第14讲 平行线的性质（知识详解+8典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版七年级数学下册同步讲义与测试

第14讲 平行线的性质（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行线的性质 1 1. 性质 1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 . 简单地说： 两直线平行，同位角相等 . 表达方式： 如图 10.3-1，因为 a ∥ b(已知)，所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，同位角相等) . 2. 平行线的性质与平行线的判定的区别 (1)平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得到两角的数量关系； (2)平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平行线的判定的结论是平行线的性质的条件 . 【知识点02】平行线的性质 2 1. 性质 2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 . 简单地说： 两直线平行，内错角相等 . 2. 表达方式 如图 10.3-5，因为 a ∥ b(已知)，所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，内错角相等) . 【知识点03】平行线的性质 3 1. 性质 3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 . 简单地说： 两直线平行，同旁内角互补 . 2. 表达方式 如图 10.3-7，因为 a ∥ b(已知)，所以∠ 1+ ∠ 2=180°(两直线平行，同旁内角互补) . 【题型一】两直线平行同位角相等 例1．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）如图，已知直线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）如图，直线，点在直线上，且，，则的度数为______．      变式2．如图，直线，点在直线上，且，，求的度数．    【题型二】两直线平行内错角相等 例2．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）如图，，且平分，平分交于点M，则下列结论不一定正确的是（　　）    A． B． C． D． 例3．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 变式1．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，下列条件中可以判定//的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（22-23七年级下·安徽芜湖·月考）如图，已知海岛B在海岛A的正东方向，从海岛A观测货船C在其北偏东方向上，从海岛B观察货船C在其北偏东方向上，则的度数是______．    变式3．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线被直线c所截，．求的度数． 【题型三】两直线平行同旁内角互补 例4．（22-23七年级下·安徽芜湖·期末）如图，且被直线所截，，的度数是（  ）    A． B． C． D． 例5．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）完成下面的证明． 如图，．求证：． 证明：过E点作． ∵（          ）， ∴（          ）， ∴ （          ）， （          ）． ∴ （          ）， 即． 变式1．如图，已知AB//CD，∠1＝100°，则∠A的度数是（    ） A．100° B．60° C．80° D．70° 变式2．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，，，，则的度数等于______． 变式3．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知直线，，点E，F在上，且满足，平分． (1)直线与有何位置关系？请说明理由； (2)求的度数； (3)若左右平移，在平移的过程中， ①求与的比值； ②是否存在某种情况，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【题型四】根据平行线的性质探究角的关系 例6．（22-23七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线，点P位于的右侧，，，则下列命题错误的是（   ）    A．若，分别平分，，则 B．若点P是直线，之间的点，则 C．若点P是直线上方的点，则 D．若点P是直线下方的点，则 例7．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，已知直线，的顶点O在上，两边分别与、相交于点P，点Q，射线始终在的内部． （1）若，则__________； （2）若的度数为，且，则∠3与∠4的数量关系为__________．（用含的式子表示） 例8．（25-26七年级上·安徽六安·月考）如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，且分别交射线于点、． (1)当 时，直接填空：___________，____________； (2)点运动过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； (3)当，时，求的度数． 变式1．已知∠ABC和∠DEF，其中AB∥DE，BC∥EF，则下面说法一定正确的是（　　） A．∠ABC与∠DEF相等 B．∠ABC与∠DEF互补 C．∠ABC与∠DEF相等或者互补 D．∠ABC与∠DEF的大小没有关系 变式2．（22-23七年级下·安徽池州·期末）已知：，点、分别在、上，且．如图，分别在、上取点、，使平分，要使．则与满足的关系是___________．      变式3．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，直线、被直线所截，且，于点F，判断与之间存在什么关系？并说明理由． 【题型五】根据平行线的性质求角的度数 例9．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例10．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）把一块含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置．若直线，则的度数为__________． 例11．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线，，求的度数． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是，第二次拐的角B是，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知与的两边分别平行，且、的度数分别为，，则的值为_____． 变式3．（24-25七年级下·安徽芜湖·月考）如图，直线，点，分别在直线，上，平分且交于点，若，求的度数． 【题型六】平行线的性质在生活中的应用 例12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，，则的度数为_____． 变式2．2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数． 【题型七】根据平行线判定与性质求角度 例13．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例14．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，，如果，，那么的度数是_______． 例15．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，，，．求的度数． 变式1．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）小明将含有角的三角板和直尺按图中方式摆放．已知，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，，点C在点D的右侧，平分，平分，所在直线交于点E，． （1）_______°； （2）若，则 ________°(用含x的式子表示)． 变式3．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1，复兴号动车顶上的“受电弓”是动车从接触网取得电能的电气设备，保证了动车高速顺畅地运行．“受电弓”示意图如图2所示，已知在某一时刻，，． (1)直接写出邻补角的度数_____． (2)求的度数． 【题型八】根据平行线判定与性质证明 例16．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，下列推理不正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 例17．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）完成下面的证明， 已知：如图，已知，，求证：． 证明：（已知） 又（_______________________________） （等量代换） （_______________________________） （_______________________________） （已知） （等量代换） ∴（_______________________________） （_______________________________） 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，下列说理过程及所注理由均正确的是（   ） A．因为，所以（两直线平行，内错角相等） B．因为，所以（内错角相等，两直线平行） C．因为，所以（两直线平行，同位角相等） D．因为，所以（两直线平行，内错角相等） 变式2．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是_____，理由如下： ∵（_____），， 又_____（_____）， ∴    又   _____∴（_____）． 变式3．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）如图，直线，被直线所截，连接，交于点F，过点D作射线，若，，求证：． 一、单选题 1．物理学中，我们知道光线照射到平面镜镜面时会产生反射现象．如图一个平面镜斜着放在水平面上，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后，反射光线刚好与平行，已知入射光线和反射光线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面内，DE∥FG，△ABC为等腰直角三角形，∠C为直角，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．22.5° C．70° D．80° 3．如图，，交于点，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知，和的平分线交于点E，，则等于（    ）度 A． B． C． D． 5．卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线、等反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，那么的度数是（    ）    A． B． C． D． 6．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的平分线的位置关系是（    ） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交但不垂直 D．平行或相交都有可能 7．如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知，，，那么下列说法不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，点E、F分别是AB、CD上的点，点G是BC的延长线上一点，且∠B=∠DCG=∠D，则下列判断错误的是（    ） A．∠ADF=∠DCG B．∠A=∠BCF C．∠AEF=∠EBC D．∠BEF+∠EFC=180° 10．综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，已知∠B=∠BCG，∠A=61°，则∠ECF=______． 12．将一把直尺与含30°的直角三角板如图摆放，使三角板的一个锐角顶点落在直尺的一边上，若∠1＝40°，则∠2＝_____°． 13．如图，已知，，直线，，相交于点O，若，则的度数为__________． 14．如图，，∠1＝130°，∠2＝60°，则∠3＝________°． 15．如图，，平分交于点，若，则的度数为______． 三、解答题 16．如图，已知直线，．求的度数． 17．如图所示，，，，求的度数． 18．如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？请把下列解题过程补充完整． 理由： ∵ （已知） ∴ （两直线平行，内错角相等） ∵ ，（已知） ∴（等量代换） ∴ （平角定义） 即： （等量代换） ∴   （                  ） 19．如图，平分．补全下列解答过程：    (1)与平行吗？请说明理由； ． 理由如下： （_________）， （已知）， _______（_________）， （_______）． (2)与的位置关系如何？为什么？ ． 理由如下： 平分（已知）， （_______）． 又（已知），即． ______（______）， ∴（______）． 20．如图，已知与互补， （1）判断与是否垂直，并说明理由; （2）若，求的度数． 21．如图，直线，与a，b分别相交于点A，B，且，交直线b于点C．    (1)若，求的度数； (2)若，求直线a与b的距离． 22．点D是射线BC上的一点，且不与C、B重合． （1）如图，当点D在BC之间时，过D点作DEAC交直线AB于点E，过D点作DFAB交直线AC于点F．猜想∠EDF与∠BAC有什么数量关系，并说明理由． （2）如备用图，当点D不在BC之间时，画出DEAC交直线AB于点E，DFAB交直线AC于点F．∠EDF与∠BAC在（1）中的数量关系还成立吗？若不成立，写出你认为存在的数量关系，并说明理由． 23．小宁是一名爱研究数学的中学生，他发现生活中有很多与数学相关的实例．请根据以下材料，完成相应的任务． 台灯中的数学问题 素材1 如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度，从而在使用时对人的眼睛起到保护的作用． 素材2 图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．小宁在解决问题时，他的思路是：过点作，则可以得到，如图③所示． (1)任务1：根据素材2，过点作，可以得到的依据是______； (2)任务2：当台灯处于最佳照明角度时，根据素材2中小宁的思路，求和的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 平行线的性质（知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行线的性质 1 1. 性质 1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 . 简单地说： 两直线平行，同位角相等 . 表达方式： 如图 10.3-1，因为 a ∥ b(已知)，所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，同位角相等) . 2. 平行线的性质与平行线的判定的区别 (1)平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得到两角的数量关系； (2)平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平行线的判定的结论是平行线的性质的条件 . 【知识点02】平行线的性质 2 1. 性质 2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 . 简单地说： 两直线平行，内错角相等 . 2. 表达方式 如图 10.3-5，因为 a ∥ b(已知)，所以∠ 1= ∠ 2(两直线平行，内错角相等) . 【知识点03】平行线的性质 3 1. 性质 3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 . 简单地说： 两直线平行，同旁内角互补 . 2. 表达方式 如图 10.3-7，因为 a ∥ b(已知)，所以∠ 1+ ∠ 2=180°(两直线平行，同旁内角互补) . 【题型一】两直线平行同位角相等 例1．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）如图，已知直线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； 故选：B． 变式1．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）如图，直线，点在直线上，且，，则的度数为______．      【答案】/55度 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】先根据，求出的度数，再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：．      【点睛】本题考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解答本题的关键． 变式2．如图，直线，点在直线上，且，，求的度数．    【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等、垂线的定义理解 【分析】先利用，求出，再利用平行线的性质求出即可． 【详解】解： 标记如下图所示：    ∵，， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，垂直的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 【题型二】两直线平行内错角相等 例2．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）如图，，且平分，平分交于点M，则下列结论不一定正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】利用平行线的性质，角平分线的定义逐一判断即可． 【详解】∵平分平分， ∴， ∵， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故C结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 要使， 则， 解得：，故D结论错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 例3．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定． （1）根据同旁内角互补两直线平行可得答案； （2）先求出的度数，再根据平行线的性质得出答案． 【详解】（1）解：平行，理由如下： ， ， ； （2）解：， ， ∵ ． 变式1．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，下列条件中可以判定//的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】内错角相等，两直线平行；据此判断即可． 【详解】∵， ∴根据内错角相等，两直线平行，可知∠E=∠ECB，即D项正确； A、B、C三项均无法通过可以判定， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行的性质，掌握内错角相等，两直线平行，是解答本题的关键． 变式2．（22-23七年级下·安徽芜湖·月考）如图，已知海岛B在海岛A的正东方向，从海岛A观测货船C在其北偏东方向上，从海岛B观察货船C在其北偏东方向上，则的度数是______．    【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、与方向角有关的计算题 【分析】过点C作，根据题意可得：，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】解：如下图，过点C作，连接，    由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，方向角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 变式3．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线被直线c所截，．求的度数． 【答案】 【知识点】利用邻补角互补求角度、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的意义，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据邻补角互补以及求出度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 【题型三】两直线平行同旁内角互补 例4．（22-23七年级下·安徽芜湖·期末）如图，且被直线所截，，的度数是（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行同旁内角互补、对顶角相等 【分析】由对顶角相等可得，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解． 【详解】解：由题意得： ∵ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的性质．掌握相关结论即可． 例5．（25-26七年级下·安徽滁州·月考）完成下面的证明． 如图，．求证：． 证明：过E点作． ∵（          ）， ∴（          ）， ∴ （          ）， （          ）． ∴ （          ）， 即． 【答案】已知；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同旁内角互补；；等式的性质 【知识点】平行公理的应用、两直线平行同旁内角互补 【分析】过E点作，根据平行公理得出，再根据两直线平行，同旁内角互补进行证明即可． 【详解】证明：过E点作． ∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行）， ∴ （两直线平行，同旁内角互补）， （两直线平行，同旁内角互补）． ∴ （等式的性质）， 即． 变式1．如图，已知AB//CD，∠1＝100°，则∠A的度数是（    ） A．100° B．60° C．80° D．70° 【答案】C 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】如图：根据对顶角相等得到∠2＝100°，然后根据两直线平行、同旁内角互补求出∠A即可． 【详解】解：如图， ∵∠1＝100°， ∴∠2＝100°， ∵AB//CD， ∴∠A＋∠2＝180°， ∴∠A＝180°﹣100°＝80°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质．掌握两直线平行，同旁内角互补成为解答本题的关键． 变式2．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，，，，则的度数等于______． 【答案】/度 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质得，则可计算出，然后利用进行计算． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 变式3．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知直线，，点E，F在上，且满足，平分． (1)直线与有何位置关系？请说明理由； (2)求的度数； (3)若左右平移，在平移的过程中， ①求与的比值； ②是否存在某种情况，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线与互相平行，理由见解析 (2) (3)①；②存在， 【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行内错角相等、同旁内角互补两直线平行 【分析】（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明，即可证得； （2）由直线，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由，即可求得的度数． （3）①首先根据，由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得解答即可， ②首先设，由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得与的度数，又由，即可得方程，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）直线与互相平行，理由： ∵， ∴， 又 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，平分， ∴； （3）存在． ①∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ②设． ∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 若， 则， 得． ∴存在． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质与平行四边形的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用． 【题型四】根据平行线的性质探究角的关系 例6．（22-23七年级下·安徽淮南·期末）如图，直线，点P位于的右侧，，，则下列命题错误的是（   ）    A．若，分别平分，，则 B．若点P是直线，之间的点，则 C．若点P是直线上方的点，则 D．若点P是直线下方的点，则 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】过点P作，根据得，易知，根据，分别平分，，，则，，选项A和选项B均正确，若点P是直线上方的点，则，选项C错误，若点P是直线下方的点，则，选项D正确，综上，即可得． 【详解】解：如图所示，过点P作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，分别平分，，， ∴， ∴，选项A和选项B均正确， 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴，选项C错误，   如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴，选项D正确， 综上，故选C． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线． 例7．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，已知直线，的顶点O在上，两边分别与、相交于点P，点Q，射线始终在的内部． （1）若，则__________； （2）若的度数为，且，则∠3与∠4的数量关系为__________．（用含的式子表示） 【答案】 /90度 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查的是平行线的性质． （1）由，利用两直线平行内错角相等可证得，，再根据即可求出结论； （2）利用两直线平行内错角相等可证得，，再根据由等量代换得，再由（2）即可得到的度数． 【详解】解：（1）， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 例8．（25-26七年级上·安徽六安·月考）如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，且分别交射线于点、． (1)当 时，直接填空：___________，____________； (2)点运动过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的比值； (3)当，时，求的度数． 【答案】(1)； (2)不变， (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）根据，由同旁内角互补得，因为、分别平分和，根据角度等量关系可得，即可解出答案； （2）由角平分线与平行线的性质，可得，故得的比值不变； （3）根据角度之间的倍数关系，证出以及，根据平行线同旁内角互补以及角度关系转换可得出，故可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， 故答案为：；． （2）解：的值不发生变化． 理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 变式1．已知∠ABC和∠DEF，其中AB∥DE，BC∥EF，则下面说法一定正确的是（　　） A．∠ABC与∠DEF相等 B．∠ABC与∠DEF互补 C．∠ABC与∠DEF相等或者互补 D．∠ABC与∠DEF的大小没有关系 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】通过画图和利用平行线的性质易得结论． 【详解】解：如图所示， 当AB∥DE，BC∥EF时， ∠ABC与∠DEF相等； 如图所示， 当AB∥DE，BC∥EF时， ∠ABC与∠DEF互补； 所以，当AB∥DE，BC∥EF时， ∠ABC与∠DEF相等或者互补． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解决本题的关键． 变式2．（22-23七年级下·安徽池州·期末）已知：，点、分别在、上，且．如图，分别在、上取点、，使平分，要使．则与满足的关系是___________．      【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】过点O作，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，可得，再证明，进一步可得出结论． 【详解】解：过点O作，      则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故要使．则与满足的关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 变式3．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，直线、被直线所截，且，于点F，判断与之间存在什么关系？并说明理由． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解决问题的关键是根据等量关系：得出结论． 先根据平行线的性质，得出，再根据垂线的定义，得出，最后根据，得出结果． 【详解】解： 理由：， ， 即， ， ， ， ． 【题型五】根据平行线的性质求角的度数 例9．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图， ∵两条入射光线平行， ∴， ∵， ∴． 例10．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）把一块含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置．若直线，则的度数为__________． 【答案】/30度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵直线， ∴． 例11．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，直线，，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、对顶角相等 【分析】根据得出，根据对顶角相等得出，即可得出，结合即可求解． 【详解】解：如图， ， ． ， ． ， ， 解得：． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是，第二次拐的角B是，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，先过点作，再用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补等知识点，根据作这条平行线后，将有三条平行线，根据平行线的性质，角之间的关系即可解答． 【详解】解：过点作， ， ； ， ， ， 又∵， ． 故选：D． 变式2．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知与的两边分别平行，且、的度数分别为，，则的值为_____． 【答案】或/41或23 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质. 与的两边分别平行，则有或，据此列出方程求解即可． 【详解】解：如图1， ∵的两边与的两边分别平行， ∴， ∴， 即， 解得； 如图2， ∵的两边与的两边分别平行， ∴，， ∴ ∴ 解得， 故答案为：或． 变式3．（24-25七年级下·安徽芜湖·月考）如图，直线，点，分别在直线，上，平分且交于点，若，求的度数． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，由平分，得．再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解∶ 因为平分，， 所以． 因为， 所以， 所以． 【题型六】平行线的性质在生活中的应用 例12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与方向角有关的计算题、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的应用、方位角等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：由题意可得：，，，过C作，则，由平行线的性质可得，；再根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：，，， 如图，过C作，则， ∴，， ∴． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，，则的度数为_____． 【答案】/106度 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用．根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为： 变式2．2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数． 【答案】 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】根据平行线的性质得到，再由题意得到，则，据此求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型七】根据平行线判定与性质求角度 例13．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】根据“拐点”模型作，，得到，结合得到则，最后根据求解即可． 【详解】解：作，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 例14．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，，如果，，那么的度数是_______． 【答案】/120度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键； 根据内错角相等，两直线平行，判定，依据两直线平行，同旁内角互补，得到，结合已知，，算出，最后根据，求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 例15．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，，，．求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，因为，根据两直线平行，同位角相等，可知，等量代换可知，根据内错角相等，两直线平行，可证，根据两直线平行，同旁内角互补，可得：． 【详解】解：(已知)， （两直线平行，同位角相等）， (已知)， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， 又（两直线平行，同旁内角互补）， ． 变式1．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）小明将含有角的三角板和直尺按图中方式摆放．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点A作，则，可得到，，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 变式2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，，点C在点D的右侧，平分，平分，所在直线交于点E，． （1）_______°； （2）若，则 ________°(用含x的式子表示)． 【答案】 40 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质. （1）根据角平分线的定义即可得到答案； （2）过点E作，由角平分线的定义得到，，再证明，则由平行线的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵平分，， ∴． 故答案为：． （2）如图，过点E作． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴，． ∴， 故答案为：． 变式3．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1，复兴号动车顶上的“受电弓”是动车从接触网取得电能的电气设备，保证了动车高速顺畅地运行．“受电弓”示意图如图2所示，已知在某一时刻，，． (1)直接写出邻补角的度数_____． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）根据邻补角的定义求解即可． （2）过点作，则，，从而得，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴邻补角的度数． （2）解：如图，过点作， ． ， ， ， ． 【题型八】根据平行线判定与性质证明 例16．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，下列推理不正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的性质与判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行判定，故此选项不符合题意； B、由，可以根据两直线平行，同旁内角互补得到，不能得到，故此选项符合题意； C、由，可以根据同位角相等，两直线平行判定，故此选项不符合题意； D、由，可以根据两直线平行，同位角相等得到，故此选项不符合题意； 例17．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）完成下面的证明， 已知：如图，已知，，求证：． 证明：（已知） 又（_______________________________） （等量代换） （_______________________________） （_______________________________） （已知） （等量代换） ∴（_______________________________） （_______________________________） 【答案】对顶角相等；同位角相等，两条直线平行；两条直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两条直线平行；两条直线平行，内错角相等 【知识点】对顶角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查对顶角的性质、平行线的判定与性质，根据对顶角相等可得，从而可得，再根据平行线的判定与性质即可得证． 【详解】证明：（已知）， 又（对顶角相等）， （等量代换） （同位角相等，两条直线平行）， （两条直线平行，同旁内角互补）， （已知） （等量代换） ∴（同旁内角互补，两条直线平行）， （两条直线平行，内错角相等）， 故答案为：对顶角相等；同位角相等，两条直线平行；两条直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两条直线平行；两条直线平行，内错角相等． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，下列说理过程及所注理由均正确的是（   ） A．因为，所以（两直线平行，内错角相等） B．因为，所以（内错角相等，两直线平行） C．因为，所以（两直线平行，同位角相等） D．因为，所以（两直线平行，内错角相等） 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质一一判断即可． 【详解】解：．因为，所以（内错角相等，两直线平行），故该选项不符合题意； ．因为，所以（内错角相等，两直线平行），故该选项不符合题意； ．因为，所以（两直线平行，同位角相等），故该选项符合题意； ．因为，所以（两直线平行，内错角相等），故该选项不符合题意； 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是_____，理由如下： ∵（_____），， 又_____（_____）， ∴    又   _____∴（_____）． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果． 【详解】解：与的位置关系是，理由如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ， 又， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：；已知；两直线平行，内错角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 变式3．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）如图，直线，被直线所截，连接，交于点F，过点D作射线，若，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．物理学中，我们知道光线照射到平面镜镜面时会产生反射现象．如图一个平面镜斜着放在水平面上，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射后，反射光线刚好与平行，已知入射光线和反射光线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，直接利用两直线平行，同旁内角互补可得答案． 【详解】解：∵反射光线刚好与平行，， ∴， 故选：C 2．如图，在平面内，DE∥FG，△ABC为等腰直角三角形，∠C为直角，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．22.5° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】直接利用平行线的性质作出平行线，进而得出∠2的度数． 【详解】解：如图所示：过点C作NC∥FG， 则DE∥FG∥NC， 故∠1=∠NCB=20°，∠2=∠ACN=90°-20°=70°． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键． 3．如图，，交于点，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，再由平行线的性质即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 4．如图，已知，和的平分线交于点E，，则等于（    ）度 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质得到∠BCD=180°-n°，根据角平分线的定义得到∠BCE=，∠BAE=∠BAD=m°，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-n°， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE=， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠BAD=m°， ∴∠CGE=∠AGB=n°-m°， ∴∠AEC=180°-（n°-m°）-=， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．卫星信号接收锅、汽车灯等很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线、等反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，那么的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质求得的度数，再根据，得到的度数，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 6．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的平分线的位置关系是（    ） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交但不垂直 D．平行或相交都有可能 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和判定进行判断即可． 【详解】根据题意，作图如下： ∵ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知以上知识是解题的关键． 7．如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记∠1顶点为A，∠2顶点为B，∠3顶点为C，过点B作BD∥l1，由平行线的性质可得∠3+∠DBC=180°，∠ABD+(180°－∠1)=180°，由此得到∠3+∠2+(180°－∠1)=360°，再结合已知条件即可求出结果． 【详解】如图，过点B作BD∥l1， ∵， ∴BD∥l1∥l2， ∴∠3+∠DBC=180°，∠ABD+(180°－∠1)=180°， ∴∠3+∠DBC+∠ABD+(180°－∠1)=360°，即∠3+∠2+(180°－∠1)=360°， 又∵∠2+∠3=216°， ∴216°+(180°－∠1)=360°， ∴∠1=36°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 8．如图，已知，，，那么下列说法不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的定义得到 ，从而判定 ；进而得到 ，从而判定 ； 与 互余，不一定相等． 【详解】解： ， ， ，故 A 成立 ，故 D 成立 ，故 B 成立 当且仅当时，，故C不一定成立 9．如图，点E、F分别是AB、CD上的点，点G是BC的延长线上一点，且∠B=∠DCG=∠D，则下列判断错误的是（    ） A．∠ADF=∠DCG B．∠A=∠BCF C．∠AEF=∠EBC D．∠BEF+∠EFC=180° 【答案】C 【分析】根据平行线的判定推出ABDC，ADBG，再根据平行线的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵∠B=∠DCG=∠D， ∴ABDC，ADBG， A、∵ABDC， ∴∠ADF=∠DCG，正确，故本选项不符合题意； B、∵ABDC，ADBG， ∴∠B+∠A=180°，∠B+∠BCF=180°， ∴∠A=∠BCF，正确，故本选项不符合题意； C、根据ABDC，ADBG不能推出∠AEF=∠EBC，错误，故本选项符合题意； D、∵ABCD， ∴∠BEF+∠EFC=180°，正确，故本选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解决此题的关键是：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 10．综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 11．如图，已知∠B=∠BCG，∠A=61°，则∠ECF=______． 【答案】119°/119度 【分析】先根据内错角相等两直线平行得出，再根据两直线平行内错角相等得出，最后根据邻补角的概念即可得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质定理、邻补角的概念，熟练掌握性质定理是解题的关键． 12．将一把直尺与含30°的直角三角板如图摆放，使三角板的一个锐角顶点落在直尺的一边上，若∠1＝40°，则∠2＝_____°． 【答案】80 【分析】根据直尺的两边平行，三角板的角度和已知条件，根据平行线的性质求解即可． 【详解】如图， ，∠1＝40°， 故答案为：80 【点睛】本题考查了三角板中角度的计算，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 13．如图，已知，，直线，，相交于点O，若，则的度数为__________． 【答案】/138度 【分析】本题考查了邻补角和平行线的性质和判定的应用，根据平行线的判定推出，根据平行线的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，，∠1＝130°，∠2＝60°，则∠3＝________°． 【答案】110 【分析】先根据平行线的性质求得∠4，再运用平角的性质求得∠5，最后根据邻补角的性质求得∠3． 【详解】解：∵，∠1＝130° ∴∠1+∠4=180°，即∠4=50° ∵∠2+∠4+∠5=180°，∠2=60° ∴∠5=70° ∵∠3+∠5=180°，即∠3=110°． 故答案为110． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平角的性质、邻补角的性质等知识点，灵活运用平行线的性质是解答本题的关键． 15．如图，，平分交于点，若，则的度数为______． 【答案】/40度 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，由平行线的性质得出，再由角平分线的定义得出，最后再由平行线的性质计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．如图，已知直线，．求的度数． 【答案】 【分析】通过作辅助线，利用平行线的传递性得到，再根据平行线的性质，分别得出与相关的角的关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，过点作． ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握作辅助线构造平行关系，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补等性质进行角的计算是解题的关键． 17．如图所示，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算，先证明，再利用角的和差可得答案． 【详解】解：∵，， ， ∵， ． 18．如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？请把下列解题过程补充完整． 理由： ∵ （已知） ∴ （两直线平行，内错角相等） ∵ ，（已知） ∴（等量代换） ∴ （平角定义） 即： （等量代换） ∴   （                  ） 【答案】；；，内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的性质可得，结合已知条件根据平角的定义可得，即可得证． 【详解】解：∵ （已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ，（已知）， ∴（等量代换）， ∴ （平角定义）， 即：（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；，内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 19．如图，平分．补全下列解答过程：    (1)与平行吗？请说明理由； ． 理由如下： （_________）， （已知）， _______（_________）， （_______）． (2)与的位置关系如何？为什么？ ． 理由如下： 平分（已知）， （_______）． 又（已知），即． ______（______）， ∴（______）． 【答案】(1)邻补角的定义；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 (2)角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】（1）根据同角的补角相等证得，再根据同位角相等，两直线平行证得结论即可； （2）根据角平分线定义证得，再根据等量代换得到，然后根据内错角相等，两直线平行证明结论即可． 【详解】（1）解：． 理由如下：（邻补角的定义）， （已知）， （同角的补角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：邻补角的定义；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行； （2）解：．理由如下： 平分（已知）， （角平分线的定义）． 又（已知），即． （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查同角的补角相等、平行线的判定、角平分线定义、邻补角定义，熟练掌握平行线的判定是解答的关键． 20．如图，已知与互补， （1）判断与是否垂直，并说明理由; （2）若，求的度数． 【答案】（1）垂直，理由见解析；（2）136° 【分析】（1）由平行线的判定先证DE∥BC，可得∠1=∠DCB，可得∠DCB与∠2互补．可证CD∥FH，即可求解． （2）利用∠A求出∠ADE，得到∠1，再根据∠1与∠2互补可得结果． 【详解】解：（1）垂直．理由如下： ∵DE⊥AC，AC⊥BC， ∴∠AED=∠ACB=90°， ∴DE∥BC， ∴∠1=∠DCB， ∵∠1与∠2互补， ∴∠DCB与∠2互补， ∴CD∥FH， ∴∠BFH=∠CDB， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB=90°， ∴∠BFH=90°， ∴HF⊥AB． （2）∵∠A=44°， ∴∠ADE=46°， ∴∠1=44°， ∴∠2=180°-∠1=136°． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，灵活运用平行线的判定和性质是解题的关键． 21．如图，直线，与a，b分别相交于点A，B，且，交直线b于点C．    (1)若，求的度数； (2)若，求直线a与b的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，垂直的意义计算即可； （2）根据直角三角形的面积公式，平行线件的距离计算即可，本题考查了平行线的性质，平行线间的距离，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图，过点A作于点D， ∵，， ∴， 解得， 即直线a与b的距离为．    22．点D是射线BC上的一点，且不与C、B重合． （1）如图，当点D在BC之间时，过D点作DEAC交直线AB于点E，过D点作DFAB交直线AC于点F．猜想∠EDF与∠BAC有什么数量关系，并说明理由． （2）如备用图，当点D不在BC之间时，画出DEAC交直线AB于点E，DFAB交直线AC于点F．∠EDF与∠BAC在（1）中的数量关系还成立吗？若不成立，写出你认为存在的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∠EDF=∠BAC，理由见解析；（2）不成立，∠BAC+∠EDF=180°，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质：两直线平行内错角相等即可得到∠BAC与∠EDF的数量关系； （2）首先作出图形，再结合平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∠EDF=∠BAC． 理由：∵DEAC， ∴∠EDF=∠CFD． ∵DFAB， ∴∠BAC=∠CFD． ∴∠EDF=∠BAC； （2）当点D不在BC之间时，∠BAC+∠EDF=180° 证明：如备用图， ∵DEAC， ∴∠BAC=∠BED， ∵DFAB， ∴∠EDF=∠1， ∵∠BED+∠1=180°． ∴∠BAC+∠EDF=180°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等以及两直线平行，同旁内角互补等知识，此题难度不大． 23．小宁是一名爱研究数学的中学生，他发现生活中有很多与数学相关的实例．请根据以下材料，完成相应的任务． 台灯中的数学问题 素材1 如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度，从而在使用时对人的眼睛起到保护的作用． 素材2 图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．小宁在解决问题时，他的思路是：过点作，则可以得到，如图③所示． (1)任务1：根据素材2，过点作，可以得到的依据是______； (2)任务2：当台灯处于最佳照明角度时，根据素材2中小宁的思路，求和的度数． 【答案】(1)平行于同一直线的两条直线平行 (2)； 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质及平行公理及推论，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的推论即可得出答案； （2）根据得，，进而得出，根据得，根据得，进而得出，从而得出的度数； 【详解】（1）解：由题意得（台灯水平放置，默认与平行）， ∵过直线外一点作 ， ∴根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行， 则． 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $