吉林东北师范大学附属中学2026届高三下学期5月学情自测数学试题

（数学)科试题 注意事项： 1,答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条 形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内， 超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的， 1.已知z=2+i,则i(z-1)= A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 2.命题Vx∈R,x2-2x+6>0的否定是 A.x∈R,x2-2x+6≤0 B.x∈R,x2-2x+6<0 C.3x∈R,x2-2x+6>0 D.3x∈R,x2-2x+6≤0 3.已知a=(3,m),b=(1,-1),且a.b=1,则a+b A.4 B.1 C.√17 D.4V2 4.已知一组数据：4,6，a,10,12的平均数为8，则该组数据的第40百分位数为 A.6 B.7 C.8 D.9 5巴知双南线C若后=a>0b>0)的线方程为y=士女，则C指高心车为 5 A. 2 B. C D.」 5 4 21 数学试题第1页 6.若tan =7,则sin2a的值为 4 24 24 A. B. D. 7 25 25 4 4 7.己知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为1：3，底面半径之比为1：2，则圆锥的体积为 A.27元 B.36元 C.72元 D.108元 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(2x+1)为偶函数， 为奇函数，则 A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)的最小正周期为4 D.f(x)在(1,2)上单调递增 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若，B,y表示不同的平面，1表示直线，则下列条件能得出a⊥B的是 A.lcB,l⊥a B.l⊥B,l/oa C.a1y,B⊥Y D.a⊥y,B⊥Y 10.将函数f(x)=sin x+ π-3 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的2，纵坐标保持不变， 再将所得图象向右平移”个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的有 6 A.g(x)的最小正周期为4π B.g(x)在[0，]上只有一个零点 C.g()在[0，]上单调递增 是g(x)图象的一个对称中心 共2页 1.已知椭圆C: 2 =1,F,F分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C 43 上任意一点，点A(1,),则下列结论正确的有 A.△FPF,的周长为6 B.△FPF,的面积为V5时，∠FPF,= 6 C.△FPA周长的最小值是3+√5 D,△FPA面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2+a=6,2a3+a4=8,则S1o= 13.设直线2x-y=0与圆x2+y2-2my+2=0交于A,B两点，若|AB=2,则实数m的 值为 14.在4×4的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字 之和均为6，则不同的填法种数为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且(2c-b)cosA=a·cosB. (1)求角A的大小： (2)若a=√3，b+c=2V3,求△ABC的面积. 16.(15分) 袋中装有4个红球和2个黑球，第一次随机取出1个小球，若是红球则放回，否则不放回. (1)第二次随机取出1个小球，求两次取出的球的颜色相同的概率： (2)第二次随机取出2个小球，记两次取出红球的个数为X,求X的概率分布列及数学 期望. 数学试题第2页 17.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD I/BC,AB⊥AD, PA=PB=PD=AB=AD=2,BC=1. (1)证明：PC⊥AD: (2)求二面角A-PC-D的正弦值. 18.(17分) 已知函数f)=x-I-alnx(a∈R). (1)若a=2,判断f(x)的单调性： (2)若f(x)有唯一零点，求a的取值范围： 1 (3)若p,q>0,且qeP=pe9,证明：p-q>2. 19.(17分) 己知抛物线E:y2=2Px(p>O)的焦点为F,直线y=2与抛物线E交于点R,且 5 RF (1)求抛物线E的方程： (2)过F作两条互相垂直的直线I,2,这两条直线与抛物线E分别交于点A,B和C, D,其中点A,C在第一象限. (i)设M,N分别为AB,CD的中点，H为直线AC与直线BD的交点，求△HMN面 积的最小值： (i)过F作x轴的垂线，分别交AC,BD于P,Q两点，判断是否存在以PQ为直径 的圆与y轴相切？如果存在，求出该圆的方程，如果不存在，说明理由， 共2页数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B D ⊙ C B 题号 9 10 11 答案 ABC BD ACD 8.【解析】 因为f(2x+1)为偶函数，所以f(-2x+1)=f(2x+1),从而f(-x+1)=f(x+1)①；因为 f及2x为奇局数，所以兮+2=-兮2，从面+0=-兮0。 故f(x+1)=-f(-x)②.由①②得f(-x+1)=-f(-x),f(x)=-f(x-1), f(x+1)=-f(x),f(x+2)=f(x),故2为f(x)的周期. 由②得f(-x)=-f(x+1),又f(x)=-f(x-1),f(x)周期为2，所以f(x+1)=f(x-1), 所以f(-x)=f(x),故f(x)的偶函数， 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.70 13.5 14.90 14.【解析】 第一行有6种填法，第二行也有6种填法，其中一种填法与第一行完全相同，此时第三行和第 四行的数字唯一确定；如果第二中的数与第一行中的数字完全相反，则第三行有6种填法，第 四行由第三行完全确定；第二行剩下4种填法都是有两个位置与第一行相同，另外两个位置与 第一行相反，此时第三行和第四行有2种填法，故总的填法数为6×(1+6+4×2)=90 数学答案第1页 四、解答题（共77分) 15.(13分) 【解析】 (1)因为(2c-b)cosA=a·cosB,所以由正弦定理(2sinC-sinB)cosA=sin Acos B, .1分 整理得：2 sin Ccos A=sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B),..3分 1 因为4+B+C=,所以sinC=sin(1+B)≠0，故cosA=25分 因为0<A<元，所以A= 3.7分 (2)由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bc cosA,即b2+c2-a2=bc,9分 整理得(b+c)'-a2=3bc,又a=3,b+c=2V3,所以(25-(5=3bc,所以bc=3, ...11分 故△ABC的面积为besind=x3x V53V5 24 16.(15分) 【解析】 (1)设事件A为“第一次抽取红球”，事件A,为“第二次抽取红球”，事件B,为“第一次抽取黑球”， 事件B,为“第二次抽取黑球”， 则P(4)= 4-2 4+231 PB)=,2=1 在4442月na1) 所以两次取出的球颜色相同的概率为 P=P44)+P(B,B)=P(4)P4|A)+P(B,)P(B,IB,)=33X545· 22.1123 .7分 共4页 (2)由题意可得随机变量X的可能取值为1,2,3， 当X=1时，满足的情况有第一次抽取一个红球，第二次抽取两个黑球；第一次抽取一个黑球， 第二次抽取一个黑球和一个红球， P(X=D-4xG+2xCi_8 6×C+6×C45 .9分 当X=2时，满足的情况有第一次抽取一个红球，第二次抽取一个黑球和一个红球：第一次抽 取一个黑球，第二次抽取两个红球， P(X=2)=× 。.11分 当X=3时，满足的情况有第一次抽取一个红球，第二次抽取两个红球， 4×C4 P(X=3)=-× ...13分 6C 15 可得X的分布列为 X 1 2 3 6 8 5 4 45 9 15 所以E(X)=1× 5+2×3+3×494 5 4 9 1545 、.15分 17.(15分) 【解析】 (1)证明：取AD中点M,连PM,CM,BC/IAM,BC=AM,ABCM为平行四边形， 所以AB/ICM,因为AB⊥AD,所以CM⊥AD,又PA=PD,所以PM⊥AD, 又PM∩CM=M,，PM,CMC平面PCM,所以AD⊥平面PCM,又PCc平面PCM, 所以PC⊥AD...6分 数学答案第2页 (2)取MC中点O,连PO,取AB中点N,连ON,PM=PC=√5，PO0⊥CM,PO=√2， 以0为坐标原点，建系如图，则A1,-1,0),C01,0),D(-1,-1,0),P0,0,V2), AC=(-1,2,0),CP=(0,-1,V2),CD=(1,-2,0),8分 设平面PAC的一个法向量为m=(,,乙)， m·AC=-x+2y=0 则 m.CP=-y+22=0 令=1，则5=2石=5，m=215.…10分 2 设平面PCD的一个法向量为n=(x2,2,Z2), 则 P=-y+2,=0,令为=1，则6=-2名= m.CD=-x,-2y,=0 2 =-25,12分 设二面角A-PC-D的大小为O,则 lcoscos5 9.14分 mln 11 sin0= 4V6 ，15分 11 所以二面角A-PC-D的正弦值为4W6 11 18.(17分) 【解析】 D由题意了)=x2hx,定义域为0，+0，了四-1+子-2 2=0-马20， 共4页 所以f(x)在(0，+oo)上单调递增..3分 (2)定义域为(0，+o),f)=1+-0=-ax+1, x2x x2 .4分 设g(x)=x2-ax+1(x>0) ①若a≤0，则g(x)>0,f'(x)>0,f(x)在(0，+o)上单调递增..5分 ②若0<a≤2，则△=a2-4≤0，g(x)>0,f'(x)>0,f(x)在(0，+o)上单调递增. 又f)=0,有唯一零点，符合题意；6分 ®若a>2,令g=X2-ax+1=0,x=a-Vg4E0,3-a+va-4 -∈(1，+00) 2 2 当x∈(0，x),g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈(x,x),g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单递减， 当xe(x2+o),g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增.7分 又f①)=0，f(x)>0,f(x2)<0, f(e)=ea-e-a-a2, 设h(a)=e-ea-a2，a>2, h'(a)=ea +e a-2a>ea-e a-2a, 由(1)知e-ea-2a>e2-e2-4>0, 所以h(a)在(2，+o)单调递增， h(a)=e“-ea-a2>h(2)=e2-e2-4>0, 即f(e)>0,由零点存在定理可知3x∈(x2,e),使得f(x)=0,不合题意.9分 数学答案第3页 综上，a≤2...10分 1 11 (3)因为n,g>0,且qe=pe,所以2=e>1,h2-1+1, 9p9 令卫=t,则1>1，n1=1+‘-L+1,p=+1g=+1 pp-qigmi =一十一，卫= ,.12分 9 9器是 要证p-9>2,只需证-1 >2, tInt 即证1-1-2n1>0u>1),14分 由1)知f)=x-1-21nx单调递增， 所以当1>1时，f0=1-1-21n1>f0=0, 所以p-9>2..17分 19.(17分) 【解析】 I)依题意，设R(x,2),由抛物线的定义得RFx,+?-D 221 ,解得：=2p, 因为R(x,2)在抛物线E:y2=2px(p>0)上，所以2=2px,所以22=2p·2p,解得： p=1,故抛物线E的方程为y2=2x...3分 (2)抛物线方程为y2=2x,焦点坐标为F 当1的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求， 当的斜率不存在时，12的斜率为0，此时12与抛物线只有1个交点，不合要求， 共4页 故设4x=加+号则马：x=y+ ,不妨设m>0, A(x,y),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4y4), y2=2x, 由 1，消去x得y2-2my-1=0, x=my+ △=4m2+4>0,月+2=2m,y2=-1..4分 (i)连接BN,BC,CM,取BC的中点I,连接NI,MI,HI,又M,N分别为AB,CD的 中点，所以HB∥NI,HA∥MI,所以S。Mm=S。NB,S.Mm=S。MC, 所以△HMN的面积S=SANIH+SAMm+SAMN=SANIR+SAMIC+SAMN=SBNMC, 放S=B8MCN8ABCD16分 AB卡1+m2.V0+y2-4y,=2m2+,同理1CD=2m+D 8分 m2 所以S=20m2+0.2(m+-m2+ m2 +m+2)≥2，当且仅当m=1时，等号成立. 所以△HMN面积的最小值为2....10分 (iD由题意可知lc:y-y=占-(c-x), X-x3 又=2，片=2x,所以AC的直线方程可化为：y-片= 2-(x-x), +y3 又。2故可得= 1 +出，1分 y+y3 数学答案第4页 同理可得直线BD的方程为y-y2= 2(x-x), y2+y4 又。=2，放0 1+y2y4 y2+y4 又yy2=y3y4=-1，所以可得yo 11 1+yy,12分 乃+y3 y y3 可得yp+yo=0,所以可得PQ的中点恒为F,.13分 以PQ为直径的圆与y轴相切等价于=2 .14分 若专则}，所似2+2=男+， 2 y+y3 4.山小4， 整理可得()2-(+)+1=-4，即(+)=(-⅓， 因为m>0,故少>y3,所以yy+1=y-3: 又2yy3+2=y+,故可得月=3y, 代入方程y3+1=y-3可得，3y-2y+1=0,△=4-12=-8<0， 故不存在以PQ为直径的圆与y轴相切.17分 共4页