第五章 图形的轴对称 章节（9知识详解+23典例分析）2025-2026学年（北师大版）七年级数学下册同步讲义与测试

第五章 图形的轴对称 章节（9知识详解+23典例分析） 【知识点01】轴对称图形 1. 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 2. 对应点、对应线段、对应角的概念 对应元素 文字描述 符号语言 对应点 沿对称轴对折后能够重合的点叫作对应点 点A，B，C的对应点分别是点A'，B'，C 对应线段 沿对称轴对折后能够重合的线段叫作对应线段 线段AB，AC，BC的对应线段分别是A'B'，A'C，B'C 对应角 沿对称轴对折后能够重合的角叫作对应角 ∠1，∠B，∠2的对应角分别是∠3，∠B'，∠4 续表 图示 【知识点02】两个图形成轴对称 1. 定义 如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴. 2. 两个图形成轴对称与轴对称图形的区别与联系 两个图形成轴对称 轴对称图形 区别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条 有一条、多条或无数条 联系 (1) 定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠 (2) 把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称 【知识点03】轴对称的性质 轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等，如图5.1-2.对称轴既是对应点所连线段的垂线，也经过其中点. 【知识点04】画对称轴 1. 画对称轴的依据 画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 2. 画对称轴的步骤 (1)找：找到任意一对对应点； (2)连：连接这对对应点； (3)画：过对应点所连线段的中点作垂线. 这条垂线就是对称轴. 【知识点05】画已知图形的轴对称图形 1. 方法 几何图形都可以看作由点组成. 对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)关于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2. 步骤 画轴对称图形的方法可简单归纳为“一找二画 三连”. 找：在原图形上找特殊点； 画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； 连：依次连接各对称点. 【知识点06】等腰三角形的性质 1.对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴． 2. 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”). 特别解读 1. 适用条件：(1)必须是等腰三角形.(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合. 2. 作用：是说明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 3. 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 在△ABC中，若AB＝AC，所以∠B＝∠C. 【知识点07】等边三角形的性质 1. 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 2. 等边三角形的特有性质 (1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是等边三角形三条角平分线(三条中线或三条高)所在的直线. (2)等边三角形的三条边都相等. (3)等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60° 【知识点08】线段的轴对称性 1. 线段的轴对称性及线段垂直平分线的性质 线段的轴对称性 线段是轴对称图形，它有两条对称轴：(1)垂直并且平分线段的直线；(2)线段所在的直线(拓展) 线段的垂直平分线 定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线) 性质 文字语言：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 数学语言：点P是线段AB垂直平分线MN上的一点，则PA＝PB 2. 用尺规作线段的垂直平分线 作法 图形 依据 (1)分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D. (2)作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线 SSS，等腰三角形的性质 【知识点09】角的轴对称性 1. 角的轴对称性及角平分线的性质 类别 内容 图形 依据 角的轴对称性 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，即OP所在的直线为∠MON的对称轴 AAS 角平分线的性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，即PE＝PF 2. 用尺规作角的平分线 作法 图形 依据 (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE. (2)分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.(3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线 SSS 【题型一】轴对称图形的识别 1．（25-26七年级下·山东济南·期中）下列图标中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2026个图案________轴对称图形（填“是”或“不是”）． 【题型二】成轴对称的两个图形的识别 3．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是______（填序号）． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 【题型三】根据成轴对称图形的特征进行判断 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． 8．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，与关于直线对称，与的交点在直线上． (1)指出图中的两对对称点； (2)指出图中相等的线段； (3)指出图中其他关于直线对称的三角形． 【题型四】根据成轴对称图形的特征进行求解 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 10．（25-26七年级下·全国·周测）如图，与关于直线l对称．若，，则________，________． 11．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，点是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点．若，求的周长． 【题型五】求对称轴条数 12．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）下列正多边形中，对称轴条数最多的是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 13．（24-25七年级下·江西赣州·月考）数学中有许多精美的曲线．如图，这是“三叶玫瑰线”，该图形有_______条对称轴． 【题型六】折叠问题 14．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，把一张纸对折起来，用铅笔在上面扎个洞，图中的4张纸是四种可能的展开结果，其中只有一张与题目中实际展开后的图案完全相同，请找出这张纸，其编号是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级下·山东聊城·期中）如图1，在长方形纸片中，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，交于点．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为，沿继续折叠纸片（如图3），点的对应点为点，若，则的度数为_______． 16．（2026七年级下·江苏·专题练习）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【题型七】画对称轴 17．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．（2024七年级下·河南南阳·期末）如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的______就是该图形的对称轴． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）请画出图中的各个轴对称图形的对称轴． 【题型八】画轴对称图形 20．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 21．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是_______． 22．（25-26七年级下·北京海淀·期中）在数学漫步之旅第7集中可以设计一些复杂不可预测的图形游戏，也可以设计一些美的图形，在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称（沿虚线折叠能完成重合）． 【题型九】设计轴对称图案 23．（25-26七年级下·江苏连云港·月考）将一个正方形彩纸依次按如图1，如图2所示的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，则将图3的彩纸展开铺平后的图案是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在如图的正方形网格上画有两条线段．现在要再画一条，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，能满足条件的线段有______条． 25．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，请你以直线为对称轴在网格中画出图形的另一半． 【题型十】车牌号码的镜面对称 26．（24-25七年级下·全国·周测）如图所示的是驾驶员在后视镜中看到的后面一辆汽车的车牌号码，则后面汽车的车牌号码是（   ） A．TB209 B．902BT C．209TB D．TB902 27．（23-24七年级下·全国·课后作业）一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是________．    【题型十一】钟表的镜面对称 28．（22-23七年级下·河北邯郸·月考）小兰从镜子中看到挂在她背后墙上的四个钟如图所示，其中时间最接近四点钟的是（    ） A．   B．   C．   D．   29．（24-25七年级·山东烟台·期中）小明从镜子里看到镜子对面墙上的时钟如图所示，则实际时间是_____________． 【题型十二】台球桌面上的轴对称问题 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 31．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为______．    【题型十三】轴对称中的光线反射问题 32．通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点射入，经镜面反射后经过的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 33．（25-26七年级·湖北武汉·周测）如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 【题型十四】等边对等角 34．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（    ）    A．60° B．65° C．75° D．80° 35．（23-24七年级下·福建漳州·月考）如图，在中，分别是边上的点，，且． (1)填空：_____；（填“”、“”、“”） (2)试说明平分； (3)若，，求． 【题型十五】三线合一 36．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 37．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，是中线，，，则______，______，______． 38．如图，中，，是边上的高，的周长为，，求的长． 【题型十六】线段垂直平分线的性质 39．如图所示．在△ABC中，∠BAC＝106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、N在BC上，则∠EAN＝（　　） A．58° B．32° C．36° D．34° 40．（23-24七年级下·江苏连云港·月考）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 41．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点D，连接，，，．与相等吗？为什么？ 【题型十七】作已知线段的垂直平分线 42．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 43．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知线段，利用尺规，按照以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线，则直线就是线段的_____． 44．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，请利用尺规作图法作出斜边的中线．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型十八】角平分线的性质定理 45．（25-26七年级·山东济宁·期中）如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 46．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积为，，则的长为_______． 47．如图，在中，平分交AC于点于点，若，，求的周长． 【题型十九】作角平分线(尺规作图) 48．（23-24七年级下·浙江·期中）如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（    ） A． B． C． D． 49．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线为的平分线的有_____． 50．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，点C在的边上，．请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型二十】最短路径问题 51．（2024七年级下·山东济南·期末）如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的部分爬行路线在平面展开图中的表示如图的虚线，其中能说明爬行路线最短的是（  ） A． B． C． D． 52．如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为______．    53．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 【题型二十一】线段问题(轴对称综合题) 54．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，中，，，，点在上，且，点在的平分线上运动，则的长度最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 55．（24-25七年级下·全国·课后作业）小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 56．（24-25七年级下·山东济南·月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线对称的； (2)在直线上画一点，使得的和最小．（简要叙述点的画法） 【题型二十二】面积问题(轴对称综合题) 57．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 58．（24-25七年级·上海·单元复习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的均在格点上，位置如图所示． (1)请画出关于直线对称的； (2)连接、，并计算四边形的面积． 【题型二十三】角度问题(轴对称综合题) 59．已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 60．（22-23七年级下·江西吉安·月考）已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．   1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 图形的轴对称 章节（9知识详解+23典例分析） 【知识点01】轴对称图形 1. 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 2. 对应点、对应线段、对应角的概念 对应元素 文字描述 符号语言 对应点 沿对称轴对折后能够重合的点叫作对应点 点A，B，C的对应点分别是点A'，B'，C 对应线段 沿对称轴对折后能够重合的线段叫作对应线段 线段AB，AC，BC的对应线段分别是A'B'，A'C，B'C 对应角 沿对称轴对折后能够重合的角叫作对应角 ∠1，∠B，∠2的对应角分别是∠3，∠B'，∠4 续表 图示 【知识点02】两个图形成轴对称 1. 定义 如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴. 2. 两个图形成轴对称与轴对称图形的区别与联系 两个图形成轴对称 轴对称图形 区别 对象不同 两个图形 一个图形 意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形 对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 对称轴一定经过这个图形的内部 对称轴数量不同 只有一条 有一条、多条或无数条 联系 (1) 定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠 (2) 把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称 【知识点03】轴对称的性质 轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等，如图5.1-2.对称轴既是对应点所连线段的垂线，也经过其中点. 【知识点04】画对称轴 1. 画对称轴的依据 画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 2. 画对称轴的步骤 (1)找：找到任意一对对应点； (2)连：连接这对对应点； (3)画：过对应点所连线段的中点作垂线. 这条垂线就是对称轴. 【知识点05】画已知图形的轴对称图形 1. 方法 几何图形都可以看作由点组成. 对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)关于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 2. 步骤 画轴对称图形的方法可简单归纳为“一找二画 三连”. 找：在原图形上找特殊点； 画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； 连：依次连接各对称点. 【知识点06】等腰三角形的性质 1.对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴． 2. 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”). 特别解读 1. 适用条件：(1)必须是等腰三角形.(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合. 2. 作用：是说明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法. 3. 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 在△ABC中，若AB＝AC，所以∠B＝∠C. 【知识点07】等边三角形的性质 1. 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 2. 等边三角形的特有性质 (1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是等边三角形三条角平分线(三条中线或三条高)所在的直线. (2)等边三角形的三条边都相等. (3)等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60° 【知识点08】线段的轴对称性 1. 线段的轴对称性及线段垂直平分线的性质 线段的轴对称性 线段是轴对称图形，它有两条对称轴：(1)垂直并且平分线段的直线；(2)线段所在的直线(拓展) 线段的垂直平分线 定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线) 性质 文字语言：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 数学语言：点P是线段AB垂直平分线MN上的一点，则PA＝PB 2. 用尺规作线段的垂直平分线 作法 图形 依据 (1)分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D. (2)作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线 SSS，等腰三角形的性质 【知识点09】角的轴对称性 1. 角的轴对称性及角平分线的性质 类别 内容 图形 依据 角的轴对称性 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，即OP所在的直线为∠MON的对称轴 AAS 角平分线的性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，即PE＝PF 2. 用尺规作角的平分线 作法 图形 依据 (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE. (2)分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.(3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线 SSS 【题型一】轴对称图形的识别 1．（25-26七年级下·山东济南·期中）下列图标中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形，就是轴对称图形， 对四个选项逐一判断． 【详解】解：A跑步图标：找不到能使图形对折后完全重合的直线，不是轴对称图形； B射箭图标：动作左右不对称，对折后无法完全重合，不是轴对称图形； C击剑图标：不存在满足条件的对称轴，对折后无法重合，不是轴对称图形； D举重图标：沿图形中间的竖直线对折，直线两侧的部分可以完全重合，是轴对称图形． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2026个图案________轴对称图形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了图形的变化规律以及轴对称图形，注意由特殊到一般的分析方法． 先作出前四个图形的对称轴，类推即可得出结论． 【详解】前4个图案的对称轴如图所示． 按此规律，摆放成的图案都是轴对称图形． 故第个图案是轴对称图形． 故答案为：是. 【题型二】成轴对称的两个图形的识别 3．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由左图经过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题考查了根据轴对称图形的概念依次分析各项即可得到结果．解答本题的关键是掌握熟练轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：能由左图经过轴对称得到的是第二个图形 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是______（填序号）． 【答案】③ 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题考查了对轴对称概念的理解和应用，如果两个图形沿着某一条直线对折后能够重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，据此即可得出答案． 【详解】解：对折后不能重合， ③对折后能重合， 故答案为：③． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，和关于直线成轴对称，请写出对应角和对应线段． 【答案】对应角是和和和．对应线段是和和和 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的角叫对应角，能够重合的线段叫对应线段． 【详解】解：对应角是和和和．对应线段是和和和． 【题型三】根据成轴对称图形的特征进行判断 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知与分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称的基本性质，根据对称点的连线被对称轴垂直平分即可判断求解． 【详解】解：∵ 点与点是关于直线的对称点， ∴ 线段被直线垂直平分． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②/②① 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 8．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，与关于直线对称，与的交点在直线上． (1)指出图中的两对对称点； (2)指出图中相等的线段； (3)指出图中其他关于直线对称的三角形． 【答案】(1)和和和和（任写两对即可）． (2)． (3)和，和． 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的定义，即可解答； （2）根据轴对称的定义，即可解答； （3）根据轴对称的定义，即可解答． 【详解】（1）解：对称点：和和和和（任写两对即可） （2）解：相等的线段：． （3）解：和，和都关于直线对称． 【题型四】根据成轴对称图形的特征进行求解 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【详解】解：由点，分别是点P关于，的对称点，可知：， ∴的周长为． 10．（25-26七年级下·全国·周测）如图，与关于直线l对称．若，，则________，________． 【答案】 2cm 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握该性质是解题的关键； 根据轴对称的性质解题即可得出答案． 【详解】解：∵与关于直线l对称 ∴ 故答案为：2cm， ． 11．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如图，点是内的一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点．若，求的周长． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据轴对称的性质得到、，进而求出的周长为长． 【详解】解：点，分别是点关于，的对称点， 、， ， 的周长为． 【题型五】求对称轴条数 12．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）下列正多边形中，对称轴条数最多的是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】D 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题考查求对称轴的条数，根据正n边形有n条对称轴，即可求解． 【详解】解：正三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴， 所以四个选项中对称轴条数最多的是正六边形， 故选D． 13．（24-25七年级下·江西赣州·月考）数学中有许多精美的曲线．如图，这是“三叶玫瑰线”，该图形有_______条对称轴． 【答案】3 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握定义是关键．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可． 【详解】解：该图形有3条对称轴． 故答案为：3． 【题型六】折叠问题 14．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，把一张纸对折起来，用铅笔在上面扎个洞，图中的4张纸是四种可能的展开结果，其中只有一张与题目中实际展开后的图案完全相同，请找出这张纸，其编号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】折叠问题 【分析】根据两个穿孔关于折痕对称辨别，即解决问题． 【详解】解：折痕为对称轴，两个穿孔关于折痕对称，只有选项B符合． 15．（25-26七年级下·山东聊城·期中）如图1，在长方形纸片中，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，交于点．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为，沿继续折叠纸片（如图3），点的对应点为点，若，则的度数为_______． 【答案】 【知识点】折叠问题 【分析】根据折痕是角平分线，结合平行线的性质，在图1中得到，图2中得到，进而得到，再根据，得到 ，进行求解即可． 【详解】解：在图1中， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 在图2中， ∵折叠， ∴， 如图3，由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（2026七年级下·江苏·专题练习）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【知识点】折叠问题 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 【题型七】画对称轴 17．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】画对称轴 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解题的关键是掌握对称轴的定义． 第一个、第二个、第四个均可以直接连接作对称轴．第三个要做出两条对角线取其中点作对称轴． 【详解】解：如图所示： 故选：A． 18．（2024七年级下·河南南阳·期末）如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的______就是该图形的对称轴． 【答案】垂直平分线（或中垂线） 【知识点】画对称轴 【分析】根据轴对称图形的对称轴的定义，即可求解． 【详解】解：∵轴对称图形对称点的连线被对称轴垂直平分， ∴连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴． 故答案为：垂直平分线（或中垂线）． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的对称轴的定义，理解并掌握对称轴的定义——连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴是解题的关键． 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）请画出图中的各个轴对称图形的对称轴． 【答案】见解析 【知识点】画对称轴 【分析】本题主要考查轴对称图形的对称轴；根据轴对称图形的对称轴定义逐一画图即可． 【详解】解：轴对称图形的对称轴如图； 【题型八】画轴对称图形 20．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图．根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解. 【详解】解：如图，最多能画出个格点三角形与成轴对称． 故选：B． 21．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是_______． 【答案】2 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 22．（25-26七年级下·北京海淀·期中）在数学漫步之旅第7集中可以设计一些复杂不可预测的图形游戏，也可以设计一些美的图形，在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称（沿虚线折叠能完成重合）． 【答案】见解析 【知识点】画轴对称图形 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】解：如图， ． 【题型九】设计轴对称图案 23．（25-26七年级下·江苏连云港·月考）将一个正方形彩纸依次按如图1，如图2所示的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，则将图3的彩纸展开铺平后的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】设计轴对称图案 【分析】观察所剪的小圆和扇形与两条居中折线的位置关系，再根据对称性，即可得出正确答案． 【详解】解：剪去的小圆靠近图2的折线及正方形的上边缘，根据对称性，则展开后正方形的上下边缘居中处有四个小圆；剪去的扇形靠近图1的折线及正方形的右边缘，根据对称性，故正方形的左右边缘都有缺口，观察选项，只有D符合． 24．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在如图的正方形网格上画有两条线段．现在要再画一条，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，能满足条件的线段有______条． 【答案】4 【知识点】设计轴对称图案 【详解】解：如图所示： 能满足条件的线段有4条． 25．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，请你以直线为对称轴在网格中画出图形的另一半． 【答案】见解析 【知识点】设计轴对称图案 【分析】本题考查了画轴对称图形；利用轴对称的性质，先描出关键点的对应点，再顺次连接即可得到所求图形． 【详解】解：如图所示，即为所求， 【题型十】车牌号码的镜面对称 26．（24-25七年级下·全国·周测）如图所示的是驾驶员在后视镜中看到的后面一辆汽车的车牌号码，则后面汽车的车牌号码是（   ） A．TB209 B．902BT C．209TB D．TB902 【答案】B 【知识点】车牌号码的镜面对称 【分析】本题考查了镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，作出对称图形即可得出答案． 【详解】解：根据镜面对称的性质可得：实际车牌号应从右向左读， 后面汽车的车牌号码是． 故选：B． 27．（23-24七年级下·全国·课后作业）一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车的车牌号码是________．    【答案】浙A7936 【知识点】车牌号码的镜面对称 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是找到对称轴，进而得出相应的结果． 【详解】解：根据镜面对称的性质，可知图中所示车牌号应为浙A7936， 故答案为：浙A7936． 【题型十一】钟表的镜面对称 28．（22-23七年级下·河北邯郸·月考）小兰从镜子中看到挂在她背后墙上的四个钟如图所示，其中时间最接近四点钟的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】经过镜面反射后，四点变为八点，那么答案应该是最接近八点的图形， 故选：C． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 29．（24-25七年级·山东烟台·期中）小明从镜子里看到镜子对面墙上的时钟如图所示，则实际时间是_____________． 【答案】 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 【题型十二】台球桌面上的轴对称问题 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 31．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为______．    【答案】 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【题型十三】轴对称中的光线反射问题 32．通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点射入，经镜面反射后经过的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】画垂线、轴对称中的光线反射问题 【分析】根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可． 【详解】根据直线的性质补全图2并作出法线，如下图所示： 根据图形可以看出是反射光线， 故选：B． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，垂线的画法，根据轴对称的性质得相等的角是补全光线的关键． 33．（25-26七年级·湖北武汉·周测）如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 【答案】 【知识点】轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查的是镜面反射的性质．根据经过反射后，，得出，即可求解． 【详解】解：经过反射后，， 故， 根据题意可得，， 故，， ∴． 故答案为：． 【题型十四】等边对等角 34．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（    ）    A．60° B．65° C．75° D．80° 【答案】D 【知识点】等边对等角 【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】∵， ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， . 故答案为D. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 35．（23-24七年级下·福建漳州·月考）如图，在中，分别是边上的点，，且． (1)填空：_____；（填“”、“”、“”） (2)试说明平分； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】等边对等角、角平分线的性质定理 【分析】此题考查了等边对等角、角平分线的性质定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握等边对等角、角平分线的性质定理是关键． （1）根据等边对等角即可得到答案； （2）利用平行线的性质得到，利用等量代换即可得到结论； （3）过点D作，垂足分别为，利用角平分线的性质定理得到，再根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）过点D作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∴． 【题型十五】三线合一 36．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 【答案】D 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了三线合一，解题关键是掌握三线合一． 根据三线合一求解． 【详解】解：∵从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和， ∴， 当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时， ∴为边上的中线， ∴（三线合一）， 三线合一即等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合， 故选：D． 37．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，，是中线，，，则______，______，______． 【答案】 【知识点】三线合一、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质可得，，，，然后由内角和定理可得，从而求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是中线， ∴，，，， ∴，， ∴， 故答案为：，，． 38．如图，中，，是边上的高，的周长为，，求的长． 【答案】 【知识点】三线合一 【分析】此题考查的是等腰三角形的三线合一：等腰三角形顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线重合，解决此题的关键是利用三线合一和周长求腰长． 根据三线合一可得，根据的周长求解即可． 【详解】∵，是边上的高，， ∴， ∵的周长为， ∴ ， ∴， 解得． 【题型十六】线段垂直平分线的性质 39．如图所示．在△ABC中，∠BAC＝106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、N在BC上，则∠EAN＝（　　） A．58° B．32° C．36° D．34° 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】先由∠BAC＝106°及三角形内角和定理求出∠B＋∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC－(∠BAE＋∠CAN)解答即可. 【详解】∵△ABC中，∠BAC＝106°，∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－106°＝74°,∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，∴∠B＝∠BAE,∠C＝∠CAN,即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°,∴∠EAN＝∠BAC－(∠BAE＋∠CAN)＝106°－74°＝32°.故选B. 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°是解答此题的关键. 40．（23-24七年级下·江苏连云港·月考）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到，，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 又的周长， ， 即， 的周长． 41．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点D，连接，，，．与相等吗？为什么？ 【答案】，见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，首先由线段垂直平分线的性质得到，，推出，即可得到． 【详解】解：，理由如下： 因为、分别是边、的垂直平分线， 所以，， 所以， 所以． 【题型十七】作已知线段的垂直平分线 42．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线，直线就是线段的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】D 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】利用基本作图得到，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得， 即， 故选项D符合题意． 43．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知线段，利用尺规，按照以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线，则直线就是线段的_____． 【答案】垂直平分线 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】此题考查了垂直平分线的作图，根据垂直平分线的作图进行解答即可． 【详解】解：由垂直平分线的作图可知，直线就是线段的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线 44．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，请利用尺规作图法作出斜边的中线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查尺规作图，作斜边的垂直平分线，找出中点E，与点C连接即可． 【详解】解：如图，即为所求． 【题型十八】角平分线的性质定理 45．（25-26七年级·山东济宁·期中）如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是理解角平分线的性质． 过点作于点，根据角平分线的性质得到，进而求解面积． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 平分，，， ， ． 故选：B． 46．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积为，，则的长为_______． 【答案】/3厘米 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式得到，即可求解． 【详解】解：∵为的平分线，，， ∴， ∵，的面积为，， ∴， ∴． 故答案为： 47．如图，在中，平分交AC于点于点，若，，求的周长． 【答案】10.5 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的性质得出，进而将的周长进行转化计算． 根据角平分线的性质得到，然后将的周长转化为，再代入已知条件计算． 【详解】解：平分， ， ∴的周长， ， 的周长为． 答：的周长为10.5． 【题型十九】作角平分线(尺规作图) 48．（23-24七年级下·浙江·期中）如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】根据尺规作图的原理可证明求解． 本题考查了作图—基本作图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 在和中， ， ∴ ∴， 故选：A． 49．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线为的平分线的有_____． 【答案】①②③④ 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查角平分线的性质和证明，选择适当条件证明三角形全等进而证明是解题关键． ①由图可知，，，，据此证明即可． ②由图可知，，垂直平分，据此证明即可． ③由图可知，，，，依次证明， ，即可． ④由图可知，，，据此证明即可． 【详解】解：①有图可知， ， ， ， 射线是的角平分线； ②由图可知， ，， ， ， ， 射线是的角平分线； ③由图可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线； ④由图可知， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线． 故答案为：①②③④． 50．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，点C在的边上，．请用尺规作图法，在上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】作的角平分线交于点D，连接即可． 【详解】解：作的角平分线交于点D，连接， ∵, ∴， 则点D即为所求． 【题型二十】最短路径问题 51．（2024七年级下·山东济南·期末）如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的部分爬行路线在平面展开图中的表示如图的虚线，其中能说明爬行路线最短的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最短路径问题 【分析】由于盒子为正方体，且A、C两点对称，故将其按任意方式展开，连接A、C即可求得蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，则沿线段AC爬行，就可以使爬行路线最短，是根据两点之间，线段最短． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，线段的性质的应用，注意：两点之间线段最短． 52．如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为______．    【答案】 【知识点】最短路径问题 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，   ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 53．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 【答案】P点选在关于直线的对称点和点B的连线于直线m的交点；路线见解析 【知识点】最短路径问题 【分析】本题考查了轴对称解决最短路径问题，解题关键是依据轴对称性质和两点之间线段最短来确定P点． 作关于直线的对称点（或作关于直线的对称点 ） ． 连接（或 ），这条线段与直线的交点就是所求的点 ．因为根据轴对称性质，（或 ），那么（或 ），而两点之间线段最短，所以此时的和最短，连接，这就是工作人员所走的最短路线． 【详解】解：作关于直线的对称点，连接，交直线m于点P，点P即为使路程和最短的点； 连接，这就是工作人员所走的最短路线． 【题型二十一】线段问题(轴对称综合题) 54．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，中，，，，点在上，且，点在的平分线上运动，则的长度最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】线段问题(轴对称综合题) 【分析】利用最短路径直接将点对称，然后连线求两线段和的最小值即可． 【详解】将关于对称至点，连接 ， ∴， ∴， ∴， ∵，，，且， ∴是中点， ∴． ∴ 故选：B 【点睛】此题考查最短路径，解题关键是将一个定点对称，当三点共线时线段之和最短． 55．（24-25七年级下·全国·课后作业）小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家．如图，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且．若点A到河岸CD的中点的距离为1000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是________m． 【答案】2000 【知识点】线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查作图-应用与设计，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接，因此小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离为的长度，通过可证明，由此可求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，连接． 根据轴对称可知， ， ∵两点之间线段最短， ∴的值最小，即的值最小， ∴小刚从处到河里处打水，再送去王奶奶家，所走的路程最小． 根据作图并结合题意可知，，， 在和中， ， ，， 为的中点． ∵点到河岸的中点的距离为， ， ， ． 故小刚从处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是． 故答案为：． 56．（24-25七年级下·山东济南·月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线对称的； (2)在直线上画一点，使得的和最小．（简要叙述点的画法） 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【知识点】画轴对称图形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（）根据轴对称的性质作图即可； （）连接交直线于点，由轴对称的性质得，则，根据两点之间线段最短，可知此时的和最小，故点即为所求； 本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 【题型二十二】面积问题(轴对称综合题) 57．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【知识点】面积问题(轴对称综合题)、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， ， ． 故答案为：． 58．（24-25七年级·上海·单元复习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的均在格点上，位置如图所示． (1)请画出关于直线对称的； (2)连接、，并计算四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【知识点】面积问题(轴对称综合题)、画轴对称图形 【分析】（1）根据对称点到对称轴的距离相等且与对称轴垂直，确定对称轴点，后依次连接得到图形即可． （2）利用梯形的面积公式计算即可． 本题考查了轴对称图形的基本作图，图形的面积计算，熟练掌握轴对称基本作图是解题的关键． 【详解】（1）解：根据轴对称的基本作图，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得四边形的面积为． 【题型二十三】角度问题(轴对称综合题) 59．已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则______． 【答案】60°/60度 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、角度问题(轴对称综合题) 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β）， ∴β﹣α＝60°， 故答案为：60． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题． 60．（22-23七年级下·江西吉安·月考）已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    【答案】(1) (2) (3)的度数为或． 【知识点】角度问题(轴对称综合题)、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）由题意可得，，根据角的和差得出，计算即可求解； （2）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （3）①在内部，②当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵射线，关于射线对称．射线，关于射线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，    ∵射线，关于射线对称， ∴． 又∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴； （3）的度数为或． ①如图，当射线在的内部时，    ∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当射线在的外部时， ∵射线，关于射线对称， ∴． 当射线在的下方时，． ∵， ∴射线不在射线的下方． 当射线在射线的上方时， 如图，，    ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $