精品解析：吉林长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年九年级下学期数学作业六

初三年级数学学科作业六 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列实数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列长方体、圆柱体和圆锥体木料，切开后截面形状与其他三个不同的是（ ）． A. B. C. D. 3. 截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示在数轴上为（ ） A. B. C. D. 5. 伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一张锐角三角形纸片，点，分别在边，上，，，沿将剪开，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于B，C两点，点D是上一点，点A与点D分别在的两侧，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算_____． 10. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 11. 如图，六个正九边形的中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中___________度． 12. 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为，则______． 13. 如图，是两条切线，切点分别为点，点，若，的半径为2，则的长度为_________． 14. 如图，有一张矩形纸片，点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③当点重合时，；④的面积的最小值为1．上述结论中正确的序号是_____． 三、解答题（共9小题，共68分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C、D，卡片除正面图案不同外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．请用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 17. 随着2025年第九届亚冬会圆满落幕，全国范围内再度掀起一股强劲的冰雪运动热潮．某地举办了青少年冰雪运动会，某校参加比赛的女生比男生多28人，男生全部获奖，女生有获奖，男、女生获奖共有42人．该校参加比赛的男、女生各有多少人？ 18. 如图，点，在以为直径的上，平分，交的延长线于点．求证：是的切线． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图： （1）如图①，在上画一点E，连结，使； （2）如图②，在上画一点F，连结，使； （3）如图③，在上画一点M，连结，使． 20. 泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： “星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “星星人”和“拉布布”得分统计表 平均数 中位数 众数 星星人 92 93 a 拉布布 92 b 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）； （3）据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？ 21. 大运河畔有一条笔直的健身步道，小明、小亮分别从相距1500米的M、N两点同时出发，相向而行．两人离M点的距离s关于时间t的函数关系如图中折线所示．小明跑了一段路之后与小亮相距250米，休息1分钟之后与小亮相距400米，小明继续跑了4分钟后与小亮同时到达各自终点． （1）a的值为______； （2）求图中所对应的函数表达式； （3）求小明、小亮相遇的时间． 22. 【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 23. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为，过点向轴作垂线，垂足为点，连接．以和为边构造． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当时，设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象，若图象上的最高点与最低点的纵坐标之差为5，则的值为_____． （3）若，求的周长； （4）当时，连结，若，直接写出的值． 24. 如图，在矩形中，，点M为边中点，动点P从点A开始，在折线上以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为直角边，在右侧作等腰直角，使，设点P的运动时间为t秒． （1）当点P在边上运动不与点D重合时，则的长度为___________；用含t的代数式表示 （2）当点P在边上运动时，求证：点Q到直线的距离始终不变； （3）当点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍时，求t的值； （4）连接，当时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科作业六 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列实数中，比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 【详解】解：A选项：，，，，故A选项符合题意； B选项：，，，，故B选项不符合题意； C选项：大于任何负数，，故C选项不符合题意； D选项：正数大于负数，，故D选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列长方体、圆柱体和圆锥体木料，切开后截面形状与其他三个不同的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了截一个几何体，根据长方体、圆柱体和圆锥体的截面形状进行判断即可． 【详解】解：A、B、C选项中截面形状都是长方形，D选项中截面形状为三角形，故D符合题意． 故选：D． 3. 截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 利用科学记数法的表示形式进行表示即可． 【详解】解：148亿． 故选：B． 4. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示在数轴上为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据天平知2＜A＜3，然后观察数轴即可． 【详解】解：根据题意，知2＜A＜3． 故选C． 5. 伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意得到，，米，根据正切的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，在中，，，米， ∴ 故选：C 6. 如图，一张锐角三角形纸片，点，分别在边，上，，，沿将剪开，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 设，则，可得，即可求解. 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， 故选：B. 7. 如图，是的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于B，C两点，点D是上一点，点A与点D分别在的两侧，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质．由作图知是线段的垂直平分线，求得和都是等边三角形，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接，，由作图知，是线段的垂直平分线， 所以，， 因为， 所以， 所以和都是等边三角形， 所以， 所以， 故选：B． 8. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，理解题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式是解题的关键． 根据题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式为，再根据反比例函数的性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由图②得，的阻值与空气中甲醛质量浓度成反比例函数关系， 设反比例函数关系式为， 代入，得， ∴反比例函数关系式为， ∵， ∴的阻值随着空气中甲醛质量浓度的增大而减小， ∴空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大， 故A选项说法正确，不符合题意； 当时，则， 解得， ∵， ∴当时，甲醛检测仪不会报警， 故B选项说法错误，符合题意； 当时，则， 故C选项说法正确，不符合题意； 当时，则， ∴当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 10. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 11. 如图，六个正九边形的中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，结合已知条件求得正九边形每个内角的度数是解题的关键． 利用多边形的内角和公式及正多边形的性质求得正九边形每个内角的度数，然后利用角的和差即可求得答案． 【详解】解：正九边形每个内角的度数为， 则， 故答案为：． 12. 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．根据坡度的概念计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴斜面的坡度为， ∴， 故答案为：． 13. 如图，是两条切线，切点分别为点，点，若，的半径为2，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，根据切线的性质得，再结合，算出，然后根据弧长公式，即可作答． 【详解】解：过点O分别作，如图所示： ∵是两条切线，切点分别为点，点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为2， 则的长度为， 故答案为：． 14. 如图，有一张矩形纸片，点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③当点重合时，；④的面积的最小值为1．上述结论中正确的序号是_____． 【答案】 ②③④ 【解析】 【分析】根据矩形与折叠，菱形的判定方法可判定②正确；由于与的数量关系不确定，可判定①错误；当点重合时，结合图形，运用勾股定理，菱形的性质可判定③正确；根据的大小，菱形的性质，结合图形可判定④正确，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； 由得， ∵与的数量关系不确定，无法证明与或全等， ∴不等于，即不等于，故①错误； 如图所示，当点重合时， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 在中，， ∵， ∴，故③正确； ∵四边形是菱形， ∴， 设， ∴， 如图所示，当点D，点G重合时，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴当时，，故④正确； 故正确的序号是：②③④ ． 三、解答题（共9小题，共68分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，再将代入进行计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 16. 某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C、D，卡片除正面图案不同外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．请用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．列表可得出所有等可能的结果数以及小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），（C，D），（D，C），共6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 17. 随着2025年第九届亚冬会圆满落幕，全国范围内再度掀起一股强劲的冰雪运动热潮．某地举办了青少年冰雪运动会，某校参加比赛的女生比男生多28人，男生全部获奖，女生有获奖，男、女生获奖共有42人．该校参加比赛的男、女生各有多少人？ 【答案】参加比赛的男生有12人，女生有40人． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系是解题关键； 设参加比赛的男生有人，则参加比赛的女生有人，然后根据“男生全部获奖，女生有获奖，男、女生获奖共有42人”列方程求解． 【详解】解：设参加比赛的男生有人，则参加比赛的女生有人， 由题意得，， 解得， ， 答：参加比赛的男生有12人，女生有40人． 18. 如图，点，在以为直径的上，平分，交的延长线于点．求证：是的切线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是得到，再根据角平分线的定义证明，再证明，即可得到结论． 【详解】证明：为直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 为半径， 是的切线． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图： （1）如图①，在上画一点E，连结，使； （2）如图②，在上画一点F，连结，使； （3）如图③，在上画一点M，连结，使． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格线的特点作图即可； （2）过点D作的垂线与的交点即为所求； （3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质作图即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：过点D作的垂线，与相交于点F， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：取格点G，连接，交于点M， 由图可得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查作图的应用与设计、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及对顶角相等，掌握网格的特点及线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 20. 泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： “星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “星星人”和“拉布布”得分统计表 平均数 中位数 众数 星星人 92 93 a 拉布布 92 b 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）； （3）据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？ 【答案】（1），，； （2）消费者更喜欢“拉布布”，理由见详解 （3）300 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计，掌握中位数，众数，样本估算总体数量的计算是关键． （1）根据众数，中位数，样本百分比的计算方法求解即可； （2）根据中位数、众数作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可． 【小问1详解】 解：“星星人”的得分中，94分出现次数最多， ∴， “拉布布”A组的人数：（人）， B组的人数：（人）， C组的人数：6人， D组的人数：（人）， ∴中位数是第10，11人的得分的平均数，即， ∴，即， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：“拉布布”的得分中，中位数和众数均大于“星星人”的得分的中位数和众数， ∴消费者更喜欢“拉布布”； 【小问3详解】 解：在人流量会达到1000人中，对“拉布布”打分不低于95分的顾客有（人）， 有的人会购买“拉布布”， ∴购买“拉布布”的人数为（人）． 21. 大运河畔有一条笔直的健身步道，小明、小亮分别从相距1500米的M、N两点同时出发，相向而行．两人离M点的距离s关于时间t的函数关系如图中折线所示．小明跑了一段路之后与小亮相距250米，休息1分钟之后与小亮相距400米，小明继续跑了4分钟后与小亮同时到达各自终点． （1）a的值为______； （2）求图中所对应的函数表达式； （3）求小明、小亮相遇的时间． 【答案】（1）10 （2） （3）分 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据题意可知1分钟小亮的路程为150米，则可求出小亮的速度，进而求出小亮到达终点的时间，即a的值； （2）先求出段小明的速度，进而求出B、C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）求出点A的坐标，进而得到段小明的速度，再用总路程除以两人的速度之和即可得到相遇时间． 【小问1详解】 解：由题意得，小亮的速度为米/分， ∴小亮到达其终点的时间为分， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，段小明的速度为米/分， ，， ∴， 设图中所对应的函数表达式为， 把，代入中得：， ∴， ∴图中所对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ∴段小明的速度为米/分， 分， ∴小明、小亮相遇的时间为分． 22. 【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间，线段最短，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，利用相似三角形的判定与性质求得，则当A、P、M三点共线时最小，利用勾股定理解答即可； 模型探究：利用相似三角形的判定与性质解答即可； 模型应用：延长至点E使，连接，利用相似三角形的判定与性质得到，则，当点E，P，B在一条直线上时，为线段，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵， 此时． 故答案为：； 模型探究：证明：∵， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 23. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为，过点向轴作垂线，垂足为点，连接．以和为边构造． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当时，设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象，若图象上的最高点与最低点的纵坐标之差为5，则的值为_____． （3）若，求的周长； （4）当时，连结，若，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况讨论，由由最高点与最低点的纵坐标之差为5构造方程求解即可； （3）分别求得点A与点B的水平距离为，点A与点B的垂直距离为，根据,用勾股定理求得，据此求解即可； （4）利用平移的性质求得点C的坐标为，直线与y轴的交点E的坐标为），再利用列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：经过点， ∴， ∴， ∴该抛物线表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵点A横坐标为，点B横坐标为，且， ∴，， 当时，图象G在上y随x增大而增大， ∴最高点A的纵坐标为，最低点B的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，不合题意舍去， 当时，最低点为顶点，纵坐标为， ∵点A离对称轴较远， ∴最高点为点A，其纵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵且， ∴． 【小问3详解】 解：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A向y轴作垂线，垂足为D， ∴， ∵以和为边构造平行四边形， ∴周长． 【小问4详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴且， ∵A、D纵坐标相同， ∴在水平线上， ∴在水平线上，即点C纵坐标与点B相同， ∵， ∴， ∴点C横坐标为， ∴， ∵为在y轴上的底边， ∴， ∴， 设直线解析式为，交y轴于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴点E坐标为， ∴， ∵被OE分割为和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∵且， ∴或（舍去）， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∵且， ∴或， ∴m的值为或或． 24. 如图，在矩形中，，点M为边中点，动点P从点A开始，在折线上以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为直角边，在右侧作等腰直角，使，设点P的运动时间为t秒． （1）当点P在边上运动不与点D重合时，则的长度为___________；用含t的代数式表示 （2）当点P在边上运动时，求证：点Q到直线的距离始终不变； （3）当点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍时，求t的值； （4）连接，当时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据，点的运动的路程为，求得结果； （2）作于E，可证得≌，从而，从而得出结果； （3）可判断出点P在上，作于F，作于E，类比可得≌，从而，从而，进一步得出结果； （4）分两种情形：当点P在AD上时，作，交于F，可求得，从而得出的值，从而得出，从而得出结果；当点P在上，作于W，作于V，作于G，同样方法得出结果． 【小问1详解】 解：，由题意，点的运动的路程为， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图1， 是的中点，， ， 作于E， ， ， 四边形是矩形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 当点P在边上运动时，点Q到直线的距离为，，始终不变； 【小问3详解】 解：如图2， 由（2）知，当点P在时，Q到的距离是3，到的距离是1，不符合题意， ∴点P在上， 作于F，作于E， 点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍， ， 由（2）知， ， ， ， 点运动的路程是， ； 【小问4详解】 解：如图3， 当点P在上时，作，交于F， 由（2）知，， ， ， ， ， 如图4， 当点P在上，作于W，作于V，作于G， 由（2）知，， ， ， ， ， 点P运动的路程是， ， 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $