专题04 一次函数、反比例函数、二次函数（3大考点）（重庆专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题04 一次函数、反比例函数、二次函数 3大考点概览 考点01反比例函数 考点02一次函数反比例函数综合 考点03二次函数 反比例函数 考点01 1．(25-26九下·重庆南开中学校·一模)已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．(25-26九·重庆·一模)若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 3．(25-26九上·重庆大渡口区·一模适考)下列各点在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 4．(25-26下·重庆秀山土家族苗族自治县·一模)若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．(25-26九·重庆·一模)已知反比例函数（）的图象经过点，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 6．(25-26九·重庆·一模)点都在反比例函数的图象上，下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．(25-26九·重庆·一模)已知，反比例函数的图象经过点，则下列各点也在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 8．(25-26九下·重庆/万州区万州二中教育集团·一模)已知点，且，在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 一次函数反比例函数综合 考点02 9．(25-26九下·重庆大渡口区·一模)如图1，在中，，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．连接，设运动时间为秒．若的面积为长的与的长之比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 10．(25-26九·重庆·一模)如图，在中，．点为线段上一点（点与端点、不重合），，过点作于点，点在射线上，连接．的面积始终为3，线段的长为，线段的长为． (1)请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，请分别写出函数，的一条性质； (3)请结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 11．(25-26九上·重庆大渡口区·一模适考)如图，在中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着匀速运动，点的运动时间为秒，的面积为与点的运动路程的比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 12．(25-26九上·重庆大渡口区·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线下方，反比例函数图象上一点，连接，当时，求点的坐标； (3)在（2）求出点的条件下，将点向左平移3个单位长度得到点，连接，点是轴上一点，且．请求出所有符合条件的点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 13．(25-26九·重庆·一模)已知，如图1，在矩形中，，，点，分别为，的中点，连接并延长，交的延长线于点．动点以每秒1个单位的速度从点出发沿折线运动，动点以每秒2个单位的速度从点出发沿折线运动，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿射线运动，三个点同时运动，当其中一个点停止运动时，另两个点也停止运动．连接，设运动时间为秒，，两点的距离为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 14．(25-26九·重庆·一模)如图，点O为平行四边形的对角线的中点，，E，F是上的点（E，F均不与A，C重合），且，连接，，用x表示线段的长度，点E与点F的距离为，平行四边形的面积为S，的面积为． (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 15．(25-26九下·重庆第八中学校·一模)如图，在中，．动点从点出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，同时点以相同的速度从点出发沿射线运动．设运动时间为秒，的面积为，的面积与的面积之比为．        (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 16．(25-26九下·重庆育才中学教共体·一模)如图1，在，，，点是对角线的中点，过点作交于点，若点以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，运动时间为（）秒，点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，连接、、，的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 17．(25-26九下·重庆南开中学校·一模)如图，矩形的对角线、交于点，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，到达点时停止运动，连接，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止．两点同时出发，设运动时间为秒（），连接，点与点之间的距离为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 二次函数 考点03 18．(25-26九·重庆·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于点Q，点K为直线上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点R为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点R的横坐标，并写出求解点R横坐标的其中一种情况的过程． 19．(25-26九下·重庆育才中学教共体·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 20．(25-26九·重庆·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是位于第二象限抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动（线段长度保持不变），连接，，求的最小值； (3)若点是轴左侧抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 21．(25-26九·重庆·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，，点是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，点为轴上两个动点，点在点的左侧，，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值： (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，过点作于点，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点横坐标的其中一种情况的过程． 22．(25-26下·重庆秀山土家族苗族自治县·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A和点两点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作交于点，过点作交轴于点，为轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，连接，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 23．(25-26九·重庆·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方该抛物线上的一动点，连接交于点，点是直线上一动点，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是的中点，是抛物线对称轴上纵坐标为1的点，是抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 24．(25-26九下·重庆第八中学校·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，过作交轴于点，线段在直线上移动且，当取得最大值时，求此时点的坐标及的周长的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点的对应点为点，平移后的新抛物线的对称轴上有一点，点为新抛物线上一动点，若，请直接写出点的坐标，并写出求的坐标的其中一种情况的过程． 25．(25-26九下·重庆铜梁区铜梁一中·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线（）沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 26．(25-26九·重庆·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方该抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，交轴于点．点、是轴上两动点，点在点上方，且，连接，．当的周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，是新抛物线对称轴上纵坐标为2的点，是新抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 27．(25-26九·重庆·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，连接，，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点是直线下方抛物线上的一点，过点作轴，，分别交直线于点，．线段在直线上运动，点在点的上方且，连接，．当的面积取得最大值时，求点的坐标及此时的最大值： (3)在（2）中的面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点在轴上，连接，交线段于点．点为抛物线上一点．点坐标为，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 28．(25-26九下·重庆南开中学校·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，过点作轴，且垂足为，点，为线段上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，连接交线段于点，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，记点平移后的对应点为点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 29．(25-26九下·重庆/万州区万州二中教育集团·一模)如图，已知抛物线交轴于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，点是轴上一动点，连接，当最大时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点为抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数、反比例函数、二次函数 3大考点概览 考点01反比例函数 考点02一次函数反比例函数综合 考点03二次函数 反比例函数 考点01 1．(25-26九下·重庆南开中学校·)已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，解得． 2．若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象的性质，当反比例函数的图象位于第一、第三象限时，比例系数，据此列不等式求解的取值范围即可. 【详解】反比例函数的图象在第一、第三象限， ， 解得． 3．(25-26九上·重庆大渡口区·适考)下列各点在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，将点代入反比例函数进行计算即可求解，掌握根据反比例函数自变量的值求函数值的计算方法是解题的关键． 【详解】解：A、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、当时，，则在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 故选：C 4．(25-26下·重庆秀山土家族苗族自治县·)若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据点的横坐标范围判断点所在象限，结合同一象限内随的变化规律即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，可得， ∵， ∴点，都在第一象限，可得， 综上可得． 5．已知反比例函数（）的图象经过点，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴将，代入解析式得 ∴ 6．点都在反比例函数的图象上，下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A、反例：当时，，，此时虽然，但是；此项不一定正确； B、反例：当时，，，此时虽然，但是；此项不一定正确； C、若，即，则，即，此项一定正确； D、反例：当时，，，此时虽然，但是；此项不一定正确． 7．(25-26九·重庆·)已知，反比例函数的图象经过点，则下列各点也在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据点求出反比例函数的比例系数k，得到函数解析式，再验证各选项的点是否满足解析式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， A、，故该点不在图象上，该选项不符合题意； B、，故该点不在图象上，该选项不符合题意； C、，故该点不在图象上，该选项不符合题意； D、，故该点在图象上，该选项符合题意． 8．(25-26九下·重庆/万州区万州二中教育集团·一模)已知点，且，在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用点在反比例函数图象上时坐标满足函数解析式，分别求出和，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∴． 一次函数反比例函数综合 考点02 9．(25-26九下·重庆大渡口区·)如图1，在中，，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．连接，设运动时间为秒．若的面积为长的与的长之比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)； (2)函数图象见解析，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小； (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，则可得到，，根据题意可求出；再分两种情况：当时，点P在线段上（不包括点A，包括点C），当时，点P在线段上（不包括端点），过点P作于点H，解直角三角形求出的长，根据，求出即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）根据函数图象找到的图象在的图象上方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴； ∵点是的中点， ∴； 由题意得，， ∵长的与的长之比为， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上（不包括点A，包括点C）， 过点P作于点H， 在中，，， ∴， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上（不包括端点）， 过点P作于点H， 在中，，， ∴， ∴； 综上所述，； （2）解：函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小； （3）解：由函数图象可知，当时的取值范围为． 10．(25-26九·重庆·)如图，在中，．点为线段上一点（点与端点、不重合），，过点作于点，点在射线上，连接．的面积始终为3，线段的长为，线段的长为． (1)请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，请分别写出函数，的一条性质； (3)请结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)， (2)见解析；当时，随的增大而减小（答案不唯一）；当时，随的增大而减小（答案不唯一） (3)当时x的取值范围是 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，三角形的面积，相似三角形的性质和判定等知识，掌握运用数形结合的思想解决是本题的关键． （1）根据三角形的面积可得的解析式，证明，列比例式可得的解析式； （2）分别画函数，的图象，并根据增减性可得性质； （3）根据交点写函数在下方时，x的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，的面积始终为3，线段的长为， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：函数，的图象如图所示： 函数的性质：随x的增大而减小（答案不唯一）； 函数的性质：随x的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：由图象得，当时x的取值范围是． 解方程并检验得， 故当时x的取值范围是． 11．(25-26九上·重庆大渡口区·适考)如图，在中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着匀速运动，点的运动时间为秒，的面积为与点的运动路程的比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)函数图象见解析，性质：当时，有最大值（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，一次函数与反比例函数交点问题； （1）先求出，，由题意得点的运动路程为，得到与点的运动路程的比为；再根据当在或上时分情况讨论求出即可； （2）根据描点法画函数图象，再根据函数图象写出函数的一条性质即可； （3）根据函数图象可得，当时，，结合函数图象，当时，的取值范围为． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 由题意得点的运动路程为， ∴与点的运动路程的比为； 当在上时，，此时， 当在上时，，此时， ∴由等高可以得 ∴， 综上所述，，； （2）解：函数图象如图所示： 由函数图象可得，当时，有最大值； （3）解：根据函数图象可得，当时，， ∴结合函数图象，当时，的取值范围为． 12．(25-26九上·重庆大渡口区·适考)如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线下方，反比例函数图象上一点，连接，当时，求点的坐标； (3)在（2）求出点的条件下，将点向左平移3个单位长度得到点，连接，点是轴上一点，且．请求出所有符合条件的点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，灵活运用以上知识点，作出合适的辅助线构建全等三角形求得对应点的坐标是解题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）先求出，得到，，取点，则，连接，，得到，，过作交的图象于点，此时，求出直线的函数表达式，再与反比例函数联立求解即可； （3）将点向左平移3个单位长度得到点，则，则，过作轴于，得到，过作交直线于，过作轴于，证明，，，再根据当与的位置分情况讨论，分别求出点坐标，再求出直线解析式即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：令，， ∴， ∴，，， ，， ∴， 取点，则，连接，， ∴，， 过作交的图象于点，此时， ∵直线的函数表达式为， ∴设直线的函数表达式为， 代入得， ∴直线的函数表达式为， 联立，解得（负值舍去）， ∴； （3）解：将点向左平移3个单位长度得到点，则，则， 过作轴于， 由（2）得，， ∴， ∴，即， ∴， 当在点下方时，过作交直线于，过作轴于， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，， ∴； 当在点上方时，过作交直线于，过作轴于， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，， ∴； 综上所述，或． 13．已知，如图1，在矩形中，，，点，分别为，的中点，连接并延长，交的延长线于点．动点以每秒1个单位的速度从点出发沿折线运动，动点以每秒2个单位的速度从点出发沿折线运动，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿射线运动，三个点同时运动，当其中一个点停止运动时，另两个点也停止运动．连接，设运动时间为秒，，两点的距离为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)图见解析，性质：当时，随增大而减小；性质：当时，随增大而减小 (3) 【分析】（1）分和两种情况，列出的函数关系式，证明，得到的面积与的面积之比等于的面积与的面积之比，根据同高三角形的面积比等于底边比，列出的函数关系式即可； （2）描点画出函数图象，根据图象写出函数的性质即可； （3）图象法求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵矩形，，， ∴，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， 由题意，点运动到点所需时间为（秒），点运动到点所需时间为（秒），， ∴当时，，则， ∴， 当时，， ∴， 综上：； ∵，，， ∴， ∴ ∴的面积与的面积之比等于的面积与的面积之比， ∴； （2）解：∵，， 画图如下： 由图可知：性质：当时，随增大而减小；性质：当时，随增大而减小； （3）解：由图可知：当时，； 14．如图，点O为平行四边形的对角线的中点，，E，F是上的点（E，F均不与A，C重合），且，连接，，用x表示线段的长度，点E与点F的距离为，平行四边形的面积为S，的面积为． (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)画函数见解析，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大（不唯一）；当时，随x的增大而减小 (3) 【分析】（1）过A作于H，过B作于G，解直角三角形求出，，根据勾股定理求出，然后分和两种情况讨论，即可求出与x的函数关系；根据平行四边形的面积求出S，根据等面积法求出，根据三角形面积公式求出，即可求出与x的函数关系； （2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质； （3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可 【详解】（1）解：过A作于H，过B作于G， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∵点O为平行四边形的对角线的中点， ∴， 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：作图如下： 性质：当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大（不唯一）；当时，随x的增大而减小； （3）解：结合函数图象，可得时，x的取值范围为． 15．(25-26九下·重庆第八中学校·)如图，在中，．动点从点出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，同时点以相同的速度从点出发沿射线运动．设运动时间为秒，的面积为，的面积与的面积之比为．        (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)函数的图像见解析，函数的性质：当时，y随x增大而增大；时，y随x的增大而减小； (3)或． 【分析】（1）根据题意，分和两种情况分别求出分段函数解析式，根据面积比得到； （2）按照描点、连点的步骤画出两个函数图像，然后再结合函数图像写出函数的一条性质写出即可； （3）根据两个函数图像的交点，先估计当时x的取值，再结合函数图像写出解集即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； 如图：当点P在上，即时，，边上的高为， ∴，即； 如图：当点P在上，即时，，边上的高为， ∴，即； 综上； 如图：由题意可得：，过B作于D，则是和的高， ∴，即． （2）解：按照描点、连线画出函数图像如下： 函数的性质：当时，y随x增大而增大；时，y随x的增大而减小． （3）解：由函数图像可知：当时，或， ∴当时，或． 16．(25-26九下·重庆育才中学教共体·)如图1，在，，，点是对角线的中点，过点作交于点，若点以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，运动时间为（）秒，点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，连接、、，的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)， (2)图象见解析；性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3) 【分析】（1）根据动点运动的位置，分两种情况，①当点P在上运动时，作，垂足为，利用矩形的性质和相似三角形的判定和性质，可求，从而求出，进而求出；②当点P在上运动时，延长交于点，利用“”得，从而，，进而；根据三角形同高，则面积之比是底之比，可求； （2）根据描点法画图即可，观察图象得出性质； （3）根据函数于不等式之间的关系，即可求解． 【详解】（1）解：，； 理由如下，矩形， ， ，， ，，， 当点P在上运动时，则，即时， 如图1①，作，垂足为， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 当点P在上运动时，则，即时， 如图1②，延长交于点， 矩形，， ，， ，，， ， ， ， ， ， ； 由题可知，， 矩形， ， 和同高， 即； （2）解：如图所示，即为函数，的图象； 由图可知，函数的性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：当时，， 理由：由图可知，函数，的图象有一个交点，即当约为时，，当时，， 则当时，． 17．(25-26九下·重庆南开中学校·)如图，矩形的对角线、交于点，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，到达点时停止运动，连接，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止．两点同时出发，设运动时间为秒（），连接，点与点之间的距离为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（）利用矩形的性质和勾股定理可得，，再分和求出与的函数表达式，过点作于，利用相似三角形的性质求出，进而求出及，即可求出与的函数表达式； （）根据函数解析式画出函数图象，再根据函数图象写出函数的性质即可； （）根据函数图象解答即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数图象的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 当时，由题意知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 当时，， 综上，， 如图，过点作于，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积， 又∵的面积， ∴， 即； （2）解：画函数图象如下： 由函数图象可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）解：由函数图象可知，当时，， ∴时的取值范围是． 二次函数 考点03 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于点Q，点K为直线上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点R为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点R的横坐标，并写出求解点R横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法将点A，B代入可得a，b的值，即可求得抛物线的解析式； （2）过点P作交直线于点M，交x轴于点N，先根据抛物线在x，y轴的交点情况求出各交点的坐标，再利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，，，利用待定系数法求得直线解析式，再设，，，得出，的表达式，将进行转化得到开口向下的二次函数解析式，进而求得最大值时a的值，过点A作轴，过点P作，的最小值即为线段的长度，即可得解； （3）先求出平移后的新抛物线解析式，利用轴对称的性质作出相应的点，并画出相关的辅助线，结合已知条件并通过相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用得出相关线段的值并求得相关点坐标，利用待定系数法得出对应直线的一次函数解析式，并联立新抛物线解析式即可得出点R的横坐标． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， 将点A，B代入可得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点P作交直线于点M，交x轴于点N， 由抛物线解析式可得点C坐标为， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，，， 设直线解析式为， 将点B，C代入得，， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，，则， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴当时，取得最大值， ∴， 过点A作轴，过点P作， ∵， ∴ ∴， ∴，即， ∴ ∴的最小值即为线段的长度， ∵ ∴的最小值为． （3）解：∵沿射线方向平移个单位， ∴新抛物线解析式为， 如图，过点C作x轴对称点，连接，将绕点A逆时针旋转得，交y轴于点D，交于点R， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴， 设直线解析式为， 代入点A，D得，，解得， ∴直线解析式为， 联立与得，， 解得：，（舍去）， ∴， 过点D作的对称点E，连接并延长交于点，再过点O作的对称点F，连接，连接交于点N，连接交于点M， ∴，， ∴， 过点D作x轴对称点，连接， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 过点F作， ， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 将②代入①得，，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点D代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线得：， 解得：， ∴点M的坐标为， ∵M为中点， ∴点E坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立与得，， 解得：，（舍去）， ∴， 综上所述，点R的横坐标为或． 19．(25-26九下·重庆育才中学教共体·)如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，难度较大，属中考压轴题． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，直线的解析式，过点作平行于轴交抛物线于点，设，，，可得，再利用，求出，进而利用二次函数的最值求出当时，最小，最小值为4，此时，对于可利用三角形两边之差小于第三边求解，先利将点向下平移1个单位长度得，可得，即可得出，由此求出最大值为． （3）先求出平移后抛物线解析式为，再根据已知可得，然后根据点F在左侧时可得，由此求出直线的解析式为，进而联立解析式求出交点坐标，再根据对称求出另一种情况求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线（） 得， 解得， 所以抛物线的表达式为． （2）解：∵，，抛物线与轴交点为， ∴直线的解析式为，直线的解析式， ， 设，， 延长交于点，则 ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ， ∴，即 当时，最大，最大值为4，此时， 将点向下平移1个单位长度得， 连接、，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴当点在线段与抛物线交点上时，最大值，最大值为， 则的最大值， 综上所述，，的最大值． （3）解：， ①抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向右平移1个单位，向下平移3个单位得到新抛物线， ∵ ∴平移后抛物线的表达式为： ∵，， ∴， ， ∴， 当在左侧时，如图： ∵轴， ∴， ∴ ， ∵直线的解析式为，， 直线的解析式为 与抛物线联立得 方程组， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 如图2，当在右侧时，如图， 取点关于（即）的对称点， 则直线解析式为：， 直线与抛物线联立得 方程组， 解得：，（在第四象限，不合题意，舍去，）， ∴． 20．(25-26九·重庆·)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是位于第二象限抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动（线段长度保持不变），连接，，求的最小值； (3)若点是轴左侧抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)最大值时，点的坐标为；的最小值为 (3)点的横坐标为或，见解析 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设点，进而得到，，求出，证明，得到，求最值即可，设滑动后的对应点分别为，将点B向上平移2个单位到点，进而得到四边形是平行四边形，推出，进行求解即可； （3）在轴负半轴上取点，使得，连接，设点的坐标为，在中，勾股定理求出点坐标，证明，进而得到，设，根据，列式计算即可． 【详解】（1）解：点的坐标是，对称轴是直线， 将点，代入抛物线中，得 ， 解得． 该抛物线的解析式为． （2）∵，当时，． ， ， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为， 设点， ，， ， 轴， ， ； ， ∴当时，有最大值；此时，点的坐标为； 设滑动后的对应点分别为， 将点B向上平移2个单位到点 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当且仅当三点共线时，取得最小值． ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：点的横坐标为或，理由如下： 如图，在轴负半轴上取点，使得，连接， 设点的坐标为，则，． 在中， ， ， 解得， ， ． ， ， ， ， ． 在中，， ， 设， 在中，， ， 解得或． 点的横坐标为或时，． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，，点是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，点为轴上两个动点，点在点的左侧，，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值： (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，过点作于点，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)P 点坐标为 ，的最小值为 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）先求出，再根据，在 轴负半轴，求出，将、代入抛物线即可求解． （2）先求出顶点 ，从而求出直线 解析式，根据，，得出，从而得，求出，设 ，则，即可表示出，得出当时，取得最大值，求出P 点坐标为 ，将 向左移1个单位得 ，则，证出四边形是平行四边形，则，作点关于轴的对称点，得，则当点共线时，最小，最小值为，求出，即可解答． （3）根据题意得出抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，求出新抛物线解析式为：，分①当点位于直线上方时，②当点位于直线下方时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：在抛物线 中，令，则，则， ∴， ∵，在 轴负半轴， ∴， 将、代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：∵抛物线表达式为：， ∴顶点 ， 设直线 解析式为， 则，解得：， ∴直线 解析式为 ， 设直线 解析式为， 则，解得：， ∴直线 解析式为 ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设 ，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，故当时，取得最大值， 将代入得 ​， ∴P 点坐标为 ， ∵，将 向左移1个单位得 ， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作点关于轴的对称点， 则 ，， ∴， 当点共线时，最小，最小值为， ∵， ∴的最小值为． （3）解：∵，，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度，即将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度， 新抛物线解析式为：， ①当点位于直线上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即，点是与轴的交点， 在中，令， 解得：（舍去）或， ∴点的横坐标为； ②当点位于直线下方时，如图，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作，则， 设，则， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立和，整理得， 解得：或（舍去，此时为钝角）， ∴点的横坐标为． 综上，点的横坐标为或． 22．(25-26下·重庆秀山土家族苗族自治县·)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A和点两点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作交于点，过点作交轴于点，为轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，连接，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）把、代入，解方程组求出a、b的值即可得答案； （2）过点作轴，交于F，过点M作轴于H，交于G，根据解析式求出，得出，根据平行线的性质及角的和差关系得出，利用的三角函数求出，，可得，根据，证明四边形是平行四边形，得出当取得最大值时，取最大值，设，可得，根据二次函数的性质可求出点M坐标为，在第一象限作，过点M作于Q，交y轴于N，过点M作轴于T，可得M、N、Q在一条直线上时，取最小值，利用三角函数求出、的长即可得答案； （3）的抛物线解析式为，得出两抛物线的交点为原抛物线的顶点，分点在点P下方和点P在点P上方两种情况，分别求出的解析式，与新抛物线联立，求出交点坐标即可得答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于A，两点与轴交于 ∴，    ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点D作轴，交于F，过点M作轴于H，交于G， ∴， 抛物线与x轴交于点A，两点， 当时，得：， 解得：，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，即， 在直角三角形中，，， 由勾股定理得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取最大值， 设， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值， 当时，， ∴， 在第一象限作，过点M作于Q，交y轴于N，过点M作轴于T， ∴， ∴当M、N、Q在一条直线上时，取最小值， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：点Q的坐标为，．理由如下： ∵将抛物线沿方向平移个单位长度，， ∴抛物线向右平移的距离与向上平移的距离相等， 设平移的距离为t， ∴， 解得：t=2（负值已舍去）， ∵， ∴原抛物线的顶点坐标为，平移后的抛物线解析式为， 联立得：， 解得：， ∴，此时新抛物线经过原抛物线的顶点，如图， ①当点在点P下方时，过点C作轴，交于R，过点P作于K， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点P，点R的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：，（与点P重合，舍去）， ∴； ②当点在点P上方时，过点P作于S，设交y轴于L， 同理可得，，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点P，点L的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：，（与点P重合，舍去）， ∴． 综上所述，点Q的坐标为，． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方该抛物线上的一动点，连接交于点，点是直线上一动点，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是的中点，是抛物线对称轴上纵坐标为1的点，是抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)当取得最大值时，点的坐标为及的最小值为4 (3)符合条件的点N的坐标为或 【分析】（1）根据点A的坐标和，可求得点C的坐标，再根据待定系数法解答即可； （2）过点P作交直线于点F，先求得点B的坐标，从而得到，设，则，表示出，利用，可推出关于m的二次函数关系式，根据二次函数的性质可求得其最大值和此时点P的坐标；然后过点B作，垂足为M，过点E作于点M，过点C作于点N，过点P作于点H，利用得到，结合，即可求解； （3）连接、、，利用等腰三角形三线合一可推出，从而求得，进而可知该抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，得到的表达式；然后分两种情况讨论：①当在x轴的上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点K，交于点F，连接，通过证明和，得到；接着过点M作于点H，则为等腰三角形，设，，利用，求得点F的坐标，进而求得直线的表达式，与的表达式联立，即可求得点N的坐标；②当在x轴的下方时，同①可求． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点P作交直线于点F， 令，则， 解得或4， ∴， ∴， ∴， ∵点P是直线上方该抛物线的一动点， ∴设，直线的表达式为， 代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴点F的纵坐标为， 则，此时， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴此时； 如图，过点B作，垂足为M，过点E作于点M，过点C作于点N，过点P作于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当点P、E、M在同一直线上时，取得最小值，最小值为， ∵，，轴，， ∴， ∴的最小值为4； （3）解：符合条件的点N的坐标为或； 如图，连接、、， ∵，， ∴，， ∴， 又∵点G是的中点，即， ∴， ∴，， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴该抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到， ∵， ∴，对称轴为直线； ①如图，当在x轴的上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点K，交于点F，连接， ∵是抛物线对称轴上纵坐标为1的点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点M作于点H，则为等腰三角形， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴； ②如图，当在x轴的下方时， 同①可求得，直线的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴； 综上，符合条件的点N的坐标为或； 24．(25-26九下·重庆第八中学校·)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，过作交轴于点，线段在直线上移动且，当取得最大值时，求此时点的坐标及的周长的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点的对应点为点，平移后的新抛物线的对称轴上有一点，点为新抛物线上一动点，若，请直接写出点的坐标，并写出求的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】（1）将代入得到关于a、c的二元一次方程组求解即可解答； （2）利用坐标与图形以及勾股定理可得，易得，如图：过D作于F，则，进而得到，即；再求出直线的函数解析式为， 设点，则，，，，易得 ；再根据二次函数的性质可确定点p的值，进而确定点P的坐标；如图：过P作，在上截取，此时四边形是平行四边形可得，则求出最小值即可；点是P向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即；如图：作点P关于直线的对称点，连接，，易得当共线时，有最小值，即的最小值为；再求出的坐标，最后运用两点间距离公式求出的长，进而求出的周长的最小值； （3）先说明将抛物线向右平移3个单位长度、向上平移3个单位长度得到新抛物线，即新抛物线；易得、；再说明，如图：过F作轴于L，则，易得；再分当点G在右侧和左侧两种情况作答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵抛物线与轴交于点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图：过D作于F，则， ∴，即， ∴， 设直线的函数解析式为， 则，解得：， ∴直线的函数解析式为， 设点，则，， ∴，， ∴ ， ∴当时，最小，此时，； 要求的周长的最小值，即求的最小值，即求出的最小值， 如图：过P作，在上截取，此时四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值， ∵， ∴，即， 如图：过P作轴，过作轴， ∵， ∴， ∴， ∴点是P向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的，即； 如图：作点P关于直线的对称点，连接，， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值，即的最小值为， ∵点P与点关于直线对称， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． （3）解：∵， ∴，即， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴将抛物线向右平移3个单位长度、向上平移3个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线， ∴平移后的对称轴为，即 ∵点的对应点为点， ∴， 如图：过H作轴于I，则，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图：当点G在右侧时， ∵， ∴， ∴， 设，如图：过G作于K，则， ∴，， ∴， ∴，解得：， ∴； 如图：当点G在左侧时，如图：过H作对称轴的垂线交对称轴于J，则，在对称轴上取一点，使得，连接交新抛物线于， ∴，， ∴，即，解得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 则，解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立，解得：或（不合题意舍弃）， ∴． 综上，点G的坐标为或． 25．(25-26九下·重庆铜梁区铜梁一中·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线（）沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1)； (2)，的最小值为：； (3)点的横坐标为或 【分析】（1）根据抛物线与轴交点及对称轴为求解即可； （2）连接，过作轴交于，当最大时，最大，得到点坐标，过作的平行线，过作，两平行线交于点，当三点共线时最小； （3）原抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线：，在轴上取，作直线交新抛物线于，作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于，分别求出直线的解析式，再与新抛物线解析式联立方程组求解即可. 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过作轴交于， ∵， ∴当最大时，最大， ∵当时，， ∴， 而，设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设，则， ∴， ∴， 当时，最大，此时最大， ∴， ∵当时，， 解得：或， ∴， 如图，过作的平行线，过作，两平行线交于点， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 当三点共线时，，此时最小， ∴最小， ∴， ∴的最小值为：； （3）解：∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴原抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线：， ∵， ∴， 如图，在轴上取，作直线交新抛物线于， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴，解得：（舍）或， ∴， 作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于， 此时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：， ∴， 由对称可得：为的中点， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的横坐标为或． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方该抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，交轴于点．点、是轴上两动点，点在点上方，且，连接，．当的周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，是新抛物线对称轴上纵坐标为2的点，是新抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)符合条件的点的坐标为或，见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式可得，进而得出是等腰直角三角形，求出，可知当取最大值时，的周长取最大值，然后利用二次根式的性质求出取最大值时点的坐标即可，然后将点向下平移1个单位长度得到点，利用轴对称求最短路径的方法进行解答即可； （3）首先求出直线的表达式，然后分情况讨论：①当点N在下方时，②当点在上方时，分别求出直线及的解析式，再与新抛物线进行联立求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中， 得， 解得， 该抛物线的表达式为； （2）在中，令 解得， 直线过点，， 直线的表达式为，且 轴，， ， 在中，， 的周长为： 设（），则 ， 当时，取得最大值，则的周长取得最大值 此时点的坐标为 如图1，将点向下平移1个单位长度得到点，则点的坐标为，连接 ， 四边形是平行四边形 即 作点关于轴的对称点，连接，则 当，，三点共线时，取最小值为 的最小值为 又， 的最小值为 点的坐标为，的最小值为； （3）由（2）知是等腰直角三角形， ∴， ∴将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将该抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴平移后新抛物线的表达式为， ，，， 设直线的表达式为， 代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为 ①当点N在下方时， ， 如图2，过点作交新抛物线于点 设直线的表达式为， 代入得： 解得： ∴直线的表达式为 由，得， （不合题意，舍去） 当时，， ； ②当点在上方时， 如图3，当时，交于L， ∵， ∴， 设， 则， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 由，得， （不合题意，舍去）， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，连接，，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点是直线下方抛物线上的一点，过点作轴，，分别交直线于点，．线段在直线上运动，点在点的上方且，连接，．当的面积取得最大值时，求点的坐标及此时的最大值： (3)在（2）中的面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点在轴上，连接，交线段于点．点为抛物线上一点．点坐标为，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或，见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线的解析式求出点、、的坐标，从而可以求出的面积，利用待定系数法求出直线和的解析式证明，利用相似三角形的性质可以求出，可知当取最大值时，有最大值，设，由，有，可知，根据二次函数的性质可知当当时，有最大值，此时，根据点的坐标即可求出 （3）因为抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，所以抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线，可以求出直线的解析式为，然后分点在轴上方和点在轴下方两种情况求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，对称轴为直线． ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：令，，则， 抛物线经过点，对称轴为直线， 解方程， 可得：，， 点的坐标是，点的坐标是， ， 当时，可得：， 点的坐标是， ， 设直线和的解析式分别为和， 和， 解得：和， 直线和的解析式分别为和， 轴，， ，， ， ，， 当有最大值，取得最大值， 设，由，有， ， ， ， 当时，有最大值，即有最大值，即有最大值， 此时 ， 将沿方向平移个单位长度得到， 直线的解析式为， 点向右平移个单位长度．向下平移个单位长度， ， 此时．即的最大值为； （3）解：抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， 抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线， ． ，， 直线的解析式为， 即， ， ， ， 时有， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 联立得， 解得，（，舍去）， 当时， 可得： 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 同理求得直线的解析式为， 联立得， 解得:，（，舍去）， 当时，可得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 28．(25-26九下·重庆南开中学校·)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，过点作轴，且垂足为，点，为线段上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，连接交线段于点，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，记点平移后的对应点为点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据二次函数的性质以及待定系数法求解即可； （2）先说明，如图：过P作轴交于G，易得∴，即，则；运用待定系数法可得直线的解析式为，设点，则、，易得，，然后代入后运用二次函数的性质求最值可得；如图：将向下得到，即，作B关于的对称点，即连接，利用轴对称的性质、三角形三边关系、两点间距离公式求解即可； （3）先说明，平移后的函数关系式为，；再运用待定系数法求得直线的解析式，再与直线的解析式联立可求得点；如图：过K作轴于M，过P作轴于N，过H作轴于J，则，，利用等腰直角三角形的判定与性质、正切的定义、角的和差可得，即；如图：当在下方时，作于I，则，，即，设且，利用正切的定义、勾股定理、一次函数的图像的交点坐标可求得，运用待定系数法可求得直线的解析式为，再与平移后的抛物线解析式联立即可求得点T的坐标；同理可求得在上方的情况． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴①， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即②． ①②联立可得：， ∴抛物线表达式：． （2）解：令，，解得，即，故， 令，可得，即，故， ∴， ∴， 如图：过P作轴交于G， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵抛物线的对称轴是直线，轴交抛物线于点， ∴， ∵轴 ∴点G的横坐标为，即， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值， ∴直线的解析式为，， 如图：将向下得到，即，作B关于的对称点，即连接， ∴ ∴， ∴的最小值为， ∴． （3）解：∵ ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将向右平移8个单位，向上平移4个单位， ∴平移后的函数关系式为， ∵点平移后的对应点为点，， ∴， 设直线的解析式为，由（2）可得，， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 由（2）可得直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， 如图：过K作轴于M，过P作轴于N，过H作轴于J，则，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：当在下方时，作于I，则，，即， ∵，， ∴， ∴，解得：，， 设且，则， 联立，解得：或（不合题意舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（与K重合舍去）； ∴； 如图：当在上方时，作交延长线于， 同理可得， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（与K重合舍去）； ∴． 综上，点的坐标为或． 29．(25-26九下·重庆/万州区万州二中教育集团·一模)如图，已知抛物线交轴于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，点是轴上一动点，连接，当最大时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点为抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)，的最小值是 (3)点的坐标为， 【分析】（1）把，代入，解方程组求出、的值即可得答案； （2）过点作轴于，交于，先求出，，得出最大时，取最大值，求出直线解析式为，设，则，得出，利用二次函数的性质可得，过点O作于，过点作交直线于，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合三角函数可得，得出、、三点在同一条直线上时，取最小值，为，根据三角形内角和定理得出，利用三角函数得出，此时，点与点重合，，即可得出答案； （3）先利用平移的性质及待定系数法求出平移后的抛物线解析式为，分点在轴下方和上方两种情况，分别求出直线的解析式为，的解析式为，联立直线与抛物线的解析式，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点作轴于，交于， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，取最大值， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，即取最大值， 当时，， ∴， 过点作于，过点作交直线于， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、、三点在同一条直线上时，取最小值，为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴此时，点与点重合，， ∴， ∴的最小值是． （3）解：如图，设平移后的抛物线的顶点为，平移前抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴，，， ∵直线解析式为， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵，， ∴， 当点在轴下方时，交轴于， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和平移后的解析式得，， 解得：，（舍去）， ∴； 当点在轴上方时，交轴于， 同理可得，，直线的解析式为， 联立直线和平移后的解析式得，， 解得：，（舍去）， ∴； 综上所述：点的坐标为，． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、解直角三角形、勾股定理、二次函数的性质，合理作出辅助线是解题关键． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $