湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二下学期五一假期作业数学（二）

长沙市周南中学高二年级2026年五一假期作业（二） 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是首项为，公差为的等差数列，如果，则序号等于（    ） A．664 B．665 C．674 D．675 3．是虚数单位，复数等于（    ） A． B． C． D． 4．已知单位向量满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．物理学中的“波义耳定律”是指一定质量的气体，在温度不变的情况下，压强p与体积V成反比．若容器的容积为V，容器内某种气体的初始压强为，真空泵每次抽出该气体的体积为，n次抽气后，设容器内剩余该气体的压强为，则．若，设抽气时该气体温度不变，欲使容器内剩余该气体的压强低于初始压强的，则最少需要抽气的次数为（参考数据：）（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），，对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线 与 相交于 两点，若 是直角三角形，则实数 的值为（    ） A．1 或 B． 或 C． 或 D． 或 8．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9．已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，则（    ） A．该圆台的母线长为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．该圆台的外接球的表面积为 10．下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为； B．函数的最小值为2； C．已知，则的最小值为3； D．若正数满足，则的最小值是3 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．在的展开式中，常数项为______．（用数字作答） 13．△的内角，，的对边分别为，，，若，，，则△的面积为_______． 14．现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（13分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面.    (1)证明：； (2)若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值. 16．（15分）近年来，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速，我国养鸡企业发展也取得了显著成就．某小型养鸡场从2017年到2023年每年养鸡数量（单位：千只）的统计结果如下表所示． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 养鸡数量千只 2 3 7 5 8 11 13 (1)由统计表看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（系数精确到0.01）； (2)建立关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测该小型养鸡场2026年养鸡的数量． 参考数据：． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 17．（15分）已知数列满足，． (1)证明数列是等比数列，并求通项公式． (2)求数列的前n项和． 18．（17分）已知函数. (1)当时，求过原点且与相切的直线方程； (2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 参考答案 1．C 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】全集， 又因为， 所以. 故选：C. 2．D 【分析】由列方程，解方程求得. 【详解】，解得. 故选：D 3．C 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：， 故选：C． 4．B 【分析】应用向量数量积的运算律可得，再由向量夹角公式可求夹角的大小. 【详解】因为， 所以，即，故， 所以，故向量与的夹角为. 故选：B. 5．C 【分析】根据已知波义耳定律代入计算结合等比数列通项及对数运算计算得 即得解. 【详解】因为，，所以， 所以，即得， 要使，即得， 即得 . 所以. 故选：C. 6．B 【分析】由两个正态曲线的对称轴位置和集中分散程度判断结果. 【详解】由，故曲线的对称轴在曲线的左侧，排除C、D； 由，故曲线比曲线瘦高，曲线比曲线矮胖，排除A. 故选：B． 7．A 【分析】根据题意是等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】根据题意，圆的圆心，半径，易知是等腰直角三角形， 所以圆心到直线的距离为，则，解得， 所以或. 故选：A. 8．C 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得， 假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 故选：C． 9．ACD 【分析】根据题意，结合圆台的几何结构特征，以及圆台的表面积和体积公式，结合球的截面圆的性质和球的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆台上底面的半径为，下底面的半径为． 对于A中，由于母线与底面所成的角为，则母线长，所以A正确； 对于B中，圆台的表面积 ，所以B不正确； 对于C中，由圆台的母线长为，且母线与底面所成的角为， 可得圆台的高为， 则体积，所以C正确； 对于D中，设圆台外接球的半径为，球心到下底面的距离为， 若外接球的球心在圆台下底面的下方，可得，解得， 此时圆台外接球的表面积为； 若外接球的球心在圆台上、下底面之间，可得，此时方程组无解， 综上可得，圆台外接球的表面积为. 故选：ACD. 10．AC 【分析】利用基本不等式“一正二定三相等”及“1”的妙用，对选项逐一分析检验即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则的最大值为，故A正确； 对于B，因为，所以，令，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 所以，即的最小值为，故B错误； 对于C，因为， 所以， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以，即的最小值为3，故C正确； 对于D，因为，， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 故，即的最小值是4，故D错误. 故选：AC. 11．ABD 【分析】证明，放缩可判断A，由，放缩可判断B，先证出，再放缩，根据再放缩即可判断C，可得，令，转化为，构造，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断D. 【详解】由，可得， ， 令，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以，即， 由知，A正确； 由可得，可得（时取等号）， 因为，所以，B正确； 时，，则， ，C错误； ， 令，则， ， 在单调递增，，，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：比较式子的大小，要善于对已知条件变形，恰当变形可结合，，放缩后判断AB选项，变形，再令，变形，是判断D选项的关键，变形到此处，求导得最小值即可. 12． 【分析】先由二项式定理求出的展开式的通项公式，再求出常数项即可． 【详解】因为展开式的通项公式为：， 令，解得， 所以常数项为：. 故答案为： 13． 【分析】由余弦定理的边角关系可得，即可求，再利用三角形面积公式求面积即可. 【详解】由余弦定理得：，则，解得：， ∴. 故答案为：. 14．9 【分析】根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案. 【详解】设选出的是第k个袋，连续四次取球的方法数为， 第四次取出的是白球的取法有如下四种情形： 4白，取法数为：， 1红3白，取法数为：， 2红2白，取法数为：， 3红1白：取法数为：， 所以第四次取出的是白球的总情形数为： ， 则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：， 因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第四个球是白球的概率为： ， 当时，. 故答案为：． 【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题，根据题意首先分类讨论不同k值情况下的抽取总数(可直接用k值表示一般情况)，再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)，最后即可计算得出含k的概率一般式，累加即可，累加过程中注意式中n与k的关系可简化累加步骤. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直以及线面垂直的性质，通过线面垂直的判定定理证明平面，进而得到； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及向量，再根据线面角的向量公式（其中为直线的方向向量，为平面的法向量，为直线与平面所成角）求出线面角的正弦值。 【详解】（1）证明：连接，   是菱形，是对角线， ， 又平面平面， ， 又平面平面， 平面， 又平面. （2）取中点，连接，则， 以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系，    令，则， ， 设平面的法向量为， 由，得，得， . 16．(1)答案见解析 (2)，17760只． 【分析】（1）根据公式得到相关系数，与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合； （2）得到，得到线性回归方程，并代入，预测该小型养鸡场2026年养鸡的数量. 【详解】（1）由题意知，，， ， ， ， 则， 因为相关系数接近1，所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合． （2）由（1）得， ． 故与的回归方程为． 将2026年对应的年份代码代入回归方程得， 所以预测该小型养鸡场2026年养鸡的数量为17760只． 17．(1)证明见解析， (2) 【分析】 （1）结合等比数列定义构造出，再求出首项即可得； （2）借助分组求和法计算即可得. 【详解】（1）由，则， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故； （2）. 18．(1) (2) 【分析】（1）设切点坐标，则切线方程为：，再把点带入切线可得参数即可得切线； （2）有两个不同零点，构造函数，则有两个不等实根，令，设，由的值域可得的取值范围为. 【详解】（1）的定义域为，， 设切点坐标，则切线方程为：， 把点带入切线得：，，得， 所以的切线方程为：. （2）有两个不同零点， 则， 构造函数，， 所以为增函数，且， 即有两个不等实根，则， 令，，则，， 所以，则，， 故， 而两边取对数，可转化为，即，， 【方法一】：含参讨论单调性 由，可得，，即， 设， 则， 因为，根据对勾函数在上单调递减，易知，，所以， ①当，即时，，故当时，，符合题意； ②当，即时，显然存在，使得，即 当时，，当时，， 故，不符合题意， 综上，的取值范围为. 【方法二】：单调性求最值+洛必达法则 设，则在上恒成立，， 设，， 在递增，，则在递减， 所以的最小值接近极限值， 所以的最小值无限接近3，即得的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 19．(1) (2)①证明见解析；②的取值范围为. 【分析】（1）由双曲线定义即可求解； （2）①由切线方程和导数几何意义依次求出和即可得证； ②求出直线的方程，与曲线联立，利用判别式结合焦半径公式即可求解. 【详解】（1）设， 则即 ， 所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且 所以动点的轨迹方程为. （2）①证明：由（1）曲线:,，设， 对函数求导得， 所以两切线方程为：，即， 又切线过点P，所以， 即满足，即满足方程， 所以， 设， 则由， 所以，即三点在直线上，即三点共线； ②因为，所以直线的方程为， 即，联立，消去得， 由题意知方程有两个不等的负根. 所以， 解得， 所以. 答案第4页，共16页 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $