9.3.1 平面向量基本定理 同步练习-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

高中数学同步资源QQ群483122854 专注收集成套同步资源,成套的教案，成套的课件，成套的试题，成套的微专题 期待你的加入与分享 苏教版高中数学必修第二册-9.3.1平面向量基本定理-同步练习 A级 必备知识基础练 1.如图所示,在矩形ABCD中,=5e1,=3e2,则等于(　　) A.(5e1+3e2)　　　　B.(5e1-3e2) C.(3e2-5e1) D.(5e2-3e1) 2.如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么下列说法正确的是(　　) A.若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0 B.对空间任意向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈R C.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α内 D.对于平面α内任意向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对 3.在△ABC中,,DE∥BC,且与边AC相交于点E,△ABC的中线AM与DE相交于点N,设=a,=b,则用a,b表示等于 (　　) A.(a-b) B.(b-a) C.(a-b) D.(b-a) 4.已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为　　　　　.  5.已知向量a在基底e1,e2下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底e1+e2,e1-e2下可以表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则实数λ=　　　　　,μ=　　　　　.  6.已知在△ABC中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点.若=a,=b,用a,b表示. 7.设e1,e2是平面内一组基底,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)证明:a,b可以作为一组基底; (2)以a,b为基底表示向量c=3e1-e2. B级 关键能力提升练 8.如图,在△ABC中,,若=λ+μ(λ,μ∈R),则等于(　　) A. B. C.3 D. 9.若=a,=b,=λ(λ≠-1),则等于(　　) A.a+λb B.λa+(1-λ)b C.λa+b D.a+b 10.如图,AB是☉O的直径,C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则等于(　　) A.a-b B.a-b C.a+b D.a+b 11.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足(　　) A.m>0,n>0 B.m>0,n<0 C.m<0,n>0 D.m<0,n<0 12.(多选)若e1,e2是平面内的一组基底,则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是(　　) A.e1-e2,e2-e1 B.2e1-e2,e1-e2 C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1+3e2 13.(多选)已知菱形ABCD边长为1,∠BAD=60°,E是BC中点,F是DE中点,M是AB中点,延长AF交CD于点N(如图所示),设=a,=b,则下列结论正确的是 (　　) A.a+b B. C.=- D.=2 14.已知在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,=y=x,其中x,y∈R,且均不为0.若,则=　　　　　.  15.如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=　　　　　.  16.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b. (1)用a,b表示; (2)求证:B,E,F三点共线. C级 学科素养创新练 17.如图所示,在▱ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB,AM交DN于点O. (1)试用向量a,b来表示; (2)求AO∶OM的值. 18.在△ABC中,. (1)求△ABM与△ABC的面积之比; (2)若N为AB的中点,交于点P,且=x+y(x,y∈R),求x+y的值. 参考答案与详细解析 A级 必备知识基础练 1.答案A 解析)=) =(5e1+3e2). 2.答案A 解析B错,这样的a只能与e1,e2在同一平面内,不能是空间任意向量;C错,在平面α内任意向量都可表示为λ1e1+λ2e2的形式,故λ1e1+λ2e2一定在平面α内;D错,这样的λ1,λ2是唯一的,而不是无数对. 3.答案D 解析由题意得)=)=(b-a). 4.答案(-∞,4)∪(4,+∞) 解析若a,b能作为平面内的一组基底,则a与b不共线.a=e1+2e2,b=2e1+λe2,由a≠kb(k∈R),得解得λ≠4. 5.答案　- 解析由条件可知解得 6.解 =a+(b-a)=a+b; =a+(b-a)=a+b; =a+(b-a)=a+b. 7.(1)证明假设a=λb(λ∈R), 则e1-2e2=λ(e1+3e2). 由e1,e2不共线,得 方程无解,所以λ不存在. 故a与b不共线,可以作为一组基底. (2)解设c=ma+nb(m,n∈R), 则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2) =(m+n)e1+(-2m+3n)e2. 所以解得 所以c=2a+b. B级 关键能力提升练 8.答案A 解析由题意可得,, =. 又=λ+μ, 所以λ=,μ=, 故. 9.答案D 解析∵=λ, ∴=λ(), ∴(1+λ)+λ, ∴a+b. 10.答案D 解析连接CD,OD,图略, ∵C,D是半圆弧的两个三等分点, ∴,∴CD∥AB,∠CAD=∠DAB=30°. ∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO=30°, ∴∠CAD=∠ADO=30°, ∴AC∥DO, ∴四边形ACDO为平行四边形. ∴. ∵a,=b, ∴a+b. 11.答案B 解析如图所示, 利用平行四边形法则,将分解到上,有. 则=m=n. 很明显方向相同,则m>0; 方向相反,则n<0. 12.答案ABC 解析选项A中,两个向量互为相反向量,即e1-e2=-(e2-e1),则e1-e2,e2-e1为共线向量;选项B中,2e1-e2=2e1-e2,也为共线向量;选项C中,6e1-4e2=-2(2e2-3e1),为共线向量;根据不共线的向量可以作为基底,知只有选项D中的两向量可作为基底. 13.答案AC 解析由F是DE中点可得,=b+=b+-b+a+b=a+b,故A正确; 因为E是BC中点,M是AB中点,所以ME∥AC,又AC与AF相交于点A,所以错误,故B错误; 因为=a-b,a+b,所以=a+b·(a-b)=-a·b=-=-,故C正确; 若=2,则,由A知a+b,=a+λb(λ∈R),则a+b=(a+λb),即a+b=a+λb,显然不成立,故D错误.故选AC. 14.答案 解析=x-y, 由,可设=λ,λ∈R, 即x-y=λ()=λ-=-+λ, 所以. 15.答案6 解析如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作▱OMCN,使得M在直线OA上,N在直线OB上, 则存在λ,μ,使=λ=μ, 即=λ+μ. 在Rt△OCM中,∵||=2, ∠COM=30°,∠OCM=90°, ∴||=4,∴=4. 又||=||=2, ∴=2, ∴=4+2, 即λ=4,μ=2, ∴λ+μ=6. 16.(1)解如图,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则=a+b,(a+b),(a+b),b, (a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a). (2)证明由(1)知,,∴共线. 又有公共点B,∴B,E,F三点共线. C级 学科素养创新练 17.解(1)因为AN=AB, 所以a, 所以a-b. 因为BM=BC, 所以b, 所以=a+b. (2)因为A,O,M三点共线,所以, 设=λ,λ∈R, 则=λ=λa+b-b =λa+λ-1b. 因为D,O,N三点共线, 所以,设=μ,μ∈R. 则λa+λ-1b=μa-b=μ a-μ b. 由于向量a,b不共线,则 解得 所以, 所以AO∶OM=. 18.解(1)在△ABC中,,4=3,3()=, 即3,即点M是线段BC靠近点B的四等分点.故△ABM与△ABC的面积之比为. (2)因为, =x+y(x,y∈R),所以x=3y. 因为N为AB的中点, 所以=x+y+y=x+y=x+(y-1), 因为,所以(y-1)=xy, 即2x+y=1.又x=3y, 所以x=,y=,所以x+y=. 高中数学同步资源QQ群483122854 专注收集成套同步资源,成套的教案，成套的课件，成套的试题，成套的微专题 期待你的加入与分享 学科网（北京）股份有限公司 $$