知角的关系，推导LEDG与∠FDM的关系，再证明 △DFC≌aDMG,得到CF=MG,进而证明DF+CF=DG. (3)因为AB=4AH,AB=4,所以AH=1,先确定点H的位置，由翻折可知PH=AH=1,所以点P在 以H为圆心，1为半径的圆上，根据点与圆的位置关系，当H、P、E三点共线时，PE取最小值.结合 a=45°，AD旋转得到AE,分析相关角度和线段长度，进而求出PED的面积. 【详解】(1)解：：AB=AC=4,LBAC=90°， ∠B=∠ACB=45°，BC=VAB2+AC2=4V2, 由旋转得：AD=AE,∠DAE=90°=∠BAC, D 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∠BAD=∠CAE, △BAD≌△CAE(SAS, ·BD=CE=√2，∠ACE=∠B=45°， .∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，DC=BC-BD=3V2, DE=DC2+CE2=25. (2)证明：如图，延长CF至点K,使得FK=DF,连接BK. 4 G 4 16 D :∠3=∠4，∠3=∠5， .∠4=∠5. 在△KFB与△DFB中， FK=DF ∠5=∠4， BF=BF △KFB≌△DFB(SAS) ∠6=∠1，BK=BD,∠K=∠7， .∠KBC=∠6+∠1=90°=∠DAG, :AB=AC,D是BC的中点，∠BAC=90°， :AD=BC=BD,∠1=∠ACD=45°， 2 .BK AD :AD=AE,∠DAE=90°， ∠2=∠AED=45°， :LEDG=L8-LACF,L2=LACB=45°， :∠EDG+∠2=∠8+∠ACB-∠ACF, 即∠ADG=L8+∠9=∠7， .ZK ZADG 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△KBC与△DAG中， [∠K=∠ADG BK=AD ∠KBC=∠DAG .△KBC≌△DAG(ASA), .KC=DG, .KC=KF+FC=DF +FC, .DF+FC=DG. (3)解：把ABC放在平面直角坐标系中，顶点在原点，AB所在直角为x轴， D B 则A0,0,B(4,0,C(0,4), BC=V42+42=4V2, :AE=AD,∠EAD=45°，点D在直线BC上运动， :点E在直线MN上运动，直线MN与直线BC成45°角， MN⊥AC,设垂足为L, 过点H作HJ⊥MN于点J,过点D作DI⊥AB于点I, 则∠ALJ=∠HJL=∠AID=90°， :∠HAL=90°， 四边形ALJH是矩形， 当点D在8C中点时，4D8C=22,∠C4D=45, 点E在点L位置， 此时，AL=AE=AD=2V2, .HJ=2N2, AB=4AH, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AH=1, 由轴对称知，AH=PH=1, ·点P在以H为圆心，以1为半径的圆上运动， 当点E在点J位置，且点P在HJ上时， M N PE=HW-PH=2√2-1，PE最小， 此时AE=√AH2+HJ2=3, AD=3, 设BI=DI=x, 则AI=4-X, :A1=√AD2-D12=V32-x2, 4-x=V32-x2, 两边平方得（4-x)2=9-x2, 化简得2x2-8x+7=0, 解得x=4+V2 2 (舍去，x=4-2 2 HI=AB-AH-BI=2+ 2 DIHJ, ÷5mPE-m=*5-k245.2+35 24 42.(2026重庆万州一模)在ABC中AB=AC,AD=AE. B D E 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠BAC=120°，BE=BA,求∠DAE度数； 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)如图2，点M为AE上一点，AM=BD,连接DM,点N为DM的中点，连接AN,当 ∠B+∠B4E=1DE+90时，用等式表示线段4W与线段4C的数量关系，并证用； (3)如图3，当∠BAC=120°，AB=2√5，点N在ABC内，∠ANB=120°，点D在直线BC上运动，将DA绕 点D顺时针转6O°得到DP,连接CP,当CP最小时，直接写出NP最小值. 【答案】(1)30 (2)AC=2AN,证明见解析 (3)√13-2 【分析】(1)在等腰ABC中求出∠B=30°，再利用BE=BA,求出LAEB=75°，再由AD=AE,求出 ∠ADE=∠AEB=75°，再利用三角形内角和定理求解即可： (2)延长AN到F,使NF=AN,连接DF,通过导角证明LADE=60°，得出ADE是等边三角形，证明 △ANM≌△FND,得出DF=AM,DF∥AE,推出∠ADF=∠AEC,证明△ABD≌△ACE,推出 DF=CE,再证明△ADF≌△AEC,得出AF=AC,即可求证： (3)构造△ABN的外接圆⊙O,连接OA,OB,ON,在优弧AB上任取一点H,连接BH,AH,过点O 作OK⊥AB于点K,可得O0是定圆，即点N的轨迹为以定圆O0的部分，将AB绕点A逆时针旋转60°得 AB',连接AP,B'P,通过证明△BAD≌△B'AP,可得点P在和AB夹角为30°的定直线1上，则当CP⊥直 线1时，CP最小，证明当点P在线段AC上时，CP最小，可知当O、N、P共线时NP最小，求解此时的 NP即可. 【详解】(1)解：：AB=AC,∠BAC=120°， ∠B=180°-120° 30°， 2 BE BA, ÷∠AEB=∠BAB=180∠B=75, 2 AD=AE, ∴∠ADE=∠AEB=75°， ∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=30°； (2)解：AC=2AN,理由： 延长AN到F,使NF=AN,连接DF, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 N B D F AB=AC, ∠B=LC, AD=AE, ∠ADE=∠AED, :∠BAD=∠ADE-∠B, .∠B+LBAE=I80°-∠AED, 又：∠B+∠BAE=∠ADE+90°，∠ADE=∠AED, :180°-∠ADE=∠ADE+90°， 2 解得∠ADE=60°， .∠ADE=∠AED=60°， .ADE是等边三角形，∠ADB=LAEC=120°， .∠DAE=60°， :N是DM中点， .DN MN, 又：∠ANM=∠FND, :△ANM≌△FND(SAS), DF=AM,∠AMN=∠FDN, DF∥AE, ∴∠ADF=180°-∠DAE=120°=∠AEC, AM =BD, .DF BD, ∠ADB=∠AEC=I20°，∠B=∠C,AB=AC, :△ABD≌△ACE(AAS), :BD =CE, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DF=CE, :△ADF≌△AEC(SAS), .AF =AC, 又：AF=2AN, .AC=2AN (3)解：如图，构造△ABN的外接圆⊙0O,连接OA,OB,ON,在优弧AB上任取一点H,连接BH, AH,过点O作OK⊥AB于点K, ∠ANB=120°， ∠AHB=180°-120°=60°， ∠A0B=2∠AHB=120°， .0A=0B, ∠01B=∠084=30，BK=4K=号48=5， .OB=2OK,BK=√5OK=√5， 0K=1,0B=20K=2, :⊙0是定圆，即点N的轨迹为以定圆⊙O的部分， H --D 将AB绕点A逆时针旋转60°得AB',连接AP，B'P, 由旋转知AB=AB',∠BAB'=60°，AD=DP,∠ADP=60°， △ADP是等边三角形， AD=AP,∠DAP=60°， ∠DAP=∠BAB'=60°， ∠B'AP=∠BAD, .△BAD≌△B'AP(SAS, .∠ABD=∠AB'P, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB=AC=2V3,∠BAC=120°， ∠ACB=∠ABD=∠AB'P=30°， :AB是定直线，∠AB'P=30°， :点P在和AB夹角为30°的定直线1上， :.当CP1直线1时，CP最小， :∠B'AC=∠BAC-∠BAB'=60°， 直线1与AC的夹角为180°-∠AB'P-∠B'AC=90°，即BP⊥AC, :当点P在线段AC上时，CP最小， 此时如图， B D :当O、N、P共线时ON+NP最小，其中ON=OB=2是定值， 当O、N、P共线时NP最小， 此时如图，过点O作0T⊥CA延长线于点T, :AB=2V5,∠AB'P=30°， 4P=4B'=, 2 :∠TAB=180°-∠BAC=60°， ∴∠TA0=∠AB-∠0AB=30°， 0T= 01=1,4n=50r=5, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :TP =AT+AP=23, 0P=V0T2+TP2=V13, NP=OP-0N=V13-2, 即NP的最小值为√13-2， 43.(2026重庆一模)在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是平面内一点，连接BD,点E为线段 BD上一点 图1 图2 图3 (I)如图1，若点D在AC边上，连接AE,将AE绕点A顺时针旋转90°至AF,连接BF,CE,若C、E、 F三点共线，∠BCF=2∠ABF,求∠BAF; (2)如图2，若点D在AC边上，连接AE、CE,点F为CE的中点，若LBAE=∠CBE.证明： 2AF=BE+2AE; (3)如图3，点D在ABC外部，连接AD,CD,将△ACD沿AD所在直线翻折到△ADH,且始终满足B、D 、H三点共线，点M为直线AB上一动点，连接CM,将CM绕点M逆时针旋转30°至MN,连接DN, AB=4V2,当DN取最小值时，请直接写出△AWD的面积. 【答案】(1)30° (②)证明见解析 3)SAMDN =4V3-6 【分析】(1)根据题意可得△AEF和ABC都是等腰直角三角形，则LAEF=∠ACB=45°.容易证明 △ABF≌△ACE(SAS),则∠ACE=∠ABF,∠BAF=∠CAE,结合∠BCF=2∠ABF可计算出∠ACE=I5°， 由三角形内角和定理可计算出∠BAF=∠CAE=30°； (2)延长AF至点G,使得AF=FG,连接CG,过点A作AH⊥AE,交BD的延长线于点H,通过等量 代换可得∠AEH=∠ABC=45°，从而证明△AEH是等腰直角三角形，则AE=AH,EH=√2AE,容易 证明△AEF≌△GCF(SAS),则AE=CG=AH,AE∥CG.通过等量代换可得∠BAH=LACG,进而可证 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 明△ABH≌△CAG(SAS),则BH=AG,命题得证； (3)先分析点D的轨迹，作ABC的外接圆，圆心为点O,连接OD,由旋转的性质和等腰三角形的性质可 推断∠ABH=∠H=∠ACD,因此A、B、C、D四点共圆，则OD=4.再分析点N的轨迹，将BC绕点 B逆时针旋转30°得到BI,作J⊥BC于点J,作直线IN交BC的延长线于点K,连接CI,CN,容易证 明△BCM∽△ICN,从而计算出∠CIK=45°，∠BKI=30°，因此点N在定直线K上.根据线段公理可得， 当ON⊥IK时，DN取得最小值，作AT⊥ON于点T,连接OA,利用三角函数可计算出ON=4V3-2, DN=4V3-6,AT=2,最后使用三角形面积公式进行计算即可. 【详解】(1)解：由旋转的性质可知，AF=AE,∠EAF=90°， :△AEF是等腰直角三角形， LAEF=45°， 同理，ABC是等腰直角三角形，∠ACB=45°， :∠EAF=∠BAF+∠BAE=0°，LBAC=LBAE+LCAE=90°， .∠BAF=LCAE, 在△ABF和△ACE中， AF=AE ∠BAF=∠CAE, AB=AC △ABF≌△ACE(SAS), ∠ACE=∠ABF,∠CAE=∠BAF, :∠BCF=2LABF, ∴∠BCF=2∠ACE, 1 .∠ACE=。∠ACB=15°， 3 :C、E、F三点共线， ∠AEC=180°-∠AEF=135°， ∴.∠CAE=180°-∠AEC-∠ACE=30°， ·∠BAF=∠CAE=30°； (2)证明：如图，延长AF至点G,使得AF=FG,连接CG,过点A作AH⊥AE,交BD的延长线于点H 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .H 由(1)可得ABC是等腰直角三角形， ∠ABC=∠ABE+∠CBE=45°， :∠BAE=∠CBE, ∠BAE+∠ABE=45°， :∠AEH是△ABE的外角， .∠AEH=∠BAE+∠ABE=45°， :AH⊥AE, △AEH是等腰直角三角形， AE=AH,∠EAH=90, 在直角△AEH中，EH=VAE2+AH2=VAE2+AE2=V2AE, :点F为CE的中点， .EF=CF, 在△AEF和△GCF中， AF=FG ∠AFE=LGFC, EF=CF .△AEF≌△GCF(SAS), AE=CG,∠EAF=∠CGF, AE∥CG, ∴.∠CAE+∠ACG=180°， :∠CAE+∠BAH=∠BAC+∠EAH=180°， ∴.∠BAH=∠ACG, AE=AH, 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AH=CG, 在△ABH和△CAG中， AB=AC ∠BAH=∠ACG, AH=CG .△ABH≌aCAG(SAS, .BH=AG, AG=2AF,EH=2AE, :2AF BH BE +EH BE+2AE (3)解：如图，作ABC的外接圆，圆心为点O,连接OD,设BD与AC交于点G, :∠BAC=90°， ∴BC为圆O的直径，即点O为BC的中点， AB=AC, ∠ABC=∠ACB=45°， 在直角ABC中，BC=VAB2+AC2=VAB2+AB2=V2AB=8, 由折叠的性质可知，AC=AH,∠ACD=∠H, .AB=AC=AH, ∠ABH=∠H=∠ACD, ∠AGB=∠DGC, ∴.∠BDC=∠BAC=90°， 点D在圆O上， 0D=BC=4, 如图，将BC绕点B逆时针旋转30°得到BI,作J⊥BC于点J,作直线IN交BC的延长线于点K,连接CI 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CN, B 由旋转的性质可知，MC=MN,∠CMN=30°，BC=BI=8,∠CBI=30°， ·∠MCN= 180°-∠CMN =75,∠BCI=180°-∠CB1=75, 2 2 :∠CMN=∠CBI,∠MCN=∠BCI, △MCN∽△BCI, BC=CI' MC BC CN=CI' :∠BCI=∠BCM+∠MCI,∠MCN=∠ICN+∠MCI, .∠BCM=∠ICN, .△BCM∽△ICN, .∠CIK=∠ABC=45°， :∠BCI=∠CIK+∠BKI, .∠BKI=∠BCI-∠CIK=30°， :∠CBI=30°=∠BKI, .BI KI :IJ⊥BK, .BJ=KJ 在直角△BJ中，BJ=BI·cos∠CBI=8×cos30°=4V3, ·BK=2BJ=83,即点K为定点， 点N在定直线K上， :DN≥ON-OD,即DN≥ON-4, 又：垂线段最短， 当ON⊥IK时，DN取得最小值， 当ON⊥IK时，如图，作AT⊥ON于点T,连接OA, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BK=8V3,0B=4, 0K=BK-0B=8V3-4, 在直角△OKN中，∠BKI=30°，∠0NK=90°， 0w=20m=46-2. DN=0N-0D=4V5-6, :AB=AC,点O为BC中点， .OA⊥BC, ∠A0C=90°， :∠K0N=90°-∠BKI=60°， .∠A0T=∠A0C-∠K0N=30°， 在直角0AT中，∠A0T=30°，∠AT0=90°， :AT=10A=BC=2, 2 S.ADN DNT-45-小2=45-6 【点晴】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形 的判定与性质，直角三角形的性质与勾股定理，掌握好“手拉手”模型，“倍长中线”模型和“瓜豆”原理是解题 关键。 44.(2026重庆一模)如图，在ABC中，AB=AC,D为AB边上一点，连接CD. B B D G A C 图1 图2 图3 (I)如图1，若LBAC=90°，过B作BE⊥CD交其延长线于点E,BD=1,CD=5,求线段BE的长 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)如图2，若LBAC=60°，延长CD至点E,连接BE使LBEC=∠BAC,连接AE,点G为线段CD上一点， 连接AG,取AG中点F,连接EF,若BA=2EF,猜想CG与AE之间的数量关系，并证明. (3)如图3，若∠BAC=120°，AB=4V13,将CD绕点C逆时针旋转60°得线段CE,连接AE,在直线AC上 取一点P,连接PE,当AE最小时，将△PAE沿PE所在直线翻折到ABC所在平面内，得POE,连接 B0、CQ,当yB9B0+CQ最小时，请直接写出△80E的面积。 13 【答10E-号 (②)AE=GC,证明见解析 ③195763-195V5 38 【分析】(1)设AD=x,则AB=AC=x+1,利用勾股定理求出AD=3,AC=4,然后利用等面积法求 解； (2)如图，延长EF到点H,使FH=EF,连接AH,GH,CH,证明出△EFG≌△HFA(SAS),得到 LGEF=∠AHF,EG=AH,然后证明四边形EAHG是平行四边形，过点H作HII‖AC交EC延长线于点I, 再证明△ACE≌△HEC(SAS),得到AE=CH,然后证明出点A,C,B,E四点共圆，得到 ∠AEC=∠ABC=60°，最后证明出aCGH是等边三角形，进而求解即可： (3)首先证明出△DCA≌aECA'SAS),得到∠DAC=∠EA'C=I20°，点E在射线A'E上运动，当AE⊥AC 时，A'E的长度最小，过点B作BM⊥EA交EA的延长线于点M,然后证明出△BAM≌△A'AE(AAS),得到 BM=EA'=2V13,AM=AE=2V39,求出QE=AE=2V39,得到点Q在以E为圆心，2V39为半径的圆 上运动，在BE上取点N,使EN=6,连接QN,CN,证明出△NEQvQER,得到QN=B9BO, 13 9B0+CQ=QN+CQ≥NC,判断出当点Q在线段vC上时，9B0+CQ取得最小值，即C的长度， 13 13 如图，过点C作CJ⊥BE于点J,过点Q作OK⊥BE于点K,过点B作BR⊥AC于点R,然后利用勾股定 理和相似三角形的性质求解即可. 【详解】(1)解：：BD=1, 设AD=x,则AB=AC=x+1, ∠BAC=90°，CD=5, :AD2+AC2=CD2,即x2+(x+1=52, 解得x=3, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD=3,AC=4, :BE⊥CD, S,c-号BDAC=)CDBE,即5x1x4=2x5BE, 2 2 :BE=5 4 (2)解：AE=GC,证明如下： 如图，延长EF到点H,使FH=EF,，连接AH,GH,CH, ∴EH=2EF, :AB=2EF,AB=AC,∠BAC=60°， :AB=AC=EH,△ABC是等边三角形， ∠ABC=60°， 点F是AG的中点， :AF=GF, 又：FH=EF,LEFG=LHFA, ∴△EFG≌HFA(SAS), .ZGEF ZAHF, EC∥AH, ∴.四边形EAHG是平行四边形， 如图，过点H作HⅢ‖AC交EC延长线于点I, CI∥AH, :.四边形AHIC是平行四边形， :AC=HI, EH=AC, .EH =HI, .∠HEC=∠I, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 HI‖AC, .∠ACE=∠I, ∴.∠ACE=∠HEC, .EH=AC,EC=CE, :△ACE≌△HEC(SAS), .AE=CH, :四边形EAHG是平行四边形， .AE=GH, ..CH=GH, :∠BEC=∠BAC=60°， 点A,C,B,E四点共圆， ∠AEC=∠ABC=60°， :四边形EAHG是平行四边形， .AE∥GH, .∠HGC=∠AEC=60°， .CH=GH, .△CGH是等边三角形， ∴.GH=GC, .AE=GC; (3)解：如图，将AC绕点C逆时针旋转60°到CA', .△ACA'是等边三角形，∠ACA'=60°， :将CD绕点C逆时针旋转60°得线段CE, .CD=CE,∠DCE=60°， LACA'=∠DCE, ∠DCA=∠ECA', .△DCA≌aECA'SAS, LDAC=∠EA'C=120°， ·点E在射线A'E上运动， 如图，当AE⊥AC时，AE的长度最小， 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A、 E A :LCAE=90°， :AB=AC=4V13,△ACA'是等边三角形， AA'=AC=AB=4V13,∠CAA'=∠CA'A=60°， ∠EAA'=30°，LAA'E=LCA'E-LAA'C=60°， ∠AEA'=90°， :EA=AM=23, 2 :AE=VA'A2-A'E2=2V39, 如图，过点B作BM⊥EA交EA的延长线于点M, ∠M=∠AEA'=90°， 又：AB=AA',∠BAM=∠A'AE, .△BAM≌△A'AE(AAS, :BM EA'=213,AM =AE =239, ∴ME=AM+AE=4V39, .EB=√BM2+ME2=26, 由折叠得，QE=AE=2V39, :点Q在以E为圆心，2√39为半径的圆上运动， 如图，在BE上取点N,使EN=6,连接QN,CN, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A NE 6=39 0E_2V39V39 QE23913' BE 26 13 NE QE OE BE' 又∠NEQ=∠QEB, .△NEQ∽△QEB, ON NE 39 BO OE 131 Qw=3 1 LB0· :3 -BQ+CQ=QN+CQ≥NC, 13 当点Q在线段NC上时， V39 BQ+CQ取得最小值，即NC的长度，如图，过点C作CJ⊥BE于点，过 13 点O作QK⊥BE于点K,过点B作BR⊥AC于点R, :∠M=∠MAR=90°， :四边形BRAM是矩形， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BM RA=213,BR=MA=239, .RC=RA+AC=613, BC2=BR2+RC2=624, :AE=239,AC=4V13, ·EC2=AE2+AC2=364, 设BJ=m,则JE=BE-BJ=26-m, CJ⊥BE, :BC2-BJ2=EC2-EJ2, 624-m2=364-(26-m2, m=18, BJ=18,JE=26-m=26-18=8, :JN JE-NE=8-6=2,JC=BC2-BJ2=103, :OK⊥BE, .△NJCANKO, 怀F,即2=10w5 NJ C.J NKOK ..OK =53NK, “设NK=n,则QK=5V5NK=5V5n, .在Rt△BKQ中，KE2+QK2=QE2, :(n+62+53m=(239, 解得n=-3+V228 或n=-3-V2289 38 38 (舍去) “0K=5V5n=-l55+15V763 38 △0E的面积=86QK-×26x-15v55v7而_1957而-1956 38 38 45.(2026重庆一模)在ABC中，∠B=90°，点D为BC延长线上一点，点E为线段AC,CD的垂直平 分线的交点，连接EA,EC,ED. 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C G 图1 图2 图3 (1)如图1，当LBAC=45°时，连接BE,过点E作EG⊥CD于点G,若AC=2√2，CD=2,求四边形 ABDE的面积： (2)如图2，当LBAC=60°时，在ED上取一点H,连接CH,使∠CHD=∠CAE,将△CDH沿CH翻折到 ABC所在平面内，得到△CDH,连接ED'并延长，交CH于点P,连接PD.用等式表示线段AB、PE、 PD的数量关系并证明： (3)如图3，当LBAC=60°，AC=CD时，ADE的中线，AH交EC于点I,AI=6.点J是AD边上一动点 (不与端点重合)，连接J,以J为边在J右侧作等边△JK,连接KD,AK·.将线段AK绕点A逆时针 旋转60°得到线段AM,连接KM,作MN⊥ID交直线DI于点N.在点J运动过程中，当DK取最小值时， 在直线AⅡ上取一点Q,连接QK,△IKQ关于直线KQ对称得到△I'KQ,连接A',M',NI',当AI取 最大值时，请直接写出△MNI'的面积. 【答案】(1)9 (2)PE-PD=2AB,证明见解析 ③455+92 8 14 【分析】(1)先证得ABC是等腰直角三角形，再由点E是线段AC,CD的垂直平分线的交点，证得 △BAE≌△BCE(SSS),进而得出△BEG是等腰直角三角形，从而求得结果； (2)连接DD',根据已知条件及四边形内角和定理证得ADE是等边三角形，由折叠的性质推出 △CPD≌aCPD'(SAS),△CDD'是等边三角形，△ADC≌△EDD(SAS),最终利用线段和差关系和30°直角三 角形的性质推导出结论： (3)先确定点K的运动轨迹，再确定点I的运动轨迹，利用全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质， 相似三角形的判定与性质及解直角三角形即可求得结果。 【详解】(1)解：在ABC中，∠B=90°，∠BAC=45°， :∠ACB=45°，即ABC是等腰直角三角形， :AC=22, 1/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB-BC- AC=2, 2 :点E是线段AC,CD的垂直平分线的交点，EG⊥CD,CD=2, EA=EC=ED,∠DGE=90°，CG=GD=1, 在△BAE和△BCE中， BA=BC AE=CE, BE=BE .△BAE≌△BCE(SSS, .ZEBA ZEBC, :∠EBA+∠EBC=90°， .∠EBC=45°， :EG⊥BD, ∠EGB=90°， :.△BEG是等腰直角三角形， .BF=BG=3, “S四边形ABDE=2S.BEG=9. (2)解：PE-PD=2AB, 证明：如图，连接DD', E :点E是线段AC,CD的垂直平分线的交点， .EA=EC=ED, .ZEAC ZECA,ZECD ZEDC, :∠ABC=90°，∠BAC=60°， ∠ACB=90°-60°=30°， .∠ACD=180°-30°=150°， 2/23