广东深圳市第二实验学校2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

**基本信息** 高一年级期中数学试卷，覆盖立体几何、向量、解三角形等核心知识，通过基础题巩固概念，综合题（如圆锥展开、“径比”定义）提升空间想象与逻辑推理能力，适配阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|集合（虚数）、向量加减、几何体展开|第3题通过展开图判断棱锥，考查空间观念| |多选|3题|复数纯虚数、解三角形结论、截面形状|第11题分析多几何体截面，培养几何直观| |填空|3题|向量投影、解三角形、直三棱柱外接球|第14题结合外接球表面积求体积，综合空间几何与运算| |解答|5题|立体几何证明、向量最值、圆锥体积、“径比”应用|第19题定义“径比”探究最值，体现创新意识与数学思维|

深圳市第二实验学校2025-2026学年度（高一年级） 第二学期 期中考试 数学学科试题 命题人：_________ 审题人：_________ 说明：1、全卷共 页，满分为 分，考试时间为 120 分钟。 2、答卷前，考生必须按要求填写自己的姓名、学号、班级等信息。 3、客观题、主观题答案均填写在答题卡上 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，其中为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 2．已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（   ） A． B． C． D． 3．下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（    ） A．B．C．D． 4．中，分别是三个内角的对边，，则最小角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（    ） A．27 B． C． D． 6．在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 8．已知，，则的范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知复数，，则下列复数为纯虚数的是（   ） A． B． C． D． 10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 11．用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（    ） A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体 三、填空题 12．已知向量，则在上的投影向量为__________. 13．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则__________. 14．如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____    四、解答题 15．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 16．已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 17．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 18．如图1，设半圆的直径为 ，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： (1)求圆锥中线段的长； (2)求四面体的体积； (3)求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 19．设的外接圆半径为R，内切圆半径为r，且内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，定义的值为的“径比”． (1)若为等腰直角三角形，求的径比f； (2)证明：； (3)若，求f的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 深圳市第二实验学校2025-2026学年度（高一年级）第二学期期中考试 数学学科参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B B B C D BD AB 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】因为，，，故， 又因为，故. 2．A 【详解】在平面四边形ABCD中， ＋， 所以＋＋， 故选：A 3．B 【详解】对于A选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱柱，故A选项不正确； 对于B选项，图形沿着折线翻折起来是一个五棱锥，故B选项正确； 对于C选项，图形沿着折线翻折起来是一个三棱台，故C选项不正确； 对于D选项，图形沿着折线翻折起来是一个四棱柱，故D选项不正确； 故选：B. 4．B 【详解】因为，，， 所以， 所以， 又， 所以最小角的余弦值为， 故选：B 5．B 【详解】如图，，分别是上、下底面中心，则 cm， 连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点， 在中，， ， 所以， 所以． 故选：B 6．B 【详解】由题意， 又，所以，所以. 故选：B 7．C 【详解】对于A，由，，，得或与相交或与是异面直线，A错误； 对于B，由，，，，得或与相交，B错误； 对于C，由，，，得，C正确； 对于D，由，，，且，，得或与相交，D错误. 故选：C 8．D 【详解】由已知， 则，又，即，解得， 故选：D. 9．BD 【详解】，， ，， ， . 故选：BD 10．AB 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 11．ACD 【详解】解：对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故A正确； 对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B错误； 对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故C正确； 对于D：如图所示正四面体，将其放到正方体中， 取的中点，的中点，取的中点，的中点， 依次连接、、、，由正方体的性质可知截面为正方形，故D正确； 故选：ACD 12． 【详解】在上的投影向量为. 故答案为：. 13．4 【详解】因为，所以， 由正弦定理可知. 14． 【详解】因为在直三棱柱中，，，， 所以，即为直角三角形，斜边分别为， 取的中点，连接，取的中点， 则为直三棱柱外接球球心， 因为直三棱柱外接球的表面积为， 所以直三棱柱外接球的半径为 所以， 所以， 所以四面体的体积为 故答案为：    15．【详解】（1）过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 16．【详解】（1）由题意向量，，向量与的夹角为， ， 与垂直，即向量与的夹角为. （2）由（1）可知，而， 则 ， 当时，取得最小值45， 即的最小值为. 17．【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 18．【详解】（1）在图中，设圆锥的底面圆半径为，则，解得. 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图2中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，则为等边三角形， 所以，所以. 又因为点、分别是、的中点， 所以. （2）因为，圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体的体积为. （3）连接交于点，连接并延长交于点， 则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥.           因为点、分别是、的中点， 所以为的中点，且， 所以， 所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为. 19．【详解】（1）由为等腰直角三角形，设直角边长为，则斜边长为， 所以外接圆的半径为，且的周长为， 则，可得， 所以. （2）由正弦定理，即， 又由得面积为， 且的周长为， 因为，可得 即， 所以. （3）由，可得， 即， 因为，可得，所以, 即，可得或， 当，即， 即，可得， 因为，所以，不符合题意（舍去）， 所以，由，可得，即为直角三角形， 由（2）知， 设，则， 因为，可得，可得， 所以在区间为单调递减函数， 可得， 所以的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $