第04讲 二元一次方程与方程组概念及其解法（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版七年级数学下册同步讲义与测试

第04讲 二元一次方程与方程组概念及其解法（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】二元一次方程的概念 1.二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作二元一次方程。 2.二元一次方程必须同时满足三个条件：→识别二元一次方程的方法 （1）是整式方程； （2）含有两个未知数； （3）含有未知数的项的次数都是一次（而不是未知数的次数是一次，如5xy+1=0 ,两个未知数的次数都是一次，但含未知数的项5xy 的次数是二次，故其不是二元一次方程） 示例 二元一次方程 【知识点02】二元一次方程的解 1.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫作二元一次方程的一个解。 2.判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法 敲黑板 二元一次方程的解的特点 （1）二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立表示。 （2）二元一次方程有无数个解，但如果对未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个解。 【知识点03】二元一次方程的变形 把一个二元一次方程变形成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的一元一次方程。 【知识点04】二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫作二元一次方程组。例如， 都是二元一次方程组。 2.二元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）两个整式方程；（2）方程组中一共含有两个未知数； 并不是每个方程都必须含有两个未知数 （3）含有未知数的项的次数都是一次。 示例 二元一次方程组 【知识点05】二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫作这个二元一次方程组的解。例如， 就是二元一次方程组的解。 2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法 敲黑板 二元一次方程组的解的特点 （1）二元一次方程组的解要用大括号联立起来，分两行书写，如方程组的解应写成 （2）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，如方程组无解，方程组有无数组解。 【知识点06】列表尝试求二元一次方程组的解 由于二元一次方程一般有无数个解，故要求二元一次方程组的解，只需求出方程组中各个方程的解的公共部分，可通过列表尝试求出方程组的解。 【知识点07】用代入消元法解二元一次方程组 1.消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想，也就是把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。 2.代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法。 3.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示。 将一个方程变形为𝑦=𝑎𝑥+𝑏(或 𝑥=𝑎𝑦+𝑏)(𝑎，𝑏 是常数，𝑎≠0) 的形式。 一般选未知数系数比较简单的方程变形。 ②代入求值 用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值。 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。 变形后的方程只能代入另一个没有变形的方程。 ③回代 把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值。 求出另一个未知数的值。 一般代入变形后的方程。 ④写解 写出方程组的解。 表示为 的形式。 用“｛”将未知数的值联立起来。 敲黑板 代入消元法选取变形方程的原则 （1）选择未知数的系数是1或−1的方程； （2）选择常数项为0的方程； （3）若未知数的系数都不是1或−1，选系数的绝对值较小的方程。 【知识点08】用加减消元法解二元一次方程组 1.加减消元法：对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数互为相反数或相同时，可以通过把两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解。这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）。 使两方程相减（或相加）能消去该未知数。 当某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘。 ②加减 通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 将二元一次方程组转化为一元一次方程。 把两个方程相减（或相加）时，一定要把两个方程等号两边分别相减（或相加）。 ③求解 解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。 求出一个未知数的值。 ④回代 将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另一个未知数的值。 求出另一个未知数的值。 回代时选择系数较简单的方程。 ⑤写解 写出方程组的解。 表示为 的形式。 用“｛”将未知数的值联立起来。 解题通法 用加减消元法求解二元一次方程组的技巧 （1）若两方程中同一个未知数的系数的绝对值相等，则直接加减消元； （2）若同一个未知数的系数的绝对值不相等，则应先选一个或两个方程进行变形，使同一个未知数的系数的绝对值相等; （3）若方程组较复杂，则应先化简整理,再求解。 【题型一】二元一次方程的定义 例1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则 ． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列方程中，哪些是二元一次方程？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【题型二】二元一次方程的解 例2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）属于二元一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知是方程的一组解，则a的值为 ． 变式2．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知方程． (1)用关于a的代数式表示b； (2)求当，1时，对应的b值，并由此写出方程对应的两个解． 【题型三】判断是否是二元一次方程组 例3．（24-25七年级下·浙江金华·期中）下列各组方程中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【题型四】判断是否是二元一次方程组的解 例4．（22-23七年级下·浙江温州·月考）下列是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）下列各组x，y的值：①，②，③，④中， 是方程的解； 是方程的解； 是方程组的解．（填序号） 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： (1) (2) 【题型五】已知二元一次方程组的解求参数 例5．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若是二元一次方程组的解，则的值为（  ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如果方程组的解为，那么被“”遮住的数是 ． 变式2．（22-23七年级下·浙江金华·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 【题型六】代入消元法 例6．（24-25七年级下·浙江温州·月考）用代入法解方程组时，将①代入②得（   ） A． B． C． D． 变式1．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）由方程组，可得出x与y的关系是 ． 变式2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）解方程组： (1) (2) 【题型七】加减消元法 例7．（24-25七年级下·浙江温州·期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）下面是解方程组的过程导图： 其中，“ ？ ”处为 ． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）解方程组：． 【题型八】二元一次方程组的特殊解法 例8．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 ． 变式2．（24-25七年级下·浙江台州·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 【题型九】构造二元一次方程组求解 例9．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）对x，y定义一种新运算“”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，，则的值是（  ） A．3 B．5 C．9 D．11 变式1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如表中的信息满足关于的二元一次方程，则 … … 变式2．现有三个方程：；；，请你在其中任意选两个方程，组成一个方程组，并求解． 【题型十】已知二元一次方程组的解的情况求参数 例10．（2025七年级下·浙江·专题练习）若关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 变式1．当 时，方程组的解、的值互为相反数． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【题型十一】二元一次方程组的错解复原问题 例11．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙两个小马虎，在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，则原方程组正确的解是 ． 【题型十二】方程组相同解问题 例12．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足方程，则k的值为（     ） A．3 B．3.5 C．4.5 D．5 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）关于x、y的方程组与有相同的解，则的值是 ． 变式2．（24-25七年级下·浙江丽水·月考）若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 一、单选题 1．下列各方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 3．在解二元一次方程组时，用消去未知数x后，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 4．把一根长16米的钢管截成2米长或3米长规格的钢管，在不造成浪费的情况下，共有几种截法（    ）． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 5．下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法方程组的步骤，其中开始出现错误的是（　　） A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 6．若方程的两个解是，，则，的值为(　　) A．， B．， C．， D．， 7．已知关于x，y的二元一次方程，其取值如下表，则p的值为（    ） x m y n t 5 p A．17 B．18 C．19 D．20 8．方程组的解是（   ） A． B． C． D． 9．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 10．已知关于，的方程组，下列结论： ①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，不可能互为相反数； ③，都为非负整数的解有对；④若，则，其中不正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．若是方程的一个解，则 ． 12．若是二元一次方程，则 ， ． 13．若是方程组的解，则的值是 ． 14．已知，，则 ． 15．已知关于a，b，c的方程组，则＝ ． 16．用加减消元法解方程组时，要使的系数相等，则可将该方程组转化为 ；要使的系数为相反数，则可将该方程组转化为 ． 17．关于的方程组有无数组解，则 ． 三、解答题 18．解下列方程组： (1) (2) (3) 19．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 20．已知是二元一次方程的解． (1)求的值； (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答，如果不唯一，请再写出另一个二元一次方程； (3)你在（2）中写的二元一次方程只有这一个解吗？如果是，直接回答：如果不是，请再写出它的另一个解． 21．当a，b都是实数，且满足，就称点为“完美点”． (1)判断点是否为“完美点”，并说明理由． (2)已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点是“完美点”，请说明理由． 22．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由，得 ，即 ．③ ，得 ．④ ，得 ， 从而可得 ． 所以原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组： 23．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 24．北京冬奥会，给世界一个温暖的拥抱；北京冬奥会，让世界见证了中国科技和中国智慧；北京冬奥会，让世界记住了一个冬奥明星“冰墩墩”某商场为了跟上冬奥的脚步，计划用元从厂家购进个冰墩墩产品，已知该厂家生产冰墩墩钥匙扣、冰墩墩手办、冰墩墩挎包三种不同的冰墩墩产品，设冰墩墩手办、冰墩墩挎包应各买入，个，其中每个的价格、销售获利如表： 冰墩墩钥匙扣 冰墩墩手办 冰墩墩挎包 价格元个 销售获利元个 (1)购买冰墩墩钥匙扣______个用含，的代数式表示； (2)若商场同时购进三种不同的冰墩墩产品每种产品至少有一个，恰好用了元，则商场有哪几种购进方案？ (3)在第题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？ 25．【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与叫作“对称”二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是___________； （2）若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，则___________．___________． 【探究】 （3）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①的解为___________； ②的解为___________， ③的解为___________； （4）根据你的发现，直接写出方程组的解为___________； 【拓展】 （5）若关于、的方程组的解是，那么关于、的方程组的解为___________ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二元一次方程与方程组概念及其解法（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】二元一次方程的概念 1.二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作二元一次方程。 2.二元一次方程必须同时满足三个条件：→识别二元一次方程的方法 （1）是整式方程； （2）含有两个未知数； （3）含有未知数的项的次数都是一次（而不是未知数的次数是一次，如5xy+1=0 ,两个未知数的次数都是一次，但含未知数的项5xy 的次数是二次，故其不是二元一次方程） 示例 二元一次方程 【知识点02】二元一次方程的解 1.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫作二元一次方程的一个解。 2.判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法 敲黑板 二元一次方程的解的特点 （1）二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立表示。 （2）二元一次方程有无数个解，但如果对未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个解。 【知识点03】二元一次方程的变形 把一个二元一次方程变形成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的一元一次方程。 【知识点04】二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫作二元一次方程组。例如， 都是二元一次方程组。 2.二元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）两个整式方程；（2）方程组中一共含有两个未知数； 并不是每个方程都必须含有两个未知数 （3）含有未知数的项的次数都是一次。 示例 二元一次方程组 【知识点05】二元一次方程组的解 1.二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫作这个二元一次方程组的解。例如， 就是二元一次方程组的解。 2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法 敲黑板 二元一次方程组的解的特点 （1）二元一次方程组的解要用大括号联立起来，分两行书写，如方程组的解应写成 （2）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，如方程组无解，方程组有无数组解。 【知识点06】列表尝试求二元一次方程组的解 由于二元一次方程一般有无数个解，故要求二元一次方程组的解，只需求出方程组中各个方程的解的公共部分，可通过列表尝试求出方程组的解。 【知识点07】用代入消元法解二元一次方程组 1.消元思想：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想，也就是把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。 2.代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法。 3.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示。 将一个方程变形为𝑦=𝑎𝑥+𝑏(或 𝑥=𝑎𝑦+𝑏)(𝑎，𝑏 是常数，𝑎≠0) 的形式。 一般选未知数系数比较简单的方程变形。 ②代入求值 用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值。 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。 变形后的方程只能代入另一个没有变形的方程。 ③回代 把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值。 求出另一个未知数的值。 一般代入变形后的方程。 ④写解 写出方程组的解。 表示为 的形式。 用“｛”将未知数的值联立起来。 敲黑板 代入消元法选取变形方程的原则 （1）选择未知数的系数是1或−1的方程； （2）选择常数项为0的方程； （3）若未知数的系数都不是1或−1，选系数的绝对值较小的方程。 【知识点08】用加减消元法解二元一次方程组 1.加减消元法：对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数互为相反数或相同时，可以通过把两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解。这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）。 使两方程相减（或相加）能消去该未知数。 当某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘。 ②加减 通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 将二元一次方程组转化为一元一次方程。 把两个方程相减（或相加）时，一定要把两个方程等号两边分别相减（或相加）。 ③求解 解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。 求出一个未知数的值。 ④回代 将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另一个未知数的值。 求出另一个未知数的值。 回代时选择系数较简单的方程。 ⑤写解 写出方程组的解。 表示为 的形式。 用“｛”将未知数的值联立起来。 解题通法 用加减消元法求解二元一次方程组的技巧 （1）若两方程中同一个未知数的系数的绝对值相等，则直接加减消元； （2）若同一个未知数的系数的绝对值不相等，则应先选一个或两个方程进行变形，使同一个未知数的系数的绝对值相等; （3）若方程组较复杂，则应先化简整理,再求解。 【题型一】二元一次方程的定义 例1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程． 根据二元一次方程的定义进行判断． 【详解】解：A、该方程含有个未知数，故本选项不合题意； B、该方程中含有1个未知数，并且含有未知数最高次数是，故本选项不合题意； C、该方程分母含未知数，不是整式方程，故本选项不合题意； D、该方程中含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，属于二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了解二元一次方程，将看作已知数表示出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列方程中，哪些是二元一次方程？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）（3）（6）是二元一次方程． 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，逐一进行判断即可得到答案 【详解】解：（1），是二元一次方程，符合题意； （2），是二元二次方程，不符合题意； （3），是二元一次方程，符合题意； （4），是一元二次方程，不符合题意； （5），是三元一次方程，不符合题意； （6），是二元一次方程，符合题意， 所以，（1）（3）（6）是二元一次方程． 【点睛】本题考查了二元一次方程，解题关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型． 【题型二】二元一次方程的解 例2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）属于二元一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并把选项的值代入原方程验证二元一次方程的解． 题目要求从选项中找出满足二元一次方程的解，只需要将每个选项中的数对代入方程左边，看结果是否等于5即可． 【详解】解：A．， ∴是方程的解，故此选项符合题意； B．， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； C．， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：A ． 变式1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知是方程的一组解，则a的值为 ． 【答案】2 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】∵是方程的一组解， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知方程． (1)用关于a的代数式表示b； (2)求当，1时，对应的b值，并由此写出方程对应的两个解． 【答案】(1) (2)当时，；当时，，， 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的定义． （1）先把用含有a的式子表示出来，再把b的系数化成1即可； （2）分别把和代入（1）中所求等式，求出b，从而求出方程对应的两个解． 【详解】（1）解：（1）， ， ； （2）当时，； 当时，， ∴方程对应的两个解为，． 【题型三】判断是否是二元一次方程组 例3．（24-25七年级下·浙江金华·期中）下列各组方程中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义，含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是二元一次方程． 利用二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A. 该方程组是二元一次方程组，选项符合题意； B.方程 ，含未知数的项的次数是2次，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意； C. 该方程组含有三个未知数，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意； D.方程不是整式方程，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意； 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【答案】或3或2或 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】根据二元一次方程组的定义得到或，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值． 【详解】解：∵方程组是二元一次方程组， ∴或， ∴或3或2或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【题型四】判断是否是二元一次方程组的解 例4．（22-23七年级下·浙江温州·月考）下列是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】依次将各选项代入二元一次方程，能使等式成立的即为答案． 【详解】解：A． 当时，，， 是二元一次方程的解，故A正确； B． 当时，，， 不是二元一次方程的解，故B错误； C． 当时，，， 不是二元一次方程的解，故C错误； D． 当时，，， 不是二元一次方程的解，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，是基础考点，掌握方程的解的概念是解题关键． 变式1．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）下列各组x，y的值：①，②，③，④中， 是方程的解； 是方程的解； 是方程组的解．（填序号） 【答案】 ②④/④② ①②③ ② 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、二元一次方程的解 【分析】分别把四组值代入两个方程，如果方程左右两边相等则是方程的解，如果左右两边不相等则不是方程的解． 【详解】解：当时，， ∴不是方程的解，是方程的解； 当时，， ∴是方程的解，是方程的解； 当时，， ∴不是方程的解，是方程的解； 当时，， ∴是方程的解，不是方程的解； 故答案为：②④；①②③；②． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： (1) (2) 【答案】(1)不是 (2)是 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】（1）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． （2）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． 【详解】（1）把代入方程组， 发现不满足， 所以不是原方程组的解； （2）把代入方程组， 发现适合每一方程， 所以是原方程组的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解方程组的解的定义是解题的关键． 【题型五】已知二元一次方程组的解求参数 例5．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若是二元一次方程组的解，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 把代入，解关于的方程组，再求解的值． 【详解】解：∵是二元一次方程组中的解 ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如果方程组的解为，那么被“”遮住的数是 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把代入方程中即可求出的值，继而求出被“”遮住的数． 【详解】解：把代入方程中，得， 把，代入方程中，得， 故答案为：． 变式2．（22-23七年级下·浙江金华·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】运用加减消元法解出，，得出，根据，得出，求出，，进而可求出答案． 【详解】解： ， 得：， 解得， 得：， 解得， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键． 【题型六】代入消元法 例6．（24-25七年级下·浙江温州·月考）用代入法解方程组时，将①代入②得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了代入消元法解方程组，根据代入消元法，把②中的换成即可． 【详解】解：①代入②得，， 即． 故选：C． 变式1．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）由方程组，可得出x与y的关系是 ． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了代入消元法解二元一次方程组，利用了消元的思想消去字母m是解本题的关键．把代入即可消去m得到关于x，y的关系． 【详解】解：， 把代入得，， 整理得， 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将代入求出，再将代入求解即可； （2）将变形为，将代入求出，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得解得 ， 将代入，   得 方程的解为 （2）解：将乘以2得到， 移项得 将代入， 得， 所以， 将代入得 方程的解为 【题型七】加减消元法 例7．（24-25七年级下·浙江温州·期中）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．根据加减消元法逐项计算判断即可． 【详解】解：， A、，得，故此选项符合题意； B、，得，故此选项不符合题意； C、，得，故此选项不符合题意； D、，得，故此选项不符合题意； 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）下面是解方程组的过程导图： 其中，“ ？ ”处为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组． 利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： ， 得， ，得 ， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为 ∴“？”处为． 故答案为：． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）解方程组：． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的方法是关键． 根据题意，①，②，得到未知数x的系数相同，运用加减消元法解得，由此即可求出． 【详解】解：， ①，得③， ②，得④， ④－③，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 故原方程组的解是． 【题型八】二元一次方程组的特殊解法 例8．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 已知方程组的解满足两个方程，先利用第一个方程求出未知数的值，再将解代入各选项验证是否成立． 【详解】解：将解，代入第一个方程， 得：， 解得：， ∴方程组的解为， 将解代入各选项验证： A．，，，不成立，故该选项不符合题意； B．，，，成立，故该选项符合题意； C． ，，，不成立，故该选项不符合题意； D．，，，不成立，故该选项不符合题意； 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．将方程组可化为，然后根据题意即可得出，从而求出、的值． 【详解】解：方程组可化为， 关于、的方程组的解为， 方程组的解是， 解得， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·浙江台州·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便． （1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案； （3）利用换元思想设，，然后解方程组即可得到未知数的值． 【详解】（1）解：（1）设m，n，则原方程组可化为， 解得，， 即， 解得，； （2）解：根据题意得， 解得，； （3）设，，则原方程组可化为， 解得，， ∴， 解得，． 【题型九】构造二元一次方程组求解 例9．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）对x，y定义一种新运算“”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，，则的值是（  ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 得：， 把代入得：， ∴ 则， 故答案为：9． 变式1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如表中的信息满足关于的二元一次方程，则 … … 【答案】 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将表格中的两组数据代入二元一次方程中，得到关于、的二元一次方程组，解方程求出、的值，即可得解． 【详解】解：将，代入二元一次方程中， 得， ，得， 故答案为：． 变式2．现有三个方程：；；，请你在其中任意选两个方程，组成一个方程组，并求解． 【答案】答案不唯一，见解析 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】分别选定方程，利用加减消元法求解即可得到答案； 【详解】解：：由①、②组成方程组， 解：①2得④， ②④得， 将①得， ∴， ∴该方程组的解为； 由②、③组成方程组：， 得，， 解得：， 把代入②得， ， 解得：， ∴该方程组的解为：； 由①、③组成方程组：， 得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴该方程组的解为：； 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． 【题型十】已知二元一次方程组的解的情况求参数 例10．（2025七年级下·浙江·专题练习）若关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握通过方程相加构造出与已知条件相关的关系式是解题的关键．通过将方程组中的两个方程相加，得到关于与的关系式，再结合求解． 【详解】解： 得， ， ∵ ∴ ∴ 故选： 变式1．当 时，方程组的解、的值互为相反数． 【答案】3 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是利用互为相反数得到，再代入方程组求解． 因为的值互为相反数，所以．将代入方程组计算即可． 【详解】解：将代入方程组， 得到：， 解得． 故答案为：3． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 【题型十一】二元一次方程组的错解复原问题 例11．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得，则，，正确的值应为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查解二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组中的错解问题的方法是解题的关键，甲的正确解代入原方程组得到关于的方程，乙的解因抄错，仅满足第一个方程，由此联立方程求解． 【详解】解：将代入原方程组， 得， 得， 将代入， 得， 化简为， 则， 解得：， 综上，，，， 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙两个小马虎，在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，则原方程组正确的解是 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，把甲的解代入第二个方程、乙的解代入第一个方程求出的值，确定出方程组，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 把代入原方程得， 解得： ． 故答案为：． 【题型十二】方程组相同解问题 例12．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足方程，则k的值为（     ） A．3 B．3.5 C．4.5 D．5 【答案】C 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】本题考查的是同解方程，将两个方程相加，可得，把代入即可得到答案. 【详解】解：， ①②得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 故选：C 变式1．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）关于x、y的方程组与有相同的解，则的值是 ． 【答案】0 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法．联立不含a与b的方程，组成方程组，求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：联立得：， 得：，解得：， 把代入②得：，解得：， ∴方程组的解为， 把代入得：， 即， 得：，解得：， 把代入④得：， ∴， 故答案为：0． 变式2．（24-25七年级下·浙江丽水·月考）若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组： （1）利用加减法求解比较简便； （2）把的值代入方程组得关于的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：， ①+②，得 把代入②，得 原方程组的解为 （2）解：把代入方程组， 得， 把代入，得， 把代入，得． 一、单选题 1．下列各方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据含有两个未知数且未知数的次数都是1的整式方程是二元一次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程的次数是2，故此选项不符合题意； B．该方程是二元一次方程，故此选项符合题意； C．该方程是分式方程，故此选项不符合题意； D．该方程的次数是2，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 3．在解二元一次方程组时，用消去未知数x后，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意进行运算即可． 【详解】解：得， 整理可得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了加减消元法，掌握加减消元法的步骤是解题的关键． 4．把一根长16米的钢管截成2米长或3米长规格的钢管，在不造成浪费的情况下，共有几种截法（    ）． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系，得出a，b的值是解本题的关键，注意a，b只能取正整数． 截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长16米时，不造成浪费，设截成2米长的钢管a根，3米长的b根，由题意得到关于a与b的方程，求出方程的正整数解即可得到结果． 【详解】解：设2米长的a根，3米长的b根， 根据题意，得． ∵a、b均为非负整数， ∴或或， ∴共有3种可能， 故选：B． 5．下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法方程组的步骤，其中开始出现错误的是（　　） A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 【答案】C 【分析】根据解二元一次方程组的方法—代入消元法的步骤，即可判定． 【详解】解： 由得：， 把代入得：， 去分母得：， 解得：， 则开始出现错误的是步骤三， 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握和运用解二元一次方程组的方法是解题的关键． 6．若方程的两个解是，，则，的值为(　　) A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】把，代入方程得出方程组，再求出方程组的解即可． 【详解】解：把，代入方程得 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能根据二元一次方程的解得出关于、的方程组是解此题的关键． 7．已知关于x，y的二元一次方程，其取值如下表，则p的值为（    ） x m y n t 5 p A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】将表格中的数据带入方程列出关系式，计算即可求出p的值．． 【详解】根据题意得， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查了代入法解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组准确代入计算是解题关键． 8．方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法解二元一次方程组是解题的关键．根据换元法计算即可． 【详解】解：设，则，， ， 解得：， ∴，， ∴方程组的解为：． 故选：D． 9．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 10．已知关于，的方程组，下列结论： ①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，不可能互为相反数； ③，都为非负整数的解有对；④若，则，其中不正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可判断；②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示、，再根据互为相反数的两个数相加为即可求解；③根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论；④根据整体代入的方法即可求解． 【详解】解：将代入原方程组，得， 解得：． 将代入方程的左右两边， 得：左边，右边，即左边右边， ∴当时，方程组的解不是方程的解，故①错误，符合题意； 解原方程组，得， ∴， ∴无论取何值，，的值不可能是互为相反数，故②正确，不符合题意； ∵， ∴、为非负整数的解有，，，， ∴，都为为非负整数的解有对，故③正确，不符合题意； ∵，， ∴， 解得：，故④错误，符合题意． 综上所述：②③正确，①④错误． 故选B． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组．解题的关键是掌握二元一次方程的解和二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组的方法和步骤． 二、填空题 11．若是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解．将代入方程得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．若是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 2 【分析】根据二元一次方程的概念即可求出m和n的值． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴且， 解得且， 故答案为：，2． 【点睛】本题考查了二元一次方程的概念，属于基础题，计算过程中细心即可． 13．若是方程组的解，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解． 将代入得到，进而得到，即可求出的值． 【详解】解：将代入得， 即 ∴， 故答案为：． 14．已知，，则 ． 【答案】 【分析】用将表示出来，代入式子，求解即可． 【详解】解：联立，可得 ，即，解得 将代入可得 ， 故答案为： 【点睛】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是正确用将表示出来，并代入代数式求解． 15．已知关于a，b，c的方程组，则＝ ． 【答案】9 【解析】略 16．用加减消元法解方程组时，要使的系数相等，则可将该方程组转化为 ；要使的系数为相反数，则可将该方程组转化为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，两边同时即可得到①，两边同时即可得到② 【详解】解：中， 两边同时即可得到 ； 两边同时即可得到 ； 故答案为：①② ． 17．关于的方程组有无数组解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，得，然后根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可．掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 18．解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握代入消元法和加减消元法的运用，根据方程组的特点选择合适的消元方法求解是解题的关键． （1）该方程组中第一个方程可直接用x表示y，适合采用代入消元法，将其代入第二个方程，消去后求解，再回代求； （2）第一个方程含有分母，先去分母化为整式方程，然后与第二个方程结合，通过加减消元法消去其中一个未知数（如），进而求解； （3）方程组中和重复出现，先展开化简，再利用加减消元法求解． 【详解】（1）解： 把①代入②，得， 解得． 把代入①，得， ∴原方程组的解为 （2）解：整理方程组，得 ②+①，得，解得． ②-①，得，解得， ∴原方程组的解为 （3）解：整理方程组，得 ②①，得，解得． 把代入①，得，解得， ∴原方程组的解为 19．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组的错解复原问题，根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此求出a、b的值，再利用加减消元法解原方程组即可得到答案． 【详解】解：甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得， ，． ，． ∴原方程组为 得 ， 解得， 把代入得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 20．已知是二元一次方程的解． (1)求的值； (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答，如果不唯一，请再写出另一个二元一次方程； (3)你在（2）中写的二元一次方程只有这一个解吗？如果是，直接回答：如果不是，请再写出它的另一个解． 【答案】(1)4； (2)不唯一，例如； (3)不是，． 【分析】（1）把方程的解代入方程得到，即可求出的值； （2）二元一次方程的解有无数个，不唯一，根据二元一次方程的定义写出符合题意的二元一次方程即可； （3）二元一次方程的解有无数个，根据二元一次方程写出其他解即可； 【详解】（1）解：是二元一次方程的解， ， ； （2）解：不唯一，例如； （3）解：不是，例如． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 21．当a，b都是实数，且满足，就称点为“完美点”． (1)判断点是否为“完美点”，并说明理由． (2)已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点是“完美点”，请说明理由． 【答案】(1)A（2，3）不是完美点．理由见解析 (2)m=．理由见解析 【分析】（1）根据完美点的定义判定即可； （2）用m表示a、b，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：A（2，3）不是完美点．理由如下： 令， 解得 ， ∵， ∴A（2，3）不是完美点． （2）解：解关于x，y的方程组， 解得， 解关于a，b的方程组， 解得， ∵， ∴， ∴m=， ∴当m=时，点B（x，y）是完美点． 【点睛】本题考查二元一次方程组，点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题． 22．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由，得 ，即 ．③ ，得 ．④ ，得 ， 从而可得 ． 所以原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，采用代入消元法或加减消元法，结合题干给出的方法求解即可． 【详解】解法一： ，得 ，即 ．③ ，得 ． 把代入，得 ． 所以原方程组的解为 解法二： ，得 ，即 ， 所以．③ 把代入，得 ， 解得 ． 把代入，得 ． 所以原方程组的解为 23．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键． （1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3）∵，即总有一个解， ∴方程的解与m无关， ∴，， 解得：，． 则方程的公共解为． 24．北京冬奥会，给世界一个温暖的拥抱；北京冬奥会，让世界见证了中国科技和中国智慧；北京冬奥会，让世界记住了一个冬奥明星“冰墩墩”某商场为了跟上冬奥的脚步，计划用元从厂家购进个冰墩墩产品，已知该厂家生产冰墩墩钥匙扣、冰墩墩手办、冰墩墩挎包三种不同的冰墩墩产品，设冰墩墩手办、冰墩墩挎包应各买入，个，其中每个的价格、销售获利如表： 冰墩墩钥匙扣 冰墩墩手办 冰墩墩挎包 价格元个 销售获利元个 (1)购买冰墩墩钥匙扣______个用含，的代数式表示； (2)若商场同时购进三种不同的冰墩墩产品每种产品至少有一个，恰好用了元，则商场有哪几种购进方案？ (3)在第题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？ 【答案】(1)； (2)商场共有种购进方案，方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个；方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个；方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个； (3)应选择购进方案，此时获利为元． 【分析】（1）利用购买冰墩墩钥匙扣的数量购买冰墩墩手办的数量购买冰墩墩挎包的数量，即可用含，的代数式表示出购买冰墩墩钥匙扣的数量； （2）利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出各购进方案； （3）利用销售总利润每个的销售利润销售数量进货数量，可分别求出选择各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：∵购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个， 购买冰墩墩钥匙扣个． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或或， 商场共有种购进方案， 方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个； 方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个； 方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个． （3）解：选择方案可获利元； 选择方案可获利元； 选择方案可获利元． ， 应选择购进方案，此时获利为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含，的代数式表示出购买冰墩墩钥匙扣的数量；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出选择各方案可获得的总利润． 25．【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与叫作“对称”二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是___________； （2）若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，则___________．___________． 【探究】 （3）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①的解为___________； ②的解为___________， ③的解为___________； （4）根据你的发现，直接写出方程组的解为___________； 【拓展】 （5）若关于、的方程组的解是，那么关于、的方程组的解为___________ 【答案】（1）； （2）；； （3）①；②；③； （4）； （5）． 【分析】（1）根据题中的对称二元一次方程定义即可得解； （2）根据题中的对称二元一次方程定义得出后即可得解； （3）①根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； ②根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； ③根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； （4）由（3）总结出规律：关于、的“对称二元一次方程组”的解为，从而可以判断得解； （5）根据题意，方程可以化为，结合关于、的方程组的解是，即可得解． 【详解】解：（1）根据题意得，方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：． （2）为“对称二元一次方程组”， ， 解得． 故答案为：；． （3）①， 两式相加得，， 则， ，， 即的解为； ②，同理可得； ③，同理可得； 故答案为：①；②；③． （4）由（3）得，关于、的“对称二元一次方程组”的解为， 方程组的解为． 故答案为：． （5）， ， 又关于、的方程组的解是， ， 即， 方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是解三元一次方程组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解题关键是理解题意． 1 学科网（北京）股份有限公司 $