8.3乘法公式 同步自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册

2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册《8.3乘法公式》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列整式乘法能用平方差公式计算的是 （    ） A． B． C． D． 2．若，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 3．运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A．84 B．74 C．64 D．54 5．已知，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 6．若m是大于0的整数，则一定是（   ） A．4的倍数 B．8的倍数 C．12的倍数 D．16的倍数 7．一个正方形的边长是，若边长增加3，则这个正方形的面积增加了（    ） A．9 B． C． D． 8．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释，那么通过图2中阴影部分面积的计算可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．填空：___ _____． 10．若，则_____． 11．若能用完全平方公式因式分解，则的值为_____． 12．已知，则的值是______． 13．若，则______． 14．若，则的值为________． 15．若两个正方形面积之和是29，边长之和是7，则它们的面积相差_____． 16．代数式的末尾数字是________． 三、解答题（满分72分） 17．（9分）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（8分）用乘法公式简便计算： (1)； (2)． 19．（9分）计算： (1)； (2)； (3)． 20．（6分）化简求值，其中． 21．（8分）已知和为有理数，现规定一种新的运算符号，定义，例如：，请根据符号的意义解决下列问题： (1)的值为_____________； (2)若是一个完全平方式，则_____________； (3)已知，且，求的值． 22．（8分）某小区有一块长为，宽为的长方形空地，物业部门计划进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一个仿古小景点（如图中间的正方形所示）． (1)求绿化面积是多少平方米 (2)求出当，时的绿化面积． 23．（12分）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图甲），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图乙）． (1)上述操作能验证的等式是________（选填序号）； ①；②； ③． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 24．（12分）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以，可得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形和正方形的顶点A，D，E在一条直线上，两正方形的面积和是61，若，求图中阴影部分的面积． 参考答案 1．解：A、，其中完全相同，与互为相反数，符合平方差公式的适用条件，能用平方差公式计算，符合题意. B、，两项都完全相同，无互为相反的项，不符合要求，不能用平方差公式计算，不符合题意. C、=，两项都完全相同，无互为相反的项，不符合要求，不能用平方差公式计算，不符合题意. D、，与不是互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算，不符合题意 2．D 【分析】将等式左边展开后，对比等式两边同类项的系数，即可求出的值． 【详解】解：左边：， 右边：， ， 故． 3．D 【分析】将原式中相同的项整理为一个整体，凑出平方差公式的结构，即可得到正确变形． 【详解】解： ． 4．D 【分析】利用完全平方公式的变形，将所求代数式转化为含和的形式，代入已知条件计算即可． 【详解】解：由完全平方公式可得， 变形得 ， ， ． 5．A 【分析】利用平方差公式对变形，再作差比较和的大小． 【详解】解： ∵ ， ∴． 6．A 【分析】利用完全平方公式化简原式，再根据m为大于0的整数可得结论． 【详解】解： ， ∵m是大于0的整数， ∴是正整数， ∴一定是4的倍数，即一定是4的倍数 7．C 【分析】先由题意表示出边长增加后新正方形的边长，分别求出原正方形与新正方形的面积，相减即可得到增加的面积． 【详解】解：根据题意得：， ∴新正方形的面积增加了． 8．D 【分析】用两种方法表示出图2中阴影部分面积即可求解． 【详解】解：图2中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为 ∴验证的恒等式是． 9． 【分析】根据完全平方公式的结构特征确定对应项即可． 【详解】解：根据完全平方公式，可得， 因此所求常数项为， 即， 10．4 【分析】本题考查平方差公式的应用．先利用乘法交换律调整因式顺序．再连续运用平方差公式化简等号左边．对比等式两边对应项的次数即可求出的值． 【详解】解： 又 11．或/或 【分析】根据完全平方公式可得关于的等式，求解即可得到的值． 【详解】解：能用完全平方公式因式分解，即是完全平方式， 的结构特征， 可得：原式中，，即， ， 解得或． 12． 【分析】利用平方差公式对式子进行变形计算即可． 【详解】解： ． 13． 【分析】利用积的乘方的逆运算对原式变形，再结合平方差公式化简，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解： 14．0 【分析】先进行完全平方公式和平方差公式的运算，再合并同类项化简后，利用整体思想代入求解即可． 【详解】解： ， ， ． 15． 【分析】设两个正方形的边长分别为，根据题意得到边长之和与面积之和的关系式，再利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】解：设两个正方形的边长分别为， 根据题意得，， ， ， ，， 又， （负值舍去）， 则它们的面积相差． 16．0 【分析】先应用平方差公式，将算式化简，再找指数与末尾数字之间的规律，最后应用规律求出结果即可． 【详解】解： ， 的末尾数字是3， 的末尾数字是9， 的末尾数字是 7， 的末尾数字是 1， 的末尾数字是 3， …， ∴每4个数一循环， ∵， ∴的末尾数字与的末尾数字相同，即的末尾数字为1， ∴的末尾数字是0． 17．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则和乘法公式； （1）根据平方差公式的性质计算，即可得到答案； （2）首先根据平方差公式运算，然后再去括号、合并同类项即可； （3）首先根据平方差和完全平方公式计算，然后再去括号、合并同类项即可． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 18．(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 19．(1) (2) (3)10404 (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 20．化简结果为，求值为 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，涉及平方差公式、完全平方公式及单项式乘多项式的运算法则，关键是准确运用公式展开，注意符号的处理，避免合并同类项时出错．先利用乘法公式和整式运算法则将原式展开，再合并同类项化简为最简整式，最后代入计算出结果； 【详解】解： ． 当时，原式． 21．(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，完全平方公式的运用，整式的运算，熟练掌握相关运算方法，准确计算为解题关键． （1）根据题目中给出的定义代入计算即可； （2）根据题目中给出的定义代入得到式子，再根据完全平方公式求解即可； （3）先根据题目中给出的定义得到，再利用完全平方公式得出，代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：10； （2） ， 是一个完全平方式， ， ， ， 故答案为：； （3） ， ， ， ． 22．(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了多项式乘法、完全平方公式及代数式求值．解题的关键是利用绿化面积等于长方形面积减去正方形面积，正确列式并化简，再代入数值求解． （1）先分别表示出长方形和正方形的面积，再相减并化简； （2）将代入第（1）问化简后的代数式直接计算． 【详解】（1）解：由题意，长方形空地的面积为，中间正方形小景点的边长为，面积为， 绿化面积为： ， ， ， ； 答：绿化面积是平方米； （2）解：当时， ， ， ． 答：当时，绿化面积为150平方米． 23．(1)② (2)①；② 【分析】（1）观察图甲与图乙，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可； （2）①已知第一个等式利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果． 【详解】（1）解：由图可得，， ∴题目操作能验证的等式是②； （2）解：①由（1）得，， ∵， ∴， ∴； ②由题意得， ． 24．(1)67 (2)12 (3)30 【分析】（1）根据完全平方公式变形求解即可； （2）根据题意得：，结合，然后利用完全平方公式变形求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得，，再由完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：根据题意得：， ∴ ． ∵， ∴， ∴． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为． 由题意得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $