专题07 解直角三角形及其应用、三角形综合、圆综合、四边形（6大考点）（天津专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题07 解直角三角形及其应用、三角形综合、圆综合、四边形 6大考点概览 考点01解直角三角形及其应用 考点02三角形综合 考点03圆综合 考点04平行四边形 考点05正方形 考点06矩形 解直角三角形及其应用 考点01 1．（2026·天津和平·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的拱顶距离水面的竖直高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内，，，且测角仪，已知水平地面离水面的高度为．在测角仪顶端D处测得拱顶E的仰角为，在测角仪顶端C处测得拱顶E的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算拱顶距离水面的竖直高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】 【分析】延长交于点，延长交于点，在和中，可构造和，进而计算可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 则根据题意可知，，，，，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， 解得：， ∴． 答：拱顶距离水面的竖直高度为． 2．（2026·天津北辰·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量北辰公园内北极星雕塑的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，，，且．在D处测得北极星雕塑顶部B的仰角为，在F处测得北极星雕塑顶部B的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算北极星雕塑的高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】北极星雕塑的高度约为 【分析】延长交于点，根据题意可得，，，，，设，分别表示出，，由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 如图，延长交于点，则， 由题意得，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴北极星雕塑的高度约为． 3．（2026·天津东丽·一模）某校组织学生到京杭大运河天津段流域开展研学活动．数学兴趣小组想测量两岸平行的大运河某处的宽度，设计了一个方案，如图，在该河段对岸岸边取一点A为参照点，于所在的河岸边任取两点B，C（点A，B，C在同一平面内），测得，，，求这段大运河的宽度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】 【分析】过点A作于D，由正切的定义表示出和，再根据为等量关系列出等式即可求出． 【详解】解：如图，过点A作于D， 根据题意得：，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 答：所测量的这段大运河的宽度约为． 4．（2026·天津滨海新区·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量校园附近一座信号塔的高度． 某校研究性学习小组设计了一个方案：如图，该信号塔垂直于水平地面，其前方有一段台阶，台阶顶端D距离地面的高度，点E，C，A在同一条水平直线上，且．在点C处测得塔顶B的仰角为，又在台阶顶端D处测得塔顶B的仰角为． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】(1)线段的长为 (2)信号塔的高度约为 【分析】（1）根据计算即可； （2）过点D作交于点F，在中，设，推出，，在中，结合计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴线段的长为． （2）解：如图，过点D作交于点F， 在中，设， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 即， 解得， 即， ∴信号塔的高度约为． 5．（2026·天津河东·一模）天津海河桥梁被誉为“桥梁露天博物馆”，每座桥都有不同的风格与样式，有“一桥一景”的美誉．某数学兴趣小组在实践活动中，欲测量其中一座跨海河桥的桥塔的塔顶到水面的距离．如图，桥塔塔顶到水面的距离为，点，是水平地面上两点，地面高出水面2米，且与点，均在同一竖直平面内．他们在地面处用高1.5米的测角仪测得桥塔顶端的仰角为，然后向桥塔方向前进39米到达处，用高1.5米的测角仪又测得仰角为．根据该兴趣小组测得的数据，求桥塔塔顶到水面的距离（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】58米 【分析】设，得到，，故，求出，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，， 设， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， 又， 解得； ； 答：桥塔塔顶到水面的距离约为58米． 6．（2026·天津红桥·一模）在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一个池塘两端的距离（如图）．某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西方向，再沿正西方向前行220m到达C处，测得B处在C处的北偏东方向．根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的距离（结果保留整数）．参考数据：，，，． 【答案】 【分析】作辅助线构造直角三角形，过点B作于点H，由题意可推出，，在中，可利用正切函数表示出的长度；在中，可利用正弦函数表示出的长度．因为，所以可列出关系式，求解得到的值．在中，可利用正弦函数求出的长度． 【详解】解：如图，过B作，垂足为H． 根据题意，，，， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， ， ． 答：池塘两端的距离约为． 7．（2026·天津·一模）京杭大运河是世界上里程最长、工程最大的古代运河，是最古老的运河之一（如图①）．为弘扬运河文化，某校组织学生到京杭大运河天津段流域开展研学活动．数学兴趣小组想测量两岸平行的大运河某处的宽度，设计了一个方案，如图②，在该河段对岸岸边取一点为参照点，于所在的河岸边任取两点，（点，，在同一平面内），测得，，，求这段大运河的宽度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】所测量的这段大运河的宽度约为37m． 【分析】如图，过点作，垂足为，由得到，从而得解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为． 根据题意得：，，， 在Rt中，， ． 在Rt中，， ． ， ． ． 答：所测量的这段大运河的宽度约为37m． 8．（2026·天津河北·一模）分别从两建筑物，的顶端A，C观察地面上一点E，点B，E，D在一条直线上，从点A观察点E的俯角为，从点C观察点E的俯角为，若建筑物比高，点B，D之间的距离为．求建筑物，的高（结果取整数）．（参考数据：取，取．） 【答案】建筑物的高约为，的高约为 【分析】在中，有；在中，；结合，，得到关于的方程，解出，即可解答． 【详解】解：根据题意，，，，，， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ， 又，， 即，， ， 解得， ∴． 答：建筑物的高约为，的高约为． 9．（2026·天津南开·一模）如图，为了求出小山的高度，某学习小组设计了如下方案：点，，依次在同一条水平直线上，在直线上的处和处竖立标杆和，于点，于点，且，和在同一平面内．在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上；在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上．若，测得，，．根据该学习小组测得的数据，计算小山的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】小山的高度约为． 【分析】连接并延长，与相交于点，证明四边形、、为矩形，推出，再设，根据、结合解直角三角形，求出、，根据，可以求出，最后根据求解即可． 【详解】解：连接并延长，与相交于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵由题意得：， ∴四边形、为矩形， ∴，，， ∴，， ∵设， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 答：小山的高度约为． 三角形综合 考点02 10．（2026·天津河西·一模）在中，，，斜边，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，利用正弦的定义即可推导出BC的表达式，得到答案． 【详解】解：∵ 在中，， 根据锐角正弦的定义，可得， 又∵ ，， ∴ ， ∴ ． 11．（2026·天津东丽·一模）如图，是等腰直角三角形，，，边长为的正方形的顶点D，E，F分别在的边，，上． （Ⅰ）点F到边的距离为__________； （Ⅱ）的长为__________． 【答案】 2 【分析】过点F作与点G，由等腰直角三角形的性质得出，，进一步得出是等腰直角三角形，则，证明，由全等三角形的性质得出，，设，则，，，由勾股定理求出，再由勾股定理求出，最后根据线段的和差关系即可求出． 【详解】解：过点F作与点G， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，． 设，则，，， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·天津红桥·一模）如图，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，，过点D作，垂足为E． （1）线段的长为________； （2）F为的中点，G为边上一点，若，则线段的长为________． 【答案】 【分析】（1）由等边三角形的性质求出，证明是直角三角形，由勾股定理求出； （2）过点作于点，于点，得到和都是直角三角形，求出，，证明四边形是矩形，即可得到答案． 【详解】解：（1）边长为6的等边三角形， 点D在边上，， ，垂足为， 是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：； （2）过点作于点，于点， ， 和都是直角三角形， 由（1）可知，， 点是的中点， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ． 13．（2026·天津河东·一模）如图，在中，，，，点是边上的中点． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）点在外，满足，且，连接，射线交于点，则的面积为________． 【答案】 1 【分析】（Ⅰ）根据等腰三角形性质得出，解直角三角形得出，再根据中点定义，求出结果即可； （Ⅱ）延长，，交于点G，连接，证明，得出，证明，得出，证明，得出，证明，得出，证明，根据，即可得出答案． 【详解】解：（Ⅰ）∵在中，，， ∴， ∴， ∵点是边上的中点． ∴； （Ⅱ）延长，，交于点G，连接， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 圆综合 考点03 14．（2026·天津南开·一模）如图，的三个顶点都在一圆上，将绕A点顺时针方向旋转，得到，B，C的对应点分别为点和点，且恰也落在此圆上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由旋转的性质可得，由圆内接四边形的性质可得，再由等边对等角得出，最后由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（2026·天津河西·一模）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． (1)求和的大小； (2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 【答案】(1)，； (2)，的面积为． 【分析】（1）由切线长定理和切线的性质，可得，，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，即可得，由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，即可得； （2）由（1）可知，，，由同弧所对的圆周角相等，可得，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，由三角形外角的性质，可得的度数，可得，作于，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，即可得的面积． 【详解】（1）解：∵是的直径，，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵为直径， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于，在Rt中，， ∴的面积． 16．（2026·天津西青·一模）已知是的直径，线段和是的弦． (1)如图①，，垂足是E，若的半径是5，，求弦，的长； (2)如图②，点C是的中点，过点A作的切线，与的延长线交于点M，连接，若，求和的大小． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）连接，由勾股定理求出，由垂径定理求出，再利用勾股定理求出即可． （2）连接，由直径所对的圆周角等于90度得出，进而求出，再根据等弧所对的圆周角相等得出，进而可求出，由切线的定义进一步得出，由圆内接四边形的性质得出， 最后再利用三角形外角的定义即可求出． 【详解】（1）解：连接． ， ． 在中，，． ． ，是的直径， ． 在中，，． ． （2）解：如图，连接． 是的直径， ． ． 点C是的中点， ． ． ． 切于点A，是的直径， ．即． ． ， ． ． 17．（2026·天津南开·一模）为的直径，为的切线，为切点，弦，垂足为点，，连接，． (1)如图，若，求和大小； (2)如图，若，，求的半径和的长． 【答案】(1)，； (2)；． 【分析】（1）根据切线定理，得出，再根据垂径定理得到，且，，结合，证明四边形为平行四边形，推出，最后根据圆周角定理即可求解； （2）有（1）得四边形为平行四边形和，求出，，根据求出，设的半径为，即，再根据求出的半径，即可求出． 【详解】（1）解：∵为的直径，为的切线， ∴，即， ∵弦，且为直径， ∴，且，， ∴； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵由（1）得，四边形为平行四边形， ∴，， ∵由（1）得，， ∴， ∵在中，，， ∴由勾股定理可知， ∵设的半径为， ∴， 在中，，，， ∴由勾股定理可知，解得， ∴的半径为， ∴， ∵， ∴的长为． 18．（2026·天津河北·一模）已知是的切线，切点为C，连接，与有一个公共点E，为直径． (1)如图①，点D在上，，，，求的大小与线段的长； (2)如图②，点D在外，切于点E，G为上一点，连接，，，若，，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据切线的性质和四边形的内角和为，可求得，从而得到，然后根据直径所对的圆周角为直角，在中，利用，即可解答； （2）根据切线的性质易证，得到，然后根据直径所对的圆周角为直角，可求得，由根据两直线平行，内错角相等，可知 ，从而求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵切于点C， 于点C，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， 在中，， ∴； （2）解：∵切于点E，切于点C， 于点E，于点C， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 19．（2026·天津·一模）如图，是的直径，，分别与相切于点B，D，连接，E是的延长线上一点，连接，并延长交于点F． (1)若，求的度数 (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图所示，连接，根据圆周角定理，切线长定理及四边形内角和定理得到，，再证明，即可求解； （2）根据题意，结合（1）的计算，由勾股定理得到，，，，再证明，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵所对圆周角为，所对圆心角为， ∴， ∵，分别与相切于点B，D， ∴，，即， 在四边形中，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，分别与相切于点B，D，点是直径延长线上一点， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，则，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析，合理作出辅助线是关键． 20．（2026·天津和平·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接． (1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（）连接，由垂径定理可得，即得，得到，又由切线的性质得，再根据四边形内角和解答即可求解； （）过点作于，连接，由切线长定理可得，即可得，进而由矩形的性质得，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别与相切于点， ∴，， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图，过点作于，连接， ∵分别与相切于点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，切线的性质，切线长定理，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 21．（2026·天津北辰·一模）已知中，，为的直径，，与分别相交于点D，E，弦，垂足为G，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若经过点O，过点E作的切线，交于点H，的半径为3，求和的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由题意可得，即可得出的度数；连接，由圆周角定理可得，求出，即可得出结果； （2）连接、、，由圆周角定理可得，即，先证明四边形为菱形，得出，再证明为等边三角形，求出，，，即可得出，再证明，由相似三角形的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵弦，垂足为G， ∴， ∴， 如图：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接、、， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 22．（2026·天津河东·一模）已知，，过点，且与边切于点，点是上一点． (1)如图①，若，点在上，且与边交于点，连接和，求的大小； (2)如图②，点为中点，与边交于点，连接，当时，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，，求出，即可得到，再根据圆周角定理即可求出答案． （2）连接，，，证明，，证明为等边三角形，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，， 与切于点， ． ，， ， ，， ， ； （2）解：连接，，， 与切于点， ， ，点为中点， ， 点在上， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 在中， ，， ． ． 23．（2026·天津·一模）已知内接于，，，是的直径，连接． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，过点作的切线，与交于点，若，求的长． 【答案】(1)，； (2)6． 【分析】（1）由三角形内角和定理得，由直径所对圆周角是直角得，可得，得出； （2）连接，证明．．．可得四边形是矩形．又，四边形是正方形．可得．求出，可得． 【详解】（1）（1），， ． ． 是的直径， ． ； （2）解：连接． 切于点， ，即． 同理． 又，则． 四边形是矩形． 又， 四边形是正方形． ，． 则． 由（1）知，， 则． 由，可知 ． 则． 又 ． 24．（2026·天津红桥·一模）已知锐角三角形内接于，，为的直径，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点A作的切线，与的延长线相交于点P．若，，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）因为为的直径，所以，结合已知，可先求出的度数；然后利用等腰三角形内角和定理可求出的度数；因为同弧所对的圆周角相等，则有，再结合与互余，可求出的度数． （2）因为是的切线，连接，，有；再根据条件和垂径定理可推出，进而得到相关角的关系，确定的形状；利用切线的性质、圆周角定理，得出是含角的直角三角形，再结合已知，求解出线段长度，进而得到的长． 【详解】（1）解：为的直径， ． ，， ． ． ． ． （2）解：如图，连接，． 与相切， ，即． 为的直径，， ，， ． 为等边三角形． ． ，． ， ． ． ． ， ． 在中，． 25．（2026·天津滨海新区·一模）已知是的直径，，是的弦．      (1)如图①，若E为的中点，，求和的大小； (2)如图②，若是的直径，过点D作的切线交延长线于点C，连接．，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角和圆周角定理得到，再根据E为的中点，得到，即可求解； （2）根据切线的性质结合圆周角定理推出，求出，利用含30度角直角三角形的特征得到，，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∴， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是的切线，是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， 在中，． 平行四边形 考点04 26．（2026·天津南开·一模）如图，四边形为平行四边形，平分交边于点，，垂足为点，若．按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点和点； ②连接，与相交于点， ③连接，则线段的长为（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2.5 【答案】A 【分析】先由角平分线定义、平行四边形性质判断出是等腰三角形，进而由等腰三角形三线合一性质确定点为线段中点；再根据题中尺规作图得到点为线段中点，最后由三角形中位线的判定与性质求解即可． 【详解】解：平分， ， 在中，，则， ， 则为等腰三角形， 在等腰中，由可知点为线段中点， 又根据图中尺规作图可知是线段的垂直平分线，即点为线段中点， 是的中位线， 则． 27．（2026·天津河北·一模）如图，在中，以点D为圆心，小于线段长为半径画弧交边于E点，以点B为圆心，线段长为半径画弧，分别交边，于点F，G，连接，，连接，交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设，根据平行线分线段成比例可推出，可判断A；假设，则，可判断B；根据平行线的性质，利用可证，可判断C；假设，那么，但题目中长度可变，那么的度数会变化，故不成立，可判断D． 【详解】解：假设，则， 由作图可知， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定成立，故选项A不符合题意； 假设，则，根据题意不一定成立，故选项B不符合题意； ∵在中，， ∴，， 由作图可知， ∴， ∴，故选项C一定正确，符合题意； 假设， ∵， ∴， ∵长度可变， ∴的度数会变化， ∴不成立，故选项D不符合题意． 28．（2026·天津河北·一模）如图，在中，，点P从点A出发以3个单位长度每秒的速度沿的路径移动，点Q从点A出发以1个单位长度每秒的速度由点A向点B移动．点P到达C点或点Q到达B点时，点P，Q均停止移动．若，，连接，，．有下列结论：①点P可以到达C点；②的面积可以为；③至少有两个时刻，的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先计算到达C点的时间为：（秒），可以判断①；设运动时间为x秒，根据题意，得，，则，当时，；当时，，过点C作交的延长线于点E，作交的延长线于点F，当点P在上运动时，过点P作于点G，利用分类思想，解方程求解即可． 【详解】解：， ， 故点P运动的路程为， 点P从点A出发以3个单位长度每秒的速度沿的路径移动， 故到达C点的时间为：（秒）， 点Q运动的路程为， 点Q从点A出发以1个单位长度每秒的速度由点A向点B移动， 故到达B点的时间为：（秒）， 根据点P到达C点或点Q到达B点时，点P，Q均停止移动的要求， 得到P先到达，然后Q停止运动， 故①正确； 设运动时间为x秒，根据题意，得，，则， 当时，；当时，， 过点C作交的延长线于点E，作交的延长线于点F， ， ， ，， ，， 的面积可以为， ， 解得， ， 根据点P到达C点或点Q到达B点时，点P，Q均停止移动的要求，此时点Q早已停止运动， 故不可能， 故②错误； 当点P在上运动时，过点P作于点G， 则， ， 的面积为， ， 整理，得， ， 故， 故，舍去； ，符合题意， 此时； 当点P在上运动时， ， 的面积为， ， 整理，得， 解得， 满足的条件， 此时； 故至少有两个时刻，的面积为． 故③正确． 29．（2026·天津河东·一模）平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示． 有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③存在两个的值，使得的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由题中的点，运动过程，分情况作图，运用平行四边形判定与性质、解直角三角形及二次函数图象与性质讨论求解． 【详解】解：当时，， ， ， 则，且， 四边形是平行四边形， 在平行四边形中，， 则，故①正确； ，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动， 走完用时（秒）， 过点作，如图所示： 在中，，则， ，则由勾股定理可得， 当时，，则， 当时，的最大面积为； 当时，过点作，过点作，如图所示： ，， 在中，，则， ， ，则由勾股定理可得， ， 在平行四边形中，，则， 在中，，，则， 由勾股定理可得， 则， ， 由抛物线开口向上、对称轴为，则当时，随着的增大而减小， 当时，有最大值，为； 综上所述，当时，的最大面积为，故②正确； 由题意，当停止运动时，共用时为（秒），而此时还为到达， 点，总共运动时间为秒， 由②的判定过程可知，当时，的最大面积为， ， 解得； 当时，， 解得或； 综上所述，存在、或三个值，使得的面积为，故③错误； 则题中正确结论是①②，共2个． 六、填4空题 30．（2026·天津西青·一模）如图，中，，，，E为边中点，对角线相交于点O，F是线段中点，连接． ①线段的长是______； ②线段的长是______． 【答案】 4 【分析】①根据中点的性质及等边三角形的判定和性质得出，为等边三角形，即可求解； ②连接，根据三角形中位线的判定和性质得出，再由三角形外角的性质得出，确定，得出，再由勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：①∵，E为边中点， ∴， ∵，， ∴，为等边三角形， ∴； ②连接， ∵， ∴O为中点， 由①得E为中点， ∴， 由①得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵F是线段中点， ∴， ∴． 七、解4答题 31．（2026·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，为原点，是一个平行四边形纸片，顶点，，点在第二象限． (1)如图，填空：的长是________，点的坐标是________，的长是________； (2)若为边上一动点，过点作直线平行于轴，交边于点，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为点．设． 如图，当点落在平行四边形纸片上时．试用含有的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； 当直线与轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，， (2)； ． 【分析】（1）作于点，作于点，则，根据勾股定理可得的长，由平行四边形的性质，可得，，证明，，可得，，，可得点的坐标，根据勾股定理，可得的长； （2）由折叠可得，，证明，可得，可得折叠后重叠部分的面积，当点在线段上时，连接，交于点，由线段垂直平分线的判定，可得，，由同角的正切值相等，可得，可得，可得，由同角的余弦值相等，可得的最大值，即可得的取值范围；当直线与轴重合时，点与点重合，点与点重合，与的交点记为点，作于点，由折叠的性质，结合平行四边形的性质，可得，，证明，可得，由等腰三角形的性质，可得，由同角的正切值相等，可得，即可得折叠后重叠部分的面积． 【详解】（1）解：作于点，作于点，则， ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：由折叠可得，， ∵，， ∴， ∵轴，在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积， 当点在线段上时，连接，交于点， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点落在平行四边形纸片上， ∴， ∴； 当直线与轴重合时，点与点重合，点与点重合， 与的交点记为点，作于点， 由折叠可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积． 32．（2026·天津红桥·一模）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）过点C作轴于D，可通过解直角三角形求出点的横、纵坐标；根据平行四边形对边平行且相等的性质，可由点的坐标推出点的坐标． （2）①因为，所以先确定的坐标；再求出直线和直线的解析式，联立解析式得到交点的坐标，再结合点的坐标计算；因为重叠部分为四边形，所以根据图形位置确定的取值范围．②先分析该范围内重叠部分图形的形状，结合（2）①的结论，利用面积公式表示出关于的函数；再根据函数的性质，求出在给定范围内的最值． 【详解】（1）过点C作轴于D， ，， ， ∵， ∴点D与点A重合， ∴， 。 ∵四边形是平行四边形， ，的纵坐标和相等，横坐标为 ， ． （2）① 由折叠性质得 ，， ， ∴ ， ， 设直线的解析式为，把 ， ，代入得，解得， ∴直线的解析式为 ， 同理可得直线的解析式为， 联立和的方程得交点 ， ∴ ． 直线与、相交，且重叠部分为四边形时，（，且l在右侧、左侧）． (2) ② 当 时，过点F作 ， ∵直线与直线平行且经过原点， ∴直线解析式为， 由题意可得 ， ， ， ∴可得直线的解析式为， 联立和的方程得交点 ， ∴ ， ∴面积 ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而增大， 故最大值在处，；最小值在端点处，； 当 时，重叠部分是四边形，过点F作 ， 同理可知 ， ， ， ， ， 面积 ， 此时开口向下，对称轴是直线，此时S随着t的增大而减小， 时，； 时，； 故此时，； 当时，重叠部分是三角形， 同理可知 ， ， ， ​，最小值在时为； ∴的范围是． 33．（2026·天津东丽·一模）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点及，，，点在轴负半轴上，点在第一象限，边交轴于点．是等腰直角三角形，，点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边交于点，与边交于点，与重合部分为四边形时，试用含的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①（）；② 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，结合点所在象限可得，过点作于，根据可得是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，结合各点坐标即可得出； （2）①根据平行四边形的性质及点坐标得出，可得，即可表示出，利用三角函数求出的长即可，根据边与边交于点，与边交于点，求出点与点重合时的值，即可得出的取值范围； ②分，，三种情况，分别用表示出重合部分的面积，利用二次函数及一次函数的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵点在第二象限， ∴； 如图，过点作于， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形，， ∵点在第一象限， ∴， ∴． （2）解：①∵，， ∴， ∵点在轴负半轴上，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， 又∵， ∵是等腰直角三角形，将沿水平方向向右平移，得到， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 当直线经过点时，点与点重合， ∴， ∵与重合部分为四边形，与边交于点，与交于点， ∴； ②如图，当时，点在上，点在上， ∵， ∴， ∵，对称轴是：， ∴时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴， 如图，当时，与轴交点在点上方，与交于点， ∵，，， ∴， ∴、都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，，时，， ∴， 如图，当时，与、分别交于、，过点作轴于， 同理可得，、都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，对称轴是：， ∴当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴， 综上所述：的取值范围为． 34．（2026·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，，点在轴负半轴上，点在第一象限，边交轴于点．是等腰直角三角形，，点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边交于点，与边交于点，与重合部分为四边形时，试用含的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）延长交轴于，过作轴于，根据得到轴，，，，，，则四边形是矩形，，则，，即可求出，，得到；根据是等腰直角三角形，得到，则； （2）①先证明，当过点时，，则边与边交于点时，，再证明是等腰直角三角形，得到； ②根据，，分情况讨论，分别表示出，求出最大值和最小值，最后得到的取值范围． 【详解】（1）解：延长交轴于，过作轴于， ∵的顶点，，， ∴轴，，，，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴，， ∴； ∵是等腰直角三角形，，点， ∴， ∴； （2）解：①∵将沿水平方向向右平移，得到， ∴，， ∵边与边交于点， ∴， ∴， 当过点时，， 由（1）可得，， ∴， ∴，，， ∴边与边交于点时， ∴， ∴； ②当时，如图所示， 此时， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， 当时，最小值为，当时，最大值为； 当时，如图所示，与轴、分别交于点、， 此时，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，最小值为，当时，最大值为； 当时，如图所示，、与分别交于点、，过作于， 此时，，四边形是矩形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 当时，最小值为，当时，最大值为； 综上所述，当时，最小值为，最大值为，即的取值范围为． 正方形 考点05 35．（2026·天津西青·一模）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，把逆时针旋转得到，点B，E的对应点分别为D，F，的延长线与相交于点G，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可排除选项． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴，，，故A错误； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即，故C正确； 由题干可知点E是正方形中边上任意一点，所以不一定有，，故B、D错误． 36．（2026·天津河北·一模）如图，已知和正方形，，把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，，分别交于点M，N，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质可知，然后根据旋转的性质可知，，最后利用三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，， ∴，， ∴． 37．（2026·天津红桥·一模）如图，在正方形中，为边上一点，连接．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与相交于；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点（在上方），作射线；④以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，由作图可知，，可证，根据全等三角形的性质可以求出点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式即可求出的长度． 【详解】解：四边形是正方形， ， ，， ， 由作图可知，， 如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系， 则有点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 过点作轴， 在和中，， ， ，， ， 点的坐标为， 设的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ． 38．（2026·天津·一模）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边做正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点作于点，根据等角对等边得，根据勾股定理求出，，可判断①；分两种情况：当点在线段上运动时；当点在线段的延长线上运动时，分别求解，可判断②；根据条件及正方形的性质得，根据等角对等边，根据勾股定理得，，可判断③． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 当点在线段上运动时， ∵动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，点运动时间为，四边形是正方形， ∴，，， 当点与点重合时，点与点重合， 此时， ∴； 当点在线段的延长线上运动时，如图，设交于点 此时点在线段上运动，则， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴当时，关于的函数关系式为，，故结论②正确； 当正方形的对称中心与点重合时，如图， 此时点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③不正确； 综上所述，正确结论的个数是． 39．（2026·天津和平·一模）如图，正方形的边长为，点在边上，，点在边上，．将正方形截去一个角后得到一个五边形，点在线段上运动（点可与点，点重合），作矩形，其中，分别在边，上．有下列结论： ①当时，； ②矩形面积的最大值为； ③有两个不同的值满足矩形的面积为． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，根据锐角三角函数的定义可以求出，，从而可知；设，把矩形的面积用含的代数式表示出来，根据二次函数的性质求出矩形面积最大值；当矩形面积为时，可以得到关于的一元二次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， ， 正方形的边长为， ， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论①正确； 设，由①可知， 则，， 矩形的面积为， 整理得：， ，且， 当时，矩形面积有最大值，最大值为， 故结论②正确； 当矩形面积为时， 可得：， 解得：，(舍去)， 只有一个值满足矩形的面积为， 故结论③错误． 综上所述，结论正确的个数有2个． 40．（2026·天津河北·一模）如图，菱形与正方形边长均为5，连接交于点O．．点M，N分别为的中点，连接． （1）线段的长为________； （2）线段的长为________． 【答案】 2 【分析】（1）先由勾股定理求解，即求解； （2）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，再延长交于点，先证明，求出，则，再证明，求出，则，，则，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵点N为的中点， ∴； （2）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，再延长交于点， 则四边形为矩形， ∴ ∵四边形是正方形，点M为的中点 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 同理可得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴，， ∴ ∴． 41．（2026·天津南开·一模）如图，在边长为6的正方形中，点O为对角线的中点．点E在边上，过点C作直线的垂线，垂足为点H，连接． （Ⅰ）线段的长为______； （Ⅱ）F为线段延长线上一点，且，连接，线段与边相交于点G，连接，．若，则的周长为______． 【答案】 【分析】（Ⅰ）由正方形的性质可得，，由勾股定理得出，再由直角三角形的性质即可得出结果； （Ⅱ）由正方形的性质可得，，由勾股定理可得，，作于点， 证明，得出，，再证明，得出，求出，由直角三角形的性质可得，作于点，则为等腰直角三角形，求出，即可得出，由勾股定理可得，由（Ⅰ）可得，即可得出结果． 【详解】解：（Ⅰ）∵四边形是边长为6正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴； （Ⅱ）∵四边形是边长为6正方形， ∴，， ∴，， 如图，作于点， ， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点，则为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（Ⅰ）可得， ∴的周长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 42．（2026·天津滨海新区·一模）如图，四边形是正方形，点E是边上一动点（点A，B除外），点F在正方形内部．是直角三角形，，点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点H，若点E为的中点，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据正方形性质和直角三角形性质，通过互余关系证明，结合证明，从而得到和；利用点E为的中点及三角形中位线定理求出点F到的距离和水平位置，最后利用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵是直角三角形，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵点H，E，F三点共线， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，过点F作交于点M， ∵， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 43．（2026·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，为原点，等腰的顶点，．四边形是正方形，点是的中点，点在轴上． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将四边形沿轴向右平移得到四边形，点，，，的对应点分别为，，，，设． （i）如图②，当四边形与重叠部分为五边形时，，，分别与，相交于点，，，，试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围； （ii）设平移后四边形与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)（i），；（ii） 【分析】（1）连接交于点，根据等腰三角形的性质得到，求出，进而得到，再根据正方形的性质的长，即可求出； （2）（i）根据平移的性质证明四边形是矩形，进而得到和是等腰直角三角形，则，；当四边形与重叠部分为五边形时，点在的右侧，点在点的左侧，列出关于的不等式组，即可得出的取值范围； （ii）分3种情况讨论：①当时；②当时；③当时，先确定四边形与重叠部分的图形，再利用图形的面积公式表示出与的关系式，结合，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：连接交于点，   ∵等腰的顶点，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：（i）由平移的性质得，，四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵等腰，， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵点是的中点，， ∴， 由（1）得，， 由平移的性质得，，， ∵当四边形与重叠部分为五边形时，点在的右侧，点在点的左侧， ∴， 解得， 综上，，； （ii）①当时，四边形与重叠部分为四边形， 由（i）得，四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 令，则， 解得， ∴； ②当时，四边形与重叠部分为五边形， ∵， ∴， 由平移的性质得，，四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形，， 由（i）得，是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 同理①的方法可得，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值5；当和时，取得最小值4， 此时，满足题意； ∴； ③当时，四边形与重叠部分为， ∵， ∴， 由平移的性质得，，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 令，则， 解得或， ∴； 综上，的取值范围为． 矩形 考点06 44．（2026·天津北辰·一模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，E，F分别为边，上的一点，与平行，在，上各留出一个宽的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是．有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为或； ③若规定，则矩形菜园的最大面积是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【详解】解：①根据题意得：和为矩形， ∴， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时， 解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，且最大面积为： ，故③正确； 综上，正确结论有2个， 45．（2026·天津滨海新区·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，菱形的顶点，，，连接． (1)填空：如图①，点B的坐标为________，点H的坐标为________； (2)将菱形沿水平方向向右平移，得到菱形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，菱形与矩形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边，分别与相交于点M，点N，且菱形与矩形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解； （2）①由题意易得，由（1）证得是等边三角形，利用正切的定义求得，通过三角形面积公式求得的表达式，进而得到S与t的关系式，此时要使菱形与矩形重叠部分为五边形，则t的取值范围是； ②根据得出时S有最大值，再将代入表达式进行计算，最后结合图象讨论时的S，通过计算并对时的S值进行比较，确定出S的最小值，从而得出S的取值范围． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且，， ∴，， ∴； 如图，连接，交于点K， ∵四边形是菱形，且，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：①∵，， ∴， 由（1）知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ； ②当时，， 由可知，当时，， 当时，如图，设，分别交于点T，S，交于点R， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，S有最小值， ∴S的取值范围是． 46．（2026·天津北辰·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，顶点，D为边上一点，，过点D作交于E，且． (1)填空：如图①，点D的坐标为________，点E的坐标为________； (2)将沿x轴向右平移，得到，点C、O、D的对应点分别为、、．设，与四边形重叠部分的面积为S． ①如图②，若边与边相交于点M，边与相交于点N，且与四边形重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）先解求出，即可求解点D的坐标，然后证明，即可求解点E的坐标； （2）①由平移可得，，轴，然后分别解和，表示出两条直角边，再由建立函数关系式； ②当时，利用二次函数的性质可求得；当时，此时，重叠部分为， 根据，求出函数解析式，再由二次函数的性质求解得到，即可求解S的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图， 由平移可得，，轴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∴； ②当时，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，； 当时，此时，重叠部分为，如图： 由平移可得，，， 由①可得，， ∴ ∴， ∴， 整理得，， ∵，，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∴时，， 综上：当时，求S的取值范围为． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 解直角三角形及其应用、三角形综合、圆综合、四边形 6大考点概览 考点01解直角三角形及其应用 考点02三角形综合 考点03圆综合 考点04平行四边形 考点05正方形 考点06矩形 解直角三角形及其应用 考点01 1．（2026·天津和平·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的拱顶距离水面的竖直高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内，，，且测角仪，已知水平地面离水面的高度为．在测角仪顶端D处测得拱顶E的仰角为，在测角仪顶端C处测得拱顶E的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算拱顶距离水面的竖直高度（结果取整数）．参考数据：，． 2．（2026·天津北辰·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量北辰公园内北极星雕塑的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，，，且．在D处测得北极星雕塑顶部B的仰角为，在F处测得北极星雕塑顶部B的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算北极星雕塑的高度（结果取整数）．参考数据：，． 3．（2026·天津东丽·一模）某校组织学生到京杭大运河天津段流域开展研学活动．数学兴趣小组想测量两岸平行的大运河某处的宽度，设计了一个方案，如图，在该河段对岸岸边取一点A为参照点，于所在的河岸边任取两点B，C（点A，B，C在同一平面内），测得，，，求这段大运河的宽度（结果取整数）． 参考数据：，． 4．（2026·天津滨海新区·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量校园附近一座信号塔的高度． 某校研究性学习小组设计了一个方案：如图，该信号塔垂直于水平地面，其前方有一段台阶，台阶顶端D距离地面的高度，点E，C，A在同一条水平直线上，且．在点C处测得塔顶B的仰角为，又在台阶顶端D处测得塔顶B的仰角为． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 5．（2026·天津河东·一模）天津海河桥梁被誉为“桥梁露天博物馆”，每座桥都有不同的风格与样式，有“一桥一景”的美誉．某数学兴趣小组在实践活动中，欲测量其中一座跨海河桥的桥塔的塔顶到水面的距离．如图，桥塔塔顶到水面的距离为，点，是水平地面上两点，地面高出水面2米，且与点，均在同一竖直平面内．他们在地面处用高1.5米的测角仪测得桥塔顶端的仰角为，然后向桥塔方向前进39米到达处，用高1.5米的测角仪又测得仰角为．根据该兴趣小组测得的数据，求桥塔塔顶到水面的距离（结果取整数）．参考数据：，． 6．（2026·天津红桥·一模）在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一个池塘两端的距离（如图）．某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西方向，再沿正西方向前行220m到达C处，测得B处在C处的北偏东方向．根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的距离（结果保留整数）．参考数据：，，，． 7．（2026·天津·一模）京杭大运河是世界上里程最长、工程最大的古代运河，是最古老的运河之一（如图①）．为弘扬运河文化，某校组织学生到京杭大运河天津段流域开展研学活动．数学兴趣小组想测量两岸平行的大运河某处的宽度，设计了一个方案，如图②，在该河段对岸岸边取一点为参照点，于所在的河岸边任取两点，（点，，在同一平面内），测得，，，求这段大运河的宽度（结果取整数）．参考数据：，． 8．（2026·天津河北·一模）分别从两建筑物，的顶端A，C观察地面上一点E，点B，E，D在一条直线上，从点A观察点E的俯角为，从点C观察点E的俯角为，若建筑物比高，点B，D之间的距离为．求建筑物，的高（结果取整数）．（参考数据：取，取．） 9．（2026·天津南开·一模）如图，为了求出小山的高度，某学习小组设计了如下方案：点，，依次在同一条水平直线上，在直线上的处和处竖立标杆和，于点，于点，且，和在同一平面内．在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上；在直线上的处，看到山顶和标杆顶端在一条直线上．若，测得，，．根据该学习小组测得的数据，计算小山的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 三角形综合 考点02 10．（2026·天津河西·一模）在中，，，斜边，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 11．（2026·天津东丽·一模）如图，是等腰直角三角形，，，边长为的正方形的顶点D，E，F分别在的边，，上． （Ⅰ）点F到边的距离为__________； （Ⅱ）的长为__________． 12．（2026·天津红桥·一模）如图，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，，过点D作，垂足为E． （1）线段的长为________； （2）F为的中点，G为边上一点，若，则线段的长为________． 13．（2026·天津河东·一模）如图，在中，，，，点是边上的中点． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）点在外，满足，且，连接，射线交于点，则的面积为________． 圆综合 考点03 14．（2026·天津南开·一模）如图，的三个顶点都在一圆上，将绕A点顺时针方向旋转，得到，B，C的对应点分别为点和点，且恰也落在此圆上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·天津河西·一模）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． (1)求和的大小； (2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 16．（2026·天津西青·一模）已知是的直径，线段和是的弦． (1)如图①，，垂足是E，若的半径是5，，求弦，的长； (2)如图②，点C是的中点，过点A作的切线，与的延长线交于点M，连接，若，求和的大小． 17．（2026·天津南开·一模）为的直径，为的切线，为切点，弦，垂足为点，，连接，． (1)如图，若，求和大小； (2)如图，若，，求的半径和的长． 18．（2026·天津河北·一模）已知是的切线，切点为C，连接，与有一个公共点E，为直径． (1)如图①，点D在上，，，，求的大小与线段的长； (2)如图②，点D在外，切于点E，G为上一点，连接，，，若，，求的大小． 19．（2026·天津·一模）如图，是的直径，，分别与相切于点B，D，连接，E是的延长线上一点，连接，并延长交于点F． (1)若，求的度数 (2)若，，，求的长． 20．（2026·天津和平·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接． (1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径． 21．（2026·天津北辰·一模）已知中，，为的直径，，与分别相交于点D，E，弦，垂足为G，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若经过点O，过点E作的切线，交于点H，的半径为3，求和的长． 22．（2026·天津河东·一模）已知，，过点，且与边切于点，点是上一点． (1)如图①，若，点在上，且与边交于点，连接和，求的大小； (2)如图②，点为中点，与边交于点，连接，当时，若，，，求的长． 23．（2026·天津·一模）已知内接于，，，是的直径，连接． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，过点作的切线，与交于点，若，求的长． 24．（2026·天津红桥·一模）已知锐角三角形内接于，，为的直径，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点A作的切线，与的延长线相交于点P．若，，求线段的长． 25．（2026·天津滨海新区·一模）已知是的直径，，是的弦．      (1)如图①，若E为的中点，，求和的大小； (2)如图②，若是的直径，过点D作的切线交延长线于点C，连接．，，求的长． 平行四边形 考点04 26．（2026·天津南开·一模）如图，四边形为平行四边形，平分交边于点，，垂足为点，若．按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点和点； ②连接，与相交于点， ③连接，则线段的长为（    ） A．4 B．3.5 C．3 D．2.5 27．（2026·天津河北·一模）如图，在中，以点D为圆心，小于线段长为半径画弧交边于E点，以点B为圆心，线段长为半径画弧，分别交边，于点F，G，连接，，连接，交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（2026·天津河北·一模）如图，在中，，点P从点A出发以3个单位长度每秒的速度沿的路径移动，点Q从点A出发以1个单位长度每秒的速度由点A向点B移动．点P到达C点或点Q到达B点时，点P，Q均停止移动．若，，连接，，．有下列结论：①点P可以到达C点；②的面积可以为；③至少有两个时刻，的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 29．（2026·天津河东·一模）平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示． 有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③存在两个的值，使得的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 六、填4空题 30．（2026·天津西青·一模）如图，中，，，，E为边中点，对角线相交于点O，F是线段中点，连接． ①线段的长是______； ②线段的长是______． 七、解4答题 31．（2026·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，为原点，是一个平行四边形纸片，顶点，，点在第二象限． (1)如图，填空：的长是________，点的坐标是________，的长是________； (2)若为边上一动点，过点作直线平行于轴，交边于点，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为点．设． 如图，当点落在平行四边形纸片上时．试用含有的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； 当直线与轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）． 32．（2026·天津红桥·一模）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 33．（2026·天津东丽·一模）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点及，，，点在轴负半轴上，点在第一象限，边交轴于点．是等腰直角三角形，，点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边交于点，与边交于点，与重合部分为四边形时，试用含的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 34．（2026·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，，点在轴负半轴上，点在第一象限，边交轴于点．是等腰直角三角形，，点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边交于点，与边交于点，与重合部分为四边形时，试用含的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 正方形 考点05 35．（2026·天津西青·一模）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，把逆时针旋转得到，点B，E的对应点分别为D，F，的延长线与相交于点G，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 36．（2026·天津河北·一模）如图，已知和正方形，，把绕点A旋转得到，点B，C的对应点分别是点F，G，当点G在的延长线上时，，分别交于点M，N，的大小为（   ） A． B． C． D． 37．（2026·天津红桥·一模）如图，在正方形中，为边上一点，连接．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与相交于；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点（在上方），作射线；④以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 38．（2026·天津·一模）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边做正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 39．（2026·天津和平·一模）如图，正方形的边长为，点在边上，，点在边上，．将正方形截去一个角后得到一个五边形，点在线段上运动（点可与点，点重合），作矩形，其中，分别在边，上．有下列结论： ①当时，； ②矩形面积的最大值为； ③有两个不同的值满足矩形的面积为． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 40．（2026·天津河北·一模）如图，菱形与正方形边长均为5，连接交于点O．．点M，N分别为的中点，连接． （1）线段的长为________； （2）线段的长为________． 41．（2026·天津南开·一模）如图，在边长为6的正方形中，点O为对角线的中点．点E在边上，过点C作直线的垂线，垂足为点H，连接． （Ⅰ）线段的长为______； （Ⅱ）F为线段延长线上一点，且，连接，线段与边相交于点G，连接，．若，则的周长为______． 42．（2026·天津滨海新区·一模）如图，四边形是正方形，点E是边上一动点（点A，B除外），点F在正方形内部．是直角三角形，，点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点H，若点E为的中点，，则的长为________． 43．（2026·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，为原点，等腰的顶点，．四边形是正方形，点是的中点，点在轴上． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将四边形沿轴向右平移得到四边形，点，，，的对应点分别为，，，，设． （i）如图②，当四边形与重叠部分为五边形时，，，分别与，相交于点，，，，试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围； （ii）设平移后四边形与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 矩形 考点06 44．（2026·天津北辰·一模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，E，F分别为边，上的一点，与平行，在，上各留出一个宽的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是．有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为或； ③若规定，则矩形菜园的最大面积是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 45．（2026·天津滨海新区·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，菱形的顶点，，，连接． (1)填空：如图①，点B的坐标为________，点H的坐标为________； (2)将菱形沿水平方向向右平移，得到菱形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，菱形与矩形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边，分别与相交于点M，点N，且菱形与矩形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 46．（2026·天津北辰·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，顶点，D为边上一点，，过点D作交于E，且． (1)填空：如图①，点D的坐标为________，点E的坐标为________； (2)将沿x轴向右平移，得到，点C、O、D的对应点分别为、、．设，与四边形重叠部分的面积为S． ①如图②，若边与边相交于点M，边与相交于点N，且与四边形重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $