9.3.1 平面向量基本定理分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.3.1　平面向量基本定理 A层 基础达标练 1.若e1,e2是平面α内两个不共线的向量,则下列选项中错误的是(　　) A.平面α内存在向量不能表示为“λe1+μe2(λ,μ∈R)”的形式 B.对于平面α内的任意向量a,有且仅有一个实数对(λ,μ),使得a=λe1+μe2 C.若共线的非零向量a,b满足a=λ1e1+μ1e2,b=λ2e1+μ2e2,则存在实数λ,使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2) D.若实数λ,μ满足λe1+μe2=0,则λ=μ=0 2.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为(　　) A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4 3.若{e1,e2}是平面内向量的一组基底,则下面的向量中不能作为一组基底的是(　　) A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-2e2和-6e1+4e2 C.e1+3e2和3e1+e2 D.e1+e2和e2 4.在梯形ABCD中,AD∥BC,已知AD=4,BC=6,若=m+n(m,n∈R),则=(　　) A.-3 B.- C. D.3 5.在△ABC中,点D是边BC上(不包含端点)的动点,若实数x,y满足=x+y,则x+y的值为　　　　.  6.在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,点F为线段DE上的一点,且+λ,则实数λ=　　　　.  7.在△ABO中,||=6,||=3,且的夹角为60°,=3. (1)求的值; (2)若=x·+y·,求x,y的值. B层 能力提升练 8.如图,在△ABC中,,若= λ+μ(λ,μ∈R),则=(　　) A. B. C.3 D. 9.已知△ABC的重心为O,则向量=(　　) A. B. C.- D.- 10.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　) A.若,则 B.若=2-3,则点M,B,C三点共线 C.若点M是△ABC的重心,则=0 D.若=x+y且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的 11.(多选题)设D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB上的点,且AF=AB,BD=BC,CE=CA,若记=m,=n,则(　　) A.=-m+n B.m+n C.m+n D.m-n 12.如图,已知M为△ABC所在平面内的一点,且+n,若点M在△ABC的内部(不含边界),则实数n的取值范围为　　　　.  13.已知i,j是两个不共线的向量,=i+2j,=i+λj,=-2i+j,若A,B,D三点共线,则实数λ的值为　　　　.  14.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于　　　　.  15.在△ABC中,D为AC上的一点,满足.若P为BD上的一点,满足=m+n(m>0,n>0),则mn的最大值为　　　　　,的最小值为　　　　　. 16.已知△ABC为等边三角形,点G是△ABC内一点.过点G的直线l与线段AB交于点D,与线段AC交于点E,设=λ=μ,且λμ≠0. (1)若点G是△ABC的重心,求的值; (2)记△GAB的面积为S1,△ABC的面积为S2.若,求的值. C层 拓展探究练 17.(多选题)如图1,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点O且三组对边分别平行,点A,B是“六芒星”(如图2)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(内部以及边界),若=x+y,则x+y的取值可能是(　　) 图1 图2　六芒星 A.-2π B.e C.π D.e2 参考答案 1.A　由题意可知e1,e2可以看成一组基底向量,根据平面向量基本定理可知,A错误,B,D正确;对于共线的非零向量a,b,设存在实数m使得a=mb,则λ1=mλ2,μ1=mμ2,λ1+μ1=m(λ2+μ2),则存在实数λ=m,使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2),故C正确.故选A. 2.D　因为e1与e2不共线,所以解得故选D. 3.B　对于A,e1+e2≠λ(e1-e2),能作为基底;对于B,-6e1+4e2=-2(3e1-2e2),不能作为基底;对于C,e1+3e2≠λ(3e1+e2),能作为基底;对于D,e1+e2≠λe2,能作为基底.故选B. 4.A　如图,过点A作AE∥CD,交BC于点E,则BE=2,CE=4,所以m+n=-,所以m=1,n=-,所以=-3.故选A. 5.1　因为点D是边BC上(不包含端点)的动点, 所以,即=(0<λ<1), 即=λ(), 所以=+(1-λ), 又已知=x+y, 所以x=1-λ,y=λ,所以x+y=1. 6　如图,设=x+x+x()=(1-x)+x=(1-x)+x=x,依题意知+,所以= 故答案为 7.解 选取{}为基底. (1)由已知得)=, ()=-=-62+32+6×3cos 60°=- (2)由(1)得=-, 又=x+y,∴x=y=- 8.A　由题意可得,)=又=+,所以λ=,μ=,故故选A. 9.C　取AC的中点D,连接OD(图略),∵O是△ABC的重心,∴B,O,D三点共线,可得)=)=-故选C. 10.ACD　对于A,,)=,∴A正确;对于B,=2-3,且2-3=-1≠1,∴M,B,C三点不共线,∴B错误;对于C,若点M是△ABC的重心,则=0,∴C正确;对于D,若=x+y且x+y=, 可得3=3x+3y,设=3,又3x+3y=1,则B,N,C三点共线,如图,可得MN=AN,则△MBC的面积是△ABC面积的,故D正确.故选ACD. 11.AC　如图,因为=m,=n,AF=AB,BD=BC,CE=CA,所以=-m+n,所以A正确;m-n,所以B错误;)=m+n,所以C正确;)-n-m,所以D错误.故选AC. 12　由+n,得)+n(),所以+n, 所以+n, 所以解得0<n< 故实数n的取值范围是故答案为 13.7　=(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-λ)j,∵A,B,D三点共线,∴向量共线,因此存在实数μ,使得=, 即i+2j=μ[-3i+(1-λ)j]=-3μi+μ(1-λ)j, ∵i与j是两个不共线的向量,由基本定理得解得λ=7.故答案为7. 14　,=+=λ()+μ()=(λ-μ)+(+μ), ∴由平面向量基本定理得 解得λ=,μ=,∴λ+μ= 15　16　因为,所以,所以=m+n=m+4n因为B,P,D三点共线,且不与点A共线,所以m+4n=1,所以4mn,则mn,当且仅当m=4n=时,等号成立,即mn的最大值为=(m+4n)()=+8≥2+8=16,当且仅当m=4n=时,等号成立,即的最小值为16. 16.解 (1)连接AG并延长,交BC于点F(图略), 因为G为重心,所以F为BC中点,所以), 所以)=, 又D,G,E三点共线,所以=1,=3. (2)设=m,则, 所以=1,m=, 故,则有, 记△FAB面积为S3,所以, 又,所以, 所以 17.BC　如图所示,求x+y的最值,只需考虑图中以O为起点,6个顶点为终点的向量即可.当+0时,x+y=1;当=3时,x+y=4;当=2时,x+y=3;当=3+2时,x+y=5;当时,x+y=2;当时,x+y=1,所以x+y的最大值为5,根据其对称性,可知x+y的最小值为-5,则x+y的取值范围为[-5,5],由选项判断可知,选项B,C正确.故选BC. 5 学科网（北京）股份有限公司 $