专题02 方程与不等式（5大考点）（重庆专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题02 方程与不等式 5大考点概览 考点01 一元一次方程及其应用 考点02 二元一次方程组及其应用 考点03 分式方程及其应用 考点04 不等式及不等式组 考点05 解一元二次方程及其应用 一元一次方程及其应用 考点01 1．(25-26九下·重庆育才中学教共体·)为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需4小时，乙组单独布置需6小时，如果甲、乙两组合作了2小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．工作效率 = 总工作量÷单独完成时间，因此把总的工作量看作“1”，甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据“甲、乙两组合作了2小时后，剩下的任务由乙组单独完成，”列出方程并解答． 【详解】 解：设乙单独完成剩下的任务还需要小时，由题意得 ， 故选：D ． 2．(25-26九下·重庆第八中学校·)一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为___________． 【答案】 【分析】根据多边形的外角和是，边形的内角和为，结合已知的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 依题意得 ， 解得， 即这个多边形的边数是． 3．列方程解下列应用题： 马年春节前一周，某商场共卖出“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件共件，总销售额为元．已知“马上有福”挂件的销售价为每件元，“马踏飞燕”挂件的销售价为每件元． (1)求马年春节前一周售出的“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件各多少件？ (2)马年春节放假期间，人们购买马年挂件的热情高涨，该商场上调了两种挂件的销售单价，且每件“马上有福”挂件比每件“马踏飞燕”挂件多上调了元．春节放假结束，该商场统计发现：春节放假期间，“马上有福”挂件的销售额比春节前一周销售额的倍少元，“马踏飞燕”挂件的销售额比春节前一周的销售额多元，且“马上有福”挂件的销售量是“马踏飞燕”挂件销售量的．求“马踏飞燕”挂件每件涨了多少元？ 【答案】(1)马年春节前一周售出“马上有福”挂件件，“马踏飞燕”挂件件 (2)春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价元 【分析】（1）设马年春节前一周售出“马上有福”挂件件，则“马踏飞燕”挂件件，根据题意列一元一次方程，求出的值即可得答案； （2）设春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价元，则“马上有福”挂件每件涨价元，根据题意列分式方程，求出的值即可得答案． 【详解】（1）解：设马年春节前一周售出“马上有福”挂件件，则“马踏飞燕”挂件件， ∵两种挂件共件，总销售额为元，销售价分别为每件元和每件元， ∴， 解得， ∴． 答：马年春节前一周售出“马上有福”挂件件，“马踏飞燕”挂件件． （2）解：设春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价元，则“马上有福”挂件每件涨价元， ∵春节前一周“马上有福”挂件销售额为元，“马踏飞燕”挂件销售额为元， ∴， 解得：． 经检验，是原方程的解．且符合题意． 答：春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价元． 4．(25-26九下·重庆/万州区万州二中教育集团·一模)中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展．某公司主营高速公路建设施工，高速公路施工包括平地施工、隧道施工和桥梁施工．近期，该公司承接了一条长千米的高速公路施工，已知该高速公路施工中有千米是平地施工，桥梁施工里程比隧道施工里程的倍少千米． (1)桥梁施工和隧道施工的里程分别是多少千米？ (2)经测算，该公司完成桥梁施工的时间比完成隧道施工的时间少，每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多千米，求该公司完成隧道施工的时间． 【答案】(1)桥梁施工里程是千米，隧道施工里程是千米 (2)该公司完成隧道施工的时间是天 【分析】（1）设隧道施工的里程是千米，则桥梁施工的里程是千米，根据平地施工、隧道施工和桥梁施工的里程之和是千米，可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论； （2）设该公司完成隧道施工的时间是天，则该公司完成桥梁施工的时间是天，利用工作效率工作总量工作时间，结合每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多千米，可列出关于的分式方程，解方程检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设隧道施工的里程是千米，则桥梁施工的里程是千米， ∵平地施工、隧道施工和桥梁施工的里程之和是千米， ∴， 解得：， ∴（千米）， 答：桥梁施工里程是千米，隧道施工里程是千米． （2）解：设该公司完成隧道施工的时间是天，则该公司完成桥梁施工的时间是天， ∵每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多千米， ∴， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意． 答：该公司完成隧道施工的时间是天． 二元一次方程组及其应用 考点02 5．(25-26九下·重庆铜梁区铜梁一中·一模)若实数，同时满足，则的值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质对的取值进行分类讨论，求出的值，最后计算. 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴解得：， 把代入得，（舍）， 当时，， ∴，解得：， 把代入得，， ∴， 故答案为：． 6．(25-26九下·重庆育才中学教共体·)若，，则______． 【答案】 【分析】由得，得，然后分当时，当时两种情况分析即可． 【详解】解：由得，， ∴， 由得，， ∴， 当时， ∴，解得：（不符合题意，舍去）； 当时， ∴，解得：， ∴． 7．(25-26九·重庆·)若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【分析】通过分析方程中的绝对值，确定y必须为负数，然后解方程组求得x和y的值，最后计算幂运算． 【详解】解：由方程，得 ，故． 由得 ， 若，则，代入得， ∵， ∴，即，与矛盾，故． 当时，，方程化为： ， ∴ 代入得： 验证：，，符合条件． 故． 8．(25-26九下·重庆南开中学校·)若实数，同时满足，，则______． 【答案】 【分析】根据已知式子结合绝对值的性质确定、的取值范围，然后根据、的取值范围将原式进行变形后联立解方程，最后计算即可． 【详解】解：，， ，， ，， ，， ，， 原式可变形为， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， ． 9．已知实数，，满足，且，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质，分情况讨论的正负性，然后通过联立方程组求出、、的值，最后代入式子计算即可． 【详解】解：当时，得 ， 得：，解得：， 得：，解得：， ∴； 当时，得 ， 得：， ∴， ∵， ∴不成立， 综上可得：的值为． 10．(25-26九·重庆·)某社区为庆祝“三八”国际妇女节，计划采购一批洗发套装和品牌护手霜作为慰问品，赠送给社区的女性环卫工人．已知购进套洗发套装和支品牌护手霜的总费用为元，购进套洗发套装和支品牌护手霜的总费用为元． (1)求每套洗发套装和每支品牌护手霜的进价分别是多少元？ (2)该社区联系到更优惠的供应商后，洗发套装的进价每套降低了元，品牌护手霜的进价每支降低了元．若用元购进洗发套装的数量与用元购进品牌护手霜的数量相同，求的值为多少？ 【答案】(1)每套洗发套装的进价为元，每支品牌护手霜的进价为元 (2) 【分析】（）每套洗发套装的进价为元，每支品牌护手霜的进价为元，根据题意列出方程组解答即可求解； （）根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：每套洗发套装的进价为元，每支品牌护手霜的进价为元， 由题意得，， 解得， 答：每套洗发套装的进价为元，每支品牌护手霜的进价为元； （2）解：由题意得，， 解得； 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：的值为． 11．(25-26九下·重庆南开中学校·)列方程解下列问题： “辉煌九秩，筑梦百年”，在建校90周年之际，九年级学生君君制作了一批手工艺品送给母校作纪念，每一件工艺品都包含一个礼盒和三张礼卡，已知材料可制作10个礼盒或50张礼卡，她现有材料，材料刚好全部用完并且制作出来的礼卡和礼盒刚好全部配套． (1)该同学可制作多少件工艺品？ (2)首批工艺品投入使用后广受好评，学校计划从企业定制“日新”、“月异”两款书签回馈校友.已知每个“月异”款书签比每个“日新”款书签少元，用4500元购进“月异”款书签的数量，比用4000元购进“日新”款书签的数量多，求每个“月异”款书签的价格是多少元？ 【答案】(1)50件 (2)3元 【分析】（1）制作礼盒用材料，制作礼卡用材料，根据题意，得 ，求解即可； （2）设每个“月异”款书签的价格为y元，则每个“日新”款书签的价格为元，根据题意，得,解方程即可． 【详解】（1）解：制作礼盒用材料，制作礼卡用材料，根据题意，得 ， 解得， 故， 故该同学可制作50件工艺品； （2）解：设每个“月异”款书签的价格为y元，则每个“日新”款书签的价格为元，根据题意，得， 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的根； 故每个“月异”款书签的价格是3元． 12．(25-26下·重庆秀山土家族苗族自治县·)列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需44元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需78元． (1)求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； (2)面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 【答案】(1)“经典臊子面臊子面”的单价是7元，“特色黄牛面”的单价是10元 (2)第三季度面粉的单价是12元 【分析】（1）设“经典臊子面”的单价是x元，“特色黄牛面”的单价是y元．利用总价单价数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设第二季度面粉的单价是m元，则第三季度面粉的单价是元，利用数量总价单价，结合第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，可列出关于m的分式方程，解之经检验后可得出第二季度面粉的单价，再将其代入中，即可求出第三季度面粉的单价． 【详解】（1）解：设“经典臊子面”的单价是x元，“特色黄牛面”的单价是y元．由题意，得 ， 解得， 答：“经典臊子面”的单价是7元，“特色黄牛面”的单价是10元； （2）解：设第二季度面粉的单价是m元，则第三季度面粉的单价是元．由题意得 ． 解得． 经检验，是所列方程的解． ∴． 答：第三季度面粉的单价是12元． 分式方程及其应用 考点03 13．列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升级．经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元． (1)求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ (2)实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加．改造1条甲类生产线增加的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是多少万元？ 【答案】(1)该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入30万元，改造1条乙类生产线需投入20万元 (2)2万元 【分析】（1）设该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入万元，则改造1条乙类生产线需投入万元，根据“改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元”列方程求解即可； （2）设实际改造1条乙类生产线增加的费用是万元，根据“180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入万元，则改造1条乙类生产线需投入万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 则改造1条乙类生产线需投入（万元）． 答：该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入30万元，改造1条乙类生产线需投入20万元； （2）解：设实际改造1条乙类生产线增加的费用是万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：实际改造1条乙类生产线增加的费用是2万元． 14．(25-26九下·重庆第八中学校·)列方程解应用题： 某校在商场购进两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了2500元，购买品牌篮球花费了2000元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的2倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花30元． (1)问购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ (2)该校决定再次购进两种品牌篮球共60个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了10%，品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买两种品牌篮球的总费用不超过3640元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？ 【答案】(1)购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元 (2)该校此次最多可购买20个B品牌篮球 【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解； （2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买A品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解； 【详解】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元， 则可得， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）， 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元； （2）解：设该校可购买个B品牌篮球，则购买A品牌的篮球个， 则可得， 解得， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球． 15．(25-26九下·重庆育才中学教共体·)2026年春节，随着《飞驰人生3》电影爆火，某玩具公司生产了“拓升”与“咔搭”两款遥控玩具车，已知每个“拓升”遥控玩具车的售价比每个“咔搭”遥控玩具车的售价多40元．按售价购买3个“拓升”遥控车与4个“咔搭”遥控车共需要470元． (1)每个“拓升”遥控车和“咔搭”遥控车的售价分别是多少元？ (2)由于这两款遥控玩具车深受大家喜爱，所以玩具公司决定对这两款遥控玩具车进行降价促销，若降价后，每个“拓升”遥控玩具车的售价是每个“咔搭”遥控玩具车售价的1.5倍，且用900元购买“拓升”遥控玩具车的数量比用800元购买“咔搭”遥控车的数量少5个，求降价后每个“拓升”遥控车的售价为多少元？ 【答案】(1)每个“拓升”遥控车的售价是90元，每个“咔搭”遥控车的售价是50元． (2)降价后每个“拓升”遥控车售价为60元． 【分析】（1）设每个“咔搭”遥控车的售价是元，则每个“拓升”遥控车的售价是元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）设降价后每个“咔搭”遥控车售价为元，则每个“拓升”遥控车的售价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设每个“咔搭”遥控车的售价是元，则每个“拓升”遥控车的售价是元． 根据题意，得， 解方程，得， 则有， 答：每个“拓升”遥控车的售价是90元，每个“咔搭”遥控车的售价是50元． （2）解：设降价后每个“咔搭”遥控车售价为元，则每个“拓升”遥控车的售价是元， 根据题意，得 解方程，得：， 经检验，是方程的解． 则有， 答：降价后每个“拓升”遥控车售价为60元． 16．年全国政府工作报告强调“大力发展智慧农业”．某地积极引进“智慧大棚”种植草莓和番茄两种作物．该大棚共有个种植槽，每个种植槽可种植草莓或番茄．经系统测算：每个草莓种植槽年产草莓千克，每个番茄种植槽年产番茄千克，这个种植槽全年总产量为千克． (1)该智慧大棚种植草莓和番茄的种植槽各多少个？ (2)经市场调研，每千克草莓的售价比每千克番茄的售价高元．如果用元购买草莓的千克数与用元购买番茄的千克数相同，那么该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后，总销售额为多少元？ 【答案】(1)该智慧大棚种植草莓的种植槽个，种植番茄的种植槽个； (2)该智慧大棚全年总销售额为元． 【分析】（）设该智慧大棚种植草莓的种植槽有个，则种植番茄的种植槽有个，然后列出方程，再解方程即可； （）设每千克番茄的售价为元，则每千克草莓的售价为元，根据题意得 ，然后解方程并检验，再结合第一问的产量计算总销售额即可． 【详解】（1）解：设该智慧大棚种植草莓的种植槽有个，则种植番茄的种植槽有个， 根据题意得， 解得：， 则， 答：该智慧大棚种植草莓的种植槽个，种植番茄的种植槽个； （2）解：设每千克番茄的售价为元，则每千克草莓的售价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则草莓售价为，草莓总产量为（千克），番茄总产量为（千克）， ∴总销售额为：（元）， 答：该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后总销售额为元． 不等式及不等式组 考点04 17．(25-26下·重庆秀山土家族苗族自治县·)求不等式组的所有整数解． 【答案】 【详解】解：，     解：由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴整数解有：． 18．求不等式组的所有整数解． 【答案】所有整数解为0，1，2，3 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以，原不等式组的解集为． 因此，满足原不等式组的所有整数解为0，1，2，3． 19．求不等式组的所有整数解． 【答案】所有整数解 【分析】先求出不等式组的解集，再从解集中找出整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为， 满足原不等式组的所有整数解为，，，，，． 20．求不等式组：的所有整数解之和． 【答案】10 【分析】先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，再在解集中找出所有整数解，求和即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为， 它们的和为． 21．(25-26九下·重庆育才中学教共体·)求不等式组：的所有整数解． 【答案】，，，0． 【分析】分别解两个不等式，再求交集，再找符合条件的整数解． 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以，原不等式组的解集为． 因此，满足原不等式组的所有整数解是，，，0． 22．(25-26九下·重庆第八中学校·)求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式①，得___________ 解不等式②，得___________ 所以原不等式组的解集为___________ 因此满足原不等式组的所有整数解为___________ 【答案】，，，． 【分析】按照解不等式组的步骤解不等式，再写出整数解即可． 【详解】解： 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为， 因此满足原不等式组的所有整数解为． 23．(25-26九下·重庆铜梁区铜梁一中·一模)解不等式组：，并求出它的所有整数解． 解：解不等式①得______， 解不等式②得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 【答案】 【分析】分别解每个不等式再取交集，写出解集内的整数即可． 【详解】解：不等式① 解不等式② 所以，原不等式组的解集为， 所以，原不等式组的整数解为． 24．(25-26九下·重庆南开中学校·)求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式得______， 解不等式得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 【答案】 ；；；， 【分析】分别求解两个不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 解不等式， 两边同乘去分母得， 化简得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 所以，原不等式组的解集为， 所以，原不等式组的整数解为，． 25．求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 【答案】，，图见解析，，或或或或 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再表示在数轴上，结合数轴即可得出解集． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为． 整数解为或或或或． 解一元二次方程及其应用 考点05 26．年中国建成全球最大碳纤维生产基地，实现了碳纤维国产化，碳纤维的价格由元/公斤经过连续两次降价后，价格为元/公斤，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设每次降价的百分率为，，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意，得，， 解得， ∴每次降价的百分率为． 27．(25-26九下·重庆/万州区万州二中教育集团·一模)万州天生城年接待游客万人，经过两年加大旅游开发力度，天生城年接待游客达到万人，若天生城这两年接待游客的年平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均增长率的计算规律，结合已知条件列方程即可． 【详解】解：∵年接待游客为万人，年平均增长率为， ∴年接待游客数为万人， ∴年接待游客数为万人， ∵已知年接待游客为万人， ∴列方程得． 28．(25-26九下·重庆大渡口区·)某电商服务中心决定改善运营方式，计划经过两年时间营业额增加44%，那么这两年该服务中心平均每年营业额的增长率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出初始营业额和平均增长率，根据两年后的营业额关系列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设原营业额为，平均每年营业额的增长率为， ∵两年后营业额增加，即两年后营业额为 ， 根据平均增长率的增长关系可得： ， ∵，两边同时除以得： ， 开平方得， ∵增长率为正数， ∴取， 解得：． 29．今年三月，重庆某机车在国际顶级赛事中夺冠，让“重庆制造”惊艳全球．受此影响，该机车订单逐月增长．三月份的订单是0.8万辆，预计五月份的订单将达到4万辆．设这两个月订单的平均月增长率为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据月增长率依次推导得到五月份订单量的表达式，结合已知五月份订单量即可列出方程． 【详解】解：∵三月份订单量为万辆，平均月增长率为， ∴四月份订单量为万辆， ∴五月份订单量为万辆， 又∵预计五月份订单量为万辆， ∴可列方程为． 30．(25-26九·重庆·)春节黄金周后，某杂货店生意逐渐转淡，第一天日盈利500元，第三天日盈利405元．若第一天到第三天盈利的日均下降率相同，则这段时间内，该商店每天盈利的下降率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确得到等量关系是解题的关键． 设商店每天盈利的下降率为，利用第一天日盈利500元，第三天日盈利405元，可列出一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设商店每天盈利的下降率为， 可得， 解得，（舍去）， 即商店每天盈利的下降率是， 31．某省于年月发起“请到民勤种棵树”活动，广大网友热烈响应，网上报名志愿者人数从第一周末的万人增加到第三周末的万人，则网上报名志愿者人数的周平均增长率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设周平均增长率为，根据“网上报名志愿者人数从第一周末的万人增加到第三周末的万人”列出关于的一元二次方程，解方程后舍去负根即可得到结果． 【详解】解：设网上报名志愿者人数的周平均增长率是， 依题意，得：， 解得：，（负值不符合题意，舍去）， ∴网上报名志愿者人数的周平均增长率是． 32．某新能源企业第一个月生产钠离子电池成本为605万元，因技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池成本为500万元.设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用第三个月生产钠离子电池的成本=第一个月生产钠离子电池的成本该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵第一个月生产钠离子电池成本为605万元，平均月下降率为x， ∴第二个月成本为万元， 第三个月成本为第二个月成本再下降x，即万元， 又∵题目给出第三个月成本为500万元， ∴可列方程为． 33．(25-26九·重庆·)已知整式，其中为自然数，n，，，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式A的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共6个． 其中正确的个数是（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①可通过分析单项式条件判断；②通过时列出所有符合的整式，然后计算它们的和即可验证；③通过时列出所有的二次三项式，然后根据其开口方向，和判别式判断非负性即可． 【详解】解：验证①：∵为自然数，n，，，…，为正整数， ∴当时，则有，即， ∴当，时，整式A为，当时，整式A不可能为单项式， 当时， ∵，，，为正整数， ∴整式A不可能为单项式， ∴满足条件的所有整式A有且仅有1个单项式，故①正确； 验证②：当时，，即， 当时，， ∴的解为，，， ∴对应的整式A为，，， 当时，， ∴的解为， ∴对应的整式A为， ∵，，均为正整数， ∴， 而当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， ∴满足条件的所有整式A的和为，故②错误； 验证③：∵多项式为二次三项式， ∴， ∴且， 当时，， ∴的解为，，， ∴对应的整式A为，，， ∵， ，当时，， ， ∴，两种都满足条件， 当时，， ∴的解为，， ∴对应的整式A为，， ∵，， ∴，都满足条件， 当时，， ∴的解为， ∴对应的整式A为， ∵， ∴满足条件， 当时，不存在符合条件的整式， 综上，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共有5个，故③错误， ∴正确的个数是1个． 34．已知整式，其中，n均为正整数，为自然数，若． ①满足条件的所有整式M中，次数最高的是6次； ②满足条件的所有整式M共有28个； ③当时，满足条件的所有整式M的和为； ④满足条件的二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有7个． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题目给定条件，按的不同取值分类讨论，逐个验证四个结论，结合整式的概念、配方法判断非负性，即可得到结果． 【详解】解：∵ 和是正整数，其余系数为自然数（非负整数），且，逐个分析如下： ① 要得到最大次数，需要使系数之和最小；因为为正整数，为自然数，所以的最小值为1（当且其余系数均为0时），由可得，，即最高次数为5次，故①错误； ② 按分类计算整式总个数： 时，，，共种； 时，，，共种； 时，，，共种； 时，，，共种； 时，，，共种； 总个数为，故②错误； ③ 时，计算所有整式的和： 的系数总和为； 的系数总和为； 常数项总和与系数相等，为； ∴ 满足条件的所有整式的和为，故③正确； ④ 二次三项式满足：，，得，所有符合的整式为、、，共个，配方后恒为非负数，，故④错误； 综上，只有个结论正确，故选A． 35．已知整式：，其中，为正整数，（，1，…，）且均为整数，．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式中有且仅有3个单项式； ②当，时，满足条件的所有整式的和为； ③当，时，若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的所有整式的最高次项的系数和为3． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】依次验证三个说法，根据题干给出的整式系数条件，分别找出每种情况的所有整式，再判断说法是否正确． 【详解】解：先明确题干条件：为正整数， 且为整数（ ），． 验证①： 当时，，是正整数， ． 单项式满足，此时 ，得正整数 ，共3个单项式，故①正确． 验证②： 当，，为正整数，分和： 时， ， ，得 ，，，对应 ； 时， ， ， ∵， ∴， ∵为正整数， ∴必为完全平方数， ∴ ，则， ， 所有组合对应 ； 将所有相加： ，故②正确． 验证③： 当，， ，为正整数， ，得， ，故 ，逐个判断： 1. ，方程， ，两根相等，不符合； 2. ，方程，，符合，最高次系数为； 3. ，方程，，两根相等，不符合； 4. ，方程，，符合，最高次系数为； 所有符合条件的最高次项的系数和为，故③错误． 综上，正确的说法有2个． 36．(25-26下·重庆秀山土家族苗族自治县·)已知两个多项式，，均为正整数，为实数．下列说法： ①若，则存在实数使得； ②若，关于的方程有唯一解，这个解为； ③若，，，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】分别对三个说法，利用一元一次方程解的性质，一元二次方程根的判别式，因式分解求正整数解，逐一判断即可得到正确个数． 【详解】解： ① 根据题意，得： 当时， ， 若存在实数使，需判别式 取正整数，得 ，此时不存在满足条件的，故①错误； ② 当时，整理方程得： 若方程有唯一解，则，此时，仅当时，不是所有情况都满足，例如 时，，故②错误； ③ 对等式，变形因式分解得： 均为正整数， ， ，即， 21的正整数分解中符合条件的只有，： 可得 ， 为正整数，正整数解为，，，共4组，对应4个不同的多项式 ，故③正确； 综上，正确的说法共1个，故选B． 37．(25-26九下·重庆育才中学教共体·)已知整式，其中n、为正整数，，…，，均为整数，若满足，，下列说法： ①当整式M是二次二项式时，关于x的方程（k为常数）有两个不同的实数根，则k的取值范围为； ②当时，满足条件的所有整式和为； ③当时，满足条件的整式M共有5个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】对于①：先根据二次二项式的定义确定n的值，再结合和求出整式M的具体形式，再利用一元二次方程根的判别式结合方程有两个不同实数根的条件，推导k的取值范围； 对于②：当时，根据和，列举出所有满足条件的整数系数组合，得到所有符合的整式，再将这些整式相加验证结果； 对于③：根据，结合，再根据，通过枚举的方式分情况讨论n的可能取值，列举出所有满足条件的整式，统计个数即可． 【详解】解：验证①：∵整式M是二次二项式， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 的解为，，，， ∵整式M是二次二项式， ∴此时满足条件的解为， ∵关于x的方程有两个不同的实数根， ∴，， 解得，与不符，故①错误； 验证②：当时，，， ∴， ∵， ∴， 此时满足的解为，，，，， ∴整式， 相加得：，故②正确； 验证③：当时，，，不符合条件； 当时，，，， 此时满足的解为，， 当时，，，， 此时满足的解为，，， 当时，，，， 此时满足的解为， 当时，，，，此时不存在满足的解， ∴满足条件的整式M共有（个），故③错误． 综上所述，正确的结论个数有1个． 38．(25-26下·重庆秀山土家族苗族自治县·)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】根据长与宽的和以及长比宽多步，表示出长和宽，再结合矩形面积公式即可列出方程． 【详解】解∶ 设长比宽多步，由题意得，长+宽，长宽， 所以长，宽． ∵矩形面积为平方步， ∴可得方程． 39．(25-26九下·重庆第八中学校·)若关于的一元二次方程的两个实数根为，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系可得，再通过根的判别式，求得的取值范围即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为， ∴，， ∴， ∴当时，取最小值为，即的最小值为． 40．(25-26九上·重庆大渡口区·适考)某飞机模型今年月份的销售量是件，月份的销售量是件． (1)若月份到月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)另据市场调查发现，该飞机模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2) 元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． (1)设月平均增长率为，根据连续两个月增长后销量为件，列方程求解； (2)设应降价元，根据要求销售该模型每天获利元，列方程求出，为了尽量减少库存，要选降价最多的方案． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：月平均增长率为； （2）解：设应降价元，则每天的销量为件，每个模型的利润为元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 为了尽量减少库存，应降价元， 答：售价应降低元． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式 5大考点概览 考点01 一元一次方程及其应用 考点02 二元一次方程组及其应用 考点03 分式方程及其应用 考点04 不等式及不等式组 考点05 解一元二次方程及其应用 一元一次方程及其应用 考点01 1．(25-26九下·重庆育才中学教共体·一模)为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需4小时，乙组单独布置需6小时，如果甲、乙两组合作了2小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．(25-26九下·重庆第八中学校·一模)一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为___________． 3．(25-26九·重庆·一模)列方程解下列应用题： 马年春节前一周，某商场共卖出“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件共件，总销售额为元．已知“马上有福”挂件的销售价为每件元，“马踏飞燕”挂件的销售价为每件元． (1)求马年春节前一周售出的“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件各多少件？ (2)马年春节放假期间，人们购买马年挂件的热情高涨，该商场上调了两种挂件的销售单价，且每件“马上有福”挂件比每件“马踏飞燕”挂件多上调了元．春节放假结束，该商场统计发现：春节放假期间，“马上有福”挂件的销售额比春节前一周销售额的倍少元，“马踏飞燕”挂件的销售额比春节前一周的销售额多元，且“马上有福”挂件的销售量是“马踏飞燕”挂件销售量的．求“马踏飞燕”挂件每件涨了多少元？ 4．(25-26九下·重庆/万州区万州二中教育集团·一模)中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展．某公司主营高速公路建设施工，高速公路施工包括平地施工、隧道施工和桥梁施工．近期，该公司承接了一条长千米的高速公路施工，已知该高速公路施工中有千米是平地施工，桥梁施工里程比隧道施工里程的倍少千米． (1)桥梁施工和隧道施工的里程分别是多少千米？ (2)经测算，该公司完成桥梁施工的时间比完成隧道施工的时间少，每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多千米，求该公司完成隧道施工的时间． 二元一次方程组及其应用 考点02 5．(25-26九下·重庆铜梁区铜梁一中·一模)若实数，同时满足，则的值为______． 6．(25-26九下·重庆育才中学教共体·一模)若，，则______． 7．(25-26九·重庆·一模)若实数，同时满足，，则的值为______． 8．(25-26九下·重庆南开中学校·一模)若实数，同时满足，，则______． 9．已知实数，，满足，且，则的值为_____． 10．(25-26九·重庆·一模)某社区为庆祝“三八”国际妇女节，计划采购一批洗发套装和品牌护手霜作为慰问品，赠送给社区的女性环卫工人．已知购进套洗发套装和支品牌护手霜的总费用为元，购进套洗发套装和支品牌护手霜的总费用为元． (1)求每套洗发套装和每支品牌护手霜的进价分别是多少元？ (2)该社区联系到更优惠的供应商后，洗发套装的进价每套降低了元，品牌护手霜的进价每支降低了元．若用元购进洗发套装的数量与用元购进品牌护手霜的数量相同，求的值为多少？ 11．(25-26九下·重庆南开中学校·一模)列方程解下列问题： “辉煌九秩，筑梦百年”，在建校90周年之际，九年级学生君君制作了一批手工艺品送给母校作纪念，每一件工艺品都包含一个礼盒和三张礼卡，已知材料可制作10个礼盒或50张礼卡，她现有材料，材料刚好全部用完并且制作出来的礼卡和礼盒刚好全部配套． (1)该同学可制作多少件工艺品？ (2)首批工艺品投入使用后广受好评，学校计划从企业定制“日新”、“月异”两款书签回馈校友.已知每个“月异”款书签比每个“日新”款书签少元，用4500元购进“月异”款书签的数量，比用4000元购进“日新”款书签的数量多，求每个“月异”款书签的价格是多少元？ 12．(25-26下·重庆秀山土家族苗族自治县·一模)列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需44元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需78元． (1)求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； (2)面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 分式方程及其应用 考点03 13．(25-26九·重庆·一模)列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升级．经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元． (1)求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ (2)实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加．改造1条甲类生产线增加的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是多少万元？ 14．(25-26九下·重庆第八中学校·一模)列方程解应用题： 某校在商场购进两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了2500元，购买品牌篮球花费了2000元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的2倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花30元． (1)问购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ (2)该校决定再次购进两种品牌篮球共60个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了10%，品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买两种品牌篮球的总费用不超过3640元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？ 15．(25-26九下·重庆育才中学教共体·一模)2026年春节，随着《飞驰人生3》电影爆火，某玩具公司生产了“拓升”与“咔搭”两款遥控玩具车，已知每个“拓升”遥控玩具车的售价比每个“咔搭”遥控玩具车的售价多40元．按售价购买3个“拓升”遥控车与4个“咔搭”遥控车共需要470元． (1)每个“拓升”遥控车和“咔搭”遥控车的售价分别是多少元？ (2)由于这两款遥控玩具车深受大家喜爱，所以玩具公司决定对这两款遥控玩具车进行降价促销，若降价后，每个“拓升”遥控玩具车的售价是每个“咔搭”遥控玩具车售价的1.5倍，且用900元购买“拓升”遥控玩具车的数量比用800元购买“咔搭”遥控车的数量少5个，求降价后每个“拓升”遥控车的售价为多少元？ 16．年全国政府工作报告强调“大力发展智慧农业”．某地积极引进“智慧大棚”种植草莓和番茄两种作物．该大棚共有个种植槽，每个种植槽可种植草莓或番茄．经系统测算：每个草莓种植槽年产草莓千克，每个番茄种植槽年产番茄千克，这个种植槽全年总产量为千克． (1)该智慧大棚种植草莓和番茄的种植槽各多少个？ (2)经市场调研，每千克草莓的售价比每千克番茄的售价高元．如果用元购买草莓的千克数与用元购买番茄的千克数相同，那么该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后，总销售额为多少元？ 不等式及不等式组 考点04 17．(25-26下·重庆秀山土家族苗族自治县·一模)求不等式组的所有整数解． 18．(25-26九·重庆·一模)求不等式组的所有整数解． 19．(25-26九·重庆·一模)求不等式组的所有整数解． 20．(25-26九·重庆·一模)求不等式组：的所有整数解之和． 21．(25-26九下·重庆育才中学教共体·一模)求不等式组：的所有整数解． 22．(25-26九下·重庆第八中学校·一模)求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式①，得___________ 解不等式②，得___________ 所以原不等式组的解集为___________ 因此满足原不等式组的所有整数解为___________ 23．(25-26九下·重庆铜梁区铜梁一中·一模)解不等式组：，并求出它的所有整数解． 解：解不等式①得______， 解不等式②得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 24．(25-26九下·重庆南开中学校·一模)求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式得______， 解不等式得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 25．(25-26九·重庆·一模)求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 解一元二次方程及其应用 考点05 26．(25-26九·重庆·一模)年中国建成全球最大碳纤维生产基地，实现了碳纤维国产化，碳纤维的价格由元/公斤经过连续两次降价后，价格为元/公斤，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A． B． C． D． 27．(25-26九下·重庆/万州区万州二中教育集团·一模)万州天生城年接待游客万人，经过两年加大旅游开发力度，天生城年接待游客达到万人，若天生城这两年接待游客的年平均增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 28．(25-26九下·重庆大渡口区·一模)某电商服务中心决定改善运营方式，计划经过两年时间营业额增加44%，那么这两年该服务中心平均每年营业额的增长率是（    ） A． B． C． D． 29．(25-26九·重庆·一模)今年三月，重庆某机车在国际顶级赛事中夺冠，让“重庆制造”惊艳全球．受此影响，该机车订单逐月增长．三月份的订单是0.8万辆，预计五月份的订单将达到4万辆．设这两个月订单的平均月增长率为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 30．(25-26九·重庆·一模)春节黄金周后，某杂货店生意逐渐转淡，第一天日盈利500元，第三天日盈利405元．若第一天到第三天盈利的日均下降率相同，则这段时间内，该商店每天盈利的下降率为（    ） A． B． C． D． 31．(25-26九·重庆·一模)某省于年月发起“请到民勤种棵树”活动，广大网友热烈响应，网上报名志愿者人数从第一周末的万人增加到第三周末的万人，则网上报名志愿者人数的周平均增长率是（    ） A． B． C． D． 32．(25-26九·重庆·一模)某新能源企业第一个月生产钠离子电池成本为605万元，因技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池成本为500万元.设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 33．(25-26九·重庆·一模)已知整式，其中为自然数，n，，，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式A的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共6个． 其中正确的个数是（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 34．(25-26九·重庆·一模)已知整式，其中，n均为正整数，为自然数，若． ①满足条件的所有整式M中，次数最高的是6次； ②满足条件的所有整式M共有28个； ③当时，满足条件的所有整式M的和为； ④满足条件的二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有7个． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．(25-26九·重庆·一模)已知整式：，其中，为正整数，（，1，…，）且均为整数，．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式中有且仅有3个单项式； ②当，时，满足条件的所有整式的和为； ③当，时，若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的所有整式的最高次项的系数和为3． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 36．(25-26下·重庆秀山土家族苗族自治县·一模)已知两个多项式，，均为正整数，为实数．下列说法： ①若，则存在实数使得； ②若，关于的方程有唯一解，这个解为； ③若，，，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 37．(25-26九下·重庆育才中学教共体·一模)已知整式，其中n、为正整数，，…，，均为整数，若满足，，下列说法： ①当整式M是二次二项式时，关于x的方程（k为常数）有两个不同的实数根，则k的取值范围为； ②当时，满足条件的所有整式和为； ③当时，满足条件的整式M共有5个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 38．(25-26下·重庆秀山土家族苗族自治县·一模)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则可列方程为__________． 39．(25-26九下·重庆第八中学校·一模)若关于的一元二次方程的两个实数根为，则的最小值为___________． 40．(25-26九上·重庆大渡口区·一模适考)某飞机模型今年月份的销售量是件，月份的销售量是件． (1)若月份到月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)另据市场调查发现，该飞机模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $