专题04 一次函数、反比例函数、二次函数及其实际应用（4大考点）（天津专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题04 一次函数、反比例函数、二次函数及其实际应用 4大考点概览 考点01一次函数 考点02一次函数及其应用 考点03反比例函数 考点04二次函数及其实际应用 一次函数 考点01 1．(25-26九下·天津·一模)函数的图象不经过第______象限． 2．(25-26九·天津河北区·一模)已知直线向上平移4个单位后经过点，则m的值为________． 3．若直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限，则k的值可以是________（写出一个即可）． 4．(25-26九·天津河东区·一模)将直线沿轴向左平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 5．(25-26九下·天津·一模)将直线向下平移3个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、第四象限，则k的值可以是______（写出一个即可）． 6．(25-26九下·天津·一模)把直线向上平移m个单位长度，平移后的直线经过第二、第一、第四象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 一次函数及其应用 考点02 7．(25-26九下·天津·一模)已知小明的家、公园、便利店依次在同一条直线上，公园距离小明家，便利店距离小明家．小明从家出发，匀速步行了到公园，他在公园休息了3，之后他匀速步行了6到便利店，在便利店停留2购买商品后，再匀速步行了3返回家．下图中x（单位：）表示小明离开家的时间，y（单位：m）表示小明离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间（单位：） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 540 (2)填空：①便利店到公园的距离为______m； ②小明从便利店返回家的速度为______m/； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； (3)若小明从家出发的同时，小明的妈妈也从家出发，小明的妈妈到达公园后，立即返回家中，恰好与小明同时到家．小明的妈妈全程保持同一速度匀速运动．对于同一个x的值，小明离家的距离为，小明的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 8．(25-26九·天津河东区·一模)已知小海的家、便利店、体育馆依次在同一条直线上，便利店离家，体育馆离家．小海从家出发，先匀速步行了到便利店，在便利店停留了，之后匀速步行了到体育馆，在体育馆停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小海离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小海离开家的时间 2 9 14 30 小海离家的距离 ________ 0.6 ________ ________ ②填空：小海从体育馆回家的速度为________； ③当时，请直接写出小海离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小海离开家时，他的爸爸也从体育馆出发匀速步行了直接到家．在从体育馆到家的过程中，对于同一个的值，小海离家的距离为，小海的爸爸离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 9．(25-26九下·天津·一模)已知小明家、民俗馆、人工智能科普馆依次在同一条直线上，民俗馆离家，人工智能科普馆离家．小明从家出发，先匀速骑行了到达民俗馆，在那里参观了后，又匀速骑行了到达人工智能科普馆，在科普馆停留了后，匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间 小明离家的距离 填空：小明从人工智能科普馆返回家的速度为__________； 当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明离开家时，他的妈妈也从家出发，沿同一路线匀速步行前往人工智能科普馆，全程用时，那么在从民俗馆到人工智能科普馆的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 10．(25-26九下·天津河西区·一模)【物理知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． ②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N； (2)①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式； ②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式； (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可） 11．(25-26九下·天津·一模)已知小华家、超市、书店依次在同一条直线上，超市离小华家，书店离小华家，小华从家骑车匀速骑行到书店，在那里停留了，之后又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 2 10 55 90 小华离开家的距离 3 ②填空；书店到超市的距离为________； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于x的函数解析式； (2)当小华从书店出发前往超市时，同时小华的哥哥也从书店出发，以的速度匀速步行直接回家，从书店到家过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 12．(25-26九下·天津·一模)已知小亮所在学校的宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．小亮从宿舍出发，先匀速步行了到超市；在超市停留了后，匀速骑行了到书店；在书店停留了后，匀速步行返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小亮离开宿舍的时间 1 10 30 55 小亮离宿舍的距离 0.4 ②填空：当小亮离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为________； (2)当时，请直接写出y关于x的函数解析式； (3)若同宿舍的小华与小亮同时从宿舍出发，小华以的速度步行直接到书店．在从宿舍到书店的过程中，对于同一个x的值，小亮离宿舍的距离为，小华离宿舍的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 13．(25-26九下·天津·一模)一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示． (1)填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______，出发______快车返回甲地； (2)直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； (3)在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 14．(25-26九下·天津·一模)已知小明家、超市、书店、体育馆依次在同一条直线上，超市、书店、体育馆离小明家的距离分别为，，．周末，小明从书店买完书后出发，先匀速步行到达体育馆，在体育馆停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开书店的时间 小明离家的距离 ②填空：小明从超市返回家的速度为_________； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明离开体育馆时，小明的哥哥小亮从家出发匀速步行直接去体育馆，如果小亮的速度为，那么小亮在去体育馆的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 15．(25-26九·天津和平区·一模)已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家600，公园离家1800．小华从家出发，先匀速步行了6到书店，在书店停留了12，用相同速度匀速步行了12到公园，在公园停留25后，再用相同速度匀速步行回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间/ 2 6 18 52 小华离家的距离/ 600 ②填空：当小华离家的距离为时，他离开家的时间为 ； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妹妹比哥哥迟2到书店，在书店待了15后去公园，速度是哥哥的2倍，能否在哥哥到达公园前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离公园还有多远（直接写出结果即可）． 小华离开家的时间/min 2 6 18 52 小华离家的距离/ 200 600 600 1800 16．(25-26九·天津北辰区·一模)已知小明的家、文具店、文化广场、公园依次在同一条直线上，文具店离家，公园离家．小明从家出发，先匀速骑行了到文具店，在文具店停留了，之后匀速骑行了到公园，在公园停留后，再用匀速步行返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间 1 4 12 25 小明离家的距离 0.8 ②填空：小明从公园返回家的速度为________； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小明从家出发的同时，小明的爷爷从离家的文化广场步行回家，步行的速度是，在家停留后慢步去公园．求在这个过程中，小明和爷爷相遇时离家的距离（直接写出结果即可）． 17．(25-26九·天津河北区·一模)已知小华的家，文具店，图书馆依次在同一条直线上，文具店离家，图书馆离家，小华从家出发，先匀速步行了到文具店，在文具店停留了，之后匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了后，再用匀速骑行回家．下面图中x表示时间，y表示小华离家的距离，图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间/ 2 5 11 24 小华离开家的距离/ ②填空：小华从图书馆匀速骑行回家的速度为________； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妈妈在小华离开家后从家以的速度匀速步行直接去图书馆，在小华的妈妈离家后到图书馆的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 反比例函数 考点03 18．(25-26九下·天津·一模)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 19．(25-26九·天津北辰区·一模)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 20．(25-26九下·天津·一模)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 21．(25-26九下·天津·一模)若点，，都在反比例函数的图象上，则，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 22．(25-26九·天津河东区·一模)若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 23．(25-26九下·天津·一模)若点，，都在反比例函数（m为常数，）的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 24．(25-26九·天津河北区·一模)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 25．(25-26九下·天津河西区·一模)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 26．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 27．(25-26九·天津和平区·一模)若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二次函数及其实际应用 考点04 28．(25-26九下·天津河西区·一模)要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管，并在水管顶端处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱．若喷出水柱的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，有下列结论： 水柱落地处距池中心的距离为； 水管的长度为； 水柱到达最高点时的高度为． 其中，正确的结论是（   ） A． B． C． D． 29．(25-26九下·天津·一模)在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 30．(25-26九下·天津·一模)如图，在四边形中，，，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动；同时点Q从点A出发，以的速度沿边、边向终点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点P、Q的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为，其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 31．(25-26九下·天津·一模)四边形中，，，，，．动点M从点C出发，以的速度沿边运动，过点M作边的垂线交四边形的边于点N；同时动点P从点B出发，以的速度沿边，边运动．规定点N与P相遇时，停止运动．连接，．设运动的时间为．当时，点M，N，P的位置如图所示．有下列结论： ①时，； ②当时，的面积为； ③当时，的最大面积为． 其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 32．(25-26九下·天津·一模)如图，在一次足球训练中，某球员从球门（O为原点，高）正前方8m的A处射门，球射向球门的路线可以看作抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为．有下列结论： ①该球经过区域； ②该球飞行的水平距离为时的高度大于飞行的水平距离为时的高度； ③C为球门的高上一点，．若该球员先从A处带球向他的正后方（图中x轴的正方向）移动后再射门，且球射向球门的路线形状、球的最大高度均保持不变，则球经过区域． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 33．(25-26九下·天津·一模)小明利用函数知识，设计了一个函数计算程序，其程序框图如图所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6；小华根据小明的函数特点，得出以下结论：①，，．②这个复杂函数始终保持y随x的增大而增大；③若小明设计的函数与直线有两个公共点，则；④若在函数图像上有点P、Q（P与Q不重合），P的横坐标为m，Q的横坐标为，小华对P、Q之间（含P、Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值和最小值均不随m的变化而变化时，m的取值范围是．小华的说法中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 34．(25-26九下·天津·一模)如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边做正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 35．(25-26九·天津和平区·一模)如图，正方形的边长为，点在边上，，点在边上，．将正方形截去一个角后得到一个五边形，点在线段上运动（点可与点，点重合），作矩形，其中，分别在边，上．有下列结论： ①当时，； ②矩形面积的最大值为； ③有两个不同的值满足矩形的面积为． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 36．(25-26九·天津北辰区·一模)如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，E，F分别为边，上的一点，与平行，在，上各留出一个宽的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是．有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为或； ③若规定，则矩形菜园的最大面积是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 37．四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 38．(25-26九·天津河东区·一模)平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示． 有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③存在两个的值，使得的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 39．(25-26九下·天津·一模)小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值． x … 0 1 2 y … 3 4 3 0 (1)直接写出该二次函数的顶点D的坐标为______ (2)求该二次函数的表达式； (3)若，直接写出x的取值范围_______． 40．(25-26九·天津和平区·一模)已知抛物线（a，b，c是常数，），顶点为P． (1)当，，时， ①求顶点P的坐标； ②填空：将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，所得抛物线解析式为 ； (2)抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … … 3 0 m 0 … ①填空：当时，则x的值为 ； ②填空：顶点P的坐标为 ． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数、反比例函数、二次函数及其实际应用 4大考点概览 考点01一次函数 考点02一次函数及其应用 考点03反比例函数 考点04二次函数及其实际应用 一次函数 考点01 1．函数的图象不经过第______象限． 【答案】三 【详解】解：在一次函数中，，， 此函数的图象经过一，二，四象限，不经过第三象限． 2．(25-26九·天津河北区·)已知直线向上平移4个单位后经过点，则m的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查一次函数图象的平移变换，根据平移规律“上加下减”得到平移后的直线解析式，将点的坐标代入解析式即可求出的值，掌握平移规律是解题的关键. 【详解】解：直线向上平移个单位后得到的直线解析式为：， 把代入解析式得：， 整理得：， 解得：． 3．若直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限，则k的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据一次函数图像与系数的关系，判断的取值范围，选取一个符合范围的值即可． 【详解】解：直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限， ， k的值可以是1（答案不唯一，满足即可）． 4．(25-26九·天津河东区·)将直线沿轴向左平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】2 【分析】根据“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：将直线沿轴向左平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则， 即可， 则的值可以是． 5．将直线向下平移3个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、第四象限，则k的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（）即可 【分析】先根据平移规律得到平移后的直线解析式，再根据平移后直线经过的象限确定的取值范围，在范围内取一个符合条件的值即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后， 根据平移规律可得解析式为，即． 平移后的直线经过第二、第三、第四象限， ． ∴k的值可以是（答案不唯一）． 6．把直线向上平移m个单位长度，平移后的直线经过第二、第一、第四象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限求参数的范围，先根据平移规则求出平移后的直线解析式，再根据一次函数图象经过的象限与系数的关系列不等式求解即可. 【详解】解：由题意，根据一次函数图象平移规则，平移后的解析式为： ， 平移后的直线经过第二、第一、第四象限，一次函数中，只需满足， ， 解得， 的值可以是. 一次函数及其应用 考点02 7．已知小明的家、公园、便利店依次在同一条直线上，公园距离小明家，便利店距离小明家．小明从家出发，匀速步行了到公园，他在公园休息了3，之后他匀速步行了6到便利店，在便利店停留2购买商品后，再匀速步行了3返回家．下图中x（单位：）表示小明离开家的时间，y（单位：m）表示小明离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间（单位：） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 540 (2)填空：①便利店到公园的距离为______m； ②小明从便利店返回家的速度为______m/； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； (3)若小明从家出发的同时，小明的妈妈也从家出发，小明的妈妈到达公园后，立即返回家中，恰好与小明同时到家．小明的妈妈全程保持同一速度匀速运动．对于同一个x的值，小明离家的距离为，小明的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)54，540，180； (2)①360；②60；③当时，；当时，；当时， (3) 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：小明从家到公园的速度为， ∴当时，； 当时，小明在公园休息，距离不变，； 当时，小明在便利店停留，距离为； ∴填写表格如下， 小明离开家的时间（单位：） 1 10 13 20 小明离家的距离（单位：m） 54 540 540 180 （2）解：①便利店到公园的距离为； ②小明从便利店返回家的速度为； ③当时，； 当时，； 当时，； （3）解：妈妈的分段函数： 去公园，； 回家，； 小明的分段函数： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 1、：，即，无解； 2、：，得，无解； 3、：，得，无解； 4、：，得； 5、：，得； 6、：，得，无解； 综上，x的取值范围为． 8．(25-26九·天津河东区·)已知小海的家、便利店、体育馆依次在同一条直线上，便利店离家，体育馆离家．小海从家出发，先匀速步行了到便利店，在便利店停留了，之后匀速步行了到体育馆，在体育馆停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小海离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小海离开家的时间 2 9 14 30 小海离家的距离 ________ 0.6 ________ ________ ②填空：小海从体育馆回家的速度为________； ③当时，请直接写出小海离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小海离开家时，他的爸爸也从体育馆出发匀速步行了直接到家．在从体育馆到家的过程中，对于同一个的值，小海离家的距离为，小海的爸爸离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】（1）结合函数图象求出各阶段速度即可解决①②，再由待定系数法分段求解即可解决③； （2）由待定系数法求出爸爸运动的函数表达式，结合，数形结合求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 小海从家到便利店的速度为； 小海从便利店到体育馆速度为； ①当时，由于，则； 当时，由于，则； 当时，由于，则； ②小海从体育馆回家的速度为； ③当时，； 当时，设， 将、代入解析式得， 解得， ； 综上所述，当时，小海离家的距离关于时间的函数解析式为； （2）解：设， 将、代入解析式得， 解得， ； 当时，设， 将、代入解析式得， 解得， ； 如图所示： 当时， 联立，解得； 当时， 联立，解得； 当时， 在时，；在时，； 综上所述，当时，的取值范围是． 9．已知小明家、民俗馆、人工智能科普馆依次在同一条直线上，民俗馆离家，人工智能科普馆离家．小明从家出发，先匀速骑行了到达民俗馆，在那里参观了后，又匀速骑行了到达人工智能科普馆，在科普馆停留了后，匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间 小明离家的距离 填空：小明从人工智能科普馆返回家的速度为__________； 当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明离开家时，他的妈妈也从家出发，沿同一路线匀速步行前往人工智能科普馆，全程用时，那么在从民俗馆到人工智能科普馆的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)，，；；； (2)． 【分析】（）求出速度为，再结合图象即可求解； 根据题意列出算式即可求解； 分当时；当时；当时，求出解析式即可； （）求出妈妈的速度为，设分钟两人相遇，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，速度为（）， ∴当时，（）， 由图象可知：当时，（）， 由图象可知：当时，（）， 故答案为：，，； 小明从人工智能科普馆返回家的速度为：（）， 故答案为：； 当时，设， 把代入得：， 解得：， ∴； 当时，； 当时，设， 把，代入得： ，解得：， ∴； 综上可得：； （2）解：妈妈的速度为（），设分钟两人相遇， 根据题意得：，解得：， ∴两人相遇时离家的距离是． 10．(25-26九下·天津河西区·)【物理知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． ②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N； ③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N； (2)①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式； ②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式； (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可） 【答案】(1)4；2.8；2.5 (2)①当时，,当时,；② (3)； 【分析】（1）①根据解答；②和③，观察图象可得答案； （2）观察图象根据待定系数法求出关系式即可； （3）先将代入第一个函数关系式求出，再根据题意将代入第二个函数关系式可得答案 【详解】（1）解：①当小铝块下降时，小铝块位于液面上方，此时，所以弹簧测力计A的示数为； ②当小铝块下降时， 观察图象可知弹簧测力计A的示数是； 观察图象可知弹簧测力计B的示数是； （2）解：①当时，弹簧测力计A的示数. 当时，设弹簧测力计A的示数，根据题意，得 ， 解得， ∴； ②当时，设弹簧测力计B的示数，根据题意，得 ， 解得， ∴； （3）解：当时，， 当小铝块浸入液面后，且甲，乙两个弹簧测力计上的小铝块重力相同，甲乙液体的浮力相同，所以两个小铝块所受的相等， ∴， 解得， 即． 11．已知小华家、超市、书店依次在同一条直线上，超市离小华家，书店离小华家，小华从家骑车匀速骑行到书店，在那里停留了，之后又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速散步返回家．下图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 2 10 55 90 小华离开家的距离 3 ②填空；书店到超市的距离为________； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于x的函数解析式； (2)当小华从书店出发前往超市时，同时小华的哥哥也从书店出发，以的速度匀速步行直接回家，从书店到家过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华的哥哥离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①0.6，3，1.6；②1.4；③当时，小华离家的距离y关于x的函数解析式 (2) 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，由书店离小华家的距离减去超市离小华家的距离即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华在最初的内的速度为， 当时，， 当时，， 当时，； ②书店到超市的距离为； ③由图象可知，当时，， 当时，图象经过点，， 设函数解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴函数解析式为， ∴当时，小华离家的距离y关于x的函数解析式． （2）解：小华的哥哥从书店到家所用时间为， ∴小华的哥哥从书店出发时的时间为，到家的时间为， ∴小华的哥哥离家的距离与x之间的函数图象经过点，， 设与x之间的函数关系式为， 将点，代入得： ，解得， ∴与x之间的函数关系式为：， ∴小华的哥哥离家的距离与x之间的函数图象如下： 当时，令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意， ∴当时，． 12．已知小亮所在学校的宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．小亮从宿舍出发，先匀速步行了到超市；在超市停留了后，匀速骑行了到书店；在书店停留了后，匀速步行返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小亮离开宿舍的时间 1 10 30 55 小亮离宿舍的距离 0.4 ②填空：当小亮离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为________； (2)当时，请直接写出y关于x的函数解析式； (3)若同宿舍的小华与小亮同时从宿舍出发，小华以的速度步行直接到书店．在从宿舍到书店的过程中，对于同一个x的值，小亮离宿舍的距离为，小华离宿舍的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①0.1，1.6，0.8；②2或 (2)； (3) 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； （2）理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （3）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小亮去超市的速度为， 1分钟时小亮离宿舍的距离为； 由图可知30分钟时，小亮离宿舍的距离为； 小亮从书店回宿舍的速度为， 55分钟时，小亮离宿舍的距离为； ②小亮去超市时：； 小亮从书店回宿舍时：， ， ∴当小亮离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为2或； （2）解：由①得小亮去超市的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴； 综上，； （3）解：根据题意可知，小华的速度为， 所以小华离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为， 当时，， 得， 解得； 当时，， 得， 解得； 如图所示，为小华的函数图象，    结合图形，当时，． 13．一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示． (1)填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______，出发______快车返回甲地； (2)直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； (3)在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象分段解答即可求解； （）求出快车从乙地返回甲地与慢车相遇的时间，进而即可求解； 【详解】（1）解：∵快车到达乙地后停留小时， ∴， 由函数图象可知，甲乙两地相距， ∵快车个小时从甲地到达乙地， ∴快车的速度为 ， ∵快车沿原路以原速返回甲地， ∴出发 快车返回甲地； （2）解：当时，； 当时，； 当时， ； 综上，； （3）解：由题意可得， 当时，可知快车从乙地返回甲地与慢车相遇， ∴ ， 解得， ∴当时，的取值范围为． 14．已知小明家、超市、书店、体育馆依次在同一条直线上，超市、书店、体育馆离小明家的距离分别为，，．周末，小明从书店买完书后出发，先匀速步行到达体育馆，在体育馆停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开书店的时间 小明离家的距离 ②填空：小明从超市返回家的速度为_________； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明离开体育馆时，小明的哥哥小亮从家出发匀速步行直接去体育馆，如果小亮的速度为，那么小亮在去体育馆的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；②；③当时，； 当时，；当时， (2) 【分析】（1）①根据函数图象得出对应时间点的距离值，或者求得对应一次函数的表达式，代入时间值，得到对应的距离值． ②根据小明从超市返回家的路程和时间，根据速度路程时间，得到答案． ③根据不同时段的运动状态（匀速、静止），利用待定系数法求解一次函数表达式． （2）根据两人的行进路线和运动时间，判断两人相遇时所在的时间段，进而根据两人运动的时间相同建立一元一次方程得到答案． 【详解】（1）解：①由图可知，离开家，距家的距离为， 由图可知，当时，小明离家的距离关于时间的函数为一次函数， 设此时的函数表达式为：， 由图可知，当时，，当时，， 代入函数表达式，得：， 解得：， ∴函数表达式为：， ∴离开家即为当时，， ∴离开家时，距家的距离为， 由图可知，离开家，距家的距离为； ②小明从超市返回家的路程为：，匀速步行返回家， 小明从超市到家的速度为：； ③由图可知，当时，小明离家的距离关于时间的函数分三段组成： 当时，设此时的函数表达式为：， 由图可知，当时，，当时，， 代入函数表达式，得：，解得：， ∴当时，函数表达式为：， 由图可知，当时，， 由①可知，当时，函数表达式为：， ∴小明离家的距离关于时间的函数解析式为： 当时，；当时，；当时，； （2）解：∵小亮从家出发匀速步行直接去体育馆，小亮的速度为， 此时小明从体育馆到超市，小明的骑行时间为：，骑行距离为：， ∴小亮在内的步行距离为：， 又∵， ∴内两人已经相遇，此时小明在从体育馆到超市的途中， 设小亮步行了两人相遇， 则小明骑行的速度为：， ∴根据题意可列方程为：， 解得， ∴小亮在去体育馆的途中遇到小明时离家的距离是． 15．(25-26九·天津和平区·)已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家600，公园离家1800．小华从家出发，先匀速步行了6到书店，在书店停留了12，用相同速度匀速步行了12到公园，在公园停留25后，再用相同速度匀速步行回家，下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间/ 2 6 18 52 小华离家的距离/ 600 ②填空：当小华离家的距离为时，他离开家的时间为 ； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妹妹比哥哥迟2到书店，在书店待了15后去公园，速度是哥哥的2倍，能否在哥哥到达公园前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离公园还有多远（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①见解析；②20或65；③； (2)能，追上时兄妹俩离公园还有． 【分析】（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 2分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 52分钟时，小华离家的距离为； 填表如下： 小华离开家的时间/min 2 6 18 52 小华离家的距离/ 200 600 600 1800 ②小华去公园的过程中：， 小华从公园返回的过程中：， 综上，当小华离家的距离为时，他离开家的时间为20或65； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，， 综上，； （2）解：哥哥的速度：100，妹妹的速度：200 妹妹到达书店的时间：哥哥到书店的时间是6，妹妹迟2，即到达书店； 妹妹在书店停留15，离开书店的时间：． 哥哥在23时的位置：18离开书店，到23走了， 距离为． 设妹妹离开书店后经过追上哥哥： 解得， 此时总时间为， 小于哥哥到达公园的30，能追上． 此时离家距离：，离公园还有． 答：能，追上时兄妹俩离公园还有． 16．(25-26九·天津北辰区·一模)已知小明的家、文具店、文化广场、公园依次在同一条直线上，文具店离家，公园离家．小明从家出发，先匀速骑行了到文具店，在文具店停留了，之后匀速骑行了到公园，在公园停留后，再用匀速步行返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间 1 4 12 25 小明离家的距离 0.8 ②填空：小明从公园返回家的速度为________； ③当时，请直接写出小明离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小明从家出发的同时，小明的爷爷从离家的文化广场步行回家，步行的速度是，在家停留后慢步去公园．求在这个过程中，小明和爷爷相遇时离家的距离（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①，，2；②0.1；③ (2)或 【分析】（1）①②由函数图象即可求解；③分三段进行讨论求解函数关系式即可； （2）先画出小明的爷爷整个行程的函数图象，再求解小明爷爷的两段函数解析式，与小明对应的两段函数解析式进行联立求解即可． 【详解】（1）解：①小明从家到文具店的速度为：， ∵先匀速骑行了到文具店， ∴时，； 由题意以及函数图象可得，当时，小明在文具店，则；当时，； ②由题意以及函数图象可得，小明从公园返回家的速度为； ③当时，小明匀速骑行，速度为，则； 当时，小明在文具店停留，距离不变，则； 当时，设离y关于时间x的函数解析式为，则代入，得，，解得， ∴， 综上：小明离家的距离y关于时间x的函数解析式为； （2）解：小明爷爷从离家的文化广场步行回家用时，然后停留后，则，然后慢步去公园，则，则可画函数图象如图： 小明爷爷从文化广场步行回家这一阶段所对应的函数解析式设为， 则代入，得，， 解得 ∴小明爷爷从文化广场步行回家这一阶段所对应的函数解析式为 与联立得，， 解得 则小明和爷爷相遇时离家的距离； 设小明爷爷停留后慢步去公园这一段对应的函数解析式为， 则代入，得，， 解得， ∴小明爷爷停留后慢步去公园这一段对应的函数解析式为， 同理可求小明从公园匀速步行返回家时对应的函数解析式为， 联立可得 解得， ∴小明和爷爷相遇时离家的距离， 综上：小明和爷爷相遇时离家的距离为或． 17．(25-26九·天津河北区·)已知小华的家，文具店，图书馆依次在同一条直线上，文具店离家，图书馆离家，小华从家出发，先匀速步行了到文具店，在文具店停留了，之后匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了后，再用匀速骑行回家．下面图中x表示时间，y表示小华离家的距离，图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间/ 2 5 11 24 小华离开家的距离/ ②填空：小华从图书馆匀速骑行回家的速度为________； ③当时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)小华的妈妈在小华离开家后从家以的速度匀速步行直接去图书馆，在小华的妈妈离家后到图书馆的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为，小华妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①，，；  ②；③当时，，当时，，当时，； (2)． 【分析】（1）①根据图象的特征求解即可； ②根据题意，其速度为； ③当时，利用待定系数法分段求函数的解析式即可； （2）是分段函数，，根据，求解即可． 【详解】（1）①解：当时，其速度为， 根据题意，得； 时，小华停留在文具店，此时离家的距离为； 时，小华刚好到达图书馆，此时离家的距离为； ②解：根据题意，其速度为； ③当时，其速度为， 根据题意，得； 当时，， 当时，设解析式为， 根据题意，得， 解得， 故解析式为； （2）解：根据题意，得， 当时，解得； 当时，解得； 根据，得． 反比例函数 考点03 18．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各点横坐标代入解析式求出对应y值，再比较大小即可. 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得：，，， ∵， ∴. 19．(25-26九·天津北辰区·一模)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用反比例函数图象上的点满足函数解析式的性质，将各点横坐标代入解析式求出对应纵坐标，即可比较大小得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上 ∴将各点横坐标分别代入解析式计算，得 ∵ ∴． 20．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标后直接比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴， ， ， ∵ ， ∴ ． 21．若点，，都在反比例函数的图象上，则，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标后比较大小即可，用到的知识点是反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式计算纵坐标： ， ， ， ∵， ∴． 22．(25-26九·天津河东区·)若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在反比例函数图象上，坐标满足函数解析式，将各点纵坐标代入解析式求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上， ∴ 将值分别代入解析式得，，， ∵， ∴． 23．若点，，都在反比例函数（m为常数，）的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，先确定反比例函数比例系数的符号，再根据各点横坐标判断点所在象限，结合反比例函数的增减性即可比较y值大小． 【详解】解：∵反比例函数为，且 ∴比例系数 ∴函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小 ∵点的横坐标， ∴点在第三象限，可得 ∵ ∴点、都在第一象限， ∴ ∴． 24．(25-26九·天津河北区·)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可将三个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应y值后，直接比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 点，， 都在反比例函数的图象上 ∴将各点横坐标分别代入解析式计算： 把代入得 把代入得 把代入得 ∵ ∴． 25．(25-26九下·天津河西区·)若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可得，，的大小关系． 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随增大而增大， ∵ 点，，都在反比例函数的图象上， ∴点在第二象限，，在第四象限， ∴，，，， ∴． 26．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，将各点横坐标代入解析式求出对应y值，再比较大小即可得到结果． 【详解】∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得：，，， ∵， ∴． 27．(25-26九·天津和平区·)若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各点代入解析式求出、、的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴， ， ∵ ∴． 故选：D． 二次函数及其实际应用 考点04 28．(25-26九下·天津河西区·)要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管，并在水管顶端处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱．若喷出水柱的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，有下列结论： 水柱落地处距池中心的距离为； 水管的长度为； 水柱到达最高点时的高度为． 其中，正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数顶点式的性质，分别计算三个结论判断正误，落地对应，长度对应时的值，最高点高度是抛物线顶点的纵坐标． 【详解】解：∵水柱落地时高度，代入得， 解得 ，（距离为正，舍去负根） ∴水柱落地处距点距离为， ∴正确； ∵是池中心，长度对应 ， 代入得， ∴长度为， ∴正确； ∵，抛物线开口向下，顶点为， ∴水柱最高点高度为， ∴③正确． 29．在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意易得，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则， 当时，此时点M在边上， ∴， ∴，故（1）正确； 当时，过点M作于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为； 当时，过点M作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为；故（2）错误； 当时，解得：（负根舍去），符合， 当时，解得：（负根舍去）， ∵， ∴，符合题意； ∴t有两个值满足的面积为，故（3）错误； 综上所述：正确的结论只有一个． 30．如图，在四边形中，，，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动；同时点Q从点A出发，以的速度沿边、边向终点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点P、Q的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为，其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】判断点Q在上，求得，得到四边形是平行四边形，即可判断①正确；利用三角形面积公式得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可判断②错误；分两种情况讨论，可判断③正确． 【详解】解：①当时，点Q运动的距离为，则点Q在上， 此时，，如图， ， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，①正确； ②当时，点Q在上， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的最大面积为，不符合题意，②错误； ③当点Q在上时，的面积为时， 则， 解得（不符合题意，舍去）或； 当点Q在上时， ∵，， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， ∴③正确； 综上，正确的只有①③，共2个． 31．四边形中，，，，，．动点M从点C出发，以的速度沿边运动，过点M作边的垂线交四边形的边于点N；同时动点P从点B出发，以的速度沿边，边运动．规定点N与P相遇时，停止运动．连接，．设运动的时间为．当时，点M，N，P的位置如图所示．有下列结论： ①时，； ②当时，的面积为； ③当时，的最大面积为． 其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于结论①根据已知条件分别计算时和的长度，然后比较两者是否相等；对于结论②当时，分别确定点M、N、P的位置，进而求出的底和高，最后根据三角形面积公式计算其面积；对于结论③分情况讨论，得到面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可。 【详解】解：已知动点M从点C出发，速度为， 当时，； 动点P从点B出发，速度为， 当时，， ∵， ∴， ∴，结论①正确； 作于点，则四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，，，； ，此时点P在上，且； 过点P作于点H， 则， ∴， ∴，结论②正确； 当， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 当， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 综上，当时，的最大面积为，结论③错误． 综上，正确结论的个数是2个． 32．如图，在一次足球训练中，某球员从球门（O为原点，高）正前方8m的A处射门，球射向球门的路线可以看作抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为．有下列结论： ①该球经过区域； ②该球飞行的水平距离为时的高度大于飞行的水平距离为时的高度； ③C为球门的高上一点，．若该球员先从A处带球向他的正后方（图中x轴的正方向）移动后再射门，且球射向球门的路线形状、球的最大高度均保持不变，则球经过区域． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】因为已知抛物线的顶点坐标和抛物线上一点坐标，所以可先设抛物线的顶点式，代入点的坐标求出抛物线的解析式，这是解题的突破口．对于结论①，因为要判断球是否经过区域，所以将代入抛物线解析式，求出对应的y值，再与的长度比较．对于结论②，因为要比较水平距离和时的高度，求出对应的y值并比较大小．对于结论③，因为球员向正后方移动2m，抛物线形状和最大高度不变，所以先确定新抛物线的顶点坐标，设出新的顶点式，代入新的射门点坐标求出解析式，再将代入求出y值，与、的长度比较． 【详解】根据题意，抛物线顶点坐标为，设抛物线顶点式：，代入得： ，解得， ∴原抛物线解析式为：； 判断①： 是处的线段，代入得： ，∴球与轴交点在点上方，不经过区域，①错误． 判断②： 飞行水平距离对应横坐标，抛物线开口向下，对称轴为，水平距离对应时，水平距离对应时，，因此高度在时小于时，结论②错误． 判断③： 球员向正方向移动后，新点坐标为，抛物线形状不变（不变）、最大高度不变，新顶点坐标为，新抛物线解析式为：． 代入得：． 是处的区域，，因此球经过区域，③正确． 综上，正确结论为③，共1个． 33．小明利用函数知识，设计了一个函数计算程序，其程序框图如图所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6；小华根据小明的函数特点，得出以下结论：①，，．②这个复杂函数始终保持y随x的增大而增大；③若小明设计的函数与直线有两个公共点，则；④若在函数图像上有点P、Q（P与Q不重合），P的横坐标为m，Q的横坐标为，小华对P、Q之间（含P、Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值和最小值均不随m的变化而变化时，m的取值范围是．小华的说法中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据待定系数法可得的值；画出图象，根据一次函数和二次函数的增减性即可解答；利用图象，可得函数与直线的交点情况；根据函数图象，分类讨论即可解答． 【详解】解：输入x的值为时，输出y的值为1， ， 解得， 输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6， ， 解得， 故①正确； 画出函数图象，如下： 当时，， 所以当时，这个复杂函数y随x的增大而减小，故②错误； 如图，函数的顶点为， 所以小明设计的函数与直线有两个公共点，则； 故③错误； 令，解得， 令，解得，（舍去）， 当时，则， 此时复杂函数的最小值在处取到，复杂函数的最大值在处取到，不符合题意； 当时，则， 此时复杂函数的最小值在或处取到，都为，复杂函数的最大值在处取到，为，符合题意； 当时，则， 此时复杂函数的最小值和最大值都由决定，不符合题意； 当时，则， 此时复杂函数的最小值在处取到，为，复杂函数的最大值在处取到，为，符合题意； 当时，则， 此时复杂函数的最小值在处取到，复杂函数的最大值在处取到，不符合题意； 综上，当图像对应函数的最大值和最小值均不随m的变化而变化时，m的取值范围是或，故④错误； 所以小华的说法中正确的个数是1个． 34．如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边做正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点作于点，根据等角对等边得，根据勾股定理求出，，可判断①；分两种情况：当点在线段上运动时；当点在线段的延长线上运动时，分别求解，可判断②；根据条件及正方形的性质得，根据等角对等边，根据勾股定理得，，可判断③． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 当点在线段上运动时， ∵动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，点运动时间为，四边形是正方形， ∴，，， 当点与点重合时，点与点重合， 此时， ∴； 当点在线段的延长线上运动时，如图，设交于点 此时点在线段上运动，则， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴当时，关于的函数关系式为，，故结论②正确； 当正方形的对称中心与点重合时，如图， 此时点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③不正确； 综上所述，正确结论的个数是． 35．(25-26九·天津和平区·)如图，正方形的边长为，点在边上，，点在边上，．将正方形截去一个角后得到一个五边形，点在线段上运动（点可与点，点重合），作矩形，其中，分别在边，上．有下列结论： ①当时，； ②矩形面积的最大值为； ③有两个不同的值满足矩形的面积为． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，根据锐角三角函数的定义可以求出，，从而可知；设，把矩形的面积用含的代数式表示出来，根据二次函数的性质求出矩形面积最大值；当矩形面积为时，可以得到关于的一元二次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， ， 正方形的边长为， ， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论①正确； 设，由①可知， 则，， 矩形的面积为， 整理得：， ，且， 当时，矩形面积有最大值，最大值为， 故结论②正确； 当矩形面积为时， 可得：， 解得：，(舍去)， 只有一个值满足矩形的面积为， 故结论③错误． 综上所述，结论正确的个数有2个． 36．(25-26九·天津北辰区·一模)如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，E，F分别为边，上的一点，与平行，在，上各留出一个宽的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是．有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为或； ③若规定，则矩形菜园的最大面积是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【详解】解：①根据题意得：和为矩形， ∴， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时， 解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，且最大面积为： ，故③正确； 综上，正确结论有2个， 37．四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】当时，点M在上，求出，，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；先将代入的面积表达式求出结果，再由可推断点M在上，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：当时，， ∵点M的运动轨迹是，以的速度运动，， ∴点M在上的运动时间为， 当时，点M在上， ∴， ∴，故①错误； 当时，，，， ∴， 当时，的面积取得最大值，故②错误； 当时，， 当时，， 而点M此时在上， ∴，故③正确， 综上所述，正确的结论有③，共1个． 38．(25-26九·天津河东区·)平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示． 有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③存在两个的值，使得的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由题中的点，运动过程，分情况作图，运用平行四边形判定与性质、解直角三角形及二次函数图象与性质讨论求解． 【详解】解：当时，， ， ， 则，且， 四边形是平行四边形， 在平行四边形中，， 则，故①正确； ，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动， 走完用时（秒）， 过点作，如图所示： 在中，，则， ，则由勾股定理可得， 当时，，则， 当时，的最大面积为； 当时，过点作，过点作，如图所示： ，， 在中，，则， ， ，则由勾股定理可得， ， 在平行四边形中，，则， 在中，，，则， 由勾股定理可得， 则， ， 由抛物线开口向上、对称轴为，则当时，随着的增大而减小， 当时，有最大值，为； 综上所述，当时，的最大面积为，故②正确； 由题意，当停止运动时，共用时为（秒），而此时还为到达， 点，总共运动时间为秒， 由②的判定过程可知，当时，的最大面积为， ， 解得； 当时，， 解得或； 综上所述，存在、或三个值，使得的面积为，故③错误； 则题中正确结论是①②，共2个． 39．小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值． x … 0 1 2 y … 3 4 3 0 (1)直接写出该二次函数的顶点D的坐标为______ (2)求该二次函数的表达式； (3)若，直接写出x的取值范围_______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由表格数据可知二次函数图象对称性可得图象顶点． （2）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （3）利用二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知二次函数的对称轴为直线， 二次函数图象对称性可得图象顶点为， （2）解：设二次函数的表达式为， 将代入得， 解得：， 该二次函数的表达式为； （3）解：令，则， 解得或， 令，则， 解得或， ∵ ∴二次函数的开口向下， 结合函数图象可知，当或时，． 40．(25-26九·天津和平区·)已知抛物线（a，b，c是常数，），顶点为P． (1)当，，时， ①求顶点P的坐标； ②填空：将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，所得抛物线解析式为 ； (2)抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … … 3 0 m 0 … ①填空：当时，则x的值为 ； ②填空：顶点P的坐标为 ． 【答案】(1)①；② (2)①或；② 【分析】（1）配方即可求解顶点坐标；再根据“左加右减，上加下减”求解平移后的函数解析式即可； （2）利用待定系数法求解函数解析式，然后当解方程即可求解值，再配方即可求解顶点坐标． 【详解】（1）解：①当，，时，抛物线为， 配方得，， ∴顶点P的坐标为； ②向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，所得抛物线解析式为，即； （2）解：由表格可得，；； 代入，则， 解得 ∴抛物线表达式为 ①当时，则，解得或； ②， ∴顶点为． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $