9.3.1 平面向量基本定理(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

9.3.1　平面向量基本定理 1.如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝（　　） A.－2e1－4e2 B.－4e1－2e2 C.e2－3e1 D.－e2＋3e1 2.已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ（λ∈R），则x，y满足的关系式是（　　） A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0 C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0 3.在△ABC中，＝，DE∥BC，且与AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，则用基底a，b表示＝（　　） A.（a－b） B.（b－a） C.（a－b） D.（b－a） 4.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（　　） A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 5.〔多选〕如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（　　） A.a＝λe1＋μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α内的所有向量 B.对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对（λ，μ）有无穷多个 C.若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝ D.若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 6.〔多选〕点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则有（　　） A.＝－a－b B.＝a－b C.＝a＋b D.＝－a 7.在四边形ABCD中，与平行，P是BC的中点，AP∩DC＝Q，则＝　　　　（用，表示）. 8.在△ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD的中点，若＝x＋y，则x＝　　　　. 9.正方形ABCD的边长为6，E是AD的中点，且＝2，则·＝　　　　. 10.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. （1）证明：a，b可以作为一组基底； （2）以a，b为基底表示向量c＝3e1－e2. 11.在△ABC中，P是BC边的中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＋a＋b＝0，则△ABC的形状为（　　） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形 12.〔多选〕如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若＝λ，＝μ＋3μ，则（　　） A.P为线段OC的中点时，μ＝ B.P为线段OC的中点时，μ＝ C.无论μ取何值，恒有λ＝ D.存在μ∈R，λ＝ 13.已知在△ABC中，点O满足＋＋＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且＝m＋n，则m＋n的取值范围是　　　　. 14.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，＝2，＝2. （1）求CD的长； （2）求·的值. 15.已知O是线段AB外一点，若＝a，＝b. （1）设点G是△OAB的重心，证明：＝（a＋b）； （2）设点A1，A2是线段AB的三等分点，△OAA1，△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1，G2，G3，试用向量a，b表示＋＋； （3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？（不必证明） 说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.3　向量基本定理及坐标表示 9.3.1　平面向量基本定理 1.C　如图所示，a－b＝＝－＝e2－3e1.故选C. 2.A　∵＝λ，∴－＝λ（－），即＝（1＋λ）－λ＝＋，∴∴x＋y－2＝0.故选A. 3.D　如图所示，∵DE∥BC，∴＝＝，∴＝＝×＝（b－a）.故选D. 4.C　因为＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2，即＝2，所以AD∥BC且AD≠BC.故四边形ABCD为梯形.选C. 5.BC　由平面向量的基本定理可知，A、D是正确的；对于B，由平面向量的基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立.故选B、C. 6.AD　如图，在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；＝＋＝a＋b，故B错误；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋（－b－a）＝－a＋b，故C错误；＝＝－a，故D正确.故选A、D. 7.2＋　解析：＝2＝2（＋）＝2＋. 8.－　解析：因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以＝＋.又E为AD的中点，所以＝－＝（＋）－＝－＋.所以x＝－. 9.－6　解析：由题意得＝＋＝－＋，＝＋＝－＋＝－－，因为＝6，⊥，所以·＝（－＋）·（－－）＝－＋·＝×36－×36＝12－18＝－6. 10.解：（1）证明：假设a＝λb（λ∈R）， 则e1－2e2＝λ（e1＋3e2）. 由e1，e2不共线，得方程组无解， 所以λ不存在. 故a与b不共线，可以作为一组基底. （2）设c＝ma＋nb（m，n∈R）， 则3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2）＝（m＋n）e1＋（－2m＋3n）e2. 所以解得 所以c＝2a＋b. 11.C　因为P是BC边的中点，所以＝－＝－－.因为c＋a＋bPB＝0，所以c（－－）＋a＋b＝0.所以（a－c）＋（b－c）＝0.因为与不共线，所以a－c＝0且b－c＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形. 12.AC　＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝（1－λ）＋λ，因为与共线，所以＝，解得λ＝，故C正确，D错误；当P为线段OC中点时，则＝＝μ＋×3μ，则1－λ＝μ，λ＝×3μ，解得μ＝，故A正确，B错误.故选A、C. 13.（－2，0）　解析：依题意，设＝λ（0＜λ＜1），由＋＋＝0，知＝－（＋），所以＝－λ－λ，由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2，0）. 14.解：（1）因为＝2， 所以＝， 所以＝－＝－， 所以｜｜＝ ＝ ＝＝， 即CD的长为. （2）＝－＝－＋ ＝－（－）＋ ＝＋， 所以·＝·（＋）＝＋·＝＋×2×3×＝. 15.解：（1）证明：设AB的中点为E，则＝＝×（a＋b）＝（a＋b）. （2）点A1，A2是线段AB的三等分点， ＝（＋），＝（＋），＝（＋）， 则＋＋＝（a＋b）＋（＋）＝（a＋b）＋［a＋（b－a）＋a＋（b－a）］＝a＋b. （3）设A1是AB的二等分点，则＝（a＋b），＋＝（＋）＋（＋）＝（a＋b）＋＝（a＋b）＋×（a＋b）＝（a＋b）， 设A1、A2、A3是线段AB的四等分点，则＋＋＝（a＋b）， 或设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则＋＝a＋b（k＝1，2，…，n－1）， 设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则＋＋…＋＝（a＋b）， 设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则＋＋…＋＝（a＋b）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $