广东深圳市翠园中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学试题

**基本信息** 深圳市翠园中学高二下学期期中数学试卷，以现实情境（如手机使用与近视概率）、数学史（切萨罗和）及创新定义（曼哈顿方椭圆）为载体，考查数学眼光、思维与语言，梯度覆盖基础与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|概率、立体几何、数列、解析几何、导数|第15题结合生活情境考查条件概率，体现数学应用意识；第18题新定义“曼哈顿方椭圆”，考查抽象与创新思维|

深圳市翠园中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D A C A D ABD AC 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】每一位同学有3种不同的选择，则5名同学去听同时进行的3个课外知识讲座， 每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是. 故选：A． 2．D 【详解】解：设等差数列，公差为， ，， 又，解得， 故等差数列1，46，91，…，2026，2071共有47项． 3．A 【详解】因为，所以当或时， 即在，上单调递增， 当时，即在上单调递减， 根据题意可得，即，解得. 故选：A 4．D 【详解】取的中点,连接，因为四面体所有棱长均为2，所以， 所以. 故选：D 5．A 【详解】由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的， 那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为 故选：A. 6．C 【详解】 由题：轴，故， 由定义知，， 又，为中点，所以， 所以， 故C的渐近线方程为， 故选：C. 7．A 【详解】，且 由，， 可得，，则. 设，，则， 当，，当，， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，有极大值也是最大值， 即的最大值为，故A正确. 故选：A. 8．D 【详解】因为数列满足，， 则， 所以， 所以. 9．ABD 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确； 对于B：； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，故D正确． 10．AC 【详解】直线的方程为， 联立消去可得， 则，， 对于A，由得， ，故A正确； 对于B，， 令可得，此时，故B错误； 对于C，由可得的等差中项是2，故C正确； 对于D，由可得，的等比中项为±m，故D错误. 11．ACD 【详解】对于A：    由题可知，点是线段上靠近点的四等分点， 三棱锥底面外接圆的半径， 平面,则三棱锥外接球的半径, 因此三棱锥外接球的表面积.故A选项正确； 对于B：    在正方体中，易证, 又平面,平面. ,平面. 又平面,. 又平面. ,即点的轨迹是线段,不是圆弧.故B选项错误； 对于C：在正方体中，有平面, 平面,. ,计算得, 故点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆心角为度的圆弧.    由上图易知，=. 因此，当时，最小，此时,故C正确； 对于D：    建立如图所示的空间直角坐标系. 则,设点, , 设平面的法向量为,因此有 ,得,得. 平面,,,因此有： ,化简得：. 因此点的轨迹为一条线段. 当时，,设该点为点,此时点在点位置; 当时，,此时点在点位置.    因此点的轨迹为四边形内的线段 故D正确. 故选：ACD. 12． 【详解】因为，，则， 且，所以. 13． 【详解】由题意可知：在区间内恒成立， 可得在区间内恒成立， 因为在区间内单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围为. 14． 【详解】因，，， 则这5个数至少取集合中3个不同的数字，至多取5个不同的数字， 且为最大的数，为最小的数， ①取3个数：，分别自动选取最大的数和最小的数（以下均采取相同的做法，不再赘述），则取剩下的数，共有种； ②取4个数：共有种； ③取5个数：则从剩下的3个中各自匹配一个数，共有种； 故共有个“九曲正弦数”. 故答案为： 15．【详解】（1）设该校总人数为1000人，则近视的有人，每天玩手机超过1h的人数有200人，其中近视的有100人，因此每天玩手机不超过1h的学生有1000－200＝800人中，近视的有400－100＝300人， 任取1名学生，近视的概率为． （2）从该校近视的学生中任意调查一名学生，他玩手机超过1h的概率． 16．【详解】（1）证明：因为直三棱柱，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以． 又为的中点，所以为的中点． （2）方法一：由直三棱柱得平面， 又平面，所以，， 所以即为二面角的平面角． 又二面角为直二面角，所以． 如图，以点为原点，分别以，为轴建立空间直角坐标系． 设，则，， 所以，，． 设为平面的法向量，则即 不妨取，则是平面的一个法向量， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 解之得，即． 方法二：在平面内，过点作，垂足为，连接， 由直三棱柱得平面，又平面， 所以，， 所以即为二面角的平面角． 又二面角为直二面角，所以，即， 又，，平面，所以平面． 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角． 设，因为，， 所以，所以， 解之得，即． 17．【详解】（1）因为，，所以数列中的每一项都能被2整除， 所以数列中的每一项都是数列中的项，又数列，都是递增数列， 所以由，的公共项从小到大排列构成的数列即为， 则，，，，. （2）①由，得，易得，，， 由题意，在2和4之间插入1个数，使这3个数组成一个公差为的等差数列，故； 在4和8之间插入2个数，使这4个数组成一个公差为的等差数列，故. ②不存在，理由如下： 由题意，即，所以. 假设在数列中存在三项，，（其中）成等比数列， 则，即，化简得. 又因为，所以， 可得，即， 又因为，代入可得， 化简得，则有，即，这与题设矛盾. 所以在中不存在三项，，（其中）成等比数列 18．【详解】（1）设“曼哈顿椭圆”上任意一点为，则， 即，即， 所以“曼哈顿椭圆”的方程为. 将方程中替换为，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称； 将方程中替换为，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称； 同时将方程中替换为，替换为，方程仍不变，所以“曼哈顿椭圆”也关于原点对称． 只需分析出第一象限的图象即可，当，时，方程为； 当，时，方程为，“曼哈顿椭圆”图形如图所示． 其面积为． （2）直线与圆相切，理由如下： 设过点与圆相切的直线方程为．则，， ，解得或． 设点，．则，． 直线的斜率为． 故直线的方程为，又，化简得直线方程为． 因此，圆心到直线的距离为，即直线与圆相切． 19．【详解】（1）由题知， 设函数， 当时，开口向上，， 所以，在上单调递减，无极值点； 当时，在上有两个解，， 又因为， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 所以有两个极值点. 综上：当时，无极值点； 当时，所以有两个极值点. （2）（i）由（1）知：，且， 又因为， 所以. （ii）由（i）知：，，， 所以，所以. 令，，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为时，；时，. 所以. 所以，要证明：， 只需证：， 只需证：， 只需证：， 只需证：， 又因为在上单调递增， 所以只需证：. 令，所以， 所以函数在上单调递减； 所以，即. 所以，要证：，只需证：，即证明：. 因为，所以，所以. 又因为， 所以，所以. 令，，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以成立. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 深圳市翠园中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数 学 试 题 本试卷共4页，19题。全卷满分：150分，考试用时：120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置，并正确粘贴条形码； 2.考生应在答题卡上作答，答案写在试卷上无效。作答选择题时，应用2B铅笔将相应题号的对应答案选项涂黑；作答非选择题时，应将答案写在答题卡的指定区域内。 3.答题应使用黑色签字笔和2B铅笔，不能使用铅笔、涂改液、透明胶等；不按以上要求作答，则答案无效； 4.考试结束后，考生只上交答题卡，本试卷由考生自行保管。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（    ） A． B． C． D． 2．等差数列1，46，91，…，2026，2071共有（   ） A．44项 B．45项 C．46项 D．47项 3．若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，四面体所有棱长均为2，则（   ） A．6 B． C． D． 5．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲､乙､两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲､乙两人中恰有1人通过的概率为（    ） A． B． C． D． 6．曲线的左，右焦点为，C上有一点P，与y轴交于点Q，满足以P为圆心，为半径的圆与x轴相切，恰交y轴于Q，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与函数，的图象分别相交于，两点.设为曲线在点处切线的斜率，为曲线在点处切线的斜率，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 8．为了计算无穷级数和，意大利数学家恩纳斯托·切萨罗发明了切萨罗和：设数列的前n项和构成数列，的前n项的平均数构成数列，若收敛于，则称为的切萨罗和.已知数列满足，，则（   ） A． B．1 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B． C．展开式的各项系数和为 D． 10．在平面直角坐标系中，斜率为1的直线l交抛物线于，两点，交x轴于点（），则（   ） A． B． C．的等差中项是2 D．m是，的等比中项 11．正方体的棱长为2,点在面内（包括边界），若,且满足平面,则（   ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．点的轨迹是一段圆弧 C．的最小值为 D．动点的轨迹长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在公比q为正数的等比数列中，，，则q的值为______． 13．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为_____________. 14．已知集合.若九位数满足，且，，，如212323212，则称这个九位数为“九曲正弦数”，则共有______个“九曲正弦数”. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%． （1）现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率. （2）现从该校近视的学生中任意调查一名学生，求他玩手机超过1h的概率. 16．（15分）如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平面相交于点． (1)求证：为棱的中点； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 17．（15分）已知数列的通项公式为，数列是所有正偶数从小到大排列构成的数列，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列， (1)求，，，及的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①求，的值； ②在数列中是否存在项，，（其中，互异）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 18．（17分）在平面直角坐标系中，定义，两点之间的“曼哈顿距离”为，我们把到两个定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿方椭圆”． (1)写出“曼哈顿方椭圆”的方程，并说出它的对称性，画出它的草图，求它的面积； (2)已知某“曼哈顿方椭圆”的顶点都在椭圆C：上，则称椭圆C是该“曼哈顿方椭圆”的伴生椭圆。过点作圆的两条切线与椭圆分别交于两点．判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 19．（17分）已知函数，. (1)讨论极值点的个数； (2)若恰有三个零点和两个极值点. （i）证明：； （ii）若，且，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $