广东省深圳市深圳实验学校高中园2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 深圳实验学校高二数学期中卷聚焦导数、概率、椭圆等核心知识，通过抽奖情境、杨辉三角变式等设计，考查数学思维与应用能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数运算、排列组合|基础巩固，如第3题相邻排列考查逻辑推理| |多选|3/18|二项式定理、随机变量分布|能力提升，如第11题抛物线性质综合分析| |填空|3/15|瞬时速度、杨辉三角变式|创新应用，第14题数表探究体现数学眼光| |解答|5/77|数列求和、函数极值、椭圆综合|分层设计，17题抽奖模型考查数学语言表达，19题函数单调性讨论发展理性思维|

深圳实验学校高中园2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学 时间：150分钟 满分：150分 命题人：林楚娟 审题人：林壮钦 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列导数运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A．2 B．6 C．8 D．18 3．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（ ） A．72种 B．60种 C．48种 D．36种 4．设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4、0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7、0.9，则甲证点到达目的地的概率为（ ） A．0.84 B．0.82 C．0.8 D．0.78 5．展开式中的系数为（ ） A．5 B．10 C．12 D．15 B．将2本不同的漫画书和2本不同的科技书全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少1本，若不分给甲漫画书，则不同的分配方案共有（ ） A．36种 B．24种 C．14种 D．12种 7．记为数列的前项积，已知，则（ ） A． B． C． D． 8．直线与函数的图象有三个互不相同的公共点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机变量的分布列如表，若，则 A． B． C． D． 10．在二项式的展开式中，正确的说法是（ ） A．常数项是第3项 B．各项的系数和是1 C．偶数项的二项式系数和为32 D．第4项的二项式系数最大 11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，在直线上的射影分别为，则（ ） A．是直角 B．若，则直线的斜率为 C．的最小值是 D．若，则的周长的最小值为27 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）满足关系式，那么该物体在时的瞬时速度是 ． 13．对于随机事件，若，则 ． 14．杨郑三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如此下数表． 1     2    3    4    5    6     … 3    5     7    9    11     13    … 8      12     16   20   24   28    … …   …    …    …    …     … … 以数表的第一行是数列，从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为_____，各行的第一个数依次构成数列，则该数列的前项和 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知各项均为正数的等比数列满足． （1）求数列的通项公式： （2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和． 16．（15分）函数，曲线过，且在点处的切线斜率为2． （1）求，的值； （2）求的单调区间和极值． 17．（15分）某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动．活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励． （1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率； （2）记随机变量为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求的分布列和数学期望： （3）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元．若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由． 18．（17分）已知椭圆过，两点． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）设为第三象限内一点且在椭圆上． （i）若，为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于另一点，求线段的长度； （ii）直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值． 19．（17分）已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，若恒成立，求实数的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $