精品解析：浙江杭州第二中学2025-2026学年高三下学期5月阶段测试数学试题

杭州二中2025学年第二学期高三数学测试（四） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. （ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的概念直接求解. 【详解】由题意：. 故选：C 2. 若集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数 在单调递增，解对数不等式，再结合交集的概念即可. 【详解】∵ 在单调递增， ∴，则. 故选：C. 3. 为等比数列 的前 项和， ，对 ，甲： ；乙： ；则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】充分性：由  可得； 因此可知等比数列的各项均为正数，所以公比， 当时，满足，当时，满足，因此充分性不成立； 必要性：因为 ，若，可得等比数列为递增数列，且各项均为正数， 所以，因此，即必要性成立. 即可得甲是乙的必要不充分条件. 4. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距 （）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距 正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得 ，由结合两角差的正切公式可得，从而求得第二次的“晷影长”与“表高”的比值，得出答案. 【详解】由题可得，又， 所以. 即第二次的“晷影长”是“表高”的. 5. 已知椭圆 ：的左、右焦点分别是，，点是 上一点，直线的斜率为3，直线的斜率为，则 的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意有且，中由勾股定理，得 的齐次式可求离心率的大小. 【详解】因为直线，的斜率之积为，所以，， 由直线的斜率为3，可知，所以， 因为，所以，， 因为，所以，即， 所以，所以. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中间值法，再结合指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】由，，，知，， 又，所以，故， 又，故，所以， 因此可得. 故选：C. 7. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立， 表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 【答案】A 【解析】 【详解】记 为事件“小明戴帽子”，记 为事件“小明戴墨镜”， ，， ， 所以，，（天）. 8. 已知函数，若 ，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，结合函数的单调性可得，进而可求的最小值. 【详解】函数的定义域为， 可得函数在上单调递增， 又， 由 ，得， 因为函数在上单调递增，所以，所以 ， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模（单位：十亿美元）的数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 市场规模 6.4 9.5 13.8 20.1 29 40.7 58 80.4 110 150 设与 的关系可以用线性回归模型进行拟合，4.8，则（ ） A. 人工智能的市场规模与年份正相关 B. 人工智能的市场规模的分位数为110 C. 关于 的回归方程为 D. 人工智能的市场规模的年增长率约为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正相关、百分位数、的概念可判断A、B；将代入求解即可判断C；设，通过计算估算的关系即可判断D. 【详解】对于A，人工智能的市场规模随年份增大而增大，故是正相关关系，故A正确； 对于B，分位数是从小到大第9个和第10个数据的平均数，即，故B错误； 对于C，因为 ，即，故C错误； 对于D，设，则，故 的年增长率约为，故D正确. 故选：AD. 10. 已知 是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当时，的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出判断A，根据抛物线定义判断B，C，应用已知联立方程求出点的坐标计算判断三角形的面积判断D. 【详解】因为 是抛物线的焦点，所以，即得，A选项正确； 设在上，所以， 所以，B选项正确； 因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确； 当时, ，且，， 所以,或舍 所以的面积为，D选项错误. 故选：ABC. 11. 已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. D. 在区间上，有2027个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由已知的两个中心对称条件推导出函数周期为，再结合对称关系证明其为奇函数，验证A；再利用对称性求出时的解析式，验证B；接着分析一个周期内的函数值，通过分组求和判断C错误；最后分析函数在区间内的零点分布，得出整数点均为零点，共个，验证选项D． 【详解】对于A，由，得，即， 又，所以，即是以周期为的周期函数， 由，得，所以， 即，所以是奇函数，A正确； 对于B，由，得，所以，B正确； 对于C，，，，， 一个周期内的和：， 所以，C错误； 对于D，是以周期为的周期函数，，， 时， ，，所以， 时， ，，所以， 所以在内的零点有， 而包含个完整周期， 所以是的零点，共个，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求得，，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】，， 因为，所以， 解得．所以，， 所以在方向上的投影向量的坐标为． 13. 的展开式中含的项为____. 【答案】 【解析】 【分析】首先原式变形为，再利用两个二项展开式求含的项. 【详解】, 中项的系数为 ，的常数项为， 中 项的系数为，中 项的系数为， 中，常数项为，中项的系数为， 所以展开式中含的项的系数为， 所以的展开式中含的项为. 14. 如图为四棱锥 的平面展开图，其中为平行四边形， 是边长为1的等边三角形， 为 的中点，，则四棱锥 的外接球表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件确定底面 为等腰梯形，并确定，得到底面外接圆圆心即为中点，在底面以为轴建系，确定外接圆圆心坐标，再设球心通过即可求解. 【详解】 是边长为1的等边三角形，故侧棱，，底边； 是 中点，，是平行四边形，故底边 ，， ，. 可知底面 为等腰梯形， 因为 为等边三角形，且为平行四边形， 可得：，在底面 中连接， 则， 即，， 在底面 以分别为轴，过 作平面 的垂线为 轴，如图： 可得：  ， ，，， 因为，则底面 外接圆，也即是的外接圆， 即的中点即为底面 外接圆圆心，坐标为， 设，由 、、​​， 可得， 解得 即  由四棱锥外接球的性质， 外接球的球心在过​垂直于底面的直线上，故设球心， 由得： ，解得​， 因此外接球半径平方： ， 外接球表面积： . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角 ， ， 满足． （1）求 ； （2）若为边上一点，，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形的内角和公式结合两角和与差的三角函数公式，求，进而可得角 . （2）先根据推导的关系，再利用向量数量积的运算法则求，最后利用三角形的面积公式求的面积. 【小问1详解】 由， 所以, 所以，又 为三角形内角，所以， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 又，所以，， 所以面积． 16. 如图，四棱锥 的底面 是矩形，平面 ，点 是棱上的动点，点 是棱上的一点，且，，，. （1）求证： ； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）方法一：如图，连接，在矩形 中，， ，， 所以，， 又 ， ，所以 . 因为，所以，即 . 因为平面 ，平面 ，所以 . 因为 ， ， ，， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以 . 方法二：由题意可知， ，两两垂直， 故可以为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系. 因为， ，，则， ，. 设 ，则 ， . 由 可得，即 . （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：连接，先利用平面几何知识求得 ，利用线面垂直的性质定理得 ，然后利用线面垂直的判定定理得 平面 ，进而利用线面垂直的性质定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，表示点的坐标，设 ，利用向量数量积即可证明. （2）先利用线面平行的性质定理得 为的中点，然后求出平面 的法向量，进而利用线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接 交 于点，连接 ， 因为平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 . 因为四边形 是矩形，所以为 的中点，所以 为的中点. 由题意可知，， ，两两垂直， 故可以为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系. 故，， ，. 所以 ， ， . 设为平面 的一个法向量， 则，故可取 . 设直线与平面 所成角为 ， 则， 即直线与平面 所成角的正弦值为. 17. 已知数列的前 项和为，且 ． （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前 项和，求证：． 【答案】（1） （2） ， ， ， ， ， ， ，故． 【解析】 【分析】（1）利用已知递推式得出数列 是等比数列，进而求出的通项公式； （2）先求出，再利用裂项相消法求和，进而证明结论． 【小问1详解】 ，则， ，又 ， 故 是首项为 ，公比是 的等比数列， ，即 ， 成立， 数列的通项公式为 ． 【小问2详解】 略 18. 已知双曲线 ：的左、右顶点分别为 ， ，点是 上一点，过点向 的两条渐近线作垂线，垂足分别为 ， ，且 . （1）求 的方程； （2）若是 的左支上异于点 的一点，直线交直线于点，直线交 于另一点 . （i）设直线 的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线 距离的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明：由（1），得 ，，设 ， ，， 直线 的斜率，直线的斜率 . 因为，所以 . 因为，， 所以. 因为 ，所以 ， 所以，即为定值. （ii）4 【解析】 【分析】（1）先设点，再应用点到直线距离公式计算求解得出参数即可得出双曲线方程； （2）（i）先设点的坐标，再应用斜率公式结合双曲线方程化简求值；（ii）结合对称性设直线 的方程，再联立计算斜率乘积得出 ，最后应用定点得出距离的最大值. 【小问1详解】 由题意知 的渐近线方程为 ， 设，则. 因为 ，所以 ， 所以 的方程为 . 【小问2详解】 （i）略 （ii）解：若直线 的斜率为0，根据对称性，直线 与直线 的交点应在 轴上，不符合题意， 所以直线 的斜率不为0，又 ， 不重合，故可设直线 的方程为 . 联立得 ， 由题意得 且 ，即 ， 由韦达定理，得，. 由（i）得， 故， 所以， 化简，得. 因为 ，所以，解得 . 所以直线 的方程为 ，因此直线 恒过点， 所以当 时，坐标原点 到直线 的距离取得最大值4. 19. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在上的单调区间； （3）若，，且，满足，求证： ． （参考数据： ） 【答案】（1） （2）的增区间为，无减区间 （3）由（1），（2）知，在上单调递增， 若， ，必有， 若， ，必有， 若 ，必有， ，矛盾， 令，（）， ， 则 ， 所以单调递增， ， 在 上， ，单调递减， ， ， ， 所以， ， 所以， ，即，原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用导数的符号研究函数的单调区间； （3）根据题设分析，令并应用极值点偏移思想构造，，再应用导数研究函数符号，结合即可证. 【小问1详解】 由题设且，则 ，所以切线方程为； 【小问2详解】 设，令 ，则， 在上， ，单调递减， 在上，，单调递增， ， ， ， 在 上， ， 单调递减， 在上，， 单调递增， 所以 ，即 ， 故的增区间为，无减区间； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州二中2025学年第二学期高三数学测试（四） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. （ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 2. 若集合，，则 （ ） A. B. C. D. 3. 为等比数列 的前 项和， ，对 ，甲： ；乙： ；则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 4. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距 （）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距 正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 5. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是上一点，直线的斜率为3，直线的斜率为，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立， 表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 8. 已知函数，若 ，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模（单位：十亿美元）的数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 市场规模 6.4 9.5 13.8 20.1 29 40.7 58 80.4 110 150 设与的关系可以用线性回归模型进行拟合，4.8，则（ ） A. 人工智能的市场规模与年份正相关 B. 人工智能的市场规模的分位数为110 C. 关于的回归方程为 D. 人工智能的市场规模的年增长率约为 10. 已知 是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当时，的面积为 11. 已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. D. 在区间上，有2027个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 13. 的展开式中含的项为____. 14. 如图为四棱锥 的平面展开图，其中为平行四边形， 是边长为1的等边三角形，为 的中点，，则四棱锥 的外接球表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，满足． （1）求 ； （2）若为边上一点，，，，求的面积． 16. 如图，四棱锥 的底面 是矩形，平面 ，点是棱上的动点，点 是棱上的一点，且，，，. （1）求证： ； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列的前项和为，且 ． （1）求数列的通项公式； （2）若，记数列的前项和，求证：． 18. 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为， ，且 . （1）求的方程； （2）若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线 的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 19. 已知函数，． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求在上的单调区间； （3）若，，且，满足，求证： ． （参考数据： ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $