第12讲 分式的乘除与加减（知识详解+15典例分析+习题巩固）2025-2026学年（浙教版）七年级数学下册同步讲义与测试

第12讲 分式的乘除与加减（知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的乘除法则 1.分式的乘法法则： 法则 式子表示 分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 示例1 分式的乘法 2.分式的除法法则： 法则 式子表示 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 示例2 分式的除法 注意：（1）整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的式子； （2）运算结果要化为最简分式或整式。 【知识点02】分式的乘除混合运算 分式乘除混合运算的步骤： 一般地，分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算。在运算时，乘除是同一级运算，若没有括号，则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的。 【知识点03】分式的乘方 法则 式子表示 分式的乘方 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ()=(𝑛是正整数) 。 注意：分式乘方时，一定要把分式加上括号，不要把()=写成()= 。 示例3 分式的乘方运算 敲黑板： 乘方运算结果符号的确定方法 进行分式的乘方时,一定要先确定乘方结果的符号，它与实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，奇次方为负数． 【知识点04】同分母分式的加减 同分母分式加减的法则： 法则 字母表示 同分母分式 同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减。 注意：（1）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式。 （2） 运算时要注意适当加括号,再去括号,以免出现符号错误。如 【知识点05】分式的通分 1.分式的通分：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫作通分。 2.确定公分母的方法： （1）各个分母都是单项式：一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的积为公分母； （2）分母是多项式：先将它分解因式，然后用（1）中的方法确定公分母。 示例4 确定公分母 辨析：约分和通分的区别与联系 约分 通分 区别 分式的个数 1个 2个或2个以上 目的 将分式化为最简分式或整式。 使几个异分母的分式化为同分母的分式。 联系 依据 分式的基本性质 分式的值 不变 【知识点06】异分母分式的加减 1.异分母分式的加减法则： 法则 字母表示 异分母分式 异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式的加减，然后按同分母分式的加减法则进行计算。 2.异分母分式加减法的一般步骤： （1）通分：将异分母分式化为同分母分式； （2）加减：按同分母分式的加减法则进行加减运算； （3）约分：把结果化成最简分式或整式。 【题型一】分式乘法 例1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式乘法 【分析】根据分式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 变式1．（22-23七年级下·浙江温州·期末）计算：___________． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式的乘法运算，熟记运算法则是解本题的关键． 变式2．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘法 【分析】（1）首先把分子分母分解因式，然后再约分后相乘即可； （2）第一个分式的分母 ,然后再约分即可； 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； 【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握因式分解方法是解题的关键． 【题型二】分式除法 例2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式除法 【分析】本题主要考查了分式除法运算，根据分式除法运算法则，变除法为乘法进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 变式1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题主要考查的是分式的除法运算，根据分式的除法法则计算即可，熟练掌握分式的除法法则是解决此题的关键． 【详解】 ， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【知识点】分式除法、分式有意义的条件 【分析】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键，最后在选择一个恰当的数作为x的值时，要保证选取的x不能使分母为0．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】原式， 要使分式有意义，，且， 所以且， 所以只能取， 当时，原式． 【题型三】分式乘除混合运算 例3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，是非零实数，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】根据分数除法的运算法则解答，用k、n表示出m代入等式化简，即可得到关于k的等式． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解答本题的关键． 变式1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为______（结果保留，球体积公式）． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】由题意可知：小球的直径为2r，每个小球的体积为，计算小球的总数， 就可以算出小球的总体积，算出长方体纸盒的体积为；根据纸盒空间利用率为小球总体积与纸箱容积的比即可解答； 【详解】由题意可知：小球的直径为2r，每个小球的体积为： 沿长边摆放了个小球，沿宽摆放了 个小球； 所以小球的总数为： 所以小球的总体积为： 长方体纸盒的体积为： 所以纸盒空间 利用率为： 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆，两圆相切的性质，如果两圆相切，那么连心线必经过切点，也考查了分式的运算． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算下列各题： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】（1）直接约分即可； （2）先把分子和分母分解因式，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （3）先把分子和分母分解因式，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （4）先把分子和分母分解因式，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 【点睛】本题考查了分式的乘除法：分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 【题型四】分式乘方 例4．（25-26七年级下·浙江杭州·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式乘方 【分析】先约分，再利用分式的乘方法则，结合积的乘方法则化简即可得到结果． 【详解】解：． 变式1．计算：＝_____． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】分式的乘方等于分子分母分别乘方，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方法则． 变式2．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘法、分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1 ）先乘方，再计算乘除． （2 ）先把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型五】含乘方的分式乘除混合运算 例5．（2023·浙江·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】先计算乘方，再计算除法即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式乘方与除法运算法则是解题的关键． 变式1．计算的结果是_________． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【解析】略 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算、分式乘除混合运算 【分析】（1）直接根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）（4）直接根据分式的除法法则进行计算即可； （3）根据分式的乘法法则进行计算即可； （5）、（6）、（7）根据分式的乘法及除法法则进行计算即可； （8）、（9）、（10）、（11）、（12）根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： （7）解： （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ； （11）解： （12）解： ． 【点睛】本题考查的是分式的乘除法计算，分式的乘除法混合计算，熟知分式的乘法及除法法则是解答此题的关键． 【题型六】同分母分式加减法 例6．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减运算．原式两个分式分母相同，直接合并后分子为，利用平方差公式分解后约分即可． 【详解】解：． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）化简：_________． 【答案】/ 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【知识点】分式化简求值、同分母分式加减法 【分析】此题主要考查同分母分式的减法运算，解题的关键是熟知分式的运算法则． 根据分式的运算法则化简求值即可． 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 【题型七】通分 例7．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】通分 【分析】分式与的公分母是，据此作出选择． 【详解】解：分式与的公分母是，则分式的分子应变为． 故选：A． 【点睛】本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 变式1．（22-23七年级·浙江萧山·期中）把，通分，则=________， =__________. 【答案】 【知识点】通分 【分析】先找出，的最简公分母，再利用分式的性质将，的分母均化为即可． 【详解】解：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查分式通分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 变式2．通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】通分 【分析】先确定分式的最简公分母，再通分即可． 【详解】（1）解：∵与的最简公分母是， ∴=，=； （2）解：∵与的最简公分母是， ∴=，=． 【点睛】本题考查的是分式的通分，解题的关键是确定最简公分母． 【题型八】最简公分母 例8．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）分式和的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母．熟练掌握最简公分母是解题的关键． 根据最简公分母的定义求解作答即可．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【详解】解：由题意知，最简公分母为， 故选：C． 变式1．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）计算时，应先通分，则通分的最简公分母为_________． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母． 【详解】和的最简公分母为 故答案为：． 【点睛】此题考查了最简公分母，解题的关键是知道确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 变式2．求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)最简公分母为；通分后为，， (2)最简公分母为，通分后为，， 【知识点】通分、最简公分母、综合提公因式和公式法分解因式 【详解】（1）∵，，的最简公分母是 ∴通分后为，， 故答案为：最简公分母为；通分后为，， （2）∵，， ∴，，，最简公分母为，通分后为，， 【点睛】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键 【题型九】异分母分式加减法 例9．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）从A地到B地有两条路，每条路都有，其中第一条路是平路，第二条路有的上坡路，的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则（） A．走第一条路花费时间比第二条少 B．走第一条路花费时间比第二条多 C．走第一条路花费时间比第二条少 D．走第一条路花费时间比第二条多 【答案】A 【知识点】异分母分式加减法 【分析】分别计算走两条路花费的时间，再作差比较即可得到结果． 【详解】解：∵第一条路全长，平路骑车速度为， ∴走第一条路花费的时间为； ∵第二条路有的上坡路，的下坡路，上坡速度为，下坡速度为， ∴走第二条路花费的时间为， ∵， ∴走第一条路花费时间比第二条少． 变式1．（23-24七年级下·浙江温州·期末）分式的计算结果是__________________． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查的是分式的加减法，在解答此类问题时要注意通分及约分的灵活应用．先通分，再把分子相加减即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在化简分式时，一位同学的解答过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)该同学的解答从第　　步开始出错（填序号）； (2)请写出正确的完整解答过程． 【答案】(1)② (2)，过程见解析 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查异分母分式的加减． （1）根据分式的加减计算得出结论即可； （2）根据分式加减计算的运算法则得出结论即可． 【详解】（1）解：原式 ． ∴从第②步开始出错． 故答案为：②． （2）原式 ． 【题型十】整式与分式相加减 例10．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）化简，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式与分式相加减 【分析】异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加减运算．熟练掌握通分和分式的加减运算是解题的关键． 变式1．（2025·浙江·模拟预测）计算：的结果是______． 【答案】 【知识点】整式与分式相加减 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． (1)若，求a，b的“传承数”c； (2)若，且，求a，b的“传承数”c； (3)若，且a，b的“传承数”c的值为一个整数，则整数n的值是多少？ 【答案】(1) (2)1或 (3)2或0或4或 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、分式的求值、整式与分式相加减 【分析】本题考查新定义，分式的求值，分式的加减运算： （1）根据已知条件中的新定义，把a，b的值代入，进行计算即可； （2）先根据，利用完全平方公式，求出的值，然后根据求出c即可； （3）根据已知条件中的新定义，把a，b的值代入，求出c，从而求出答案即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴a，b的“传承数”c的值为； （2）∵， ， ， ， ∵c是a，b的“传承数”， ∴ ， 当时，； 当时，； ∴a，b的“传承数“c为1或； （3）∵c是a，b的“传承数”， ∴ ， ∵c，n都为整数， ∴或， 解得：或0或4或． 【题型十一】分式加减混合运算 例11．（2024七年级下·浙江宁波·期末）若，则使最接近的正整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】分式加减混合运算 【分析】先利用“裂项法”对已知分式变形化简，再分别将n取3，4，5和6代入计算，即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴ ， ∴当n=3时，， 当n=4时，， 当n=5时，， 当n=6时，， 显然，， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练运用“裂项法”对已知分式变形化简是解题的关键． 变式1．（22-23七年级·浙江台州·期末）已知，且，则________． 【答案】2 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、分式加减混合运算 【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题． 【详解】解析：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 变式2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）甲船返航先返回A港 【知识点】整式加减的应用、分式加减混合运算、有理数大小比较 【分析】本题主要考查行程问题，整式的混合运算，分式加减混合运算的综合，理解行程中的数量关系，掌握整式的混合运算的方法，“作差法”的计算与比较方法是解题的关键． （1）根据材料提示，运用“作差法”即可求解； （2）运用“作差法”，乘法公式，不等式的性质，即可求解； （3）根据题意可得甲、乙船顺流速度与路程，分别求出返航时间，再用“作差法”比较即可求解． 【详解】解：（1）①由题意得：由于， 则， ， 故答案为：； ②由于，，则 ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 由题意得： ， 则； （3）甲船返航先返回A港，理由如下： 由题意得：甲船顺流速度为，则甲船顺流的路程为， 乙船顺流速度为，则乙船顺流的路程为， 返航时甲船速度为，则， 返航时乙船速度为，则， ， 由于， ， ， 则甲船返航先返回A港． 【题型十二】分式加减的实际应用 例12．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）小明的爸爸妈妈各有一辆汽车，但加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈各加油两次，第一次加油汽油单价都为元/升，第二次加油汽油单价都为元/升（），妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】A 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查了分式的加减运算的实际应用，根据题意列出式子通分时解题的关键． 根据题意可得妈妈每次加油共需付款钱元，爸爸两次能加油的升数为，设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，则，，故爸爸和妈妈两次加油的平均单价的差值与零的关系，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，得妈妈每次加油共需付款元，爸爸两次能加升油， 设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升， ∵爸爸两次加油总共花了元，妈妈加了升油， ∴爸爸两次加油的平均单价为，妈妈两次加油的平均单价为， ∵爸爸和妈妈两次加油的平均单价的差值为， ∴爸爸的加油方式更合算． 故选． 变式1．八年级某班同学原来计划租一俩大巴车去研学，大巴车的租价为800元，实际又增加了3名同学，租车价不变，若设原来计划参加研学的同学共有x人，实际每个同学比原来少分摊车费______元． 【答案】 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】根据题意列出分式，然后进行运算即可． 【详解】解：实际每个同学比原来少分摊车费： （元）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式加减的应用，解题的关键是根据题意列出分式，熟练掌握分式加减运算法则，准确计算． 变式2．（2025·浙江·三模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 【答案】(1) (2)①，；②，；③， 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． （1）先移项再通分得，再取倒数即可； （2）先将代入，再化简得，再根据，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，均为正整数， ∴①当时，则，； ②当时，则，； ③当时，则，． 【题型十三】分式加减乘除混合运算 例13．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，已知正方形和正方形，点在边上，连接交于点，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（    ）    A．正方形的面积 B．三角形的面积 C．正方形的面积 D．三角形的面积 【答案】C 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式混合运算的几何应用．熟练掌握分式混合运算的应用是解题的关键． 如图，延长交的延长线于，则，设正方形和正方形的边长分别为，，则，，，由，可得，可求，则，，进而可知阴影部分面积与 正方形的面积有关，然后判断作答即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于，则，    设正方形和正方形的边长分别为，，则，，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， ∴当已知正方形的面积时，可求阴影部分面积， 故选：C． 变式1．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合．③和④能够重合，这四个长方形的面积都是，若，则的值为______． 【答案】4 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解本题的关键． 根据题意得出，设，则，得出，，求出，，根据求出结果即可． 【详解】解：∵ ∴ 设，则， ∵这四个长方形的面积都是， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：4． 变式2．（24-25七年级下·浙江温州·期末）以下是小明同学完成课本129页计算的解答过程． 解： ① ② ③ ④ ⑤ 小明的解答过程对吗？如果正确，请写出每一步运用的数学知识；如果不对，请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 【答案】小明的解答过程错误，错误出现在第③步，见解析 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质． 根据分式的基本性质以及分式的加减运算法则去判断即可求解． 【详解】解：小明的解答过程错误，错误出现在第③步， 正确的解题过程如下： ． 【题型十四】分式化简求值 例14．（23-24七年级下·浙江金华·月考）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．把化为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 即， ∴ ， 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知，，若，，则的值为______． 【答案】/ 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据题意得出，，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ． 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·浙江宁波·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【知识点】分式化简求值 【分析】原式先根据同分母分式加法法则计算括号内的，再把除法转换为乘法，再进行约分化简可得最简结果，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ； 当时，原式． 【题型十五】已知分式恒等式，确定分子或分母 例15．若的值为，则的值为（　　） A． B． C． D．． 【答案】D 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】根据条件先求出的值，然后整体代入求解即可． 【详解】由题意可得，，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查分式求值问题，灵活根据条件变形，并熟练运用整体思想是解题关键． 变式1．已知，其中，，，为常数，则______． 【答案】6 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，②   当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 变式2．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知，，都是正数）． (1)计算：； (2)若，说明的理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【知识点】异分母分式加减法、已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题考查了分式的加减运算； （1）根据分式减法计算即可． （2）根据得到，的关系式． （3）根据与，的关系求解． 【详解】（1）解： ． （2）， ， ， ， ， ． （3） ， 是正整数，，都是正数， 或或． 或或， 或或． 一、单选题 1．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 根据最简公分母的定义即可求出答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 故选：A． 2．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质以及分式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的性质以及分式的混合运算法则，熟练掌握分式的约分、通分是解本题的关键． 3．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行变形是解题关键． 4．甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元（m，n为不相等的正数）．若甲每次购买p千克大米，乙每次花p元钱购买大米（p为正数）．则甲、乙两种购买方式平均价格低的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查分式加减的应用，解题关键是理解题意．根据题意分别算出甲乙两次购买大米的平均价格，再作差，利用完全平方公式进行比较即可求解． 【详解】解：依题得：甲两次购买大米的平均价格为， 乙两次购买大米的平均价格为， ， 又， ， 即，乙两次购买大米的平均价格更低，更合理． 故选：． 5．小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．先根据除法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为． ． 故选：C． 6．把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 7．某工厂接到一个订单，生产x套防护服，原计划每天生产y套．为了将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】B 【分析】本题考查列代数式的知识，根据工作时间工作总量工作效率，表示出原计划所用时间，以及现在所用时间，利用原计划所用时间现在所用时间，即可解题． 【详解】解：由题意得，原计划所用时间为：天， 现在所用时间为：天， 工厂完成这个订单的时间比原计划提前天， 故选：B． 8．已知实数x，y，z满足，且，则的值为（　　） A．12 B．14 C． D．9 【答案】A 【分析】把两边加上3，通分得到，两边除以得到，则，从而得到的值． 【详解】解：， ， 即， ， 而， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．解决问题的关键是从后面的式子变形出． 9．若，则式子的值在（    ） A．和0.4之间 B．0.4和1之间 C．1和1.6之间 D．1.6和2.2之间 【答案】A 【分析】先通分、因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，然后对无理数进行估算，然后代入求解即可． 【详解】解： ， ∵，即， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的化简求值，无理数的估算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10．一艘船往返于相距50千米的两个码头．已知水的流速为2千米/时，船在静水中的速度为千米/时，那么船往返一次，顺水航行的时间与逆水航行的时间的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析，用静水速度减去水流速度表示出逆水速度，用静水速度加上水流速度表示出顺水速度，然后用路程除以速度分别表示出逆水行驶的时间和顺水行驶的时间，最后用顺水行驶的时间除以逆水行驶的时间即可解答． 【详解】解：由题意得：船在顺水中的速度是千米/时，船在逆水中的速度是千米/时， 则， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除应用，解题的关键是表示出顺水行驶的时间和逆水行驶的时间． 二、填空题 11．若，则的值是______． 【答案】 【分析】将变形为，再将变形为，代入求解即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考试分式的变形，整体代入，掌握分式的性质，化简，变形，整体代入思想是解题的关键． 12．已知，则______． 【答案】 【分析】根据，设，，代入式子化简即可． 【详解】解：， 设，， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的化简，比例式的正确利用是解题关键． 13．计算：（）2＋（﹣a2b2）＝_____． 【答案】 【分析】利用异分母分式加减法法则进行计算，即可得出结果． 【详解】解：（）2＋（﹣a2b2）， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的除法，熟练掌握异分母分式加减法法则是解决问题的关键． 14．已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 【答案】 3 5或10 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，理解最简公分母的定义是解题的关键． 根据最简公分母的定义，系数部分取分母系数的最小公倍数，变量部分取各变量因式的最高次幂，即可求出、的值． 【详解】解：第一个分式的分母为 ，第二个分式的分母为 ， 根据最简公分母的定义，其系数应为各分母系数的最小公倍数，字母部分应包含所有字母因式，且各字母的指数取其在各分母中出现的最大指数 ∵最简公分母为 ． ∴两个分母系数和的最小公倍数为，且的最高次幂为． ∵的最高次幂为 ， ∵两个分母系数和的最小公倍数为， 当2与互质时，它们的最小公倍数为，解得； 当2是的因数时，它们的最小公倍数为 综上，或， 解得： 或 ， 故答案为：，或． 15．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得：， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 16．一份数学小报由小海单独做，需天完成；由小海、小天两人合作，则3天完成，那么小天单独完成这份数学小报需要的天数是__________．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查列分式以及分式的混合运算，设总工作量为单位“”，由工作效率工作总量工作时间可求得两人的合作效率，然后求得小天的工作效率，从而求解． 【详解】解：小天单独完成这份数学小报需要的天数是天， 故答案为：． 17．已知a为整数，且为正整数，求所有符合条件的a的值的和_____． 【答案】16 【分析】先根据分式混合运算法则将已知分式化简，再根据题意求得a值，进而求和即可． 【详解】解： ， ∵a为整数，为正整数， ∴符合条件的a的值为6，10， 则符合条件的a的值的和为， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算、分式的值，熟练掌握运算法则并正确求得a值是解答的关键． 三、解答题 18．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ． 19．将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为． (1)【操作发现】再往杯中加入，克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为_____________（填“>”“<”或“=”）； (2)【探究论证】请证明（1）中的结论正确． 【答案】(1)> (2)见解析 【分析】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是写出相应的式子，会用作差比较法比较两个式子的大小． （1）根据题意，可以写出相应的不等式，从而可以解答本题； （2）根据作差比较法，可以证明（1）中的结论成立． 【详解】（1）解：由题意，可得：， 故答案为：>． （2） ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________； (2)写出你猜想的第个等式：_________用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）通过前4个等式的规律可得此题结果； （2）结合（1）题结果进行证明． 【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为， 故答案为：； （2）由（1）题规律可得，第个等式为， 证明: ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解决数式变化规律问题的能力，关键是能通过正确地观察、猜想、证明得到问题中蕴含的规律． 21．在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： (1)若，且，求的值． (2)若且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）令，得到，，，然后代入代数式化简即可； （2）令，得到，，，然后分和两种情况分别化简计算． 【详解】（1）解：令，则，，， ； （2）解：令，则，，， ， ， 若，则有，解得， ，，， ； 若，则有，，， ； 的值为或． 22．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； (3)已知分式、，且B与互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，正确理解“n阶分式”的定义是解题的关键． （1）求出分式与的和，再根据定义可得答案； （2）根据定义可得，则，据此计算求解即可； （3）根据定义可得，即，据此去分母求出M即可． 【详解】（1）解：， ∴分式与互为“5阶分式”； （2）解：∵分式与A互为“4阶分式”， ∴， ∴ ； （3）解：∵、，且B与互为“2阶分式”， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题．其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和．例如：． 类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． ． 材料二：为了研究字母a和分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据： a … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式：_______；_______； (2)当时．随着a的增大，分式的值_______（填“增大”或“减小”）； (3)当时，随着a的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)减小； (3)2，理由见解析． 【分析】（1）先变形得出，再求出答案即可； （2）分别求出，，时，的值，再比较大小即可； （3）得出原式，再求出答案即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：；； （2）当时，， 当时，， 当时，，…… ∵ ∴当增大时，的值越来越小， 故答案为：减小； （3）2，理由如下： ∵， 随着的增大，的值越来越小， ∴随着a的增大，分式的值无限趋近于2． 【点睛】本题考查了分式的加减，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键． 24．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论． 【答案】数据计算：，，；实验结论：三；推广证明：见解析 【分析】本题考查分式的实际应用： 数据计算：把一件存留1斤污水的衣服用x斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，由此可解； 实验结论：根据前一问结论，比较大小即可； 推广证明：用含x，a，m的式子表示出进行漂洗后衣服中存有污物与原有污物的比，利用分式的性质将分子化为相同，比较分母的大小即可． 【详解】解：数据计算： 方案一，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 方案二，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 方案三，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：，，； 实验结论： ， 方案三的漂洗效果最好， 故答案为：三； 推广证明： 依题意可得， 选择方案一进行一次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，可化为； 选择方案二进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得； 选择方案三进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得； 因为三个分式的分子，分母都是正数，且分子相同， 所以要判断三个分式值的大小，只需比较分母的大小， 因为，且，， 所以， 所以， 所以， 即方案二比方案一的漂洗效果好， 因为，且， 所以， 所以， 所以， 即方案三比方案二的漂洗效果好， 综上，在这三种方案中，方案三的漂洗效果最好． 25．阅读材料： 在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，常用的方法之一就是“作差法”．所谓“作差法”，就是通过作差、变形，利用差的符号确定大小关系，即要比较代数式，的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 解答问题： (1)现有大、小两艘轮船，小船每天运吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务． ①大船、小船完成运送任务所需天数分别为___________天，___________天（均用含的代数式表示）； ②通过计算说明哪艘轮船完成任务所用的时间少？ (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；；②小轮船完成任务所用的时间少 (2)见解析 【分析】（1）①根据大船比小船每天多运10吨货物，得出大船每天运吨货物，进而可得解答； ②通过作差法求解即可； （2）通过作差法求解之后，再进行分类讨论即可． 【详解】（1）①∵小船每天运吨货物， ∴大船每天运吨货物， ∴大船完成运送任务所需天数为，小船完成运送任务所需天数为， 故答案为：；； ②根据题意得， ， ∵， ∴， ∴小轮船完成任务所用的时间少； （2） ， 当且时，更大，当时，更大，当时，无解． 【点睛】本题考查了作差法，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 分式的乘除与加减（知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的乘除法则 1.分式的乘法法则： 法则 式子表示 分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 示例1 分式的乘法 2.分式的除法法则： 法则 式子表示 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 示例2 分式的除法 注意：（1）整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的式子； （2）运算结果要化为最简分式或整式。 【知识点02】分式的乘除混合运算 分式乘除混合运算的步骤： 一般地，分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算。在运算时，乘除是同一级运算，若没有括号，则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的。 【知识点03】分式的乘方 法则 式子表示 分式的乘方 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ()=(𝑛是正整数) 。 注意：分式乘方时，一定要把分式加上括号，不要把()=写成()= 。 示例3 分式的乘方运算 敲黑板： 乘方运算结果符号的确定方法 进行分式的乘方时,一定要先确定乘方结果的符号，它与实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，奇次方为负数． 【知识点04】同分母分式的加减 同分母分式加减的法则： 法则 字母表示 同分母分式 同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减。 注意：（1）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式。 （2） 运算时要注意适当加括号,再去括号,以免出现符号错误。如 【知识点05】分式的通分 1.分式的通分：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫作通分。 2.确定公分母的方法： （1）各个分母都是单项式：一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的积为公分母； （2）分母是多项式：先将它分解因式，然后用（1）中的方法确定公分母。 示例4 确定公分母 辨析：约分和通分的区别与联系 约分 通分 区别 分式的个数 1个 2个或2个以上 目的 将分式化为最简分式或整式。 使几个异分母的分式化为同分母的分式。 联系 依据 分式的基本性质 分式的值 不变 【知识点06】异分母分式的加减 1.异分母分式的加减法则： 法则 字母表示 异分母分式 异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式的加减，然后按同分母分式的加减法则进行计算。 2.异分母分式加减法的一般步骤： （1）通分：将异分母分式化为同分母分式； （2）加减：按同分母分式的加减法则进行加减运算； （3）约分：把结果化成最简分式或整式。 【题型一】分式乘法 例1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·浙江温州·期末）计算：___________． 变式2．计算： (1)； (2)； 【题型二】分式除法 例2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）计算：______． 变式2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 【题型三】分式乘除混合运算 例3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，是非零实数，设，则（ ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，一个长、宽、高分别为a，b，的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为______（结果保留，球体积公式）． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算下列各题： (1) (2) (3) (4)． 【题型四】分式乘方 例4．（25-26七年级下·浙江杭州·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．计算：＝_____． 变式2．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型五】含乘方的分式乘除混合运算 例5．（2023·浙江·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 变式1．计算的结果是_________． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)． 【题型六】同分母分式加减法 例6．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）化简：_________． 变式2．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）先化简，再求值：，其中． 【题型七】通分 例7．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级·浙江萧山·期中）把，通分，则=________， =__________. 变式2．通分： (1)与； (2)与． 【题型八】最简公分母 例8．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）分式和的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）计算时，应先通分，则通分的最简公分母为_________． 变式2．求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【题型九】异分母分式加减法 例9．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）从A地到B地有两条路，每条路都有，其中第一条路是平路，第二条路有的上坡路，的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则（） A．走第一条路花费时间比第二条少 B．走第一条路花费时间比第二条多 C．走第一条路花费时间比第二条少 D．走第一条路花费时间比第二条多 变式1．（23-24七年级下·浙江温州·期末）分式的计算结果是__________________． 变式2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在化简分式时，一位同学的解答过程如下： 解：原式① ② ③ ④ (1)该同学的解答从第　　步开始出错（填序号）； (2)请写出正确的完整解答过程． 【题型十】整式与分式相加减 例10．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）化简，得（    ） A． B． C． D． 变式1．（2025·浙江·模拟预测）计算：的结果是______． 变式2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． (1)若，求a，b的“传承数”c； (2)若，且，求a，b的“传承数”c； (3)若，且a，b的“传承数”c的值为一个整数，则整数n的值是多少？ 【题型十一】分式加减混合运算 例11．（2024七年级下·浙江宁波·期末）若，则使最接近的正整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式1．（22-23七年级·浙江台州·期末）已知，且，则________． 变式2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【题型十二】分式加减的实际应用 例12．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）小明的爸爸妈妈各有一辆汽车，但加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈各加油两次，第一次加油汽油单价都为元/升，第二次加油汽油单价都为元/升（），妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 变式1．八年级某班同学原来计划租一俩大巴车去研学，大巴车的租价为800元，实际又增加了3名同学，租车价不变，若设原来计划参加研学的同学共有x人，实际每个同学比原来少分摊车费______元． 变式2．（2025·浙江·三模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 【题型十三】分式加减乘除混合运算 例13．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，已知正方形和正方形，点在边上，连接交于点，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（    ）    A．正方形的面积 B．三角形的面积 C．正方形的面积 D．三角形的面积 变式1．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合．③和④能够重合，这四个长方形的面积都是，若，则的值为______． 变式2．（24-25七年级下·浙江温州·期末）以下是小明同学完成课本129页计算的解答过程． 解： ① ② ③ ④ ⑤ 小明的解答过程对吗？如果正确，请写出每一步运用的数学知识；如果不对，请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 【题型十四】分式化简求值 例14．（23-24七年级下·浙江金华·月考）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知，，若，，则的值为______． 变式2．（23-24七年级下·浙江宁波·月考）先化简，再求值：，其中． 【题型十五】已知分式恒等式，确定分子或分母 例15．若的值为，则的值为（　　） A． B． C． D．． 变式1．已知，其中，，，为常数，则______． 变式2．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知，，都是正数）． (1)计算：； (2)若，说明的理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 一、单选题 1．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元（m，n为不相等的正数）．若甲每次购买p千克大米，乙每次花p元钱购买大米（p为正数）．则甲、乙两种购买方式平均价格低的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．不确定 5．小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 6．把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 7．某工厂接到一个订单，生产x套防护服，原计划每天生产y套．为了将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 8．已知实数x，y，z满足，且，则的值为（　　） A．12 B．14 C． D．9 9．若，则式子的值在（    ） A．和0.4之间 B．0.4和1之间 C．1和1.6之间 D．1.6和2.2之间 10．一艘船往返于相距50千米的两个码头．已知水的流速为2千米/时，船在静水中的速度为千米/时，那么船往返一次，顺水航行的时间与逆水航行的时间的比值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则的值是______． 12．已知，则______． 13．计算：（）2＋（﹣a2b2）＝_____． 14．已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 15．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为______ ． 16．一份数学小报由小海单独做，需天完成；由小海、小天两人合作，则3天完成，那么小天单独完成这份数学小报需要的天数是__________．（结果用含的代数式表示） 三、解答题 18．计算： (1)； (2)； (3)． 19．将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为． (1)【操作发现】再往杯中加入，克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为_____________（填“>”“<”或“=”）； (2)【探究论证】请证明（1）中的结论正确． 20．观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________； (2)写出你猜想的第个等式：_________用含的等式表示），并证明． 21．在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： (1)若，且，求的值． (2)若且，求的值． 22．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； (3)已知分式、，且B与互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 23．材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题．其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和．例如：． 类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． ． 材料二：为了研究字母a和分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据： a … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式：_______；_______； (2)当时．随着a的增大，分式的值_______（填“增大”或“减小”）； (3)当时，随着a的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由． 24．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论． 25．阅读材料： 在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，常用的方法之一就是“作差法”．所谓“作差法”，就是通过作差、变形，利用差的符号确定大小关系，即要比较代数式，的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 解答问题： (1)现有大、小两艘轮船，小船每天运吨货物，大船比小船每天多运10吨货物．现让大船完成运送100吨货物的任务，小船完成运送80吨货物的任务． ①大船、小船完成运送任务所需天数分别为___________天，___________天（均用含的代数式表示）； ②通过计算说明哪艘轮船完成任务所用的时间少？ (2)比较与的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $