第12讲 用二元一次方程组解决问题（知识详解+14典例分析+习题巩固）2025-2026学年（苏科版）七年级数学下册同步讲义与测试

第12讲 用二元一次方程组解决问题（知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点】列二元一次方程组解应用题 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审：仔细审题，弄清题目中的已知量与未知量. （2）找：找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系. （3）设：设出两个未知数，用未知数或含未知数的代数式表示出其他量. （4）列：根据找出的两个等量关系，列出二元一次方程组. （5）解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值. （6）验：检验所求得的结果是否符合题意及实际意义. （7）答：写出答案. 【题型一】根据实际问题列二元一次方程组 例1．（2026七年级下·江苏·专题练习）《算法统宗》中有这样的问题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托约5尺）．”大意是：现有一根竿子和一条绳子，绳子比竿子长5尺，如果将绳子对折后去量竿，它比竿子短5尺．求竿子长几尺？设竿子x尺，绳长y尺，根据题意，可列方程组（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）新学期七年级1班安排30名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，若一张桌子和一把椅子配套，求搬椅子和桌子学生各多少人刚好配套？如果设搬椅子学生人，搬桌子学生人，则可列出方程组______． 变式2．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）某头部直播电商公司的“潮牌联名项目组”下设两个团队：甲团队原有50人，乙团队原有60人，因要紧急筹备一场“超级品牌日”直播，公司从外部调来了40名优秀实习生，全部分配到甲、乙两个团队．分配后甲团队的总人数比乙团队的总人数多10人．设分配到甲团队的人数为x人，分配到乙团队的人数为y人． (1)完成下列表格填空： 人数/团队 甲 乙 原来人数/人 50 60 分配人数/人 分配后的人数/人 根据题中的数量关系有：________． (2)求分配到甲团队、乙团队的人数各有多少人？ 【题型二】根据几何图形列二元一次方程组 例2．如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为，则小长方形的周长为（   ）    A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·江苏南通·月考）如图，炳同学将边长为的两个正方形靠边各放置两个边长为的长方形，然后分别以为边长构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得的值是_______．    变式2．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【题型三】方案问题(二元一次方程组的应用) 例3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲，乙，丙三种图书．甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 变式1．（23-24七年级下·江苏南通·期中）为表彰8名优秀学生， 某班决定购买A，B两种奖品共8件．若购买A 奖品5件、B 奖品3件，则还差30元：若购买A奖品3件，B 奖品5件，则剩余30元． 若学校实际购买了A奖品1件、B奖品7件， 则剩余___元． 变式2．（24-25七年级下·江苏常州·月考）学校捐资购买了一批120吨的物资打算支援山区，现有甲、乙两种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 汽车运费（元/辆） 400 500 若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 【题型四】行程问题(二元一次方程组的应用) 例4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”李老师查看解答时发现答案中的方程组中有污损：则答案中另一个方程应为（   ） A． B． C． D． 变式1．（2024七年级下·江苏·专题练习）某校组织学生乘汽车去自然保护区野营，汽车先以的速度在平路上行驶，后又以的速度爬坡到达目的地，共用了；原路返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度在平路上行驶，共用了．则学校距自然保护区 ________． 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）两地相距千米．小丽、小明两人骑行，小丽从地出发到地，小明从地出发到地，两人同时出发，相向而行，小时后相遇，再骑行小时，小丽剩下的路程为小明剩下路程的倍，小丽、小明骑行的平均速度分别是多少？ 【题型五】工程问题(二元一次方程组的应用) 例5．某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 变式1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 变式2．（2023七年级下·江苏·专题练习）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示　 　，n表示　 　； 得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个解题思路写出完整的解答过程． 【题型六】数字问题(二元一次方程组的应用) 例6．（23-24七年级·江苏宿迁·期末）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将9个数分别填入如表所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列、同一斜对角线上的3个数相加，和都相等，则图中的值是（    ） 4 6 A．0 B．3 C．5 D．7 变式1．（23-24七年级下·江苏淮安·月考）已知一个两位数的数字之和为10，十位数字与个位数字交换后，所得的新数比原数小36，则原来的两位数是______． 变式2．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“勾股和数”． 例如：，，是“勾股和数”； 又如：，，，不是“勾股和数”． (1)判断、是否是“勾股和数”，并说明理由； (2)请你写出一个此题中没有出现过的“勾股和数”； (3)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当是整数，且时，求出所有满足条件的． 【题型七】年龄问题(二元一次方程组的应用) 例7．（23-24七年级下·江苏南京·期末）小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 变式1．（2024七年级下·江苏宿迁·期末）一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为__________岁． 变式2．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【题型八】分配问题(二元一次方程组的应用) 例8．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）用图中的长方形和正方形不锈钢板材可以焊接成图所示的竖式和横式两种无盖的不锈钢盒子，工厂为了防止领取的板材不能配套焊接，规定每次领取的不锈钢板材必须恰好用完（   ）． 下表是车间四次领取不锈钢板材的记录：    日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 第二次 第三次 第四次 若材料管理员在核查时发现其中有一次记录出错了，则记录出错的是（   ） A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次 变式1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组____________． 变式2．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗？ 【题型九】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 例9．（22-23七年级·江苏扬州·期末）某商店换季准备打折出售，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利10元，则该商品的成本为（        ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 变式1．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．则买“哪吒”和“敖丙”各一个手办共__________元． 变式2．（2026七年级下·江苏·专题练习）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价． 【题型十】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 例10．如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 变式1．（2024七年级下·江苏扬州·期末）某班同学参加运土劳动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每一人挑两筐．已知全班共用箩筐56只，扁担36根．设男生人，女生人，则可得方程组______． 变式2．（23-24七年级下·江苏淮安·月考）连水某校开展读书月活动，现把一堆书分给学生，如果每名学生分4本，那么多4本；如果每名学生分5本，那么最后一名学生只有3本．问：有多少名学生？有多少本书？ 【题型十一】几何问题(二元一次方程组的应用) 例11．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）萌萌用8个相同的小长方形拼成图1那样的大长方形，小红用它们七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）一个大正方形和四个一模一样的小正方形按如图、两种方式摆放，则图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是______． 变式2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，由五个形状大小一样的小长方形木板拼成一个大的长方形．已知大长方形的周长为16． (1)请求出小长方形的周长； (2)在原来大长方形的基础上，再拼加三个小长方形木板（与原先五个小长方形木板形状大小相同）成为一个新的长方形，求所有可能拼成的大长方形的周长． 【题型十二】图表信息题(二元一次方程组的应用) 例12．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（   ） A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 变式1．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 下表是工作人员四次领取纸板数的记录： 日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 356 544 第二次 422 860 第三次 500 1000 第四次 988 2022 仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．则记录有误的是第______次． 变式2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【题型十三】古代问题(二元一次方程组的应用) 例13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，竹竿y根，根据题意可列方程为________． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）列二元一次方程组解下面问题 鸡兔同笼，鸡和兔一共有56条腿，如果把鸡和兔的数量互换，一共有64条腿，那么原来有几只鸡，几只兔呢？ 【题型十四】其他问题(二元一次方程组的应用) 例14．（22-23七年级下·江苏泰州·月考）七年级选集击剑课的学生共有20人，某天一女生因事请假，当天的女生人数恰为男生人数的一半，若设该班女生人数为，男生人数为，则下列方程组中，正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·江苏扬州·月考）已知：，，，是从，，这三个数中取值的一列数，若，，则，，，中为2的个数是________． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）邮购每册1.8元的某种杂志，邮寄费和优惠率如表． 邮购册数 1~99 100以上（含100） 邮寄费用 书价的 免费邮寄 书价优惠 不优惠 优惠 两次邮购这种杂志共200册，总计金额342元．两次各邮购杂志多少册？ 一、单选题 1．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 2．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等；得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则（    ） 8 2 A． B．10 C．5 D．0 3．用图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中的竖式和横式两种无盖纸盒．现有张正方形纸板和张长方形纸板，若做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 4．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 5．有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 6．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 7．甲、乙两个工程队负责修建一条长为1000米的公路．甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 8．甲、乙两人在环形跑道上匀速跑步，跑道一圈长米．若两人从同一地点同时出发，背向而行，经过分钟相遇；若两人从同一地点同时出发，同向而行，经过分钟甲第一次追上乙．则甲的速度为（   ）米/分钟 A． B． C． D． 9．某村为推广农作物大米品牌，计划将千克的大米分装成千克和千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（   ）． A．种 B．种 C．种 D．种 10．如图是用4个相同的长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1，设长方形的两邻边长分别为x，y，且x与y的比是，下列关系式错误的是（   ） A． B． C． D．， 二、填空题 11．甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 12．已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是________米/秒，火车的长度为________米． 13．某人只带2元和5元两种货币若干张，他要买一件43元的商品，而商店不给找钱，要他恰好付43元，他的付款方式共有_______种． 14．泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．第一次购进的A，B两种茶每盒的价格分别为___． 15．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的有_________个． 甲：设客房有x间，则； 乙：设客人有y人，则； 丙：设客房有x间，客人有y人，则． 16．将边长为9和x的长方形作如图1分割，拼成一个正方形，则图1中的________，将图2中的长方形分割成6块，其中①②③④的部分是四个相同的长方形，再拼成一个正方形，若，则________．（拼接处即不重叠也无空隙） 三、解答题 17．为进一步传承和发扬中国书法文化，学校准备新增书法社团课程．若购进甲种毛笔80支，乙种毛笔70支，共需要830元，若购进甲种毛笔60支，乙种毛笔50支，共需要610元．求购进甲、乙两种毛笔每支各需多少元？ 18．2024年元旦，驿城区某校勤工俭学小组为筹集养老院春节文艺汇演费用，他们用274元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示： 品名 西红柿 豆角 批发价（单位：元/） 零售价（单位：元/） 9 则他们当天卖完这些西红柿和豆角能赚到多少钱可用于汇演费用？ 19．王婳同学先后两次从商店购进同一种矿泉水，该矿泉水分大箱和小箱装，第一次购进2大箱、3小箱，共装76瓶；一周后又购进1大箱、1小箱后，这时共装108瓶，王婳估计大箱每箱约装20瓶，小箱每箱约装11瓶，你能通过计算检验她的估计吗？ 20．列方程组解应用题 根据一次市场调查，了解到某种消毒液的大瓶装（1500g）和小瓶装（500g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为4：3，某工厂每天生产这种消毒液30t（1t＝1 000 000 g），这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ 21．小明和小丽两人同时到一家水果店买水果．小明买了1kg苹果和2kg梨，共花了26元；小丽买了2kg苹果和1kg梨，共花了28元．苹果和梨的价格各为多少？ 根据题意，小明列出方程组： 而小丽列出的是： 交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的．他们列的方程组正确吗？你认为他们产生分歧的原因是什么？ 22．传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如左图．人们称之为洛书．如果将龟背上的数字翻译出来，如右图． 一般地，在的方阵中填入9个不重复的数，使每行，每列，每条对角线的数字和都相等，这样的方阵叫作三阶幻方．这个数字和叫作幻和，我们用字母来表示．最中间的数叫作中心数，我们用字母来表示． (1)如图1，三阶幻方中填写了一些数字，则________，________． (2)如图2，三阶幻方中填写了一些数字和字母，则________，________． (3)如图3，三阶幻方中填入，，，，，，，，中，用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 23．某物流公司现有114吨货物，计划租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是： A型车（满载） B型车（满载） 运货总量 3辆 2辆 38吨 1辆 3辆 36吨 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物．请你帮该物流公司设计租车方案： (3)若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次．公司预算支出12000元．经理让会计小李和小王核算一下具体运费．请你帮他们算算，最少租车费是元，此时租车方案是(直接写出答案) 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 用二元一次方程组解决问题（知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点】列二元一次方程组解应用题 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审：仔细审题，弄清题目中的已知量与未知量. （2）找：找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系. （3）设：设出两个未知数，用未知数或含未知数的代数式表示出其他量. （4）列：根据找出的两个等量关系，列出二元一次方程组. （5）解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值. （6）验：检验所求得的结果是否符合题意及实际意义. （7）答：写出答案. 【题型一】根据实际问题列二元一次方程组 例1．（2026七年级下·江苏·专题练习）《算法统宗》中有这样的问题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托约5尺）．”大意是：现有一根竿子和一条绳子，绳子比竿子长5尺，如果将绳子对折后去量竿，它比竿子短5尺．求竿子长几尺？设竿子x尺，绳长y尺，根据题意，可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据“绳子比竿子长尺”、“将绳子对折后去量竿，它比竿子短5尺”分别列方程，即可得到方程组． 【详解】解：设竿子长尺，绳长尺， ∵绳子比竿子长尺， ∴， ∵对折绳子后量竿，对折绳长比竿子短尺，对折后绳长为， ∴， ∴． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）新学期七年级1班安排30名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，若一张桌子和一把椅子配套，求搬椅子和桌子学生各多少人刚好配套？如果设搬椅子学生人，搬桌子学生人，则可列出方程组______． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 设搬椅子学生x人，搬桌子学生y人，根据题意列出方程组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）某头部直播电商公司的“潮牌联名项目组”下设两个团队：甲团队原有50人，乙团队原有60人，因要紧急筹备一场“超级品牌日”直播，公司从外部调来了40名优秀实习生，全部分配到甲、乙两个团队．分配后甲团队的总人数比乙团队的总人数多10人．设分配到甲团队的人数为x人，分配到乙团队的人数为y人． (1)完成下列表格填空： 人数/团队 甲 乙 原来人数/人 50 60 分配人数/人 分配后的人数/人 根据题中的数量关系有：________． (2)求分配到甲团队、乙团队的人数各有多少人？ 【答案】(1)；； (2)新分配到甲团队的有人，新分配到乙团队的有人． 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）找出等量关系，列出二元一次方程组，并进行求解即可． 【详解】（1）解：完成表格如下： 人数/团队 甲 乙 原来人数/人 50 60 分配人数/人 分配后的人数/人 ∵该公司新增40名实习生分配到甲、乙两个团队， ∴； （2）解：根据题意得，， 解方程得 答：新分配到甲团队的有人，新分配到乙团队的有人． 【题型二】根据几何图形列二元一次方程组 例2．如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为，则小长方形的周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽之间的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，利用大长方形的周长列出方程，求出小长方形的长与宽，进而求解． 设小长方形的长为，宽为，结合图形得到等式：（1）；（2），联立方程组并解答． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意知，， 解①，得， 将代入②中， 解得， 即， 所以小长方形的周长为：． 故答案为：D． 变式1．（22-23七年级下·江苏南通·月考）如图，炳同学将边长为的两个正方形靠边各放置两个边长为的长方形，然后分别以为边长构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得的值是_______．    【答案】75 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】由正方形的性质可得，再消去，，建立一元一次方程即可. 【详解】解：由题意可得：， 整理可得：， ∴， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，熟练的利用图形性质建立方程组是解本题的关键. 变式2．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【答案】 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组、代入消元法 【分析】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 【题型三】方案问题(二元一次方程组的应用) 例3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲，乙，丙三种图书．甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】C 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出此时有2种购买方案；当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出此时有2种购买方案．综上，即可得出结论． 【详解】解：当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书， 根据题意得：， ， 又均为正整数， 或， 此时有2种方案； 当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书， 根据题意得：， ， 又均为正整数， 或， 此时有2种方案； 综上所述，此次采购的方案有（种）． 故选：C． 变式1．（23-24七年级下·江苏南通·期中）为表彰8名优秀学生， 某班决定购买A，B两种奖品共8件．若购买A 奖品5件、B 奖品3件，则还差30元：若购买A奖品3件，B 奖品5件，则剩余30元． 若学校实际购买了A奖品1件、B奖品7件， 则剩余___元． 【答案】90 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程方程组是解题的关键； 设购买A奖品的单价为x元、B奖品的单价为y元，总钱数为z元，根据题意可出方程，分别两方程相加得出和相减，则： 即可解决． 【详解】解：设购买A奖品的单价为x元、B奖品的单价为y元，总钱数为z元， ， 得：， ，即A奖品的单价比B奖品的单价贵30元， 得：， ，即总钱数可以购买4个A奖品和4个B奖品， ； 买了A奖品1件、B奖品7件， 则剩余90元， 故答案为：90． 变式2．（24-25七年级下·江苏常州·月考）学校捐资购买了一批120吨的物资打算支援山区，现有甲、乙两种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 汽车运费（元/辆） 400 500 若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 【答案】需甲种车型8辆，乙种车型10辆 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设需甲种车型x辆，乙种车型y辆，根据“120吨物资都用甲、乙两种车型来运送，且需运费8200元”，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设需甲种车型x辆，乙种车型y辆， 根据题意得：， 解得：， 答：需甲种车型8辆，乙种车型10辆． 【题型四】行程问题(二元一次方程组的应用) 例4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”李老师查看解答时发现答案中的方程组中有污损：则答案中另一个方程应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了列二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设小明上山时间为小时，下山时间为小时，根据路程相等得，即；总时间方面，去程平路时间加上上山时间共3.5小时，返程平路时间加下山时间共2小时，两者相减可得另一方程． 【详解】解：上山路程为，下山路程为，平路的路程为，因原路返回，路程相等， 故，即； 去程总时间为至，共3.5小时， 即平路时间加上上山时间，得， 返程总时间为至，共2小时， 即平路时间加上下山时间，得， ∴减去，得， 即， 故选：D． 变式1．（2024七年级下·江苏·专题练习）某校组织学生乘汽车去自然保护区野营，汽车先以的速度在平路上行驶，后又以的速度爬坡到达目的地，共用了；原路返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度在平路上行驶，共用了．则学校距自然保护区 ________． 【答案】330 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键． 设从学校到自然保护区平路长，坡路长，根据时间路程速度，结合“先以速度走平路，后又以的速度爬坡，共用了；返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程，再代入中即可求出结论． 【详解】解：设从学校到自然保护区平路长，坡路长，依题意得： ，     解得：， ∴． 所以从学校到自然保护区共， 故答案为：330． 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）两地相距千米．小丽、小明两人骑行，小丽从地出发到地，小明从地出发到地，两人同时出发，相向而行，小时后相遇，再骑行小时，小丽剩下的路程为小明剩下路程的倍，小丽、小明骑行的平均速度分别是多少？ 【答案】小丽的速度为，小明的速度为 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设小丽的速度为，小明的速度为，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设小丽的速度为，小明的速度为， ∵两地相距千米， ∴， 再骑行小时，小丽剩下的路程为，即，小明剩下路程为，即， ∴，即， ∴， 解得，， ∴小丽的速度为，小明的速度为． 【题型五】工程问题(二元一次方程组的应用) 例5．某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、，根据题意列出方程组，求解即可得解，理解题意，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、， 由题意可得：， 解得：， 故水管①、②、③为进水管，水管④、⑤为出水管， ∵， ∴最快注满水池的水管编号为③， 故选：C． 变式1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 【答案】(1)甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； (2)甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 【知识点】二元一次方程的解、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据“若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹”列出方程组，求解即可； （2）设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时，根据“甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹， 根据题意得， 解得， 答：甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； （2）解：设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时， 根据题意得 ，且， 解得，，，， 答：甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 变式2．（2023七年级下·江苏·专题练习）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示　 　，n表示　 　； 得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个解题思路写出完整的解答过程． 【答案】(1)180，，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数 (2)甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据所列式子可知，小华同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米；小华同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后，m表示甲工程队整治河道用的天数，n表示乙工程队整治河道用的天数，据此补全方程组即可； （2）选小明同学所列方程组解答即可． 【详解】（1）解：小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意得， 小华同学：设整治任务完成后，m表示甲工程队整治河道用的天数，n表示乙工程队整治河道用时的天数； 得， 故答案为：180，，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数． （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 由题意得：， ②整理得：3x+2y=480③， ③-①×2得：x=120， 把x=120代入①得：y=60， 方程组的解为， 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【题型六】数字问题(二元一次方程组的应用) 例6．（23-24七年级·江苏宿迁·期末）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将9个数分别填入如表所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列、同一斜对角线上的3个数相加，和都相等，则图中的值是（    ） 4 6 A．0 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．理解题意，列出等式是解答本题的关键．设其中3个方框中的数分别为a，b，c．根据题意即可列出方程组，再整理，即可解出x的值． 【详解】解：如下表，设其中3个方框中的数分别为a，b，c． 根据题意得， 解得， ∴， ， ， 故选：C a 4 c b 6 变式1．（23-24七年级下·江苏淮安·月考）已知一个两位数的数字之和为10，十位数字与个位数字交换后，所得的新数比原数小36，则原来的两位数是______． 【答案】 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，原两位数的个位数字为，十位数字为，根据题意列出方程组，然后求解即可，解题的关键是熟练掌握两位数与各数位上的数字之间的关系． 【详解】设原两位数的个位数字为，十位数字为，则 ： ， 解得：， ∴原来的两位数是． 故答案为：． 变式2．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“勾股和数”． 例如：，，是“勾股和数”； 又如：，，，不是“勾股和数”． (1)判断、是否是“勾股和数”，并说明理由； (2)请你写出一个此题中没有出现过的“勾股和数”； (3)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当是整数，且时，求出所有满足条件的． 【答案】(1)不是“勾股和数”，是“勾股和数”；理由见解析 (2)、、等（答案不唯一） (3)或 【知识点】数字类规律探索、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据“勾股和数”的定义直接判断即可； （2）根据定义写出符合题意的“勾股和数”即可； （3）由题意可知，且，由是整数可得，再由的值即可得出的值． 【详解】（1）解：不是“勾股和数”，是“勾股和数”； 理由：，，不是“勾股和数”； ，是“勾股和数”； （2）如：、、， ，， 此题中没有出现过的“勾股和数”有、、（答案不唯一） （3）为“勾股和数”， ， ， 为整数， ， ， ， ， ， ，解得，此时， ，解得，此时； 综上，的值为或． 【点睛】本题以新定义为背景考查了数字规律的探索，二元一次方程组的应用，仔细审题理解“勾股和数”的定义并运用是解答本题的关键． 【题型七】年龄问题(二元一次方程组的应用) 例7．（23-24七年级下·江苏南京·期末）小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 【答案】B 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了，列方程组求解即可． 【详解】解：设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故叔叔现在的年龄是28岁，小君现在的年龄是16岁． 故选：B． 变式1．（2024七年级下·江苏宿迁·期末）一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为__________岁． 【答案】42 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】由题意得：弟弟今年的年龄为5岁，姐姐今年的年龄为13岁，设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是100岁，父亲比母亲大2岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上100-65=35（岁），说明十年前弟弟没出生， 则弟弟的年龄为10-（40-35）=5（岁），姐姐的年龄为5+8=13（岁）， 设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即父亲今年的年龄为42岁， 故答案为：42． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 变式2．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 【题型八】分配问题(二元一次方程组的应用) 例8．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）用图中的长方形和正方形不锈钢板材可以焊接成图所示的竖式和横式两种无盖的不锈钢盒子，工厂为了防止领取的板材不能配套焊接，规定每次领取的不锈钢板材必须恰好用完（   ）． 下表是车间四次领取不锈钢板材的记录：    日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 第二次 第三次 第四次 若材料管理员在核查时发现其中有一次记录出错了，则记录出错的是（   ） A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次 【答案】D 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设可以做成个竖式无盖纸盒，个横式无盖纸盒，根据四次领取正方形及长方形纸板的数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再结合，为正整数，即可得出结论． 【详解】设可以做成个竖式无盖的不锈钢盒子，个横式式无盖的不锈钢盒子， 第一次：，解得：，数据无误； 第二次：，解得：，数据无误； 第三次：，解得：，数据无误； 第四次：，解得：，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 变式1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组____________． 【答案】 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 变式2．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗？ 【答案】每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据2辆A型冷链运输与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； 【详解】解：设每辆A型车的每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗， 由题意可得，，解得， 答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 【题型九】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 例9．（22-23七年级·江苏扬州·期末）某商店换季准备打折出售，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利10元，则该商品的成本为（        ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 【答案】C 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设该商品的原售价为x元，根据成本不变列出方程，求出方程的解，然后再由打折即可得到结果． 【详解】解：设该商品的原售价为x元， 根据题意得：， 解得：， 则该商品的原售价为300元． 该商品的成本为：， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键． 变式1．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．则买“哪吒”和“敖丙”各一个手办共__________元． 【答案】220 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 根据“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元以及购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元，列出二元一次方程组，再解出的值，即可作答． 【详解】解：设“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别为元，元， ∵“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元， 即： ∵ 购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元， ∴， 将以上两个方程联立，得到方程组： ． 得， ∴“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别为元，元． 则买“哪吒”“敖丙”各一个手办共（元）， 故答案为：220． 变式2．（2026七年级下·江苏·专题练习）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价． 【答案】篮球的单价为60元，足球的单价为50元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，任取两个条件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选①②； 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； 选①③：根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； 选②③：根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元． 【题型十】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 例10．如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的运用，设黑色的有x块，白色的有y块，根据数量关系列二元一次方程组求解即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：设黑色的有块，白色的有块， ∴， 解得，， ∴白色皮块的块数为， 故选：B ． 变式1．（2024七年级下·江苏扬州·期末）某班同学参加运土劳动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每一人挑两筐．已知全班共用箩筐56只，扁担36根．设男生人，女生人，则可得方程组______． 【答案】 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据等量关系：①全班共用箩筐56只；②全班共用扁担36根，列方程组求解． 【详解】解：设男生，女生各有x人、y人． 根据题意，得 故答案为： 【点睛】此题中关键要正确理解：每个男生需要1条扁担和2个箩筐，每2个女生需要1条扁担和1个箩筐． 变式2．（23-24七年级下·江苏淮安·月考）连水某校开展读书月活动，现把一堆书分给学生，如果每名学生分4本，那么多4本；如果每名学生分5本，那么最后一名学生只有3本．问：有多少名学生？有多少本书？ 【答案】一共有6名学生，28本书 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据该班人数表示出图书数量得出方程组是解题关键．可设有 x 名学生，y本书，根据总本数相等，每名学生分4本，那么多4本；如果每名学生分5本，那么最后一名学生只有3本，可列出方程组，求解即可． 【详解】解：设一共有x名学生，y本书， 依题意得： 解得 答：一共有6名学生，28本书． 【题型十一】几何问题(二元一次方程组的应用) 例11．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）萌萌用8个相同的小长方形拼成图1那样的大长方形，小红用它们七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每个小长方形的长为，宽为，根据拼图，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ， 则每个小长方形的面积为． 故选：D． 变式1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）一个大正方形和四个一模一样的小正方形按如图、两种方式摆放，则图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是______． 【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组求出、的值，再根据图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积，即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由图①和②列出方程组得， 解得， 图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，由五个形状大小一样的小长方形木板拼成一个大的长方形．已知大长方形的周长为16． (1)请求出小长方形的周长； (2)在原来大长方形的基础上，再拼加三个小长方形木板（与原先五个小长方形木板形状大小相同）成为一个新的长方形，求所有可能拼成的大长方形的周长． 【答案】(1)小长方形的周长为8 (2)所有可能拼成的大长方形的周长为22或20 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键． （1）设小长方形的长为，宽为，根据图形列出方程组，解出的值，即可求出小长方形的周长； （2）根据题意拼出符合题意的图形，再求出大长方形的周长即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得，， 解得：， 小长方形的长为3，宽为1， 小长方形的周长为． （2）解：如图1的摆放方式： 则大长方形的周长为； 如图2的摆放方式： 则大长方形的周长为； 如图3的摆放方式： 则大长方形的周长为； 综上所述，所有可能拼成的大长方形的周长为22或20． 【题型十二】图表信息题(二元一次方程组的应用) 例12．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等．的值分别是（   ） A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 变式1．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 下表是工作人员四次领取纸板数的记录： 日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 356 544 第二次 422 860 第三次 500 1000 第四次 988 2022 仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．则记录有误的是第______次． 【答案】二 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第二次记录错误． 【详解】解：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒， 则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张， ∴x+2y+4x+3y=5x+5y=5(x+y)， ∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数， ∴第二次记录有误； 故答案为：二． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键． 变式2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】(1)；； (2)甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 【详解】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【题型十三】古代问题(二元一次方程组的应用) 例13．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据等量关系：人数物品价值；人数物品价值，列出方程组即可找出两个等量关系，再据此列出方程． 【详解】∵设共有人，该物品售价为元，每人出8元时，总出的钱比物品售价多3元，即总出的钱减去多出来的3元等于物品售价， ∴， 又∵每人出7元时，总出的钱比物品售价少4元，即总出的钱加上少的4元等于物品售价， ∴， 因此可得方程组． 变式1．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，竹竿y根，根据题意可列方程为________． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设牧童人，竹竿根，根据两种分配竹竿的情况，利用竹竿总数不变建立等量关系，即可列出方程组. 【详解】解：设牧童有人，竹竿根， 根据“每人竿，多竿”，可得 根据“每人竿，恰好用完”，可得 因此可列方程组为. 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）列二元一次方程组解下面问题 鸡兔同笼，鸡和兔一共有56条腿，如果把鸡和兔的数量互换，一共有64条腿，那么原来有几只鸡，几只兔呢？ 【答案】原来有12只鸡，8只兔 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设原来有x只鸡，y只兔，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设原来有x只鸡，y只兔， 根据题意有：， 解得：， 则原来有12只鸡，8只兔 【题型十四】其他问题(二元一次方程组的应用) 例14．（22-23七年级下·江苏泰州·月考）七年级选集击剑课的学生共有20人，某天一女生因事请假，当天的女生人数恰为男生人数的一半，若设该班女生人数为，男生人数为，则下列方程组中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设该班女生人数为，男生人数为，根据学生共有20人和一女生请假后女生人数恰为男生人数的一半，列二元一次方程组即可． 【详解】设该班女生人数为，男生人数为，由题意得 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 变式1．（23-24七年级下·江苏扬州·月考）已知：，，，是从，，这三个数中取值的一列数，若，，则，，，中为2的个数是________． 【答案】36 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；由完全平方公式化简为，设，，这三个数的个数分别为、、，则有，即可求解；能熟练利用二元一次方程组进行求解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 设，，这三个数的个数分别为、、，则有， ， 整理得：， 解得：， ，，，中为2的个数是， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）邮购每册1.8元的某种杂志，邮寄费和优惠率如表． 邮购册数 1~99 100以上（含100） 邮寄费用 书价的 免费邮寄 书价优惠 不优惠 优惠 两次邮购这种杂志共200册，总计金额342元．两次各邮购杂志多少册？ 【答案】两次各邮购杂志50、150册 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设两次各邮购杂志x，y册．证明，两次邮购这种杂志共200册，总计金额342元．据此列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设两次各邮购杂志x，y册． ∵（元），， ∴， 依题意得：， 解得：． 答：两次各邮购杂志50、150册． 一、单选题 1．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国愧树叶一年的平均滞尘量得2倍少4毫克，可得，两片银杏树叶与三片国愧树叶一年的平均滞尘量为146，可得可得方程组． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 2．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等；得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则（    ） 8 2 A． B．10 C．5 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据每行每列每条对角线上的三个数之和相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故选：C． 3．用图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中的竖式和横式两种无盖纸盒．现有张正方形纸板和张长方形纸板，若做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】设可以做个竖式纸盒，个横式纸盒，根据有张正方形纸板和张长方形纸板，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设可以做个竖式纸盒，个横式纸盒，由题意，得 ， ，得， ∴的值是5的倍数， 故的值可能是2020． 4．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，根据销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元， 由题意得： 解得： 故调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元． 故选：C． 5．有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货17t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货39t，则3辆大货车与3辆小货车一次可以运货（   ） A．22t B．18t C．20t D．23t 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨，根据题意列出方程组并求解即可． 【详解】解：设每辆大货车一次运货吨，每辆小货车一次运货吨， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 根据题意，得方程组：， 得， 即3辆大货车与3辆小货车一次可以运货吨， 故选：A． 6．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 7．甲、乙两个工程队负责修建一条长为1000米的公路．甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲工程队每天比乙工程队多施工3米，可得方程，根据甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程，可得，选择符合题意的选项即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米， 根据根据甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程，可得， 可列方程组， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，明确题意，列出相应的方程组是解题的关键． 8．甲、乙两人在环形跑道上匀速跑步，跑道一圈长米．若两人从同一地点同时出发，背向而行，经过分钟相遇；若两人从同一地点同时出发，同向而行，经过分钟甲第一次追上乙．则甲的速度为（   ）米/分钟 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，通过背向而行相遇和同向而行追及的条件，建立关于甲、乙速度的方程组，解方程组求出甲的速度． 【详解】解：设甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟. 根据题意可得：， 整理得： 得： ， 解得：， 答：甲的速度为米/分钟． 故选：C． 9．某村为推广农作物大米品牌，计划将千克的大米分装成千克和千克“大米礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（   ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】先设两种礼盒的盒数，根据总重量列方程，再结合盒数的限制条件，找出所有符合要求的整数解，统计方案数即可． 【详解】解：设千克装礼盒有盒，千克装礼盒有盒，均为正整数， 根据题意可得，且，， ∵， ∴，可得，即， ∵， ∴，且为正整数， ∴当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，不是整数，不符合， 当时，，满足，符合要求， ∴符合条件的方案共有种． 10．如图是用4个相同的长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1，设长方形的两邻边长分别为x，y，且x与y的比是，下列关系式错误的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】B 【分析】结合“x与y的比是”，可得，整理可得，即可判断选项A；由图形可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，结合“大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1”可得，即可判断选项C；将进行整理，可得，即可判断选项B；将与联立并求解，进而可知，，可判断选项D． 【详解】解：根据题意，x与y的比是，即， 整理可得，故选项A正确，不符合题意； 由图形可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为 ∵大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1， ∴，故选项C正确，不符合题意； 对于，等号右侧去括号，得， 移项，合并同类项，可得，故选项B错误，符合题意； 将与联立， 可得，解得， ∴，，故选项D正确，不符合题意． 二、填空题 11．甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 【答案】17 【分析】先设A地需要植树棵，B地需要植树棵，根据题意可建立方程，化简可得，再设乙应在A地植树小时后立即转到B地，要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，可构建方程，求 即可得出答案． 【详解】设A地需要植树棵，B地需要植树棵，由题可得： ， ， 设乙应在A地植树小时后立即转到B地，由题可得： ， 化简得：， 解得：． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，恰当设出未知数，解题关键在于根据题意找出等量关系式进行求解． 12．已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是________米/秒，火车的长度为________米． 【答案】 10 200 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设火车的速度为米／秒，火车的长度为米，根据铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒，再建立方程组求解即可. 【详解】解：设火车的速度为米／秒，火车的长度为米， 根据题意，得， 解得， 即火车的速度为10米／秒，火车的长度为200米． 故答案为：， 13．某人只带2元和5元两种货币若干张，他要买一件43元的商品，而商店不给找钱，要他恰好付43元，他的付款方式共有_______种． 【答案】4 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程解决实际问题，解题的关键是利用特殊值分类进行讨论． 假设2元的有张，5元的有张，根据花费钱数，列出二元一次方程，然后利用特殊值进行讨论即可． 【详解】解：假设2元的有张，5元的有张，根据题意得， ， 整理得， 根据题意得，都是正整数， ∴是2的正整数倍， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴付款方式共有4种， 故答案为：4． 14．泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．第一次购进的A，B两种茶每盒的价格分别为___． 【答案】100元、150元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元，根据第一次和第二次购进的费用列出二元一次方程组，通过消元法求解． 【详解】解：设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元， 根据题意，得方程组： 解得： 故第一次购进A种茶每盒100元，B种茶每盒150元， 故答案为：元，元． 15．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的有_________个． 甲：设客房有x间，则； 乙：设客人有y人，则； 丙：设客房有x间，客人有y人，则． 【答案】 2 【分析】对于甲的方案，因为设客房有间，根据“每间住7人多7人”可得客人总数为，根据“每间住9人空一间”可得客人总数为，如果这两个表达式都表示客人总数，那么可列出等式，据此判断甲的方程是否正确． 对于乙的方案，因为设客人有人，根据“每间住7人多7人”可得客房数为，根据“每间住9人空一间”可得客房数为，如果乙的等式中客房数的表达式符合题意，那么判断乙的方程是否正确． 对于丙的方案，因为设客房间、客人人，根据“每间住7人多7人”可列，根据“每间住9人空一间”即住满的房间共间，客人总数为，变形可得，如果这两个方程符合等量关系，那么判断丙的方程组是否正确． 最后统计正确方案的个数． 【详解】解：甲：设客房有间，根据总人数相等列方程， 每间住人，总人数为，每间住人，空出间，总人数为，因此，甲正确. 乙：设客人有人，根据客房数量相等列方程， 每间住人，人无房住，客房数量为，每间住人，空出间，客房数量为，因此方程应为，乙所列方程错误，乙不正确. 丙：设客房有间，客人有人，根据题意可得， 由一房七客多七客，得，即， 由一房九客一房空，得，整理得， 因此方程组正确，丙正确. 综上，甲丙两人正确，正确的个数为. 16．将边长为9和x的长方形作如图1分割，拼成一个正方形，则图1中的________，将图2中的长方形分割成6块，其中①②③④的部分是四个相同的长方形，再拼成一个正方形，若，则________．（拼接处即不重叠也无空隙） 【答案】 4 18 【分析】本题考查二元一次方程的运用，图1根据拼成的正方形可得分割长度关系，进而求解，图2根据图1的数量关系，设线段长参数，通过转化线段关系，利用正方形的边长相等列方程求解即可解题． 【详解】解：设，分别为如图1所示线段长， 由题意和图1得：，，， ∴，，， 图1中，正方形的边长为， 由图2可知：⑤⑥拼成图形为正方形，和图1一致， 设，，分别为如图2所示线段长， 由图可知：，， ∴，， 四个相同的长方形的宽为， 由图2拼成的大正方形可得：， 联立得： 解得：， 即． 三、解答题 17．为进一步传承和发扬中国书法文化，学校准备新增书法社团课程．若购进甲种毛笔80支，乙种毛笔70支，共需要830元，若购进甲种毛笔60支，乙种毛笔50支，共需要610元．求购进甲、乙两种毛笔每支各需多少元？ 【答案】购进甲、乙两种毛笔每支各需6元，5元 【分析】设购进甲种毛笔每支x支，购进乙种毛笔每支y支，根据“购进甲种毛笔80支，乙种毛笔70支，共需要830元，若购进甲种毛笔60支，乙种毛笔50支，共需要610元”列出二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：设购进甲种毛笔每支x支，购进乙种毛笔每支y支，由题意可知： ， 解得：， 答：购进甲、乙两种毛笔每支各需6元，5元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出题目中的等量关系是解题的关键． 18．2024年元旦，驿城区某校勤工俭学小组为筹集养老院春节文艺汇演费用，他们用274元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示： 品名 西红柿 豆角 批发价（单位：元/） 零售价（单位：元/） 9 则他们当天卖完这些西红柿和豆角能赚到多少钱可用于汇演费用？ 【答案】他们当天卖完这些西红柿和豆角能赚到69.2元钱可用于汇演费用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设驿城区某校勤工俭学小组从蔬菜批发市场批发了西红柿，豆角，根据用274元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共到菜市场去卖，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设驿城区某校勤工俭学小组从蔬菜批发市场批发了西红柿，豆角， 依题意得：， 解得：， 即勤工俭学小组从蔬菜批发市场批发了西红柿，豆角， 元， 答：他们当天卖完这些西红柿和豆角能赚到69.2元钱可用于汇演费用． 19．王婳同学先后两次从商店购进同一种矿泉水，该矿泉水分大箱和小箱装，第一次购进2大箱、3小箱，共装76瓶；一周后又购进1大箱、1小箱后，这时共装108瓶，王婳估计大箱每箱约装20瓶，小箱每箱约装11瓶，你能通过计算检验她的估计吗？ 【答案】大箱每箱装20瓶，小箱每箱装11瓶，王婳估计大箱每箱瓶数正确，小箱每箱瓶数不正确 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设大箱每箱装x瓶，小箱每箱装y瓶，根据2大箱、3小箱，共装76瓶，又购进1大箱、1小箱后，这时共装108瓶，列出方程组，解方程组求解即可． 【详解】解：设大箱每箱装x瓶，小箱每箱装y瓶，根据题意得： ， 解得：， ∴大箱每箱装20瓶，小箱每箱装11瓶． ∴王婳估计大箱每箱瓶数正确，小箱每箱瓶数不正确． 20．列方程组解应用题 根据一次市场调查，了解到某种消毒液的大瓶装（1500g）和小瓶装（500g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为4：3，某工厂每天生产这种消毒液30t（1t＝1 000 000 g），这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ 【答案】大瓶产品16000瓶，小瓶产品12000瓶 【分析】设这些消毒液应分装大瓶产品瓶，小瓶产品瓶，根据题意列二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设这些消毒液应分装大瓶产品瓶，小瓶产品瓶， 根据题意，得， 解得， 答：这些消毒液应分装大瓶产品16000瓶，小瓶产品12000瓶． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立合适的等量关系是解题的关键． 21．小明和小丽两人同时到一家水果店买水果．小明买了1kg苹果和2kg梨，共花了26元；小丽买了2kg苹果和1kg梨，共花了28元．苹果和梨的价格各为多少？ 根据题意，小明列出方程组： 而小丽列出的是： 交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的．他们列的方程组正确吗？你认为他们产生分歧的原因是什么？ 【答案】他们列的方程组都正确，见解析 【分析】根据所列方程可知小明设每千克苹果和梨的价格分别为x元、y元，而小丽设每千克梨和苹果的价格分别为x元、y元，由此进行判断即可得到答案． 【详解】解：两个人所列的方程都是正确的，理由如下： 由题意得：小明设每千克苹果和梨的价格分别为x元、y元，而小丽设每千克梨和苹果的价格分别为x元、y元， 因此他们所列方程组中，同一个x的意义不同，当然所列方程组也就不相同了． 【点睛】本题主要考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键在于能够正确理解两人所列方程的含义． 22．传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如左图．人们称之为洛书．如果将龟背上的数字翻译出来，如右图． 一般地，在的方阵中填入9个不重复的数，使每行，每列，每条对角线的数字和都相等，这样的方阵叫作三阶幻方．这个数字和叫作幻和，我们用字母来表示．最中间的数叫作中心数，我们用字母来表示． (1)如图1，三阶幻方中填写了一些数字，则________，________． (2)如图2，三阶幻方中填写了一些数字和字母，则________，________． (3)如图3，三阶幻方中填入，，，，，，，，中，用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)15，5 (2)18， (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列代数式、一元一次方程的应用，解题时要能读懂题意列出关系式是关键． （1）依据题意可得，，则，即可判断得解； （2）依据题意，由，则，故，，进而计算可以得解； （3）依据题意，可得，，，从而可得，，进而计算可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意可得，． 又， ， ； ． ，即“幻方和”是“中心数”的3倍． ． 故答案为：15，5． （2）解：由题意，， ． ，． ，． ． 故答案为：18，． （3）解：． 证明：，① ，② ，③ ①②③，得 ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ⑤⑥⑦，得 ，⑧ ④⑧，得 ． ． 23．某物流公司现有114吨货物，计划租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是： A型车（满载） B型车（满载） 运货总量 3辆 2辆 38吨 1辆 3辆 36吨 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物．请你帮该物流公司设计租车方案： (3)若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次．公司预算支出12000元．经理让会计小李和小王核算一下具体运费．请你帮他们算算，最少租车费是元，此时租车方案是(直接写出答案) 【答案】(1)1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨 (2)租用型车4辆，型车9辆；租用型车9辆，型车6辆；租用型车14辆，型车3辆 (3)最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆 【分析】此题考查了一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系是解本题的关键． （1）设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出所求； （2）根据某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，列出方程，确定出的范围，根据为整数，确定出的值即可确定出具体租车方案． （3）根据（2）中求出的几个租车方案得出租车费即可． 【详解】（1）解：设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨， 根据题意得：， 解得：， 则1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨； （2）∵某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆， ， 则有， 解得：， ∵为正整数， ． ∵为正整数， ∴， ∴． ∴满足条件的租车方案一共有3种， 即租用型车4辆，型车9辆， 租用型车9辆，型车6辆， 租用型车14辆，型车3辆． （3）∵型车每辆需租金800元/次，型车每辆需租金1000元/次， 当，租车费用为：元； 当，租车费用为：元； 当，租车费用为：元． ， ∴最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆. 1 学科网（北京）股份有限公司 $