2025年重庆市沙坪坝区中考一模数学试卷

2025年重庆市沙坪坝区春招数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个数中，是负数的是(    ) A. B. 0 C. 1 D. 2 2.五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是(    ) A. B. C. D. 3.一元二次方程的解是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.正六边形的每一个内角的度数是(    ) A. B. C. D. 5.如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是(    ) A. B. C. D. 6.五子棋起源于中国，古代称为“连珠”.如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘①，②，③，④四个落子位置，能使所得的对弈图是轴对称图形的落子位置是(    ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 7.今年春节重庆2025架无人机编织盛宴，上演“宠粉”奇观!如图是某公司设计的无人机表演图案，其中第①个图案有1架无人机，第②个图案有4架无人机，第③个图案有7架无人机，…，按照这一规律，第⑩个图案中无人机的架数是(    ) A. 25 B. 28 C. 31 D. 33 8.如图，扇形AOB的圆心角为点C是OA的中点，连接若，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在正方形ABCD中，连接AC，点E在AC上，连接BE，过点E作BE的垂线交CD于点F，交BC的延长线于点若，点F是EG的中点，则EG的长度为(    ) A. 4 B. 5 C. D. 10.已知整式，其中，，，为整数，，且下列说法： ①满足条件的整式A中有4个单项式； ②若，则方程一定有解； ③若，则满足条件的整式A共有4个. 其中正确的个数是(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.计算：______. 12.2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松盛况空前，吸引了约13000名海内外校友参加.其中数据13000用科学记数法表示为______. 13.中国人是“龙的传人”，龙与凤凰、麒麟、龟并称“四瑞兽”.小王与小李都从“四瑞兽”中随机选择一个瑞兽进行绘画创作，他们均选到“龙”的概率为______. 14.一个魔方静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F的方向与斜面垂直，摩擦力f的方向与斜面平行.若斜面的坡角的度数为，则支持力F与重力G方向的夹角的度数为______. 15.如图，以AB为直径的与BC相切于点B，连接AC，以AC为边作菱形ACDE，且点B在边CD上，连接BE，AD，BE与AD交于点F，与交于点若，，则BD的长度为______， FG的长度为______. 16.规定：一个各数位上的数字互不相等的四位正整数A，它的千位数字与百位数字的和为m，十位数字与个位数字的差的绝对值为n，若，则称A为“和顺数”，用，表示A的“和顺度”.例如：当时，，，因为，所以1526是“和顺数”，“和顺度”为，按照这个规定，“和顺度”为，的最大“和顺数”是______.若一个“和顺数”A的“和顺度”为，，且能被8整除，除以7余数为1，则满足条件的A的“和顺度”是______. 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 解不等式组，并写出它的所有整数解. 请结合题意，完成本题的解答. 解：解不等式①，得______. 解不等式②，得______. 在同一数轴上表示不等式①、②的解集： 所以，不等式组的解集为______. 它的所有整数解为______. 18.本小题8分 先化简，再求值：，其中 19.本小题10分 “体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚.沙坪坝区某校举办了“食动并行，体质并重”的科普知识竞赛.现从该校七、八年级的学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩百分制进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分成绩得分用x表示，共分为三组：；；，下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：72，76，81，83，83，85，86，88，92， 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的数据是：84，86， 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 84 84 中位数 84 b 众数 a 76 根据以上信息，解答下列问题： 上述图表中______，______，______； 根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科普知识竞赛成绩较好？请说明理由写出一条理由即可； 该校七年级有500名学生、八年级有400名学生参加了此次科普知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次科普知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少？ 20.本小题10分 学习了平行四边形后，小明进行了拓展性研究.他发现，过平行四边形一条对角线的两个端点分别作另一条对角线的垂线，则两垂足所连接的线段被对角线交点平分，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他的思路完成以下作图和填空： 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC与BD的交点.用尺规过点C作BD的垂线，交BD于点F；不写作法，保留作图痕迹 已知：在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC与BD的交点，于点E，于点 求证： 证明：四边形ABCD是平行四边形， ______①. ，， ， 又______②， ≌______③ 21.本小题10分 “一方天地藏日月，一壶盖碗煮春秋”，茶文化是中华文化的重要组成部分.磁器口古镇一茶馆售卖特色茶饮“巴渝云雾”和“沙磁茉莉”，上周末共卖出这两种茶饮70杯，总销售额为1200元.已知“巴渝云雾”每杯售价20元，“沙磁茉莉”每杯售价15元. 求上周末售出这两种茶饮各多少杯？ 已知每大罐“巴渝云雾”的成本为180元，每大罐“沙磁茉莉”的成本为160元，两者共计可冲泡35杯，且“巴渝云雾”每杯成本是“沙磁茉莉”每杯成本的倍.求上周末售出这两种茶饮的利润一共多少元？ 22.本小题10分 如图1，在矩形ABCD中，，，点P为边BC上一点点P与点B，C均不重合，连接AP，过点P作交CD于点设，点P，C的距离为，PC与CE的长度之比为 请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； 在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； 观察函数图象，请直接写出时x的取值范围结果保留一位小数，误差不超过 23.本小题10分 为深学笃行习近平新时代中国特色社会主义思想，让思政课“行”在路上，“走”入内心.沙坪坝区“小小红岩志愿者”实践成长总队精心挑选了两条研学线路供大家选择，如图：①；②经勘测，点B在点A正东方向，点D在点B正北方向，且千米；点C在点A东北方向，点D在点C南偏东方向，且千米参考数据：， 求A，C两地之间的距离；结果保留一位小数 甲、乙两班同时从A地出发，分别选择研学线路①和线路②.已知甲班的步行速度为千米/时，且在途经点B处参观了小时；乙班的步行速度为3千米/时，且在途经点C处参观了1小时，请计算说明甲班和乙班谁先到达D处. 24.本小题10分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线AB交于点，，与y轴交于点 求该抛物线的表达式； 点P是直线AB上方该抛物线上的一动点，过点P作于点D，点M是直线AB上一动点.当线段PD长度取得最大值时，求的最小值； 在中线段PD长度取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线PD方向平移，使得新抛物线经过线段PD的中点点Q为新抛物线上的一个动点，连接当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标. 25.本小题10分 在中，，，点D是平面内一点，连接AD，将点A绕点D顺时针旋转得点E，连接AE， 如图1，点D在的内部，连接CD，点E恰好在CD上.若，求的度数； 如图2，点D在点A的右上方，连接BE，CE，点D恰好在CE上，延长DA交BE于点F，点G是AC的中点，连接FG，求证：； 如图3，连接EC，，将线段AD沿AC所在直线翻折至所在平面内得到线段AM，点M为点D的对应点，连接BM，当BM取得最大值时，请直接写出此时的值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：， 是负数． 故选： 大于0的是正数，小于0的是负数． 此题主要考查了正数和负数，判断一个数是正数还是负数，关键是看它比0大还是比0小． 2.【答案】C  【解析】解：由题干中的几何体可得其俯视图是， 故选： 根据俯视图是从物体的上面看得到的视图即可得出答案． 本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握相关定义及画法是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：， ， ， ，， 故选： 用直接开平方法求解即可． 本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x， 则， 解得 故这个正六边形的每一个内角的度数为 故选： 多边形的内角和可以表示成，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解． 本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 5.【答案】C  【解析】解：设被遮挡的数为x， 由题意得：， A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 故选： 根据题意可知被遮挡的数的取值范围，据此逐个判断即可． 本题考查了实数与数轴，熟练掌握实数与数轴的对应关系是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：白方如果落子于点①的位置，则所得的对弈图是轴对称图形． 故选： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可答案． 本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 7.【答案】B  【解析】解：第①个图案由1架无人机组成， 第②个图案由架无人机组成， 第③个图案由架无人机组成， 第④个图案由架无人机组成， ……， 第n个图案由架无人机组成， 第⑩个图案需要无人机的数量为： 故选： 罗列前4个图形无人机的个数，得到第n个图案由架无人机组成的规律，再由规律解答问题即可． 本题考查了图形的变化类规律，列代数式，从变化的图形中找到与图形序号变化一致的信息是解答本题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：， 点C是OA的中点， ， ， ， ， 故选： 利用扇形和三角形面积公式，根据“阴影部分的面积=扇形AOB的面积-三角形BOC的面积”计算即可． 本题考查扇形面积的计算，掌握扇形和三角形面积公式及特殊角的三角函数值是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：过点E作于点M，于点N，如图所示：   ， 设， 四边形ABCD是正方形，对角线， ，，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 四边形EMBN是矩形， ，，， ， 点F是EG的中点， 是的中位线， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 又，， ， 解得：， 故选： 过点E作于点M，于点N，设，先求出，证明四边形EMBN是矩形得，，，证明CF是的中位线得，，再证明是等腰直角三角形得，则，，由勾股定理得，然后证明和全等得，则，由此解得，继而可得EG的长． 此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造矩形及全等三角形是解决问题的难点． 10.【答案】B  【解析】解：①整式A的结构为， 若，则常数项消失， 此时A仅有3个单项式． 例如，取，，，，满足， 但， 只有3个单项式．因此说法①错误． ②由，得且 代入， 得， 方程化为 判别式，方程必有实数解．因此说法②正确． ③设，则当时，唯一可能为，对应1种整式． 当时，需满足，即3个2和1个， 共有4种组合．总计5种可能，而非4种．因此说法③错误． 故选： ①需明确整式中单项式的个数是否受系数为零的影响，结合条件，分析是否存在系数为零的情况．判断说法； ②利用平方和为零的条件，推导出和，进而分析二次方程的判别式是否非负． ③通过绝对值相等的条件，结合和为4的限制，穷举可能的整数组合，验证总数是否为 本题考查单项式，方程的解，整式，解题的关键是掌握相关知识的运算和推理． 11.【答案】5  【解析】解：原式 故答案为： 利用零指数幂的意义和绝对值的意义化简运算即可． 本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义和绝对值的意义，熟练掌握实数法则与性质是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解： 故答案为： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13.【答案】  【解析】解：列表如下： 共有16种等可能的结果，其中他们均选到“龙”共1种， 他们均选到“龙”的概率为 故答案为： 根据概率公式求解即可． 本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 14.【答案】  【解析】解：如图， 重力G的方向竖直向下， ， 摩擦力f的方向与斜面平行． ， 支持力F的方向与斜面垂直， 故答案为： 先利用垂直的定义得到，然后利用平行线的性质得到，即可得的度数． 本题考查了平行线的性质，正确利用平行线的性质是解决问题的关键． 15.【答案】2   【解析】解：四边形ACDE为菱形， ，， 以AB为直径的与BC相切于点B， ， ， 在中，， ； 在中，， ， ∽， ， ， 为直径， ， ，， ∽， ：：BE， 即BG：：， 解得， 故答案为：2， 先利用菱形的性质得到，，再根据切线的性质得到，所以，于是利用勾股定理可计算出，则，，接着证明 ∽，利用相似比求出，所以，然后证明∽，则利用相似三角形的性质可求出，然后计算即可． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、菱形的性质和圆周角定理． 16.【答案】9372  ，  【解析】解：已知“和顺度”为，，即千位数字与百位数字的和，十位数字与个位数字的差的绝对值 要得到最大的“和顺数”，千位数字要尽可能大因为各数位上的数字互不相等且是四位正整数千位数字最大为9， 此时百位数字为对于十位和个位数字，要使这个数更大，且位数字-个位数字， 当十位数字为8时个位数字为与百位数字重复，舍去， 当十位数字为7时，个位数字为，满足各数位数字互不相等． 所以“和顺度”为，的最大“和顺数”是9372， 求满足条件的“和顺序”， 因为“和顺序”为，， 已知能被8整除， 设为整数， 则 又因为除以7余数为1， 所以为整数 将代入中得到 展开式子：， 即 因为m，n为正整数且，m最大为千位和百位数字最大为9和，n最大为十位和个位数字最大差为， ， 因为能被8整除， 所以能被8整除． 设为整数，则 把代入除以7余数为1中， 展开：， 即 因为，且， 当时，代入除以7余数为1： 展开：， 因为，， 所以2m除以7余数为又因为， 当时，，满足 所以满足条件的A的“和顺度”是， 故答案为：9372；， 对于第一空，需要根据“和顺数”的定义，找出满足条件的最大的四位数．对于第二空，则需要先理解题意，列出关于m和n的方程，求出满足条件的m和 本题考查数的整除，整式的加减，解题的关键是掌握相关知识并正确推理． 17.【答案】      ，，0，1，2  【解析】解：， 解不等式①，得 解不等式②，得 在同一数轴上表示不等式①、②的解集： 所以，不等式组的解集为， 它的所有整数解为，，0，1，2， 故答案为：；；；，，0，1， 按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 18.【答案】，  【解析】解：原式 ， ， ， 解得， 当时，原式 先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后解关于a的方程得到，然后把a的值代入计算即可． 本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简；解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法． 19.【答案】83，85，30；   八年级学生的科普知识竞赛成绩较好答案不唯一，合理均可；   估计该校七、八年级参加此次科普知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是220人．  【解析】七年级10名学生的竞赛成绩的众数， 八年级10名学生的竞赛成绩在A组的人数为人， 所以八年级10名学生的竞赛成绩的中位数， 八年级成绩在C组的人数为人， 所以八年级成绩在C组人数所占百分比，即； 故答案为：83，85，30； 八年级学生的科普知识竞赛成绩较好， 因为八年级学生安全知识竞赛成绩的中位数大于七年级， 所以八年级学生的科普知识竞赛成绩较好答案不唯一，合理均可； 人， 答：估计该校七、八年级参加此次科普知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是220人． 根据中位数和众数的定义求解即可； 根据中位数、众数的意义求解即可答案不唯一，合理均可； 总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． 20.【答案】见解答．   ①CO；②；③  【解析】解：如图，直线CF即为所求． 证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， 又， ≌ 故答案为：①CO；②；③ 根据垂线的作图方法作图即可． 根据平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质填空即可． 本题考查作图-复杂作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 21.【答案】上周末售出30杯“巴渝云雾”，40杯“沙磁茉莉”；   上周末售出这两种茶饮的利润一共520元．  【解析】设上周末售出x杯“巴渝云雾”，y杯“沙磁茉莉”， 根据题意得：， 解得： 答：上周末售出30杯“巴渝云雾”，40杯“沙磁茉莉”； 设“沙磁茉莉”每杯的成本是m元，则“巴渝云雾”每杯的成本是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元 答：上周末售出这两种茶饮的利润一共520元． 设上周末售出x杯“巴渝云雾”，y杯“沙磁茉莉”，利用销售总价=销售单价销售数量，结合“上周末共卖出这两种茶饮70杯，总销售额为1200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设“沙磁茉莉”每杯的成本是m元，则“巴渝云雾”每杯的成本是元，利用单价=总价数量，结合两者共计可冲泡35杯，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值，再将其代入中，即可求出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出分式方程． 22.【答案】，；   当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小答案不唯一；   或  【解析】四边形ABCD是矩形， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， 设，则点P，C的距离为， ； 函数图象如图所示： 当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小答案不唯一； 由函数图象知，当时，x的取值范围是或 证明∽，得出，即可得出答案； 列表、描点、连线，画出函数图象，从函数的某一方面性质，比如增减性写出一条即可； 结合图象求解即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数，一次函数，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 23.【答案】A，C两地之间的距离为千米；   乙班先到达D处．  【解析】如图，过C点作，过D点作， 在中，，，千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 在中，，， 千米， 答：A，C两地之间的距离为千米； 甲班选择线路①， 为等腰直角三角形， 千米， 在中，，千米， 千米， 千米， 千米， 甲班的步行速度为千米/时， 甲班步行需用时小时， 甲班途经点B处参观了小时， 甲班共用时小时； 乙班选择线路②， 千米， 乙班的步行速度为3千米/时， 乙班步行需用时小时， 乙班在途经点C处参观了1小时， 乙班共用时小时； 乙班先到达D处． 根据题意，作，，在中，求出CF长，即可得到CE长，则在中，求出AC长，即可； 根据题意，分别求出两条路线的总路程，得到两队步行所需时间，再加上途中参观用时，即可得到结果． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 24.【答案】，   的最小值为：；   或  【解析】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线AB交于点，，与y轴交于点 求该抛物线的表达式； 解：由题意得， ， ， ， 如图1， 作轴于F，交AB于E，设AB交y轴于G，延长PD至Q，使，连接EQ，CQ，CQ交AB于M， ，， 直线AB的解析式为：，， ， 当PE最大时，PD最大， 设，， ， 当时，PD最大， ， ， ， ， ， ， 的最小值为：； 如图2， 作轴，交AB于E，作于G，连接PA，作于F，设NQ交直线AB于W，作轴，FE交WV于V，作于R， 可得， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ∽， ， ，， ， 的解析式为：， ，， 抛物线向右平移一个单位，向下平移1个单位是：， 由得， 舍去， ， ， 在WD上截取，连接NT，则， ， ，， ， 直线NT的解析式为：， 由得， ，舍去， ， ， 或 将A，B两点坐标代入抛物线的解析式得出方程组，进一步得出结果； 作轴于F，交AB于E，设AB交y轴于G，延长PD至Q，使，连接EQ，CQ，CQ交AB于M，可求得直线AB的解析式为：，，从而，从而得出当PE最大时，PD最大，设，，可得出，进而得出结果；可求得Q的坐标，从而求得CQ的值，从而得出结果； 作轴，交AB于E，作于G，连接PA，作于F，设NQ交直线AB于W，作轴，FE交WV于V，作于R，可推出，从而得出，从而得出，可得出，，，可推出∽，从而，从而得出，，从而得出，从而NW的解析式为：，可推出平移后的抛物线的解析式为，进而根据得出x的值，从而得出Q点坐标；在WD上截取，连接NT，则，从而，同样求得NT的解析式，进一步得出结果． 本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解一元二次方程，图象的平移规律，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是具有较强的计算能力． 25.【答案】   证明见解答．    【解析】根据题意可知和是等腰直角三角形． ， ， 证明：延长DF至点H，使，连接BH，CH，则是等腰直角三角形． ， 又 ∽ ，， ，， ， 又， ≌， ， ， 如图，点F、G分别为AC、AB的中点，过点F作BC的垂线交BA延长线于点H，交BC于点 易得为等腰直角三角形． 为的中位线， ， 根据题意，，由定弦定角辅助圆模型可知主动点E的运动轨迹是以AC为直径的上，因此从动点D的运动轨迹在以GF为直径的上． 而根据轴对称的性质，点D关于AC的对称点M的运动轨迹在以FH为直径的上， ， 为的中位线． ， 由平行线分线段成比例可得F、Q两点分别是线段HI的三等分点，则 在中，，，则 首先判定和是等腰直角三角形，然后根据外角的性质求出，再从中由角的和差关系求出的大小． 通过辅助线构造∽，接着推出，进而证明≌，从而得到，则FG是的中位线，再结合即可证明结论． 先由定弦定角模型求出点E的运动轨迹，然后根据瓜豆模型中主从动点的运动轨迹关系判定出点D的运动轨迹，从而由轴对称的性质得出点M的运动轨迹，再由等腰直角三角形的性质及中位线的性质在中求出BM关于AB的表达式，最终求出答案． 本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，定弦定角辅助圆模型，瓜豆模型等知识点．构造全等三角形证明相关线段和角相等，以及熟练掌握瓜豆模型是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$