专题05 图形的变化与性质（轴对称与中心对称、相交线与平行线、位似、限定工具作图、旋转）（5大考点）（重庆专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题05 图形的变化与性质 （轴对称与中心对称、相交线与平行线、位似、限定工具作图、旋转） 5大考点概览 考点01轴对称与中心对称数轴 考点02相交线与平行线 考点03位似 考点04限定工具作图 考点05旋转 轴对称与中心对称 考点01 1．（2026·重庆·一模）下列汉服纹样中，属于中心对称图形的是（   ） A．如意纹 B．凤纹 C．龙纹 D．忍冬纹 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的定义，将图形绕中心旋转能与原图形重合，逐项判断即可． 【详解】解：A中图形旋转后能与原图形重合，故是中心对称图形； B、C中的图形（凤纹、龙纹）具有方向性，旋转后不能与原图形重合，故均不是中心对称图形； D中的图形（忍冬纹）是轴对称图形，上下部分不相同，旋转后不能与原图形重合，故不是中心对称图形． 2．（2026·重庆·一模）以下四种不同的传统纹样中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A，C，D的图形中，找不到这样一个点，把一个图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以三个图形都不是中心对称图形； 选项B中的图，可以找到一点，把一个图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以该图形是中心对称图形，符合题意． 3．（2026·重庆万州·一模）绿色环保，人人参与．下列环保标志中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】绕某一点旋转后，能与自身完全重合的图形是中心对称图形，据此对选项依次判断即可． 【详解】解：选项：不是中心对称图形； 选项：不是中心对称图形； 选项：是轴对称图形也是中心对称图形； 选项：是轴对称图形，但不是中心对称图形． 4．（2026·重庆·一模）以下图形是四种化学仪器的平面示意图，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 5．（2026·重庆·一模）下列四个艺术字中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 所以不是轴对称图形； A选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 所以是轴对称图形． 6．（2026·重庆铜梁·一模）下列图形是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义，判断图形沿某条直线折叠后两旁部分能否完全重合．逐一分析各选项，找出符合轴对称图形定义的选项即可． 【详解】解：A.风车图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，沿任何直线折叠，两旁部分不能完全重合. B.两个平行四边形顶点重合上下放置，是中心对称图形，但不是轴对称图形. C.4个等腰三角形按1个、2个、1个摆放，沿竖直方向的直线折叠，左右两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形. D.两个直角梯形有一个不垂直于底的腰的顶点重合上下摆放是中心对称图形，不是轴对称图形. 7．（2026·重庆沙坪坝·一模）为铭记历史传承文化，沙坪坝区将每年的3月30日设立为“沙磁文化日”．下列文字图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意． 8．（2026·重庆·一模）下列高校校徽图形中，不是轴对称图形（只看图案，不看文字、字母、数字）的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义可得B选项中的图案不是轴对称图形． 9．（2026·重庆·一模）纹样是中国传统文化的重要组成部分．下面纹样的示意图中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．结合各选项图形进行判断即可． 【详解】解：A. 不是轴对称图形，是旋转对称图形，故本选项不符合题意； B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C. 是轴对称图形，故本选项符合题意； D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 相交线与平行线 考点02 10．（2026·重庆·一模）如图，与位似，点O是它们的位似中心，若的面积为9，，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】两个三角形位似，则它们必相似，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∵的面积为9， ∴的面积为4． 11．（2026·重庆·一模）如图，四边形与四边形位似，点为它们的位似中心，且四边形与四边形的周长之比为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用位似图形的周长比等于相似比直接求解即可． 【详解】解：四边形与四边形位似，点为它们的位似中心，且四边形与四边形的周长之比为， ． 12．（2026·重庆·一模）如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得出，，根据相似三角形的性质得出，即可求出的值． 【详解】解：∵与是位似图形，点是位似中心， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 13．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，根据位似变换的性质计算，判断即可． 【详解】解：∵以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小， ∴点的对应点的坐标是，即为． 位似 考点03 14．（2026·重庆·一模）下列命题正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．等腰三角形的高线、中线、角平分线重合 C．两直线平行，内错角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】根据对顶角、平行线的性质、等腰三角形的性质，垂线的性质，逐一分析各选项是否为真命题，结合几何基本概念进行判断． 【详解】解：A：相等的角不一定是对顶角，例如两角为同一角的补角时相等，但不是对顶角，故该选项不符合题意； B：等腰三角形底边上的高线、中线、顶角的角平分线重合，故该选项不符合题意； C：两直线平行，内错角相等，故该选项符合题意； D：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项不符合题意． 15．（2026·重庆·一模）如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】由题意得：，，则，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 16．（2026·重庆·一模）如图，直线，直线分别与直线，交于点和F，平分交直线于点．若，则的度数为___________． 【答案】/64度 【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据邻补角定义求出的度数，最后再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 17．（2026·重庆沙坪坝·一模）当光从空气斜射入水中时，光的传播方向会发生变化，这种现象叫作光的折射．如图，一束光线沿方向斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．若，，，则的度数是____． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，由题意可知A、C、B在同一直线，即，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵一束光线沿方向斜射入水面，在点处发生折射， ∴A、C、B在同一直线， ∴， ∴． 18．（2026·重庆·一模）如图，，射线交于点，交于点，射线交于点，若，，则______． 【答案】/25度 【分析】根据平行线的性质，三角形外角性质求解即可． 【详解】解：，， ， ，且， ∴． 19．（2026·重庆秀山·一模）如图，直尺和带直角的三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，带直角三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则的度数是________． 【答案】 【分析】由两直线平行，内错角相等可得，再利用平角求解即可． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ． 限定工具作图 考点04 20．（2026·重庆·一模）在学习了三角形的中线和重心后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的两倍，可利用三角形全等和平行线的相关知识得到此结论． 请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和推理填空： (1)如图，的两条中线和交于点．请你利用尺规作图，在下方作，延长交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明：． 证明：，是的中线， ，． 在和中， ， ． ② ． ． ③ ， ， ④ ． 即． ． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与、相交于点、；以点为圆心，相等长为半径画弧，与相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与前弧相交于点；过点、作射线，延长交于点，即为所求； （2）先证明，得到，从而证明，证明，从而得到，即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，，延长交于点，即为所求； （2）证明：，是的中线， ，． 在和中， ， ， ， ． ， ， ， 即， ． 21．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在中，为外角的平分线，于点． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是矩形． 请补完图形，并完成下列证明过程： 证明：平分， ___________①． 平分， ___________②． ． 在中， 平分， ． ___________③． 又， ___________④． 四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，；；；． 【分析】本题主要考查尺规作角平分线、三线合一、矩形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义得到，根据三线合一得到，由垂直的定义可得，再根据有3个角是直角的四边形是矩形，由此即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：作图见（1）；证明如下： 平分， ． 平分， ． ． 在中， 平分， ． ． 又， ． 四边形是矩形． 故答案为：；；；． 22．（2026·重庆万州·一模）如图，已知中，点在边上，且，连接． (1)请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ① ， 在和中， ， ， ③ ， ，，， ， ④ ， ． 【答案】(1)见解析 (2)①，，③，④ 【分析】（1）按尺规作图规范作角平分线和等长线段； （2）利用角平分线证明角相等，通过证三角形全等，结合三角形外角性质进行等量代换，得同位角相等，进而证得． 【详解】（1）解：如图为的角平分线和点． （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 故答案为：①，，③，④． 23．（2026·重庆·一模）如图，在平行四边形中，点是对角线上一点，连接． (1)用尺规完成基本作图：作，交线段于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证：四边形是平行四边形， ，， ①___________， 在和中， ， ②___________，， ，③___________， ， ④___________， 四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】（1）以点A为圆心，任意长度（小于长）为半径画弧，分别交、于点P、点Q，再以点C为圆心，相同长度为半径画弧，交于点M，将圆规针尖放在点C，调整到点Q，截取长度保持不变，再以点M为圆心，长度为半径画弧，两弧相交于点N，连接交线段于点F，连接，； （2）先由平行四边形的性质可得，再由角边角的证明方法证明和全等，由此可得，，由此可得，再根据一组对边平行且相等即可证明． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ． ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 24．（2026·重庆·一模）请按照题意，补全图形和证明过程． 如图，A是直线上一点，O是的中点，平分． (1)用尺规完成作图，作的角平分线，在的右侧，作．直线交于点B，交于点D，连接，． (2)求证：四边形是矩形． 证明：平分， ， 平分， ① ． ② ， （ ③ ）． ． ． 是的中点， ④ ． ． 四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)；；同位角相等，两直线平行； 【分析】（1）根据相关尺规作图方法解题即可； （2）根据矩形的判定定理解题即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：证明：平分， ， 平分， ， ∵， （同位角相等，两直线平行）， ∴， ． 是的中点， ， ． 四边形是矩形． 25．（2026·重庆·一模）在复习正方形的相关知识后，某小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，取的中点，连接，过作的垂线，交于点，交于点．则点也是线段的中点． (1)用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． (2)根据（1）中所作图形，某小组发现点也是线段的中点，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：四边形是正方形， ． ， （①___________）， 又 ②___________ 又， ， 在与中， ， ． ③___________ 为中点， ， 又④___________， ， 点是线段的中点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据作垂线的方法画图即可． （2）根据正方形的性质以及全等三角形的判定结合证明步骤完成证明即可． 【详解】（1）解：垂线如下： （2）证明：四边形是正方形， ． ， （①垂线的定义）， 又， ②， 又， ， 在与中， ， ， ③， 为中点， ， 又④， ， 点是线段的中点． 26．（2026·重庆·一模）学习了平行四边形的判定后，某数学探索小组发现并提出一个问题：一组对边平行，一条对角线被平分的四边形是不是平行四边形呢？于是，他们设计了以下推理过程．现在你作为他们小组的成员，请根据他们的想法和思路，完成以下作图和补全推理过程． 第一步：构造四边形． 请你用无刻度直尺和圆规作图．如图，在所在的平面内，在边的右侧作，作边的中点，连接并延长，交于点，连接（不写作法．保留作图痕迹）． 第二步：利用平行四边形的判定证明他们的猜想． 证明：为中点， ① ， 在和中，      ． ． ， ③ ， 即，． 四边形是平行四边形． 【答案】（1）作图见解析；①；②；③ 【分析】本题考查了尺规作图与平行四边形的判定，解题的关键是掌握作一个角等于已知角、作线段中点的尺规作图方法，以及利用全等三角形证明一组对边平行且相等，从而判定四边形为平行四边形． 先通过尺规作图作出满足条件的四边形，再利用线段中点的性质得到 ，结合内错角相等证明两直线平行，利用证明三角形全等，得到一组对边平行且相等，进而证明四边形是平行四边形． 【详解】作图：如图所示． 证明：为中点， ， 在和中， （）， ， ， ， 即，， 四边形ABCD是平行四边形． 27．（2026·重庆·一模）学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． 第一步：构造相等的角． 小明确定了的中线，并延长（如图）．请利用尺规作图，在右侧作，与的延长线相交于点，连接，四边形即为平行四边形（不写作法，保留作图痕迹） 第二步：利用三角形全等证明他的想法． 证明：， ， 是的中线， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 【答案】第一步：作图见解析；第二步：，， 【分析】第一步：以点为圆心，任意长为半径画弧，与、相交于、两点；以点为圆心，相同长为半径画弧，与相交于一点，以该点为圆心，长为半径画弧，与前弧交于一点，过点与该点作射线，与的延长线相交于点，连接即可； 第二步：根据可得，根据中线的性质结合对顶角相等证明，得到，从而得证． 【详解】解：第一步：如图所示，四边形即为所求； 第二步：证明：， ， 是的中线， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 28．（2026·重庆·一模）学习了等腰三角形和尺规作图后，小才进行了拓展性研究，他发现若一个三角形其中一个角的角平分线与这个角对边的中线重合，则这个三角形一定是等腰三角形，以下是他的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： 如图，在中，是的角平分线，且是边的中线． (1)尺规作图：过点在下方作交的延长线于点（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 证明：是边的中线 ①___________ 在和中， ， 是的角平分线 ③___________ ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③． 【分析】（1）利用尺规，按照作一个角等于已知角的方法，以点为顶点、为一边，在下方作出，与延长线交于点，保留作图痕迹即可， （2）根据中线的定义直接得到．再根据（角边角）即可判定，进而由全等得，等量代换可得，再由等角对等边得到，最终推得． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：是边的中线 在和中， ， 是的角平分线 ， ， ． 29．（2026·重庆巴南·一模）在学习菱形的过程中，小林发现：在菱形中，E是边上的中点，与对角线相交于点F，如果，则一定有．为此小林进行了证明探究，请你根据他的思路，完成以下作图和填空： (1)第一步：利用尺规作图，过点F作的垂线，垂足为G（不写作法，保留作图痕迹）； (2)第二步：利用三角形的全等证明他的猜想． 证明：∵四边形是菱形， ∴，． ，， ， ∵E是中点， ， ∴， 在和中， ， ， ． 【答案】(1)作图见详解 (2)①；②；③ 【分析】（1）先以点F为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点Q，连接，则； （2）由菱形的性质得到，由等腰三角形的性质得到，，进一步得到，证明，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，垂线即为所求： （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，． ，， ， E是中点， ， ， 在和中， ， ， ， ． 旋转 考点05 30．（2026·重庆·一模）在菱形中，对角线与交于点O． (1)如图1，若，求菱形的面积； (2)如图2，若E为延长线上一点，连接，将绕点D顺时针旋转至，连接，所在直线交延长线于点G，延长至点H，使得，I为延长线上一点，且，求证：． (3)如图3，若，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1)24 (2)见解析 (3) 【分析】（1）直接根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可； （2）由旋转得到，，又菱形的性质得到，，，进而得到．连接，可证得，得到，，由，，得到，再证，从而有，得到，再在菱形中，求得，即可得证结论； （3）由勾股定理得，根据，可求出，根据，且的值随着的值增大而增大，得到当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，有最大值．过点B作于M，作于点N，由菱形的面积可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，，平分和， ∴， ， ， ∴， ∴，即． 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在菱形中，， ∴． （3）解：∵在菱形中，，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴ ， ∵，且的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，有最大值． 过点B作于M，作于点N， ∵， ∴， 又，即， ∴， ∴由轴对称的性质可得， ∵在中，， ∴当有最小值时，有最小值， ∵由垂线段最短可知， ∴当点P与点N重合时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 31．（2026·重庆·一模）在中，，，点是平面内一点，连接，点为线段上一点． (1)如图1，若点在边上，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，若、、三点共线，，求； (2)如图2，若点在边上，连接、，点为的中点，若．证明：； (3)如图3，点在外部，连接，，将沿所在直线翻折到，且始终满足、、三点共线，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，．当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得和都是等腰直角三角形，则．容易证明，则，，结合可计算出，由三角形内角和定理可计算出； （2）延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，通过等量代换可得，从而证明是等腰直角三角形，则，．容易证明，则，．通过等量代换可得，进而可证明，则，命题得证； （3）先分析点的轨迹，作的外接圆，圆心为点，连接，由旋转的性质和等腰三角形的性质可推断，因此、、、四点共圆，则．再分析点的轨迹，将绕点逆时针旋转得到，作于点，作直线交的延长线于点，连接，，容易证明，从而计算出，，因此点在定直线上．根据线段公理可得，当时，取得最小值，作于点，连接，利用三角函数可计算出，，，最后使用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理，是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由（1）可得是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在直角中，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：如图，作的外接圆，圆心为点，连接，设与交于点， ∵， ∴为圆的直径，即点为的中点， ∵， ∴， 在直角中，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在圆上， ∴， 如图，将绕点逆时针旋转得到，作于点，作直线交的延长线于点，连接，， 由旋转的性质可知，，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴，即点为定点， ∴点在定直线上， ∵，即， 又∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值， 当时，如图，作于点，连接， ∵，， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质与勾股定理，掌握好“手拉手”模型，“倍长中线”模型和“瓜豆”原理是解题关键． 32．（2026·重庆万州·一模）在中，． (1)如图，若，，求度数； (2)如图，点为上一点，，连接，点为的中点，连接，当时，用等式表示线段与线段的数量关系，并证明； (3)如图，当，，点在内，，点在直线上运动，将绕点顺时针转60°得到，连接，当最小时，直接写出最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）在等腰中求出，再利用，求出，再由， 求出，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）延长到，使，连接，通过导角证明，得出是等边三角形，证明，得出，，推出，证明，推出，再证明，得出，即可求证； （3）构造的外接圆，连接，，，在优弧上任取一点H，连接，，过点O作于点K，可得是定圆，即点N的轨迹为以定圆的部分，将绕点A逆时针旋转得，连接，，通过证明，可得点P在和夹角为的定直线l上，则当直线l时，最小，证明当点P在线段上时，最小，可知当、、共线时最小，求解此时的即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： 延长到，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图，构造的外接圆，连接，，，在优弧上任取一点H，连接，，过点O作于点K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是定圆，即点N的轨迹为以定圆的部分， 将绕点A逆时针旋转得，连接，， 由旋转知，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是定直线，， ∴点P在和夹角为的定直线l上， ∴当直线l时，最小， ∵， ∴直线l与的夹角为，即， ∴当点P在线段上时，最小， 此时如图， ∵当、、共线时最小，其中是定值， ∴当、、共线时最小， 此时如图，过点O作延长线于点T， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 33．（2026·重庆·二模）过线段的端点B作射线l，使得射线．点C是射线l上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转至的位置，旋转角为α． (1)如图1，当时，过点D作交的延长线于点E，连接．若，，求的长； (2)如图2，当时，点F是延长线上一点，，连接．点G是上一点，连接．若，求证：； (3)当时，作点A关于射线l的对称点，连接交射线l于点H．取的中点K，连接，直线与直线相交于点P．当是等腰三角形时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）通过证明求出，再求，最后利用勾股定理求解； （2）过点C作，交延长线于点M，过点A作交延长线于点N，通过证明，，，证明，再证明，即可证明； （3）通过证明是等边三角形和对称出，可知点、、在以C为圆心，长为半径的圆上，则，分两种情况：当点C在点H左侧时，只有满足；当点C在点H右侧时，是等边三角形，再分别计算即可． 【详解】（1）解：由旋转知，， ∴， ∵射线，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点C作，交延长线于点M，过点A作交延长线于点N， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，射线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由旋转知，， ∴是等边三角形， ∴，， 由作点A关于射线l的对称点，可知， ∴， ∴点、、在以C为圆心，长为半径的圆上， ∴， ①如图，当点C在点H左侧时，只有满足， ∴， ∵， ∴， 过点作于点， 设， 则，， ∵K是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 即，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当点C在点H右侧时， ∵， 且要使是等腰三角形， ∴是等边三角形，此时如图， ∴，， ∵K是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点A关于射线l的对称点是， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 综上，或． 34．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在中，，点D是所在平面内一点，连接． (1)如图1，若，点D在边上，平分，，求的长； (2)如图2，若，点D在边上（点D不与点A，C重合），将射线绕点B顺时针旋转，在旋转后的射线上取一点E，连接，使得，过点E作于点G，过点D作于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若点D在直线下方，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，，，当四边形的面积取最小值时，在直线上取一点P，连接，将沿翻折到四边形所在的平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）由三角形内角和定理求得的度数，再由角平分线的定理得出，紧接着根据等腰三角形等边对等角得出，最终利用勾股定理及解直角三角形的性质求得结果； （2）连接，过点E作，先证明，得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，，再利用解直角三角形的性质得出，证明，得出，最终将，，的关系转化到线段即可； （3）利用旋转的性质证明，构造出为等边三角形，，由于的面积为定值，要使四边形的面积最小，则的面积为最大，根据定弦定角可知点D的轨迹是以点O为圆心，半径为的上运动，由翻折的性质得出点Q的轨迹在直线上，当时，有最小值，即点为中点，从而得出是等边三角形的中垂线，利用相似三角形的判定与性质及解直角三角形的性质得出相关线段的值，最终可求得的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得，， 在中，， 即的值为． （2）解：， 证明如下：如图，连接，过点E作， ∵， ∴是等腰三角形， ∴为的中垂线， ∴， 在中，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， 在中，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． （3）解：如图，将绕点B逆时针旋转得，连接，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵的面积为定值，要使四边形的面积最小， ∴的面积为最大， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴如图构造的外接圆，劣弧的圆周角为， ∴圆心角为，即， ∴半径为，即是定圆， ∴点D的轨迹是以点O为圆心，半径为的上运动， 当时，的面积最大，记此时为， ∵，， ∴垂直平分， ∴点O，，B三点共线， 记与的交点为G， ∵点P是上一动点，沿翻折得， ∴，， ∵等边三角形中，， ∴， ∴， ∴点Q在直线上， 当时，有最小值，即点为中点， 连接，， ∵垂直平分，即点G为的中点， ∴， ∴， ∴由三角形中位线定理得：， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∵点G为等腰斜边中点， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， 又∵点为中点， ∴， ∴，解得， ∴ ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，翻折的性质，解直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理． 35．（2026·重庆·一模）如图，在中，，为边上一点，连接． (1)如图1，若，过作交其延长线于点，，，求线段的长． (2)如图2，若，延长至点，连接使，连接，点为线段上一点，连接，取中点，连接，若，猜想与之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，将绕点逆时针旋转得线段，连接，在直线上取一点，连接，当最小时，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解； （2）如图，延长到点H，使，连接，，，证明出，得到，，然后证明四边形是平行四边形，过点H作交延长线于点I，再证明，得到，然后证明出点A，C，B，E四点共圆，得到，最后证明出是等边三角形，进而求解即可； （3）首先证明出，得到，点E在射线上运动，当时，的长度最小，过点B作交的延长线于点M，然后证明出，得到，，求出，得到点Q在以E为圆心，为半径的圆上运动，在上取点N，使，连接，，证明出，得到，，判断出当点Q在线段上时，取得最小值，即的长度，如图，过点C作于点J，过点Q作于点K，过点B作于点R，然后利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，延长到点H，使，连接，，， ∴， ∵，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图，过点H作交延长线于点I， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴点A，C，B，E四点共圆， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：如图，将绕点C逆时针旋转到， ∴是等边三角形，， ∵将绕点逆时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动， ∴如图，当时，的长度最小， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点B作交的延长线于点M， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由折叠得，， ∴点Q在以E为圆心，为半径的圆上运动， 如图，在上取点N，使，连接，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点Q在线段上时，取得最小值，即的长度，如图，过点C作于点J，过点Q作于点K，过点B作于点R， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴的面积． 36．（2026·重庆·一模）在中，，点是所在平面内一点，连接． (1)如图1，若，点在边上，平分，，求的长； (2)如图2，若点在边上，．将线段绕点顺时针旋转得到，连接交边于点．用等式表示线段之间的数量关系，并证明： (3)如图3，若，．连接，将绕点顺时针旋转得到，且点，，三点共线，连接．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）在中，，，得出，根据平分，得出，过作于，在中，解三角形求出，，在中，根据，解三角形求出，即可解答． （2）证明是等边三角形，得出，，由旋转得，，证明，过点作交于点，证明，得出，，证明，得出，结合，，即可证明． （3）证明是等边三角形，得出，由旋转得，，则，根据共线，得出，则点在以为弦的定圆上，由圆外一点到圆上一点距离的最值得最小时，在连线上，连接，设与交于点F，的延长线与交于点，连接，得出，是等边三角形，，即可得，，求出，，设与交于点K，证明，从而证明，得出，根据折叠可得，则，即点Q在直线上运动，则当时，取得最小值，证明四边形是矩形，则，过点作，求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， 过作于， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴． （2）解：结论：． 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转得，， ∴， 又是的外角， ∴， ∴， 过点作交于点， 则， ∴ 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 整理得． （3）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转得，， ∴， ∵共线， ∴， ∴点在以为弦的定圆上， 由圆外一点到圆上一点距离的最值得，最小时，在连线上， 此时， 连接，设与交于点F，的延长线与交于点，连接， 则， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设与交于点K， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可得， ∴， 即点Q在直线上运动， ∴当时，取得最小值， 此时， ∴四边形是矩形， ∴， 过点作， 则， ∴． 37．（2026·重庆秀山·一模）如图，在中，． (1)如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，求的度数； (2)如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图，若，将绕点旋转得到线段，连接，当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)理由见解析； (3)． 【分析】（）通过旋转性质可得，，则，，求出，所以； （）过作交于点，则，再证明，所以，，通过勾股定理得，则； （）根据题意得点在以为圆心，长度为半径的圆上运动，则当三点共线时，有最大值，由折叠性质可得：，故有点在以为圆心，长度为半径的圆上运动，所以当三点共线时，有最小值，设，过作于点，过作于点，则，求得，，，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，之间的数量关系为：， 证明：过作交于点，则， ∵， ∴， 由（）得， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴点在以为圆心，长度为半径的圆上运动， ∴当三点共线时，有最大值， 由折叠性质可得：， ∴点在以为圆心，长度为半径的圆上运动， ∴当三点共线时，有最小值， 设， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 如图，过作于点，过作于点，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 38．（2026·重庆沙坪坝·一模）在中，，，点是上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)如图1，点在边上，，连接．若，求的长度； (2)如图2，点是的中点，，点在边上，点在射线上，连接，，．若，．求证：； (3)点在直线上，，点在边上，且．是直线上一点，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到．当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）因为是等腰直角三角形，，所以先利用勾股定理求出的长度．因为绕A逆时针旋转得到，所以，又，可推出，进而证明，得到，从而得出．先求出的长度，再在中用勾股定理求出的长度． （2）因为D是中点，是等腰直角三角形，所以，，．因为，可考虑构造全等三角形，在上截取，证明，得到．结合已知角的关系，推导与的关系，再证明，得到，进而证明． （3）因为，所以，先确定点H的位置．由翻折可知，所以点P在以H为圆心，1为半径的圆上，根据点与圆的位置关系，当H、P、E三点共线时，取最小值．结合，旋转得到，分析相关角度和线段长度，进而求出的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，​， ∴． （2）证明：如图，延长至点K，使得，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， ∴， ∵，D是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：把放在平面直角坐标系中，顶点在原点，所在直角为x轴， 则， ∴， ∵，，点D在直线上运动， ∴点E在直线上运动，直线与直线成角， ∴，设垂足为L， 过点H作于点J，过点D作于点I， 则， ∵， ∴四边形是矩形， 当点D在中点时，，， ∴点E在点L位置， 此时，， ∴， ∵， ∴， 由轴对称知，， ∴点P在以H为圆心，以1为半径的圆上运动， 当点E在点J位置，且点P在上时， ，最小， 此时， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 两边平方得， 化简得， 解得（舍去），， ∴， ∵， ∴． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的变化与性质 （轴对称与中心对称、相交线与平行线、位似、限定工具作图、旋转） 5大考点概览 考点01轴对称与中心对称数轴 考点02相交线与平行线 考点03位似 考点04限定工具作图 考点05旋转 轴对称与中心对称 考点01 1．（2026·重庆·一模）下列汉服纹样中，属于中心对称图形的是（   ） A．如意纹 B．凤纹 C．龙纹 D．忍冬纹 2．（2026·重庆·一模）以下四种不同的传统纹样中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆万州·一模）绿色环保，人人参与．下列环保标志中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·一模）以下图形是四种化学仪器的平面示意图，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆·一模）下列四个艺术字中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·重庆铜梁·一模）下列图形是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 7．（2026·重庆沙坪坝·一模）为铭记历史传承文化，沙坪坝区将每年的3月30日设立为“沙磁文化日”．下列文字图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆·一模）下列高校校徽图形中，不是轴对称图形（只看图案，不看文字、字母、数字）的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·重庆·一模）纹样是中国传统文化的重要组成部分．下面纹样的示意图中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 相交线与平行线 考点02 10．（2026·重庆·一模）如图，与位似，点O是它们的位似中心，若的面积为9，，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 11．（2026·重庆·一模）如图，四边形与四边形位似，点为它们的位似中心，且四边形与四边形的周长之比为，则为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·重庆·一模）如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 位似 考点03 14．（2026·重庆·一模）下列命题正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．等腰三角形的高线、中线、角平分线重合 C．两直线平行，内错角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 15．（2026·重庆·一模）如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 16．（2026·重庆·一模）如图，直线，直线分别与直线，交于点和F，平分交直线于点．若，则的度数为___________． 17．（2026·重庆沙坪坝·一模）当光从空气斜射入水中时，光的传播方向会发生变化，这种现象叫作光的折射．如图，一束光线沿方向斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．若，，，则的度数是____． 18．（2026·重庆·一模）如图，，射线交于点，交于点，射线交于点，若，，则______． 19．（2026·重庆秀山·一模）如图，直尺和带直角的三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，带直角三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则的度数是________． 限定工具作图 考点04 20．（2026·重庆·一模）在学习了三角形的中线和重心后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的两倍，可利用三角形全等和平行线的相关知识得到此结论． 请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和推理填空： (1)如图，的两条中线和交于点．请你利用尺规作图，在下方作，延长交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明：． 证明：，是的中线， ，． 在和中， ， ． ② ． ． ③ ， ， ④ ． 即． ． 21．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在中，为外角的平分线，于点． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是矩形． 请补完图形，并完成下列证明过程： 证明：平分， ___________①． 平分， ___________②． ． 在中， 平分， ． ___________③． 又， ___________④． 四边形是矩形． 22．（2026·重庆万州·一模）如图，已知中，点在边上，且，连接． (1)请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ① ， 在和中， ， ， ③ ， ，，， ， ④ ， ． 23．（2026·重庆·一模）如图，在平行四边形中，点是对角线上一点，连接． (1)用尺规完成基本作图：作，交线段于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证：四边形是平行四边形， ，， ①___________， 在和中， ， ②___________，， ，③___________， ， ④___________， 四边形是平行四边形． 24．（2026·重庆·一模）请按照题意，补全图形和证明过程． 如图，A是直线上一点，O是的中点，平分． (1)用尺规完成作图，作的角平分线，在的右侧，作．直线交于点B，交于点D，连接，． (2)求证：四边形是矩形． 证明：平分， ， 平分， ① ． ② ， （ ③ ）． ． ． 是的中点， ④ ． ． 四边形是矩形． 25．（2026·重庆·一模）在复习正方形的相关知识后，某小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，取的中点，连接，过作的垂线，交于点，交于点．则点也是线段的中点． (1)用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． (2)根据（1）中所作图形，某小组发现点也是线段的中点，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：四边形是正方形， ． ， （①___________）， 又 ②___________ 又， ， 在与中， ， ． ③___________ 为中点， ， 又④___________， ， 点是线段的中点． 26．（2026·重庆·一模）学习了平行四边形的判定后，某数学探索小组发现并提出一个问题：一组对边平行，一条对角线被平分的四边形是不是平行四边形呢？于是，他们设计了以下推理过程．现在你作为他们小组的成员，请根据他们的想法和思路，完成以下作图和补全推理过程． 第一步：构造四边形． 请你用无刻度直尺和圆规作图．如图，在所在的平面内，在边的右侧作，作边的中点，连接并延长，交于点，连接（不写作法．保留作图痕迹）． 第二步：利用平行四边形的判定证明他们的猜想． 证明：为中点， ① ， 在和中，      ． ． ， ③ ， 即，． 四边形是平行四边形． 27．（2026·重庆·一模）学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． 第一步：构造相等的角． 小明确定了的中线，并延长（如图）．请利用尺规作图，在右侧作，与的延长线相交于点，连接，四边形即为平行四边形（不写作法，保留作图痕迹） 第二步：利用三角形全等证明他的想法． 证明：， ， 是的中线， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 28．（2026·重庆·一模）学习了等腰三角形和尺规作图后，小才进行了拓展性研究，他发现若一个三角形其中一个角的角平分线与这个角对边的中线重合，则这个三角形一定是等腰三角形，以下是他的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： 如图，在中，是的角平分线，且是边的中线． (1)尺规作图：过点在下方作交的延长线于点（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 证明：是边的中线 ①___________ 在和中， ， 是的角平分线 ③___________ ． 29．（2026·重庆巴南·一模）在学习菱形的过程中，小林发现：在菱形中，E是边上的中点，与对角线相交于点F，如果，则一定有．为此小林进行了证明探究，请你根据他的思路，完成以下作图和填空： (1)第一步：利用尺规作图，过点F作的垂线，垂足为G（不写作法，保留作图痕迹）； (2)第二步：利用三角形的全等证明他的猜想． 证明：∵四边形是菱形， ∴，． ，， ， ∵E是中点， ， ∴， 在和中， ， ， ． 旋转 考点05 30．（2026·重庆·一模）在菱形中，对角线与交于点O． (1)如图1，若，求菱形的面积； (2)如图2，若E为延长线上一点，连接，将绕点D顺时针旋转至，连接，所在直线交延长线于点G，延长至点H，使得，I为延长线上一点，且，求证：． (3)如图3，若，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接，请直接写出的最大值． 31．（2026·重庆·一模）在中，，，点是平面内一点，连接，点为线段上一点． (1)如图1，若点在边上，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，若、、三点共线，，求； (2)如图2，若点在边上，连接、，点为的中点，若．证明：； (3)如图3，点在外部，连接，，将沿所在直线翻折到，且始终满足、、三点共线，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，．当取最小值时，请直接写出的面积． 32．（2026·重庆万州·一模）在中，． (1)如图，若，，求度数； (2)如图，点为上一点，，连接，点为的中点，连接，当时，用等式表示线段与线段的数量关系，并证明； (3)如图，当，，点在内，，点在直线上运动，将绕点顺时针转60°得到，连接，当最小时，直接写出最小值． 33．（2026·重庆·二模）过线段的端点B作射线l，使得射线．点C是射线l上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转至的位置，旋转角为α． (1)如图1，当时，过点D作交的延长线于点E，连接．若，，求的长； (2)如图2，当时，点F是延长线上一点，，连接．点G是上一点，连接．若，求证：； (3)当时，作点A关于射线l的对称点，连接交射线l于点H．取的中点K，连接，直线与直线相交于点P．当是等腰三角形时，直接写出此时的值． 34．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在中，，点D是所在平面内一点，连接． (1)如图1，若，点D在边上，平分，，求的长； (2)如图2，若，点D在边上（点D不与点A，C重合），将射线绕点B顺时针旋转，在旋转后的射线上取一点E，连接，使得，过点E作于点G，过点D作于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若点D在直线下方，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，，，当四边形的面积取最小值时，在直线上取一点P，连接，将沿翻折到四边形所在的平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 35．（2026·重庆·一模）如图，在中，，为边上一点，连接． (1)如图1，若，过作交其延长线于点，，，求线段的长． (2)如图2，若，延长至点，连接使，连接，点为线段上一点，连接，取中点，连接，若，猜想与之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，将绕点逆时针旋转得线段，连接，在直线上取一点，连接，当最小时，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当最小时，请直接写出的面积． 36．（2026·重庆·一模）在中，，点是所在平面内一点，连接． (1)如图1，若，点在边上，平分，，求的长； (2)如图2，若点在边上，．将线段绕点顺时针旋转得到，连接交边于点．用等式表示线段之间的数量关系，并证明： (3)如图3，若，．连接，将绕点顺时针旋转得到，且点，，三点共线，连接．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的面积． 37．（2026·重庆秀山·一模）如图，在中，． (1)如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，求的度数； (2)如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图，若，将绕点旋转得到线段，连接，当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 38．（2026·重庆沙坪坝·一模）在中，，，点是上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)如图1，点在边上，，连接．若，求的长度； (2)如图2，点是的中点，，点在边上，点在射线上，连接，，．若，．求证：； (3)点在直线上，，点在边上，且．是直线上一点，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到．当取最小值时，请直接写出的面积． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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