专题05 二次函数、几何综合解答题压轴（2大考点）（天津专用）2026年中考数学一模分类汇编

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05二次函数、几何综合解答题压轴 ☆2大考点概览 考点01二次函数解答题压轴 考点02几何综合解答题压轴 考点01 二次函数解答题压轴 1.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,C为常数，a<0)的顶点为P,且2a+b=0,与x轴交于点A,B(点 A在点B左侧)，与y轴交于点C,对称轴交x轴于点N,O为坐标原点. (1)当a=-1,c=8时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)若点B(3,0),且PN=BC,求a的值： (3)点M(m,n(0<n<-a+c)在对称轴上，LABP=75°，当AM+MB+MP的最小值等于4V5+4时，求 点M的坐标和a的值。 【答案】(1)(1,9)》 2)a=-3v5 ③M1,25,a=2+5 3 2 【分析】(1)根据a=-1和2a+b=0求出b的值，即可得到二次函数的解析式；把二次函数的解析式整理 成顶点坐标式，即可得到抛物线顶点P的坐标； (2)把b、c用含a的式子表示出来，可得二次函数的解析式为y=ax2-2ar-3a,可得点C的坐标为 0,-3a,点P的坐标为1，-4a,根据PN=BC列出关于a的方程，解方程即可求出a的值； (3)根据轴对称的性质可知：点B,M,G共线时，AM+BM+MP有最小值4√3+4，求出二次函数的 解析式为y=ax2-2ax+a+4+2V3,根据抛物线过B(3,0),可得：0=9a-6a+a+4+2√3，解方程即可求 出a的值. 【详解】(1)解：：2a+b=0,a=-1, b=2, 又c=8, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9, ·该抛物线顶点P的坐标为(1,9)； (2)解：如图①所示，：2a+b=0, .b=-2a,且- b=1, 2a 图① ·y=ax2-2ax+c,且对称轴为直线x=1, 又B(3,0, 可得：0=9a-6a+c, .C=-3a, 即y=ax2-2ax-3a, :点C的坐标为0，-3a,点P的坐标为1，-4a, 又：PN=BC, .PN2 BC2 =OC2+OB2, .16a2=9a2+9 又：a<0, as-3V分 (3)解：如图②所示，：2a+b=0, 由(2)知y=ax2-2ax+c,且对称轴为直线x=1, ·点P的坐标为1，-a+c), 又点M(m,n),(0<n<-a+c)在对称轴上， ·点M的坐标为1，n), 如图，过点P作∠NPE=30°，过点M作MG⊥PE,垂足为G,连接BM, 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA G :PM =2GM, E 、M AO N B主 图② 又AM=BM, ∴.AM+BM+MP=2(BM+GM, :点B,M,G共线，即BM+GM=BG时，AM+BM+MP有最小值， 又：AM+MB+MP的最小值等于4√5+4， :BG=2+25, PN⊥AB,∠ABP=75°， .∠BPM=15°， :∠BPG=∠BPM+∠MPG=45°， “△BPG为等腰直角三角形， :PG=BG=2+23, 又∠MPG=30°， .GM= 3 PG=2+23 3 .PM=2GM=4+ 4V5 3 AM BM PG-GM=43 31 又LNBM=∠ABP-∠GBP=30°， :MN=BM-213.BN=5 BM=2. 3 B(3,0, .PN=PM+MW=4+25, -a+c=4+2V5,即c=a+4+2V5, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又y=ax2-2ax+a+4+2V3过B(3,0), 0=9a-6a+a+4+2V5, “a=-2+5 2.(25-26九天津河北区)己知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a>0),与y轴交于点C,点D为 拋物线顶点，2a-b=0. (1)若b=2,c=3,求抛物线顶点D的坐标： (2)若点P(3,3)在抛物线上，过点M(3,5)作x轴的平行线交抛物线第一象限的部分于点H,连接PH,过点 N(2,3)作y轴的平行线交抛物线于点I,连接PN. ①当MP=2NI时，求点I的坐标与拋物线的解析式； ②当15NI-7MH=7时，求a的值. 【答案】(1)-1,2 26 (②①12,2，y=x+与x+7②V19-2 7 7 15 【分析】(1)根据题干条件写出抛物线的解析式，化为顶点式后得出顶点坐标； (2)①根据题干可得二次函数的表达式为y=ax2+2ax+3-15a,从而得到点I的坐标为(2,3-7a),则 N1=7a,容易得到MP=2,结合MP=2NI计算出a的值，最后写出点I的坐标和抛物线的解析式即可； ②由①可知，NI=7a,结合15N1-7MH=7可得MH=15a-1,分析函数的图象与性质可知，点H在点 M的右侧，因此点H的坐标为(15a+2,5),将点H(15a+2,5)代入y=ax2+2ax+3-15a,解方程求出a的 值。 【详解】(1)解：：2a-b=0,b=2,c=3, .a=1, :抛物线为y=x2+2x+3=（x+1)2+2, 顶点D的坐标为-1,2)： (2)解：①：2a-b=0, b=2a, .y=ax2+2ax+c, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将点P(3,3)代入y=ax2+2ax+c,得3=9a+6a+c, ∴.c=3-15, y=ax2+2ax+3-15a, :NI∥y轴，且点N的坐标为(2,3)， 点I的坐标为(2,3-7a, NM=3-(3-7al=l7a, a>0, N1=7a, P3,3),M(3,5, .MP=2, MP =2NI, .NI=1, 7a=1,即a- 点的坐标为2,2引，抛物线的解析式为y=)+弓+ + 7 ②由①可知，y=ax2+2ax+3-15a,N1=7a, :15N1-7MH=7, .MH=15a-1, :MH∥x轴，且点M的坐标为(3,5)， 点H的坐标为15a+2,5或(4-15a,5), 如图， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M H D :抛物线过点P(3,3),图象开口向上， .点M(3,5)在抛物线内部， 又：抛物线的对称轴为直线x=- 2a 1， :直线MH与抛物线在第一象限只有一个交点， .点H在点M的右侧，即点H的坐标为15a+2,5), 将点H(15a+2,5)代入y=ax2+2ax+3-15a,得： 5=a(15a+22+2a(15a+2+3-15a, 整理，得15a+2)15a2+4a-1)=0, :15a+2>0, .15a2+4a-1=0, 解得a=9-2或a=9-2(负值，舍去)。 15 15 :a=9-2 15 3.(25-26九天津河东区)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a>0,b<0). (1)当a=1,b=-2,c=-3时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点A(-1,0)和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点. ①当a=2时，若点D在抛物线上，∠CBD=90°，BC=BD,求点D的坐标； ②若点B-c,O),点E在线段OC上，且∠ABE=2LCBE,线段BE与抛物线的对称轴1的交点为F,点G, H分别为线段BE,BA上的动点，当AG+GH+FH取得最小值为5√5时，求点E的坐标. 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)抛物线顶点P的坐标为1，-4) 5 133 (2)①点D的坐标为 4’4 ②点E的坐标为 6 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性 质是解题的关键。 (1)将二次函数化为顶点式进行判断即可；点D在第二象限，过点D作DH⊥x轴于点H, (2)①求出抛物线解析式为y=2x2+br+b-2,证明aBDH≌aCB0(AAS),得到点D的坐标为 张0整我y-26-让等到1宁经小任-小办-2，胸 6=2:6=2,即可得到答案： ②求出∠ABE=30°，根据题意，点A与点A关于直线BE对称，点F与点F关于x轴对称，则 0+GH+FH之AP',即F'=5B,点F在直线上△AB为等边三角形，AP31-c)上53了 即可得到答案. 【详解】(1)解：a=1,b=-2,c=-3, :该抛物线的解析式为y=x2-2x-3, y=x2-2x-3=(x-1)2-4, :该抛物线顶点P的坐标为1，-4)； (2)解：①：点A-1,0)在抛物线y=ax2+bx+c上， 0=a-b+c,即c=b-a, 又：a=2,点C(0,c), 0C=-C=2-b,A0=1,B0=1-b :抛物线解析式为y=2x2+bx+b-2, 如图，点D在第二象限，过点D作DH⊥x轴于点H, ∠BHD=90°， ∠HBD+∠BDH=90°， ∠CBD=90°， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CB0+∠HBD=90°， :∠BDH=∠CBO,又BC=BD, △BDH≌△CBO(AAS), EDH=B0=1名BH=0C=2- :OH BH -BO, :0H=1号 点D的华标为[-1-》， :点D在抛物线y=2x2+bx+b-2上， 192+小+6-2 整理得，2b2-3b-2=0, 解得么=子6-2， b<0, “b2=2,不合题意，舍去， b=2' 1 ·点D的坐标为 HV O B ②：点A(-1,0)和点B(-c,0)为抛物线与x轴的两个交点， :0=a-b+c,0=ac-b+1,解得，a=1, ”点C为抛物线与y轴的交点， 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0C=0B=-c, ∠ABC=45°， :点E在线段OC上，且∠ABE=2∠CBE, LABE=30°， 根据题意，点A与点A关于直线BE对称，点G与点G关于x轴对称， 则AG+GH+FH≥A'F, :AG+GH+FH取得最小值为5V3, A'F=5V5, :点F在直线I上，△ABA'为等边三角形， AB=A'B=1-c,∠BA'F=30°，∠A'BF=30°+60°=90°， ÷cos∠BAF=cos30°=4'B AF AAF=251-c=55, 3 解得，c=13 , ÷083 :∠ABE=30°， .tan∠ABE=tan30°= OE OB 0E=135 6 ·点E的坐标为 13v5 0. 6 E 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0)的顶点为P,且2a+b=0,与x轴交于点A,B(点 A在点B左侧)，与y轴交于点C,对称轴交x轴于点N,O为坐标原点. (1)当a=-1,c=8时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)若点B(3,0),且PN=BC,求a的值： (3)若点M(m,n)(0<n<-a+c在对称轴上，∠ABP=75°，当AM+MB+MP的最小值等于43+4时，求 点M的坐标和a的值. 【答案】(1)1,9 (2)a=-3V5 7 23 (3)M 3 a=-2+3 2 【分析】(1)先根据2a+b=0,Q=-1求出b=2,再将抛物线解析式写成顶点式，即可得顶点P的坐标； (2)先由2a+b=0得-b=1,则抛物线对称轴为直线x=1,再将83,0)代入抛物线解析式得出c=-3a, 2a 则y=ax2-2ax-3a,再用a表示出C、P的坐标，再根据PN=BC列方程求解； (3)由(2)知y=ax2-2ax+c,且对称轴为直线x=1,则点M(1,n),如图，过点P作∠NPE=30°，过 点M作MG⊥PE,垂足为G,连接BM,则PM=2GM,再根据抛物线的对称性得AM=BM,则 AM+BM+MP=2(BM+GM),得点B,M,G共线，即BM+GM=BG时，AM+BM+MP有最小值， 即可求解。 【详解】(1)解：：2a+b=0,a=-1, b=2, 又：e=8, ∴y=-x2+2x+8=-(x-12+9, :该抛物线顶点P的坐标为(1,9)； (2)解：如图①，：2a+b=0, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6=-20,且-=1. 2a 图① y=ax2-2ax+c,且对称轴为直线x=1, :B3,0), ∴.0=9a-6a+c, .c=-3a, 即y=ax2-2ax-3a, ∴.C0,-3a,P(1,-4a, 又：PN=BC, .PN2 BC2 =OC2+0B2, 即16a2=9a2+9, 又：a<0, 37 ∴.a=- 7； (3)解：如图②，：2a+b=0,由(2)知y=ax2-2ax+c,且对称轴为直线x=1, G .P(1,-a+c, E M AoB衣 图② 又：点M(m,n)(0<n<-a+c在对称轴上， :点M(L,n), 如图，过点P作∠NPE=30°，过点M作MG⊥PE,垂足为G,连接BM, :PM =2GM 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：AM=BM, ∴.AM+BM+MP=2(BM+GM, :点B,M,，G共线，即BM+GM=BG时，AM+BM+MP有最小值， 又：AM+MB+MP的最小值等于4√5+4， BG=2+2V5, :PN⊥AB,∠ABP=75°， ∠BPM=15°， ∠BPG=∠BPM+∠MPG=45°， ∴△BPG为等腰直角三角形， .PG=BG=2+2V5, 又：∠MPG=30°， :GM=5PG=2+25 3 .PM=2GM=4+ 45 3 AM BM-PG-GM=4 3 又，∠NBM=∠ABP-∠GBP=30°， ww25,N= -BM =2, B(3,0), :PN PM MN =4+23, .-a+c=4+2V5,即c=a+4+25, 又y=ax2-2ax+a+4+2V3过B(3,0), 0=9a-6a+a+4+2V5, 2+V3 ∴.a=- 2 5.(25-26九·天津北辰区一模)已知抛物线y= x+x-4(b为常数)的顶点为D,与x轴相交于点 A-2,0)和点B,与y轴相交于点C. (1)求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)点P为对称轴上一点，连接BP,将线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点Q恰好落在抛物线 上，求此时点P的坐标； (3)在线段BC上，是否存在一点H,使2AH+√2BH的值最小？若存在，求出点H的坐标，并求出最小值： 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 题物战帮新式为女-子4，顶直0坐标为-草） 2 (2) 点P的坐标为(3,9或(3，-5 (3) 存在，点H的坐标为(4，-2)，2AH+√2BH的最小值为60 【分析】(1)将A点坐标代入抛物线解析式，解出b即可得到抛物线解析式，然后将抛物线解析式化成顶点 式，即可求出顶点坐标； (2)设对称轴与x轴交于点E,设P(3,P),E(3,0),分点P在x轴上方和点P在x轴下方两种情况进行讨 论求解即可； (3)过B点作射线BM,使∠HBM=45°，过H点作HK⊥BM垂足为K,先证得△BHK为直角等腰三角形， 进而可知当A,H,K三点共线时，2AH+√2BH取到最小值，先证明LACB=90°，然后求出BC解析式，设 H,h-40<h<8,然后利用CH=4C解出A,进而可求出H点，进面可求出2AH+N2BH的最小值. D解：三2+bx-4(b为常数)的顶点为D,与x轴相交于点2 0=1x-22-2b-4, 4 解得：b=-3 123 故抛物线解析式为：y= 4 x-4, 2 y=x2- 4 x-4=x-325 4 4 :顶点D坐标为-》 2》解：令y=0,即x-3-5=0, 4 解得x=-2或x=8, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·B点坐标为8,0)， :线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点Q恰好落在抛物线上， :△QPB为直角等腰三角形， 如图，设对称轴与x轴交于点E,设P(3,p),E(3,0), BE=8-3=5,EP=p 当点P在x轴下方时， :△QPB为直角等腰三角形， ∠EBP=45°， :BE =EP, 5=p, :点P在x轴下方时， p=-5, 3,-5)； 当点B在x轴上方时，过☑点作Q2M⊥对称轴，垂足为M点， ∠Mg,P+∠MP22=∠MPQ2+∠BPE=90°， ∠MQ2P=∠BP,E, 又：∠Q2MP=∠EBP,BP=MQ2, △MQ,P,≌△EP,B(AAS）, .EP=MO2 p,MP =BE=5, .ME=MP,+PE=5+p 02p+3,5+p), :点B的对应点Q恰好落在抛物线上， 5+p4p+3- 2p+3)-4, 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：p=9或p=-5（舍)， 故P2(3,9), 综上，点P的坐标为3,9)或(3，-5)· M------ g E A(2) P C (3)解：如图，过B点作射线BM,使∠HBM=45°，过H点作HK⊥BM垂足为K, :∠HBM=45°，HK⊥BM, :.△BHK为直角等腰三角形， .BH=√2HK,∠BHK=45°， √2BH=2HK, :2AH+2BH =2AH+2HK22AK, :当A,H,K三点共线时，2AH+√2BH取到最小值， :抛物线解新式为y -x-4, “x=0时，y=4, 故C点坐标为0，-4)， 点A-2,0),点B(8,0), AB=10,AC=V22+42=2V5,BC=V82+42=4V5, .AB2 =AC2+BC2, ∠ACB=90°， 设BC解析式为y=kx+m, 代入B(8,0),C(0,-4)得∫0=8k+m, (m=-4 解得= 2,m三-4， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 :BC解析式为y=。x-4, 2 又：H在线段BC上， :设色-4水0<h<8, ∠BHK=45°， .∠AHC=45°， :CH=AC=25, .C- =2W5, 解得：h=±4， 0<h<8, h=4, 此时H(4,-2,BH=8-42+(-22=2W5,4H=4-(-2]+(-22=210, :.此时2AH+√2BH的值最小为：2×2V10+√2×2√5=6√10. 6.已知抛物线y=-x2+bx+c(b,c为常数，b>0)经过点A(-1,0),与x轴交于点B,与y轴交于点C. (1)当b=4时，求抛物线的顶点坐标： (2)点D(b+2,yD)是抛物线上任意一点. ①当AD=2BC时，求b的值； ②若点M(m,0)是x轴正半轴上的动点，当2DM+AM的最小值为5+5√5时，求b的值. 【答案】(1)2,9列 (2)①b=1;②b=2 【分析】(1)待定系数法求函数解析式，然后利用顶点式求顶点坐标； (2)①表示出点D的坐标，过点D作DE⊥x轴，则E(b+2,0),得出相关线段的长度，然后列方程求解： 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②在x轴上方构造RtaAMN,使得∠ANM=90°，∠MAN=30°，则MN=】AM,确定2DM+AM何时取 2 得最小值，利用锐角三角函数表示出相关线段的长度，然后列出方程求解. 【详解】(1)解：：拋物线y=-x2+bx+c经过点A-1,0), .-1-b+c=0,即c=b+1, 当b=4时，y=-x2+4x+5=-(x-22+9. :拋物线的顶点坐标为(2,9)； (2)解：①如图所示， BE 由(1)知，抛物线的解析式为y=-x2+bx+b+1, :点D(b+2,yD)是拋物线y=-x2+bx+b+1上一点， ∴yD=-(b+2)+b(b+2)+b+1=-b-3, 由6>0，得b+2>b>2>0,-b-3<0, 2 ·点D(b+2,-b-3引在第四象限，且在抛物线对称轴x=的右侧。 2 过点D作DE⊥x轴，则E(b+2,0), ·AE=b+2+1=b+3,DE=0--b-3=b+3, .DE=AE=b+3. .AD=√2DE=√2(b+3). 当y=0时，则-x2+bx+b+1=0,解得x=b+1或x=-1, 当x=0时，y=b+1, 抛物线y=-x2+bx+b+1与x轴交点B(b+1,0),与y轴交点C(0,b+1, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 可得0B=0C=b+1. BC=√2OB=V2(b+1). :AD =2BC, .√2(b+3)=2W2b+1. 解得b=1: ②如图所示，在x结上方构造R4MV,使得∠4NM=90,∠MN=30°，则MN4M。 BE 由2DM+AM=2 DM+号4M=2(DM+MN可知，点D,M,N在一条直线上且DNL4N时， 2DM+AM取得最小值，此时2DM+AM=2DN=5+5√5， 在RtAAMN中，AM=m+1, A-(n). 在Rt△DME中，∠DME=∠AMN=60°，DE=b+3, tan∠DMEg,DM= .ME= DE b+3 DE 2(b+3) -sin∠DMEV3 由(1)知DE=AE=b+3,即DE=AM+ME=b+3, 可得b+3=(m+1)+ 则a2- b+3 2DN=2(DM+MW)=5+5V3, 2x2b+3到+m+l=5+55. √3 将m=3-5b+2-5代入上式， 3 解得b=2. 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.己知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0,b>0)经过点A(-1,0). (1)当b=2,c=4时，求该抛物线顶点P的坐标： (2)点B是抛物线与x轴的另一个交点，点C是抛物线与y轴的交点. ①当c=4时，若∠CAB=2LABC,求a的值： ②M为第三象限内抛物线上一点，若B0=4C0,LABM=LABC,当S△MBc=8b+6时，求点M的坐标. 【答案】(1)顶点P的坐标为 19 22 @点M的坐标为2-引 20a=-1 【分析】(1)先求解函数的解析式，化为顶点式即可求解； (2)①先表示出函数解析式，添加合适的辅助线，根据勾股定理求解A'C的长度，再根据点B的坐标求解 即可； ②先证明得到直线BC与直线BM关于x轴对称.再表示出点M的坐标，添加辅助线，根据三角形面积的关 系求解即可 【详解】(1)解：：抛物线经过点A-1,0), ∴.a-b+c=0. b=2,C=4, a=b-c=-2. 该抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4. 1)2 9 y=-2x-2)+2 :该抛物线顶点P的坐标为22) 19 4 (2)(2)①：a-b+c=0,c= 3 4 4 OC=-,b=a+c=a+ 3 :a<0,b>0, 该能物线的解新式为y=a以+e+》+引子a<0 如图，在x轴上取点A'(1,0),连接CA 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :0A=0A'=1, :CA=CA', ∠CA'O=∠CAB. :∠CAB=2∠ABC,LCA'O=∠A'CB+∠ABC, ∠ACB=∠A'BC, :A'B A'C AC=0+0C=3 5 8 ..OB=OA'+AB= 3· 8。 :点B的坐标为 30 :点B在抛物线上， 82 +a+0.解a= 8 3a+ ②由y=ax2+(a+cx+c,得点C的坐标为0，c),c=b-a>0. :B0=4C0, 1 :点B的坐标为4c,0).可得BC的解析式为y=4x+c :点B在抛物线上， (4c·a+(a+c×4c+c=0.得16ac+4a+4c+1=0. :(4a+1(4e+1=0.又4c+1>0,得a=- 4 :∠ABM=∠ABC, ·直线BC与直线BM关于x轴对称. 上直线a的解折式为y-子-e,夜点Mm子+e-m+c c-m+cm-c,得m+2D 4 解得m1=-2,m2=4c(舍). 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图，过点M作MH⊥y轴，垂足为H. B M H 设直线MB与y轴相交于点N,可得ON=OC=c· SMw-c+Sc-MHCN+OB-CN 2 5×2x2c+×4cx2c=4c2+2c 2 :S△MBc=8b+6=8c+4, .4c2+2c=8c+4.即2c2-3c-2=0. (2c+1(c-2)=0 解得G=2,0,=2 (舍). 点M的坐标为 2 8.(25-26九天津和平区)已知抛物线y=ax2+bx-3(a,b是常数，a>0)与x轴相交于点A-1,0)和点B, 与y轴相交于点C,将点C水平向右平移2个单位长度得到点D,连接BC, (1)当点D落在该抛物线上时， ①求抛物线的解析式： ②抛物线上的点E的横坐标为m,且-1<m<0,若∠CBE+∠AC0=45°，求点E的坐标； (2)点M是线段BC上一动点，连接OM,点N是射线CD上一动点，且满足CN=CM,连接BN.当 0M+BN的最小值为√34时，求a的值， 【答案】0y=x2-2x-3②E-?,-川 3-9 a a=1 【分析】(1)①先根据平移得D(2,-3),再把D(2,-3),A(-1,0)分别代入y=ax2+bx-3,解得 b=-21 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即y=x2-2x-3; ②算出B(3,0),则L0BC=∠0CB=45°，证明△B0T≌aC0A(ASA),再求出直线BT的解析式为y=二x-1 23 y=x2-2x-3 依题意得 大，，解得x二=3,5=2 1 y= 6 。=弓，又因为抛物线上的点E的横坐标为m, 211 且-1<m<0,故(mm-2m-3到，放把m=x=号代入m2-2m-3,得子母月 2)根据=次函数的图象性质，有日)，C0,-引，0C=3,过点C作射线CF1c8交揽物线于点F 在射线CF上取一点G,使CG=C0,连接GN,BG,再证明△COM≌aCGN(SAS),则 OM+BN=NG+BN≥BG,又因为0M+BN的最小值为V34,即BG=√34，再结合勾股定理列式 BG2=BC2+CG2计算，得16=号，解得a= 9 a 【详解】(1)解：①依题意，抛物线y=ax2+bx-3与y轴相交于点C, C(0,-3, :将点C水平向右平移2个单位长度得到点D,点D落在该抛物线上， D(2,-3), 把D(2,-3),A(-1,0分别代入y=ax2+bx-3, -3=4a+2b-3 得 0=a-b-3' a=1 解得b=2 .y=x2-2x-3, ②由①得y=x2-2x-3,C(0,-3),A-1,0), 0C=3,A0=1, 连接BE,与y轴相交于点T,如图所示： 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B 0 E D 当y=0时，则x2-2x-3=0, 即(x+1川x-3)=0, 解得x1=-1,x2=3, B3,0, 0B=3 ∴.0C=0B=3, :∠B0C=90°， :∠0BC=∠0CB=45° 即∠CBE+∠ABE=45° :∠CBE+∠ACO=45 ∴.∠ABE=∠ACO, :∠B0T=∠C0A=90°，B0=C0=3 .△B0T≌△COA(ASA .0T=0A=1 T(0,-1 设直线BT的解析式为y=kx+n(k≠O) 把T(0,-1),B(3,0)代入y=x+n, 「-1=0+n 得 0=3k+n n=-1 解得 1， k= 3 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 y=5x-1, 3 y=x2-2x-3 依题意得 31 1 y 1 x2-2x-3=5x-1, 3 整理得3x2-7x-6=0, :△=b2-4ac=(-7)2-4×3×(-6)=121, “x=--7±I2i 6 7+11 =3,x= 7-112 解得x= 6 6=-3 :抛物线上的点E的横坐标为m,且-1<m<0, Em,m2-2m-3, 起m入-a-2) 即》 (2)解：：抛物线y=ax2+bx-3(a,b是常数，a>0)与x轴相交于点A-1,0), 0=a-b-3, b=a-3, 令y=0,则0=ax2+bx-3=(ax-3)川x+1), 3 解得x=-1,x2= a :抛物线y=ax2+bx-3(a,b是常数，a>0)与x轴相交于点A-1,0)和点B,与y轴相交于点C, C(0,-3),0C=3 a' :将点C水平向右平移2个单位长度得到点D, 射线CD的解析式为y=-3 过点C作射线CF⊥CB交抛物线于点F,在射线CF上取一点G,使CG=CO,连接GN,BG, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B G :CD∥x轴，CF⊥CB, ∠0CD=∠GCB=90°， LOCD-∠BCD=LGCB-∠BCD, 即∠OCM=∠GCN, .CG=CO=3,CN=CM, .△COM≌aCGN(SAS), .OM=NG, .OM+BN=NG+BN≥BG. :OM+BN的最小值为√34 BG=34 :B30 C(0,-3, a :∠GCB=90°，BG=V34,CG=3 .BG2=BC2+CG2 9 34=9+2+9 9 16= a 4=4>0,4=-3 3 4 0(舍去) 9.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C. (1)已知B(1,0),C0,4,求抛物线的解析式： (2)在(1)的条件下， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①点D是线段OC上的一动点，连接AD,BD,将△ABD沿直线AD翻折，得到AB'D,当点B恰好落在 抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； ②将抛物线位于y轴及y轴左侧的部分记为函数%，过点C作直线L,∥x轴，将原抛物线位于y轴右侧的部 分沿直线L翻折，翻折后的部分记为函数%，函数%和函数形成新的函数w,在4上任取点Q,过点Q 作直线L,∥AC，当L2与函数w只有两个公共点时，直接写出L2的解析式 (3)已知A(-c,0),c>0,动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，交抛物线于点F, 点F在第一象限，过点F作FG1x轴，垂足为G,当FG+2FP的最大值为2时，求b的值。 【答案】(1)y=-x2-3x+4 ②y=x+8 (3)-3 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)①过B作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到4B=4B=5,4日-号由 AB'=AB=5=2AH,推出∠DAB=∠BAB=30°，解直角三角形得到0D的长，即可解答； ②先求得直线AC的函数表达式为y=x+4,进而可设直线L2的函数表达式为y=x+m,由折叠性质，可画 图分析，当m>4时，只有当直线L与函数州的图象相切时，与函数%的图象有一个交点，此时函数L2与 函数w的图象只有两个公共点，联立方程组，令△=0求得m值即可解答： (3)如图，设PF与AC交于点E,过P作PQ⊥PF交GF延长线于Q,则PQ∥AC,利用等腰直角三角 形的判定与性质，结合平行线的性质得到QF=√2FP,则可得√2FG+2FP=√2QG,当QG取最大值时， rG+2FP取得最大值反，此时0G的最大值为；求得BL,0),则有b<1,y=-产+x+1-6,再求 得直线AC的函数解析式为y=x+C,设P(n,-n2+bn+1-b),求得直线PQ的函数解析式为 y=x-n2+(b-1)n+1-b,设直线PF的函数解析式为y=-x+p,联立方程组推导出QG=-n2+(b-2)n+2, 进而利用二次函数的性质求得QG的最大值，列方程求解即可。 -1+b+c=0 【详解】(1)解：将B1,0),C(0,4)代入y=-x2+bx+c中，得 c=4 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 b=-3 解得 c=4 :抛物线的解析式为y=-x2-3x+4: (2)解：①如图，设抛物线的对称轴与x轴交点为H, B 令-x2-3x+4=0,解得：x1=1,x2=-4, A-4,0),B(1,0), AB=1--4=5, 由翻折可得AB'=AB=5,∠B'AD=∠DAB, :对称轴为直线x=一3， 2 AH=- 24 5 2， :AB′=AB=5=2AH, sin∠ABH=H= AB' F2'Cos∠BAB=AH- AB 2 ∠AB'H=30°，∠B'AB=60° :∠DAB=∠BAB=30°， 在RtaA0D中，OD=OAan30°=45， 3 ②对于函数y=--3x+4=+) ,图象开口向下，对称轴为直线x=-3 4 当x=0时，y=4,则C(0,4), 设直线AC的函数表达式为y=kx+t, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [-4k+1=0 k=1 则 解得 t=4 1=4’ :直线AC的函数表达式为y=x+4, :直线L,∥AC, :设直线L,的函数表达式为y=x+m, 由折叠性质，画图如下， (L2) (L2) 由图如，当m=4时，直线乙与函数的图象在x<-部分有一个交点，与函数吗的图象在C处相交，此 时函数L2与函数w的图象只有两个公共点，但直线L2与直线AC重合，不满足直线L,∥AC; 当m<4时，直线么与函数叫的图象在x<弓部分有一个交点，与函数吗的图象无交点： 当m>4时，只有直线L2与函数的图象相切时，与函数%的图象有一个交点，此时函数L2与函数w的图 象只有两个公共点， y=-x2-3x+4 联立方程组 ,得x2+4x+m-4=0, y=x+m 由△=42-4(m-4=0得m=8, ∴直线L的函数表达式为y=x+8, 故当L2与函数w图象只有两个公共点时，直线L2的函数表达式为y=x+8; (3)解：如图，设PF与AC交于点E,过P作PQ⊥PF交GF延长线于Q,则PQ∥AC, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :0A=0C,PQ∥AC,QG∥y轴， ∠Q=∠AC0=45°， :△OPF是等腰直角三角形， QF=√2FP, 2FG+2FP=2FG+2FP)=2(FG+0F)=20G, 当QG取最大值时，G+2P取得最大值2万，此时QG的最大值为3。 4 由y=-x2+bx+c=0得x2-bx-c=0, .XA'X8=-C, :A-c,0),c>0, xg=1,则B(1,0), -1+b+c=0,则c=1-b>0, .b<1,y=-x2+bx+1-b, :A-c,0),C(0,c, 直线AC的函数解析式为y=x+C, 设直线PQ的函数解析式为y=x+h, 设P(n,-n2+bn+1-b),代入y=x+h中，得h=-n2+(b-1)n+1-b, 直线PQ的函数解析式为y=x-n2+(b-1)n+1-b, PQ⊥PF, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :设直线PF的函数解析式为y=-x+p, =-2+br+1-b'整理得r-(b+1x+b+p-1=0, y=-x+p 联立方程组 .xp+xg=b+1,x=b+1-n, FG⊥x轴， QG=yo=b+1-n-n2+(b-1)n+1-b=-n2+(b-2)n+2, -1<0, b-2b-2 .n= 2x-可2时，QG取最大值 +b-2×,2+2=b-2+2. b-2+2= 33 4 4 解得b=-3或b=7>1(不符题意，舍去). 【点晴】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的 判定与性质、锐角三角函数、坐标与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用数 形结合和转化的思想方法求解是解答的关键 10.已知抛物线y=-x2+bx+c(b,c为常数，b>0). (1)当b=2,c=3时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点A(-1,0)和点B为抛物线与x轴两个交点，（点A在点B的左侧），点C为抛物线与y轴的交点. ①当BC=AB时，求b的值； ②若点D(b-2,y,)为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，E为y轴正半轴上的一点，过点E作抛物 线对称轴的垂线，垂足为F,连接BE,DF,当BE+DF的最小值为√205时，求b的值. 【答案】(1)P(1,4) (20V2:②2 【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线顶点式，进而得到顶点坐标； (2)①利用待定系数法求出c=b+1,则抛物线解析式为y=-x2+bx+b+1,利用抛物线对称轴得到点B坐 标，令x=0得到点C坐标，利用两点间距离公式求出BC、AB,列出等式求解即可； 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②将点Db-2,,代入抛物线解析式求出点D坐标，根据EF垂直于对称轴得到EF=?作点B关于y轴 b 的对称点B,则B'(-b-1,0),进而得到BE=BE',将点D向左平移个单位长度得到D,求出点D坐标， 证明四边形DD'EF是平行四边形，进而得到D'E=DF,当B、E、D三点共线时，BE+DF取得最小值， 最小值为B'D',据此列方程求解即可. 【详解】(1)解：当b=2,c=3时，抛物线解析式为y=-x2+2x+3=-x-1)+4, 则抛物线顶点P的坐标为P1,4); (2)解：①将点A(-1,0)代入抛物线y=-x2+br+c得：-1-b+c=0, .c=b+1, ·抛物线解析式为y=-x2+bx+b+1, :抛物线的对称轴为x= 2x-2 :点A(-L,0)和点B为抛物线与x轴两个交点， 8-1b 22 :.xg=b+1, Bb+1,0, 令x=0得：y=b+1, .C(0,b+1, BC2=(b+1)2+[0-(b+1]=2(b+1)2、AB2=[-1-(b+1]=(b+2)2, :BC=AB, 2(b+12=(b+22, 解得；b=√2或b=-√2， b>0, ∴b的值为√2： ②将点D(b-2,yD)代入抛物线y=-x2+bx+b+1得： yo=-(b-2)+b(b-2+b+1=3b-3, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D(b-2,3b-3), b 由①知，抛物线的对称轴为x= 2 EF垂直于对称轴， r多 作点B关于y轴的对称点B,连接BE,则B'(-b-1,0, .0B=b+1、0B'=-b-1=b+1, - - B :x轴与y轴互相垂直， ·y轴垂直平分BB', :BE =BE', 将点D向左平移号个单位长度符到，选接D、DE,甲D0-分 :.DD垂直于对称轴、D -2,3b-3 b 2 EF垂直于对称轴、EF= b 2 DD'EF、DD'=EF, :四边形DD'EF是平行四边形， :D'E DF, :BE D F B'E +D'E, 当B、E、D三点共线时，BE+DF取得最小值，最小值为B'D',即B'D'=√2O5, B'D2= 32-6+0-3-25. 整理得： 5b2-7b-65=0, 4 解得：b= 26 5 或b=-10 (舍去)， 3 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :6险为答 【点晴】本题考查二次函数的图象性质、两点间距离公式、利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握二次 函数的图象性质是解题的关键， 11.抛物线y=ax2+b.x+c(a,b,c为常数，a>0)与y轴相交于点C,且2a+b=0,对称轴与x轴相交 于点D (1)当a=2,c=-5时，直接写出点D的坐标和抛物线的解析式： (2)若点M(m,1和点N均在抛物线上，其中m>2,且点N在第四象限，∠MDN=90°，DM=DN.点E和 点G分别是线段DM和线段MN上的动点，点F为线段DN的中点，且DE=√2NG. ①当MN=√0时，求抛物线的解析式，并直接写出EG+FG的最小值； ②当EG+FG取得最小值为510时，直接写出此时抛物线的解析式和点G的坐标. 2 【答案】(1)1,0)，y=2x2-4x-5 20揽物线的解析式为v=2x-2:G+FG的最小N值为②搅物线的解析式为x37,点 13 G的坐标为4,3 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： 2)①先求得DM=DN?2W=S,过点M,N分别作抛物线对称轴的垂线段，垂足分别为点4和点 B,证明aAMD≌aBDN(AAS),求得M(3,1),N(2,-2),，再利用待定系数法求解即可；作DI⊥MN于点I ,作EH⊥DI于点H,推出四边形EHNG是平行四边形，证明△HDF≌△GNF,得到FH=NG,当 F、H、M共线时，EG+FG取得最小值，最小值为FM的长，据此计算即可求解； ②根据①的思路求解即可， 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx+c,2a+b=0, :抛物线的对称轴为直线x= -b=1,且b=-2a， 2a 点D的坐标为1,0)， a=2,c=-5, ∴.b=-2a=-4, .抛物线的解析式为y=2x2-4x-5; 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：①：∠MDN=90°，DM=DN,MW=√10， :DM=DN-MN=5. 过点M,N分别作抛物线对称轴的垂线段，垂足分别为点A和点B, :∠MAD=∠DBN=∠MDN=90°， ∠AMD=90°-∠ADM=∠BDN, .△AMD≌△BDN(AAS), .AM BD,AD =BN, :D(1,0,M(m,, .AM BD =m-1,AD =BN =1, DM=DN=5, 4M =DM-AD-5)-1=2.m-1=2. .m=3, M3,1,N(2,-2), :点M(3,1),N(2,-2)在抛物线y=ax2+bx+c上，且b=-2a, 9a+3b+c=1 4a+2b+c=-2, b=-2a a=1 解得b=-2, c=-2 抛物线的解析式为y=x2-2x-2; 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作DI⊥MN于点I, :△MDN是等腰直角三角形， :∠NDI=∠MDI=45°，DI是MN的垂直平分线， 作EH⊥DI于点H,连接HN,HM,HF,FM, E :△EDH是等腰直角三角形， :DH=EH=- 2DE,EH∥MN, DE =2NG, .HE=NG,又EH∥GN, ∴.四边形EHNG是平行四边形， .EG=HN, :DI是MN的垂直平分线， .:HM=HN, .EG=HM, :点F为线段DN的中点， .DF NF, :∠HDF=∠GNF=45°，DH=HE=NG, .△HDF≌aGNF(SAS), .FH=NG, .EG+FG=HM +FH, 当F、H、M共线时，EG+FG取得最小值，最小值为FM的长， DF-IDN-5 2 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.FM +5- :EG+FG取得最小值是 ②同①作出辅助线， A D ±G 设DF=号DN=DM=n :EG+FG取得最小值为5D,即FM=50 2 DF2+DM2=FM2, )2 .n2+(2n2 510 2 解得n=±5 2 ∴DN=DM=2n=5V2, :点M(m,1, AD=1, :AM =DM2-AD? 52-1=7, 由①可知：△AMD≌△BDN(AAS), .AM =BD=7,AD=BN=1, M(8,1,N(2,-7), :点M(8,1),N(2,-7)在抛物线y=ax2+bx+c上，且b=-2a, 1 a=- 64a+8b+c=1 6 1 4a+2b+c=-7,解得b= b=-2a 3 c=-7 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 121 :抛物线的解析式为y=二x2-二x-7; 63 DN=DM=52, .MN=√2DN=10, :DI=IMN=5, :DI和FM分别是△MDN的两条中线， :.DH-2DI, 3 :EH∥MN, DE DH_2 DM DI 3 'DE=V2NG,MN=√2DM, 2NG_2 2MN 3, 2 NG 1 MN3' 即NG=MN, 过点N作x的平行线NS,再过点G,M分别作NS的垂线，垂足分别为R,S, D G 白--日 NR △NGR∽△NMS, NR GR NG1 NS MS MN3' :M(8,1,N(2,-7), ∴MS=1+7=8,NS=8-2=6, NR-GR_1 6=83 NR=2,GR=8 ' :点G坐标为2+2-1+》4-》 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点02 几何综合解答题压轴 12.在平面直角坐标系中，O为原点，等边△0AB的顶点B6V5,0),点A在第一象限，RtaC0D的顶点 D-6V5,0),点C在第二象限，LCD0=90°，LC0D=30°. 0 B D B 0 图① 图② (1)填空：如图①，点A的坐标为 ,点C的坐标为 (2)将RtACOD沿水平方向向右平移，得到Rt△C'0'D',点C,O,D的对应点分别为C,O,D.设 00'=t. ①如图②，若边C'0'与边OA,AB分别相交于点M,N,边CD与边OA相交于点P,当Rt△C'0D'与等边 △OAB重叠部分为五边形D'PMNB时，试用含有t的式子表示线段AN的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后两三角形重叠部分的面积为S,当6√3≤t≤10√3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）. 【答案】(135,9，（-65,6 204W=12W5-1,65<1<8n5:②65s5≤815 【分析】(1)过A作AH⊥OB于H,解直角三角形求出AH、OH、CD的长度，即可求解： (2)①求出∠0M0'=90,根据含30~的直角三角形的性质求出OM=子，进而求出4W=65-号，然后在 Rta AMN中，解直角三角形即可；求出当D和O重合时和当C在A0上时两种情况下t的值即可求出1的 取值范围 ②分63≤t≤8√3,8√5<t≤10√5讨论，根据割补法求出S关于t的函数解析式，然后根据二次函数的性质求 解即可 【详解】(1)解：过A作AH⊥0B于H, D H B 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :等边△0AB的顶点B6V3,0, 0B=0A=6√5，LA0H=∠0AB=∠AB0=60°， :AH=A0-sin∠AOH=6N5xsin60°=9，OH=A0.cos∠AOH=6N3xcos60°=3V5, 又：点A在第一象限， A3W5,9, :RtaC0D的顶点D-6V5,0), 0D=65, :∠CD0=90°，∠C0D=30°， ∴.CD=OD.tan∠C0D=6V3×tan30°=6， 又点C在第二象限， :C-65,6: (2)解：①：平移， ∠C0'D'=∠C0D=30°，DD'=00'=1, 又∠A0B=60°， .∠0M0'=90°， .0M=00=5, :AM A0-OM=63-! , :∠A=60°， ÷4w=4M66- c0sAc0s60° =5-N=wm4(65-}m60=18- 当D和0重合时，如图，t=6√5 C BO)亡 当C在A0上时，如图， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C OD'=_ CD' 6 an∠C'0Dan60=25, D B ∴.t=00=0D'+D'0'=83, 当6√3<t<8V5时，如图， y C M D B 此时重叠部分为五边形MPD'BN, ②当C在AB上时，如图， BD'=C'D' 6=25, tan∠C'BD'tan60° D'B 0衣 t=O0'=OD'+D0=B0-BD'+D'0'=10N3, :当6√5<t<8√5时，重叠部分为五边形MPD'BN,OD'=t-63, :PD'=5t-65), .S=S.4B0 -S.OPD-S.AMN 号659--6x-65-65-}18- -55+274-81WN5 =-53-363815 t 85 5， :-55 <0, 8 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·抛物线开口向下， 当x=365时，S有最大值为815 5 当1=6N5时，5=275，当1=85时，5=155， 2 8的最小值为27V5 2 :27 2 s5s81 5 当8√5<t<10√5时，如图，过P作N010B于Q, 0 D'O B 此时重叠部分为四边形C'D'BN,BO=1-6√3 :∠AB0=60°，∠C'0'D'=30°， .∠BN0'=30°=∠B0'N, ∴BN=B0=t-6N3, 2 :S=S.cDo-S.PBo 分6x65--655-6同 9-6wjIw. :、5 <0, 、抛物线开口向下， :当t>6√5时，S随t的增大而减小， 当t=83时，S有上限为15√3，当t=103时，S有最小值为6√3， .65≤S<155, 又275sS6815 2 5 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·6W5sSs815 13.(25-26九下·天津河西区)在平面直角坐标系中，0为原点，OABC是一个平行四边形纸片，顶点 247 55 A B(0,5),点C在第二象限. P D 图① 图② (1)如图①，填空：OA的长是 点C的坐标是 ,AB的长是 (2)若P为BC边上一动点，过点P作直线PQ平行于y轴，交CO边于点Q,沿直线PQ折叠该纸片，折叠后 点C的对应点为点D.设CP=t. ①如图②，当点D落在平行四边形OABC纸片上时.试用含有t的式子表示折叠后重叠部分的面积S,并 直接写出t的取值范围； ②当直线PQ与y轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）. 【答案】(1)0A=5,C 2418 5’5 ,AB=6 20s=2,0<1≤ 125） 25 36 ②5=25 【分析】(1)作AH⊥OB于点H,作CK⊥OB于点K,则∠BKC=∠OHA=90°，根据勾股定理可得OA的 长，由平行四边形的性质，可得BC=0A,∠A0H=∠CBK,证明a0HA≌△BKCA4S,CK=AH=24 可得OK,CK,BH,可得点C的坐标，根据勾股定理，可得AB的长； C2)①由折叠可得PD=PC,S.Pe=Sc0,证明△CPQ-COB,可得心= CP 2 可得折叠后重叠 S.CBO CB 部分的面积S,当点D在线段AB上时，连接CD,交PQ于点E,由线段垂直平分线的判定，可得 PQ⊥CD,CE=DE=CD,由同角的正切值相等，可符C-肚，可得KD,可得CE,由同角的余弦 BK BH 值相等，可得t的最大值，即可得t的取值范围；②当直线PQ与y轴重合时，点P与点B重合，点Q与点O 重合，OD与AB的交点记为点M,作MN⊥OB于点N,由折叠的性质，结合平行四边形的性质，可得 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OA=BD,OAB=∠D,证明△BDM≌aOAM(AAS),可得BM=OM,由等腰三角形的性质，可得BN, 由同角的正切值相等，可得MN,即可得折叠后重叠部分的面积. 【详解】(1)解：作AH⊥OB于点H,作CK⊥OB于点K,则LBKC=∠OHA=90°， B 0 ÷AH=24 .OA= :四边形OABC是平行四边形， BC=0A=5,OA‖BC, .∠AOH=∠CBK, 在△OHA和△BKC中， ∠OHA=∠BKC ∠HOA=∠KBC, OA=BC △OHA≌△BKC(AAS, BK=0H=号CK=4H=24, 7 5 B(0,5), 0B=5, 718 :BH=OK=5- 55 =6 (2)解：①由折叠可得PD=PC,S,Ppo=SPce, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OB-5,CK-AH=24 .S.coB=5 24×=12, 52 :PQ‖y轴，B(0,5)在y轴上， △CPOACOB, S.cPO S.CBO S.cpe=l2 2_12, 2525 :折叠后重叠部分的面积S=2, 25 当点D在线段AB上时，连接CD,交PQ于点E, E 0 PD=PC, PQ⊥CD, CE-DE 2CD. 又：PQ川BO, .CD⊥B0, 点K在线段CD上， KD HA BK BH 7 ÷KD=,5x2428 18515 5 CD= 4+28-20 5153 .CE= 20110 323 1024 “3=5, 15 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 125 :.1=- 36 :点D落在平行四边形OABC纸片上， 25 0<t≤ 36 =20<1 125 25 36 ②当直线PO与y轴重合时，点P与点B重合，点Q与点O重合， OD与AB的交点记为点M,作MN⊥OB于点N, 珠 (PB D M H A o(2) 由折叠可得BD=BC,LD=∠C, :四边形OABC是平行四边形， .OA=BC,∠OAB=∠C, .OA=BD,∠OAB=∠D, 在△BDM和aOAM中， ∠BMD=∠OMA ∠OAB=∠D OA=BD :△BDM≌△OAM(AAS), .BM =OM, 又：MN⊥OB, :BN=0N=5×221 15 24 MN 5 5=18 2 5 :MW=1 , 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10125 S.BoM =5x 323 “折叠后重叠部分的面积S= 3 14.(25-26九天津河北区)在平面直角坐标系中，O为原点，Rt△AB0中，∠A0B=90°，∠0AB=30°， 斜边AB∥x轴，AB交y轴于点C,AO=6. A'B C IN A IM 图① 图② (1)填空：如图①，点A的坐标为 ，点B的坐标为 (2)如图②，过点A作y轴的平行线1，将1沿水平方向向左平移t个单位长度，得到1，且0<t<3√5，'分 别交AO,AB于点M,N,将△AMN沿I向左侧翻折得到△A'MN,△A'MN与△ABO的重叠部分图形面积 记为S. ①当重叠图形为四边形时，试用含有t的式子表示S,并直接写出的取值范围； ②当，≤1<5时，求S的取值范围（直接写出结果即可>. 4 【答案】(135,3，（-5,3 ans5g5+-855c:25l2 5 【分析】(1)根据解直角三角形分别求得OC、AC、BC,即可求解； ①退据轴对称的性质，4N=AN=1,有L=∠NAM=30°，且当W>)AB=23时，重叠图形 边形，则MN上代S心NA,然后记8O与AW交于点D,过B点向w引垂线，垂足为2 2 易证A'B=BD,根据直角三角形的性质表示出A'D=2A'E,BE=A'B·Sin30°，从而表示出S。MBD= BEDA 2 ，进而根据S=S。Aww一S。4D解答即可； ②分别求得当1=？，1=25时8的值，以及25<1≤5时，9的最大值，即可解答。 4 【详解】(1)解：：AB∥x轴， :∠AC0=∠BC0=90°， :∠0AB=30°，A0=6, 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :0C=40sin30°=)40=3,4C=40cos30°=5x6=35, 2 2 A35,3, :∠A0B=90°，∠0AB=30°， ∠B=60°， 在RtaC0B中，BC=OC=OC3 tan∠Ban60e店V5, B-5,3; (2)解：①当0<t<3√5时， AO 在RtaA0B中，∠A0B=90°，∠BA0=30°，A0=6,cos∠BAO= AB .AB=4V5,∠AB0=60°， 根据题意得，△AMN和△A'MN关于直线I对称， 则AN=AN=1,有∠A=∠NAM=30°，且当AN>】AB=25时，重叠图形为四边形， 在Rta4'MN中，∠MNA=90,∠NA'M=30,AN=1,an∠NM= AN' MW3·sw=I=3 Γ6 记BO与AM交于点D,过B点向A'M引垂线，垂足为E,如图， A'B C IN A E D M 在△A'BD中，∠A=30°，A'B=AA'-AB=21-4V5, ∠BDA'=LAB0-∠A'=30°， ·A'B=BD, .A'D=2A'E=2A'Bcos30°=2√5t-12,BE=4'B.sin30°=t-2V5, S..= ED4.-225i-12-5r-12+12w5, 2 2 5=-5r-12+125)=-55,+121-125,其中，25<1<35： 6 6 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②当1-助，4w-分Mw=55 1 326 则S=)AvMw=xx5-5 22624 同理，当t=25时，S=2√5： 当25<1≤5时，5=-55+121-125，此时抛物线开口向下，对称轴为x-125 4 6 5 :125-25>15125, 5 4 5 :1=15时S的值大于25,1=125时，S取得最大值，最大值为 4 5 5515 +l12x125-125-125 65 5 5 综上，当1s5时，S的取信花围为 ss 12B 24 5 15,将一个平行四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0),点A2,0),点B,C在第一象限， 且0C=4,∠A0C=60°. 图① 图② (1)填空：如图①，点C的坐标为 ,点B的坐标为 (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线1⊥x轴，沿直线1折叠该纸片，折叠后点O的对应点O落 在x轴的正半轴上.设OP=t. ①如图②，若直线1与边AB相交于点D,与边CB相交于点E,点A的对应点为A,点C的对应点为C, 当折叠后五边形A'O'C'ED与口OABC重叠部分为四边形时，O'C'与AB相交于点F.试用含有t的式子表示 线段BF的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为、当等≤1≤对。求S的取馆范国《直孩写出结果即呵. 【答案】（①）2,23)，(4,25） ②0BF=6-2r(2<1<3:②25sS≤5 【分析】(1)过点C作CD上x轴于D,可通过解直角三角形求出点C的横、纵坐标；根据平行四边形对边 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 平行且相等的性质，可由点C的坐标推出点B的坐标 (2)①因为OP=1,所以先确定O的坐标；再求出直线O'C'和直线AB的解析式，联立解析式得到交点F 的坐标，再结合点B的坐标计算BF;因为重叠部分为四边形，所以根据图形位置确定t的取值范围.②先 分析该范围内重叠部分图形的形状，结合(2)①的结论，利用面积公式表示出S关于t的函数；再根据函数 的性质，求出在给定t范围内的最值。 【详解】(1)过点C作CD1x轴于D, B :0C=4,∠A0C=60°， AD) ∴.OD=OCcos60°=4× 2, :A2,0), 点D与点A重合， ÷CD=0Csin60°=4×5-2W5, 2 ∴c(2,25。 :四边形OABC是平行四边形， :AB=0C=4,B的纵坐标和C相等，横坐标为0A+BC=2+2=4, B4,2V5 (2)①由折叠性质得00=20P=2t，0C∥AB，0C=0C=4, .0(2t,0),C2t-2,23, k2t+b=0 设直线0'C'的解析式为y=kx+b,把0(2,0)，C(2t-2,2V5,代入得 k1-2+=25,解得 k=-V5 b-25t :直线0'C'的解析式为y=-√3x+2√31， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 同理可得直线AB的解析式为y=√5x-2V5, 联立0'C'和AB的方程得交点Ft+1,N5(t-）, BF=(4-(t+)2+(25-5(t-1)2=6-2t· 直线：x=t与AB、CB相交，且重叠部分为四边形时，2<t<3(BF>0,且1在C右侧、B左侧). Q②当号1s2时，过点F作F011, :直线OC与直线AB平行且经过原点， :直线OC解析式为y=√5x, 由题意可得，0(2,0)，D,5）, “可得直线O'D的解析式为y=-√3x+25t, 联立O'D和AB的方程得交点Ft+1,V5(t-）, ,5t-), 、.面积S=SDFQ+S四边形QFAP +1-[-5-++1-+2-小5- =-5+25-5 2 、 -2+5, 3 此时开口向下，对称轴是直线t=2,此时S随着t的增大而增大， 故最大值在1=2处，5m=5:最小值在缩点1=处，S。75 3 9 当2<t<3时，重叠部分是四边形，过点F作FQ⊥1， 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C'B APA O'x 同理可知C'21-2,25,E,2⑤，Ft+1,5(t-1)，Q,5(t-),D,5t-25, 面积S=S.Dp+S50rcE +1-[5--5-25j]+5[*1-+21-2-]25-5- -5f+2N5-5 2 3 (-2)2+5, 此时开口向下，对称轴是直线t=2,此时S随着t的增大而减小， 1=2时，5=V5；1=3时，5=5 2 故此时， 3 <S<V3; 2 当31≤时，重叠都分是三角形。 BC 同理可知E,25,B(4,2W5)，D6,V3-25), S-S.ED= -4,最小值在：-号时为2 2 9 ·S的范围是2 9 ≤S≤V3 16.在平面直角坐标系中，O为原点，等边ABC的顶点A0,3V3),B0,-V3),点C在第一象限，BC边 与x轴相交于点D.点P为x正半轴上一动点，将线段OP绕点P顺时针旋转60°和120°，分别得到线段 MP和线段NP,连接MN,得到△MPN. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 沐 P D 图1 图2 (1)填空：如图1，点C的坐标为 线段CD的长为 (2)设OP=1,△MPN与ABC重叠部分面积为S. ①如图2，若边AC与边MN和PN分别相交于点E和点F,边BC与边PM和PN分别相交于点H和点G.当 △MPN与ABC重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段CG的长，并直接写出t的取值范围； ②当1<t<5时，求S的取值范围（直接写出结果即可）. 【答案】(1)6，V3),25 4c5s456 o0c65m+5v5,3}② 16 【分析】(1)利用等边三角形的性质结合坐标与图形的性质求解即可： (2)①利用等边三角形的性质结合解直角三角形求解即可；找到两个临界点，当点P与D重合和点M恰好 在AC上时，据此计算即可求得t的取值范围； ②分三种情况建立关于t的二次函数，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】(1)解：作CK⊥x轴于点K, :等边ABC的顶点A0,3V5,B0,-V5), :BC=AB=3V3--V5=45,∠0BD=60°， ∠B0D=90°， 0D=0Btan60°=√5x√5=3，BD=20B=2√5， 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD=BC-BD=43-23=23, :∠CDK=∠0DB=90°-60°=30°， :.cK-CD-3.DK-cK=3. 0K=3+3=6, :点C的坐标为(6，V⑤： (2)解：①由(1)得AB=BC=AC=4V3,OD=3, 又：0P=t, DP=1-3, :线段MP由OP绕点P顺时针旋转60°得到， .∠DPH=60°， .∠PHD=90°，即△DHP为直角三角形， 在Rt△DHP中，∠HDP=30°，且DP=t-3, c0s30= DH DP 2 ,即0m5- :线段NP由OP绕点P顺时针旋转120°得到， .∠0PN=120°， :∠HGP=∠HDP=30°，即△DGP为等腰三角形， :DG=2DH=V3(t-3, 由(1)可知CD=2√3， CG CD-DG=53-31; 当点P与D重合时，△MPN与ABC重叠部分不是五边形，此时t=3: 当点M恰好在AC上时，△MPN与ABC重叠部分不是五边形，如图， A ∠A0M=30°，0A=3V3, D P B 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9 :OP=OM=04.cos30°= :t的取值范围为3<t<2 ②当1<1≤3时，如图， M N O TP B 过M作MT⊥OD于T, 同理可得：OP=PM=PN=MN=t,MN∥x轴，∠MPT=60°， :PT=,M=5 , 2 s=.5,5 -t= 224 : 95 4 3<1<时，重叠部分为五边形，如整 4 E M DP B 由①得DP=PG=t-3,OP=PN=t,∠HGP=∠HDP=30°， PH-PG-iG=5阳=5-， 2 在△CGF中，∠C=60°，∠CGF=∠DGP=30°， ∠CFG=90°， :CG=55-V3t, 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PN=Pw-PG-FG=1---告)号 同理，Rt△EFN中，∠N=60°， .FF-F) 由题意得△PMW是等边三角形，且边长为t, :底边上的高为5， 2 =5=5, :=22 4 .S=S△PwN-S&PGH-S△EN -9---引-限》 4 :-5<0, 93 5<455 4 16 5时，如图，记PM与AC的交 K F S=SAPKF -SAPGH G O P 95-35 2, 2cs 4， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :当1<1<5时，S的取值范围为5 <s 453 16 17.(25-26九天津河东区)在平面直角坐标系中，0为原点，等腰A0B的顶点A4,0),∠BA0=90°.四 边形OCDE是正方形，点C是OB的中点，点D在y轴上. D D' B 7 M H G A O 图① 图② (1)填空：如图①，点B的坐标为 ,点E的坐标为 (2)将四边形OCDE沿x轴向右平移得到四边形O'CD'E',点O,C,D,E的对应点分别为O,C,D, E,设00'=t. (i)如图②，当四边形0'CD'E'与AOB重叠部分为五边形时，0'C',CD,E'0'分别与AB,BO相交 于点G,H,M,N,试用含有t的式子表示线段MH,并直接写出t的取值范围： (i)设平移后四边形0'CD'E'与AOB重叠部分的面积为S,当3≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结 果即可) 【答案】(1)4,4)，（-2,2) 2①MH=2221,2<1<4:( 3≤1≤6-5 【分析】(1)连接EC交D0于点F,根据等腰三角形的性质得到B(4,4),求出OB=√OA?+OB2=4√2，进 而得到0C=0B=2√2，再根据正方形的性质0D的长，即可求出E(-2,2): (2)()根据平移的性质证明四边形O'C'MN是矩形，进而得到aONO'和BMH是等腰直角三角形，则 ON=200=51,BM=OB-ON-MN=2N2-51:当四边形0'CDg与A0B重叠部分为五边形附， 2 2 点C在AB的右侧，点E在点C的左侧，列出关于t的不等式组，即可得出t的取值范围： (i)分3种情况讨论：①当0<t≤2时；②当2<t<4时；③当4≤1<6时，先确定四边形0'CD'E'与 AOB重叠部分的图形，再利用图形的面积公式表示出S与t的关系式，结合3≤S≤5，列出关于t的不等式， 即可求解。 【详解】(1)解：连接EC交D0O于点F, :等腰AOB的顶点A(4,0),∠BA0=90°， 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0A=0B=4, B4,4, 0B=VOA2+0B2=42, :点C是OB的中点， 0C=0B=2W2, 2 :四边形OCDE是正方形， EC1D0,CD=OC=25,L0CD=90°，EF=OF 10D, .0D=√DC2+0C2=4, .EF =OF=2, E(-2,2): D A (2)解：(i)由平移的性质得，O'C'∥OB,四边形0'CD'E'是正方形， 0'E'∥CD',∠C'0'E'=90°， .四边形O'C'MN是矩形， MN=OC'=22,LMNO'=∠ON0'=LNMH=LBMH=90°， :等腰AOB,∠BA0=90°， ∠B0A=∠B=45°， .△ONO'和BMH是等腰直角三角形， 0N=5o0= 2 24, MH=BM=0B-0N-MW=4W5-5,-22=25-5, :点C是OB的中点，B(4,4, C(2,2), 由(1)得，E(-2,2), 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由平移的性质得，C'(t+2,2),E'(-2+1,2), :当四边形O'C'D'E'与AOB重叠部分为五边形时，点C在AB的右侧，点E在点C的左侧， 「t+2>4 -2+t<21 解得2<1<4， 综上，MH=2V2- t,2<t<4; 2 (i)①当0<t≤2时，四边形0'CD'E'与AOB重叠部分为四边形0'C'MN, M H 由(i)得，四边形O'C'MN是矩形，aONO'是等腰直角三角形， Mw=0rC-2N2,0w-20-51. 2 S=S矩形ocww=MN·O'N=2t, 令3≤S≤5，则3≤21≤5， 解1 5 3 :2 t≤2； ②当2<t<4时，四边形0'CD'E'与AOB重叠部分为五边形O'GHMN, D' B M H G O A :00'=t, ÷0'A=0A-00′=4-1， 由平移的性质得，O'C'∥OB,四边形O'CD'E'是正方形， LG0'A=LB0A=45°，LC'=90°， 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BA0=90°， :△0'AG是等腰直角三角形，AG=0'A=4-1, 由(i)得， BM是等腰直角三角形，MH=22-5 t, 2 ·BH=V2MH=4-t,∠BHM=45°， HG=AB-AG-BH=4-（4-t)-4-t=21-4, :∠C'HG=∠BHM=45°，∠C'=90°， :△CHG是等腰直角三角形，CH=CG=5HG, 2 .5.w-cH.cG- -c-4--2 22 4 同理①的方法可得，S矩形oCww=2t, S=S矩形0cw-S.cHG=2t-(t-2)=-+6t-4=-(t-3)+5, 2<t<4, :当x=3时，S取得最大值5；当x=2和x=4时，S取得最小值4， 此时4<S≤5，满足题意； .2<1<4; ③当4≤1<6时，四边形0'CD'E'与AOB重叠部分为△E'GH, B D' 00'=1, 0'A=00'-0A=1-4, 由平移的性质得，O'C'∥OB,四边形O'CD'E'是正方形， ∠00'C'=180°-∠B0A=135°，∠E'=∠C0'E'=90°，0'E'=2V2, .∠A0'G=135°-90°=45°， ∠0'AG=∠BA0=90°， △0'AG是等腰直角三角形，LAG0'=45°，0'G=√20A=√21-4V2, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :E'G=0'E'-0'G=2W2-N2i-4V2)=62-V2i, :∠E'GH=∠AG0'=45°，∠E'=90°， “△E'GH是等腰直角三角形，E'H=E'G=6√2-√21， 5=Sam-Eh-FG=65-=6-, 2 令3≤S≤5，则3≤(6-t)≤5， 解得6-V5≤t≤6-V3或6+√3≤t≤6+√5， 4≤t≤6-5； 综上，：的取值范用为≤6-5 18.在平面直角坐标系中，O为原点，口ABCD的顶点及 .c ∠ABC=45°，点D在y轴负 半轴上，点B在第一象限，边AD交x轴于点M.△OEF是等腰直角三角形，∠OEF=90°，点E(-2,0), 点F在第二象限. 图① 图② (1)填空：如图①，点F的坐标为 , 点B的坐标为 (2)将△OEF沿水平方向向右平移，得到△0'E'F',点O,E,F的对应点分别为O,E,F.设OO'=1, ①如图②，若边O'F'与边CD交于点G,与边AD交于点N,△O'E'F'与口ABCD重合部分为四边形OMNG 时，试用含t的式子表示线段ON的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为s,当氵≤1≤}时，求S的取值范围（请直接写出结果即可）.。 4 3 【答案】(2,2)，（弓，3） 64 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质，结合点F所在象限可得F(-2,2),过点C作CH⊥AB于H,根 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 据∠18C:45°可得GH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性顾，结合各点坐标即可得出B(3) 2)①根据平行四边形的性质及点8坐标得出D0,宁，可得0M=0D=分：即可表示出0W=1分，利 1 用三角函数求出ON的长即可，根据边O'F'与边CD交于点G,，与边AD交于点N,求出点G与点C重合 时t的值，即可得出t的取值范围； 33 2’ ≤1<2,2≤1≤？三种情况，分别用1表示出重合部分的面积，利用二次函数及一次函数 4 的性质分别求解即可. 【详解】(1)解：E(-2,0), OE=2, :△OEF是等腰直角三角形，∠0EF=90°，∠F0E=45°， .OE=EF=2, :点F在第二象限， F(-2,2): 如图，过点C作CH⊥AB于H, :四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠ADC=45°， ∠ABC=45°， .LBCH=∠ABC=45°， :BCH是等腰直角三角形，CH=BH=2, 3 :点B在第一象限， .y8=OC+BH=3, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=3-1=2, 息D在轴负半箍上，-27 2 D0.-, :.0D=2' 1 :∠ABC=∠ADC=45°， .∠OMD=∠ADC=45°， :△0DM是等腰直角三角形，OM=0D=2: 1 :00'=t, 0M=00'-0M=t-1, 又：L0MD=∠NM0'=45°， aOEF是等腰直角三角形，将aOEF沿水平方向向右平移，得到△0'E'F', .∠E0F=∠E'0'F'=45°， .∠NM0'=∠F'O'E', ∴△MO'W是等腰直角三角形，MN=NO', 0W=0Msim45°=2-马=2， 2-司=21-4 t 当直线O℉'经过点C时，点G与点C重合， :0C=00=t=2 3 :△O'EF'与口ABCD重合部分为四边形OMNG,O'F'与边CD交于点G,与AD交于点N, 3 加图，当S<时，点G在CD上，点N在AD 2 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Y B G A E O/MO :S阴影=S.oGo-S.MNo， s=-5-5=+- 2 22 4 4 >0,对称轴是：1= 1 2 :.t>0时，S随t的增大而增大， 15121_41 当=时，5=4x+-864 -1×3L21_7 当1=3时，S=x( 2 =4x5+2-88· 41 7 ≤S< 64 8 如图，当51<2时，0F'与)锥交点P在点C上方，0F"与8C交于点H, B M D :∠P0'0=45°，∠ABC=45°，∠F'=45°， ∠0P0'=LPCH=∠F'=LABC=45°， :.△PCH、△OPO'都是等腰直角三角形， 0P=00'=1,P=1-PH=CH=- 3 2 :S阴影=S.Poo-S.PCH-SMNo, 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1「2 222- 2 22 》=1-5 .1>0, S随t的增大而增大， 当-，5 8’1=2时，S=1」 8 8, 如国，当2s1s时，8C与FE、F0分别交于0.L,建点0作QxLy轴于人， B F K C A OEM 同理可得，KCQ、△OLF都是等腰直角三角形， 0E'=00'-0'E'=1-2, :∠QKC=∠KOE'=∠QE'O=90°， :四边形KOEQ是矩形， ...CK=KO=OE'=1-2,OE'=OK=CK+OC=1-2+ 3 2 0-2-0e2-t31Qu=m-9g-0 21 :S阴影=SoEr-S.eLF-S.MNo', 3 3 2刊2 4 <0,无称轴是：1 :当≥时，S随的增大而减小， 当1=2时5=×2-+-是 2 2-81 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 193y+3= 当1=时，S=-x(2 339 2421 232 39 11 8 综上所述：S的取值范围为！≤S≤川 64 19.(25-26九天津北辰区，一模)在平面直角坐标系中，O为原点，矩形0ABC的顶点A在x轴的正半轴上， 顶点C0,2N3,D为边OA上一点，∠ODC=60°，过点D作DE⊥CD交AB于E,且DE=CD. M D O'D D 图① 图② (1)填空：如图①，点D的坐标为 ，点E的坐标为 (2)将△COD沿x轴向右平移，得到△C0'D',点C、O、D的对应点分别为C、O、D.设00'=t, △CO'D'与四边形BCDE重叠部分的面积为S. ①如图②，若边O'C'与边CD相交于点M,边CD与DE相交于点N,且△CO'D'与四边形BCDE重叠部分 为四边形CMDN时，试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围； ②当1≤1≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）. 【答案】(1)2,0)，2+25,2 (2)①S=- +2501<2@克5s56 24 5 【分析】(I)先解Rt△CD0求出DO,即可求解点D的坐标，然后证明△COD≌△DAE(AAS),即可求解点 E的坐标： 2)①由平移可得，Sacom=SAm-)ODx0C=25,00=DD'=1,CD/CD,C0⊥x轴，然后分别解 RtaDMO'和Rt△DD'N,表示出两条直角边，再由S=SACOD-S△DMo-S△Dpw建立函数关系式： ②当1s1<2时，利用二次函数的性质可求得S-85;当2S1S3时，此时，重叠部分为△CW1,根据 5 S=C'N×N,求出函数解析式，再由二次函数的性质求解得到S。m= 25V3 24 ,即可求解S的取值范围。 【详解】(1)解：：C(0,2√5)， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0C=25, :∠0DC=60°，∠C0D=90°， ∴OD= Oc tan∠ODC =2, D(2,0 :四边形OABC是矩形， ∠EAD=∠D0C=90°， :DE⊥CD ∠EDA=∠0CD=90°-∠CD0=30° DE=DC :△COD≌△DAE(AAS AE=0D=2,AD=0C=2√5， 0A=0D+AD=2+2V5, E2+2V5,2: (2)解：①如图， B M N OOD D A衣 由平移可得，SAcOp=SACOD= ODx0C=x2x2V3=23,00=DD=L,CDWC'D,C01x轴， 2 .D0'=2-t :∠CD0=60° :.Mo'=D0'.tan60°=V3(2-t) :CD∥C'D',CD⊥DE C'D'⊥DE :∠ADE=30° 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ND'-DD-1.DN-DD'COsZADE= 2 S=SACOD:-SADMO-SADDX 9=25-2-小x52-小-字× -t, 2 56n2w501c2 ②当1s1<2时，5=5r+25=5 ,8+85 8 5 5 :-5<0,对称轴为直线1=， 8 当=8时，Sm5: 5 当2≤1≤3时，此时，重叠部分为△C'W1,如图： C B E DO' DA衣 由平移可得，C'D'=CD=VC02+D02=4,LD'C'0'=LDC0=30°， 0可待，0-克，CD1DE :.CN=CD-D'N=4-7 .s-icw</-3-4- 整理得，5=51-82， 24 >0,2≤1≤3，对称轴为直线t=8, 24 :当2≤t≤3时，S随着t的增大而减小， 43时，8×3-8=25V3 24 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上：当1≤1≤3时，求S的取值范围 255sSs85 2 20.在平面直角坐标系中，O为原点，矩形OABC的顶点A(8,0),C(0,6),菱形EFGH的顶点E(0,3), F-3,3-V3,G(-6,3),连接EG B G F 图① 图② (1)填空：如图①，点B的坐标为 ,点H的坐标为 (2)将菱形EFGH沿水平方向向右平移，得到菱形E'F'G'H',点E,F,G,H的对应点分别为E,F,G, H',设EE'=t,菱形E'FG'H'与矩形OABC重叠部分的面积为S. ①如图②，当边G'F',GH'分别与OC相交于点M,点N,且菱形E'F'G'H'与矩形OABC重叠部分为五边 形时，试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围； ②当4≤t≤9时，求S的取值范围（直接写出结果即可). 【答案】(1)川8,6)，(-3,3+5 20s=65-56-3<t<6:②145≤5≤65 3 【分析】(1)根据矩形及菱形的性质可进行求解； (2)①由题意易得GE=6-1,由(1)证得△GHF'是等边三角形，利用正切的定义求得NE-5 6-t), 通过三角形面积公式求得△GWM的表达式，进而得到S与t的关系式，此时要使菱形E'F'G'H'与矩形 OABC重叠部分为五边形，则1的取值范围是3<1<6： ②根据S=65-5(6-得出1=6时8有最大值，再将1=4代入表达式进行计算，最后结合图象讨论 3 t=9时的S,通过计算并对t=4时的S值进行比较，确定出S的最小值，从而得出S的取值范围. 【详解】(1)解：：四边形ABC0是矩形，且A(8,0,C(0,6, .0A=BC=8,AB=0C=6, .B8,6: 如图，连接HF,交GE于点K, 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H C B G E 0 A :四边形EFGH是菱形，且E(0,3),F(-3,3-⑤)，G(-6,3), GF=EF=V-3-02+3-5-3=23,HF1GE,GE=0-(-6=6, GK-KE-GE-3. 在Rt KFE中，KF=√FE2-KE2=√5， :HF=2KF=23, xH=-3,yH=HF+yp=2V5+3-√5=3+V5, .H-3,3+V3 (2)解：①：G'E'=6,EE'=t, G'E=6-1, 由(1)知，HF'=HG=G'F', :△G'HF'是等边三角形， ∠G'HF'=60°， HF'/MN, .LG'NM=60°， 在Rt△G'EN中，am∠GNE=tan60°=GE-5, ·wE= 3(6-, mwe-256-16-小=6- 3 S=S菱形6rEm-SGww=2 号HpGE-w6E-×6x25-516- =65-96-431<6小： 1 ②当1=6时，Sm=Scr5m=2×6x25=65, 由5=65-5(6-42可知，当1=4时，S=65-5x16-4到2-45， 3 3 3 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当1=9时，如图，设HE',E'F'分别交AB于点T,S,EE交AB于点R, B G E .ER=OA=CB=8, .E'R EE'-ER=1, 在Rt△E'TR中，an∠E'TR=an60=ER-5, TR ·7R= 3 :TS=2TR=25, S=S菱形rEm-SaEn=65-)ER7S=6N5-×1×25=175, 3 3 :145<5, 3 3 :当1=4时，S有最小值， :8的取值范围是145≤S≤6V5 3 21.(25-26九天津和平区)在平面直角坐标系中，O为原点，直角A0B的顶点A(0,5),B5V3,0,等边 △DEF的顶点E(O,3，F(-V5,0,顶点D在第二象限. D G FO B F B主 图① 图② (1)填空：如图①，∠EFO的度数为_°，点D的坐标为_： (2)将等边aDEF沿水平方向向右平移，得到等边△D'E'F',点D,E,F的对应点分别为D,E，F.设 EE'=t,等边△D'E'F'与直角三角形AOB的重叠部分的面积为S. ①如图②，若边D'F'与边OA相交于点G,当△D'E'F'与AOB重叠部分为四边形EEF'G时，试用含有t 的式子表示S,并直接写出t的取值范围： 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②当 ≤1s1V5时，求S的取值范围《直接写出结果即可). 2 【答案】(1)60；（-25,3) ②0s=-5+6-35(5<1<25: 2 ②3v5 ≤S≤3V5 32 【分析】(1)可先计算OE、OF长度，再利用直角三角形的边角关系求∠EFO的度数；根据aDEF是等边 三角形，结合∠EFO的度数，所以可通过构造直角三角形，利用等边三角形性质和坐标平移的思路求D点 坐标； (2)①将重叠部分的面积转化为等边△D'E'F'的面积减去△GD'E的面积；可先确定平移后各点的坐标，再 结合AOB的角度，利用三角函数求出△GD'E的边长，进而得到其面积，同时根据重叠部分为四边形的条 件确定的取值范围； ②因为已知t的取值范围，所以需先分析在该范围内S的表达式的变化情况，再根据函数的性质求S的取值 范围 【详解】(1)解：：E(0,3),F-V5,0, 在RtaE0F中，OE=3,OF=V5,tan∠EFO=OE=V5, OF ∠EF0=60°， EF=V0E2+0F2=2V5, 且△DEF是等边三角形，DE‖x轴， DE=EF=23, 又：D在第二象限， :D的横坐标为0-25=-2√5，纵坐标与E相同为3，即D(-25,3: 2》解：①等边DEF的面积为5ae-DE正0×25x3=35. 2 平移后F't-5,0,D't-25,3, 当重叠部分为四边形EE'F'G时，满足F在y轴右侧、D'在y轴左侧， 即(3>0 解得√5<t<2√5； 't-2√5<0 :D'F'交y轴于G,aGED'为直角三角形，∠D=60,ED'=2√5-1，EG=V52V3-, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5w号DE-6G=5-小k25-小-5-6+6N5, 重叠面积S=5e-5w=-5+61-3V5(5<1<254 ②当5≤1≤W5时，重叠部分面积S随的变化分为四个阶段： -≤t≤ 2 2 当5≤1S5时，如图所示，重叠部分为R△EGE”, 2 y D' G Bx 面积5=号0E店=5，s随的塔大面路大 2 28 :35s53y5 8 当√5<t≤2√5时，重叠部分为四边形EE'FG, y A D E E G Bx 面积5=-5+6-3N5,S随1的增大而塔大 5565-5-9e625-35-w5 2 35<5≤35： 2 当2N5<1≤85时，重叠部分为四边形DHF', 3 O B 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 面积5=-5，+3+3 二t+ S随t的增大而减小。 8 22 s=-5+25+535. 8 s5 2- 6 :173 <S≤35； 6 当85<1<、5时，重叠部分由腰线和斜边围成， 3 2 0 B x 面积S=5(65-八，S随1的增大而减小. 8 ×65-85-255.55×6w5.y5-3 8 6 8 32 35≤5<255 32 6 “S的取值范围为3 ≤S≤3v5 32 22.(25-26九下·天津河西区)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a>0)的顶点为P,与x轴相交 于A,B两点（点A在点B的左侧），点A(-1,0),与y轴交于负半轴的C点. (1)当b=-2,c=-3时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)当2a+b=0时， ①若存在点M(a,a-1,满足MP=MA,求此时a的值： ②老有点N0) 满足∠NAB=2LABC,求此时a的值 【答案】(1)1，-4) 1 (2)①a= 1 2②a 2 【分析】(1)根据已知及函数图像上点的坐标特征可得a=1,继而得出抛物线的解析式为y=x2-2x-3, 再转化为顶点式，可得答案； 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)①根据已知及函数图像上点的坐标特征可得c=-3a,继而得出抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3a, 对称轴为x=-20=1,确定P1,-4a,根据两点间距离公式得Mp=(a-2+5a-2, 2a MA2=(a+12+(a-1),得到关于a的一元二次方程，求解可得答案； ②如图.连接4W,确定4-1,0,8(3.0，C0,-3a,得4W-VOf+ON=了将点A沿x辅向左移动 个单位长度得到点E,得W=4伦，推出∠AEN=∠ABC,作点CO,-3a)关于x轴的对称点C0,3a,2 腰BC,得到BC∥EN,证明△0BCOA0E准C&,求得OCO0N一可得答器 【详解】(1)解：当b=-2,c=-3时，抛物线的解析式为y=ax2-2x-3, :抛物线经过点A(-1,0), a×(-1)2-2×(-1-3=0, 解得：a=1, 抛物线的解析式为y=x2-2x-3, y=x2-2x-3=(x-12-4, .抛物线的顶点P的坐标为1，-4)： (2)解：①.2a+b=0, b=-2a, :抛物线y=ax2+bx+c=ax2-2ax+c经过点A-1,0), a×(-1)2-2ax(-1+c=0, ∴c=-3a, ∴.抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3a, :该抛物线的对称轴为x=--20=1, 2a 当x=1时，得：y=a×12-2ax1-3a=-4a, ∴.抛物线的顶点P的坐标为1，-4a), M(a,a-1), 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Mp2=(a-l+[a-1-(-4a)]=(a-l2+(5a-l2, MA2=[a-(-1]+(a-1-02=(a+12+(a-12, MP=MA, :MP2=MA2, (a-1)2+(5a-12=(a+1)2+(a-12, 解得：a=或a=0(不符合题意，舍去)， 2 此时a=2' ②如图，连接AN, 以 A B衣 .∠A0N=90°， 0N=3 由①知：抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3a, 当y=0时，得：ax2-2ax-3a=0, 解得：x=-1或x=3, 当x=0时，y=-3a, A-1,0),B(3,0),C0,-3a, .0A=1,0B=3,0C=-3a=3a, AN =VO+ON2 将点A沿x轴向左移动了个单位长度得到点E, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :点E的坐标为 8 0 AN=AE, ∠AEN=∠ANE, .∠NAB=∠AEN+LANE=2∠AEN, :∠NAB=2∠ABC, ∠AEN=∠ABC, 作点C(0,-3a)关于x轴的对称点C'(0,3a,连接BC', ∴∠ABC'=LABC=∠AEN,OC'=3a, BC'∥EN, ∠OBC'=∠OEN,LOC'B=∠ONE, .△0BC'∽△0EN BO OC EO ON' 4 BO.ON 3× ..OC= 3 EO 8 2’ 3 .3a= 1 :a22 23.在平面直角坐标系中，O为原点，口ABCD的顶点A 3c0引aBC=4s,点D在轴负￥ 轴上，点B在第一象限，边AD交x轴于点M.△OEF是等腰直角三角形，∠OEF=90°，点E(-2,0),点 F在第二象限. B B YA G E O/M X E'OMO D 图① 图② (1)填空：如图①，点F的坐标为 点B的坐标为 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)将△OEF沿水平方向向右平移，得到△0'E'℉'，点O,E,F的对应点分别为O,E,F.设00'=1. ①如图②，若边O'F'与边CD交于点G,与边AD交于点N,△0'E'F'与口ABCD重合部分为四边形OMNG 时，试用含t的式子表示线段OW的长，并直接写出t的取值范围： ②设平移后重叠部分的面积为S,当；≤1≤时，求S的取值范围<请直接写出结果即可). 【答案】0F1-22.83 a0w--,号：5s 2 4 64 8 【分析】(I)延长BA交x轴于Q,过A作AP⊥y轴于P,根据。ABCD得到AB∥y轴，AB=CD,OC=? 2 3 ,PA=0P=l,∠ABC=∠ADC=45°，则四边形AQ0P是矩形，∠PAD=LADC=45,则 0P=A0=1,PA=PD子，即可求出48=CD=2,B0=3,得到 3 3: 根据△OEF是等腰直角三角 形，得到0E=EF=2,则F(-2,2): )①先证明0G=00'=1,当0P'过C点时，0G=0C=1则边0P"与边CD交于点G时 1 ，再证明&0MN是等腰直角三角形，得到MN=ON=50W; 31s3 33 ②根据≤还文，长2,2<1飞分情况时论，分别表示出S,求出最大值和最小值。最后春到S的哦 4 4 值范围。 【详解】(1)解：延长BA交x轴于Q,过A作AP⊥y轴于P, B OM O D 图① :口ABCD的顶点A c引 ∠ABC=45°， AB∥y轴，48=CD,0C=PA-号0P=1,∠A8C=∠DC=45, :.四边形AQ0P是矩形，∠PAD=∠ADC=45°， 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :OP=AQ=1,PA-PD-7 CD=PD+PC=PD+(OC-OP3-1=2 .AB =CD=2,BO=AB+AO=2+1=3, :△OEF是等腰直角三角形，∠OEF=90°，点E(-2,0), 0E=EF=2, F(-2,2): (2)解：①：将aOEF沿水平方向向右平移，得到△0'E'F', 0'E'=E'F'=2,∠F'=∠F'0'E'=45°， :边0'F'与边CD交于点G, .∠0G0'=∠F'0'E'=45°， .0G=00'=t, 3 当0'F'过C点时，OG=0C=t= 2， 由(1)可得∠ADC=45°，0D=3-1= 2 .LADC=LOMD=LAM0'=45°， :0D=OM=7,MN=0W,0'M=VMN2+0N=20N, 边0r"与边cD交于点G时，：号 、0M=00'-0M=t-2 1 ②当≤1≤号时，如图所示， 4 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B G A D 图② 时w=0N=-》 .S=S.0GO-S.OMN =1oG-00-MW.0N -4+ 4>0,对称轴为直线1= 21 当≤1≤时，s=+ 1 =41+28 随t的增大而增大， 4 2 当：，s服本为5-任-女1，s服大值为5-很日-号 当3<1≤2时，如图所示，0'F'与y轴、BC分别交于点G、K, 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 六G A E M O D 图① t时0G=0'=,w=0ov=-》 ∠BCG=LCGK=45°， CG-0G-0C-1-GK-CK. x-x-co-乳引 .S=S.0GO-S.CGK-S.OMN -0G-OO-GK.CK-MN-ON 8 :1<0, :当<1≤2时，S=1-随的增大而增大， 当1马时，S成小值为9青子，当1=2时，S最大值为5=2∥ 2 889 当2<1s?时，如图所示，EF'、0F'与BC分别交于点H、K,过C作CJ1EF于J, 2/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B CaJ` E M O'x D 图① 此时0E'=t-2,MN=ON= 四边形OEJC是矩形，∠HCJ=∠CHJ=∠FHK=∠F'=45°， W=C=0E'=1-2,0C=E'=,HK=Fx, F2 FW-FJ-W--- -t, 2 m-欣-号m任-小 .S=S.OEF-S.FKH-S.OMN -OF.EF-3HK.FK-ZMN-ON -- 3.3 -2+2+8 2<0,对称轴为直线1= 当2<13时，S=-1-+号随的塔大面减小， 4 当子S小恤为5程号是当=2所，s大版为5含--装 综上所达，当：，S最小值为然最大能为名即s的取位粒为55发 4 8 1/23 专题05 二次函数、几何综合解答题压轴 2大考点概览 考点01二次函数解答题压轴 考点02几何综合解答题压轴 二次函数解答题压轴 考点01 1．(25-26九下·天津·一模)抛物线（，，为常数，）的顶点为，且，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴交轴于点，为坐标原点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若点，且，求的值； (3)点（）在对称轴上，，当的最小值等于时，求点的坐标和的值． 2．(25-26九·天津河北区·一模)已知抛物线（，，为常数，），与轴交于点，点为拋物线顶点，． (1)若，，求抛物线顶点的坐标； (2)若点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线第一象限的部分于点，连接，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接． ①当时，求点的坐标与拋物线的解析式； ②当时，求的值． 3．(25-26九·天津河东区·一模)已知抛物线（，，为常数，，）． (1)当，，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，，求点的坐标； ②若点，点在线段上，且，线段与抛物线的对称轴的交点为，点，分别为线段，上的动点，当取得最小值为时，求点的坐标． 4．(25-26九下·天津·一模)抛物线（，，为常数，）的顶点为，且，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴交轴于点，为坐标原点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若点，且，求的值； (3)若点在对称轴上，，当的最小值等于时，求点的坐标和的值． 5．(25-26九·天津北辰区·一模)已知抛物线（b为常数）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)点P为对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点Q恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上，是否存在一点H，使的值最小？若存在，求出点H的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由． 6．(25-26九下·天津·一模)已知抛物线（b，c为常数，）经过点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)点是抛物线上任意一点． ①当时，求b的值； ②若点是x轴正半轴上的动点，当的最小值为时，求b的值． 7．(25-26九下·天津·一模)已知抛物线（a，b，c为常数，，）经过点． (1)当，时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点B是抛物线与x轴的另一个交点，点C是抛物线与y轴的交点． ①当时，若，求a的值； ②M为第三象限内抛物线上一点，若，，当时，求点M的坐标． 8．(25-26九·天津和平区·一模)已知抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，连接． (1)当点D落在该抛物线上时， ①求抛物线的解析式； ②抛物线上的点E的横坐标为m，且，若，求点E的坐标； (2)点M是线段上一动点，连接，点N是射线上一动点，且满足，连接．当的最小值为时，求a的值． 9．(25-26九下·天津·一模)已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C． (1)已知，，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下， ①点D是线段上的一动点，连接，，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； ②将抛物线位于y轴及y轴左侧的部分记为函数，过点C作直线轴，将原抛物线位于y轴右侧的部分沿直线翻折，翻折后的部分记为函数，函数和函数形成新的函数w，在上任取点Q，过点Q作直线，当与函数w只有两个公共点时，直接写出的解析式_______． (3)已知，，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，交抛物线于点F，点F在第一象限，过点F作轴，垂足为G，当的最大值为时，求b的值． 10．(25-26九下·天津·一模)已知抛物线（b，c为常数，）． (1)当，时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)点和点B为抛物线与x轴两个交点，（点A在点B的左侧），点C为抛物线与y轴的交点． ①当时，求b的值； ②若点为x轴上方对称轴右侧抛物线上的一个动点，E为y轴正半轴上的一点，过点E作抛物线对称轴的垂线，垂足为F，连接，，当的最小值为时，求b的值． 11．(25-26九下·天津·一模)抛物线（a，b，c为常数，）与y轴相交于点C，且，对称轴与x轴相交于点D． (1)当，时，直接写出点D的坐标和抛物线的解析式； (2)若点和点N均在抛物线上，其中，且点N在第四象限，，．点E和点G分别是线段和线段上的动点，点F为线段的中点，且． ①当时，求抛物线的解析式，并直接写出的最小值； ②当取得最小值为时，直接写出此时抛物线的解析式和点G的坐标． 几何综合解答题压轴 考点02 12．(25-26九下·天津·一模)在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，点A在第一象限，的顶点，点C在第二象限，，． (1)填空：如图①，点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点C，O，D的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边，分别相交于点M，N，边与边相交于点P，当与等边重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后两三角形重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 13．(25-26九下·天津河西区·一模)在平面直角坐标系中，为原点，是一个平行四边形纸片，顶点，，点在第二象限． (1)如图，填空：的长是________，点的坐标是________，的长是________； (2)若为边上一动点，过点作直线平行于轴，交边于点，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为点．设． 如图，当点落在平行四边形纸片上时．试用含有的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； 当直线与轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）． 14．(25-26九·天津河北区·一模)在平面直角坐标系中，O为原点，中，，，斜边轴，交y轴于点C，．    (1)填空：如图①，点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)如图②，过点A作y轴的平行线l，将l沿水平方向向左平移t个单位长度，得到，且，分别交，于点M，N，将沿向左侧翻折得到，与的重叠部分图形面积记为S． ①当重叠图形为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 15．(25-26九下·天津·一模)将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，． (1)填空：如图①，点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上．设． ①如图②，若直线l与边相交于点D，与边相交于点E，点A的对应点为，点C的对应点为，当折叠后五边形与重叠部分为四边形时，与相交于点F．试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 16．(25-26九下·天津·一模)在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，，点C在第一象限，边与x轴相交于点D．点P为x正半轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转和，分别得到线段和线段，连接，得到． (1)填空：如图1，点C的坐标为______，线段的长为______； (2)设，与重叠部分面积为S． ①如图2，若边与边和分别相交于点E和点F，边与边和分别相交于点H和点G．当与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 17．(25-26九·天津河东区·一模)在平面直角坐标系中，为原点，等腰的顶点，．四边形是正方形，点是的中点，点在轴上． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将四边形沿轴向右平移得到四边形，点，，，的对应点分别为，，，，设． （i）如图②，当四边形与重叠部分为五边形时，，，分别与，相交于点，，，，试用含有的式子表示线段，并直接写出的取值范围； （ii）设平移后四边形与重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 18．(25-26九下·天津·一模)在平面直角坐标系中，为原点，的顶点及，，，点在轴负半轴上，点在第一象限，边交轴于点．是等腰直角三角形，，点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边交于点，与边交于点，与重合部分为四边形时，试用含的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 19．(25-26九·天津北辰区·一模)在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，顶点，D为边上一点，，过点D作交于E，且． (1)填空：如图①，点D的坐标为________，点E的坐标为________； (2)将沿x轴向右平移，得到，点C、O、D的对应点分别为、、．设，与四边形重叠部分的面积为S． ①如图②，若边与边相交于点M，边与相交于点N，且与四边形重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 20．(25-26九下·天津·一模)在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点，，菱形的顶点，，，连接． (1)填空：如图①，点B的坐标为________，点H的坐标为________； (2)将菱形沿水平方向向右平移，得到菱形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，菱形与矩形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边，分别与相交于点M，点N，且菱形与矩形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 21．(25-26九·天津和平区·一模)在平面直角坐标系中，O为原点，直角的顶点，，等边的顶点，，顶点D在第二象限． (1)填空：如图①，的度数为 °，点D的坐标为 ； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点D，E，F的对应点分别为，，．设，等边与直角三角形的重叠部分的面积为S． ①如图②，若边与边相交于点G，当与重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 22．(25-26九下·天津河西区·一模)已知抛物线(，，为常数，)的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），点，与轴交于负半轴的点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时， ①若存在点，满足，求此时的值； ②若有点，满足，求此时的值． 23．(25-26九下·天津·一模)在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，，点在轴负半轴上，点在第一象限，边交轴于点．是等腰直角三角形，，点，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)将沿水平方向向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边交于点，与边交于点，与重合部分为四边形时，试用含的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（请直接写出结果即可）． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $