广东省深圳市罗湖区深圳第二外国语学校2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

**基本信息** 深圳第二外国语学校高一数学期中卷，以复数、向量、立体几何、解三角形为核心，通过半正多面体体积比、三棱柱动点探究等题，考查空间观念与推理能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数几何意义、向量平行、圆台侧面积|基础概念与空间形式结合| |多选题|3/18|正方体线面关系、向量夹角|多角度辨析空间观念| |填空题|3/15|树高测量、半正多面体体积|数学眼光解决实际与创新问题| |解答题|5/77|三棱柱线面证明、角平分线性质|分层设计，如18题探究性推理、19题范围求解，体现数学思维|

深圳第二外国语学校2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学 考试时长：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足，则复数z表示复平面的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量，若与平行，则（    ） A．13 B． C．11 D． 3．在△ABC中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 4．已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A．π B．2π C．4π D．8π 5．在中，角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．学校手工课中同学们分组研究正方体的表面展开图．某小组得到了如图所示表面展开图（如图1），则在正方体中，、、、这四条线段所在的直线中，异面直线有（    ）图1 A．对 B．对 C．对 D．对 8． 半径为定值的球中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高和球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，以下选项正确的是（    ） A．若，则复数的充要条件是 B．若复数满足，则 C． D．若，则 10．如图2，已知正方体，分别是，的中点，则下列结论正确的是（       ）图2 A1 B1 C1 A B C D D1 N M A． B． C．平面 D． 11．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ） A．点、，与向量共线的单位向量为 B．非零向量和满足，则与的夹角为 C．已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则 D．向量，，则在上的投影向量的坐标为 第Ⅱ卷 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图3所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，图3 从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间 的距离为，则树的高度为_______m. 13． 半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图4， 将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得 到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面 为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．则得到的二十四等边体与原正方体的 体积之比为______．图4 A B C P 图5 14． 如图5，正三棱柱的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分） 已知复数，（是虚数单位）. （1）若，求复数； （2）若，求. 16. （15分） 已知为坐标原点，.点满足（为 实数），. （1）若，求向量； （2）记（1）中与的夹角为，求； （3）若，求的值. 17.（15分） 在中，角所对的边分别为，，，. （1）求和三角形的面积； （2）若为边上靠近的三等分点，求的长. 18．（17分） 如图6，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点.图6 （1）求证：直线平面； （2）若是的中点.试探究为何值时， 直线平面？并给出你的证明. 19． （17分） 已知为三边不等的锐角三角形，角所对的边分别为，为边上一点，平分，且． （1）证明：； （2）若，求长度的取值范围． 高一期中考数学试卷-1 学科网（北京）股份有限公司 $