专题 6.1 现实中的变量（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦初中数学“现实中的变量”核心知识点，系统梳理变量、常量、自变量与因变量的概念，构建从概念理解到几何图象、生活实例、相关运算的递进式学习支架，帮助学生形成完整知识脉络。 该资料以生活情境（如购物、加油、烧水）和几何问题为载体，通过变式训练培养学生用数学眼光抽象现实世界的能力，同步检测分层设计，助力学生用数学思维分析变量关系，用数学语言表达规律，课中辅助教学，课后便于查漏补缺。

专题 6.1 现实中的变量（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点】变量与常量 1 【题型 1】变量与常量的理解 1 【题型 2】图象与几何中的常量与变量 3 【题型 3】生活中的常量与变量 4 【题型 4】常量与变量相关的运算 6 二.同步检测 8 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分,） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共4小题，共32分） 15 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点】变量与常量 在一个变化过程中，数值会发生变化的量叫做变量；其中主动变化、不受其他量影响，并引起其他量变化的量叫做自变量。随着自变量的变化而变化的量，它的变化是被动的、由自变量决定的量叫做因变量。数值始终保持不变的量叫做常量。 【题型 1】变量与常量的理解 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．在这个变化过程中，变量为______，常量为______． 【答案】 x，y 10 【分析】根据变量与常量的定义，判断在放置书籍的过程中数值发生变化的量和保持不变的量，即可求解． 解：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量， 由题意可知，书的总数是固定不变的，所以常量为， 第一个抽屉放入的本数和第二个抽屉放入的本数会随着放置情况的不同而变化，所以变量为，． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某款汽车紧急刹车后滑行的距离s（单位：）大致满足，其中v（单位：）表示刹车前汽车的速度，这个关系式中的自变量和因变量分别是（    ） A．300；s B．s；300 C．s；v D．v；s 【答案】D 【分析】自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而变化的量，据此判断即可． 解：∵在关系式中，刹车前汽车的速度是主动变化的量，滑行距离随的变化而变化， ∴自变量是，因变量是． 【变式2】（24-25八年级下·全国·阶段检测）如图，把两根木条和的一端用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面说法不正确的是（   ） A．的度数是变量 B．的面积是变量 C．的长度是常量 D．的长度是常量 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，掌握它们的概念是解决此题的关键． 根据常量和变量的概念，分析各选项即可． 解：A．在转动过程中，的度数变小，的度数是变量，故原说法正确，不符合题意； B．在转动过程中，的面积变小，的面积是变量，故原说法正确，不符合题意； C．在转动过程中，的长度不变，的长度是常量，故原说法正确，不符合题意； D．在转动过程中，的长度变小，的长度是变量，故原说法不正确，符合题意； 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）正方形的周长与边长之间的关系为，则常量为_________． 【答案】4 【分析】本题考查了变量和常量：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．在关系式中，4是固定不变的常数，与a是变量，因此常量为4． 解：正方形的周长与边长之间的关系为，其中4是常数，与a是变量， 故答案为：4． 【题型 2】图象与几何中的常量与变量 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）该公园内有一音乐喷泉，喷出水的高度y（单位：m）与音乐响起的时间t（单位：min）的变化情况如图所示．在这个变化过程中，自变量为___________，因变量为________________． 【答案】 时间 喷出水的高度 【分析】本题考查了自变量与因变量的概念，掌握自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． 根据自变量和因变量的定义，判断喷出水的高度变化过程中，主动变化的量与随之变化的量． 解：在喷出水的高度y与音乐响起的时间t的变化过程中：时间t是主动变化的量， 故自变量为时间；喷出水的高度y是随着时间t的变化而变化的量，故因变量为喷出水的高度． 故答案为：时间，喷出水的高度． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积．若h为定长，则（   ） A．S，a是变量 B．S，h是常量 C．h，a是变量 D．S，a是常量 【答案】A 【分析】本题考查了变量与常量的定义，根据变量与常量的定义，结合等腰三角形的底边长为，底边上的高为定长，且面积公式为，进行分析各量的变化情况，即可作答． 解：依题意，是定长，故为常量； 底边未限定为固定值，可以变化，故为变量； 则面积随的变化而变化（中为常量），故也是变量， 故选：A 【变式2】（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 【答案】B 【分析】本题主要考查了变量与常量的定义，明确在变化过程中，可变的量为变量，固定不变的量为常量，结合球的体积公式即可． 解：在球的体积公式中，和是固定不变的数值，的数值随的变化而变化，可取不同的数值， ∴变量是、，常量是、． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）边形从一个顶点引出对角线的条数为，与的关系是，其中常量是 __，变量是 __． 【答案】 ， 【分析】本题考查了常量与变量的知识，根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题． 解：在关系式中，常量是，变量是、． 故答案为：，、． 【题型 3】生活中的常量与变量 【例题3】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）小亮去超市买生鲜，电子秤的数据显示屏显示重量、单价、金额三个量，则这三个量中的常量是______．（填“重量”或“单价”或“金额”） 【答案】单价 【分析】本题主要考查了常量与变量，掌握常量、变量的定义是解题的关键． 根据常量与变量的定义解答即可． 解：这三个量中的常量是单价． 故答案为：单价． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）在利用电热水壶烧水的过程中，电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化，这个问题中，自变量是___________，因变量是________ 【答案】 烧水时间 水的温度 【分析】本题考查常量和变量，根据自变量和因变量的意义求解即可． 解：∵电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化， ∴自变量为烧水时间，因变量为水的温度， 故答案为：烧水时间，水的温度． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）程程在收拾家务时，把32个玩具随机放入两个箱子（每个箱子都放），第一个箱子放入a个，第二个箱子放入b个．这个问题中的变量是（   ） A．a B．6 C．a和32 D．a和b 【答案】D 【分析】此题考查了变量和常量的概念，掌握其概念是解答本题的关键．变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量；常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量，据此求解即可． 解：这个问题中的变量是a和b． 故选：D． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】B 【分析】本题考查常量和变量，正确理解常量与变量的定义是解题的关键．常量是固定不变的量，变量是变化的量． 解：∵常量是固定不变的量，变量是变化的量， ∴单价是不变的量，而金额随着数量的变化而变化， ∴常量是单价． 故选B． 【题型 4】常量与变量相关的运算 【例题4】（24-25六年级下·全国·单元测试）为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数的变化关系如表所示： 1 2 3 4 5 … /棵 4 8 … 观察表中数据可知，该班有8人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为_____棵． 【答案】 【分析】本题考查函数的表示方法，写出正确的函数表达式是解题的关键．由表格数据可知，栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数满足正比例关系，写出函数关系式，再代入即可． 解： 由表可知， 当时，， 故答案为． 【变式1】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表： 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … 则放水时，水池中有水______． 【答案】36 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，掌握表格中两个变量的变化规律是解决问题的关键．根据表格中“放水时间”与“水池中水量”之间的变化规律可得答案． 解：由题意可知，蓄水池原有水，放水速度为， 所以当放水时间为时，水池中水量为： ． 故答案为：36． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温（单位：）随时间（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则每分钟水温增加______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，根据表格得到数据的变化规律是解题的关键． 根据表格数据，时间每增加2分钟，水温增加，因此每分钟水温增加． 解：由表可知，时间从到，水温从升至，增加； 时间从到，水温从升至，增加； 时间从到，水温从升至，增加． 由于水温变化均匀，每分钟水温增加量为． 故答案为同：8． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）王师傅为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 400 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为，则A，B两地之间的路程是______． 【答案】350 【分析】本题主要考查用表格表示变量之间的关系，由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，再求出减少的油量，即可得出结果． 解： ， 故答案为：350． 二.同步检测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分,） 1．（24-25六年级下·全国·单元测试）一粒石子落入湖面，形成一个如圆周样的涟漪，在圆周长与半径的关系式中，常量是（    ） A．和2 B． C． D．， 【答案】A 【分析】根据常量的定义，在变化过程中数值保持不变的量为常量，据此判断关系式中的常量． 本题考查变量与常量，掌握变量是变化的量是解题的关键． 解：∵在关系式中，2和的数值是固定不变的，随的变化而变化. ∴常量是2和． 故选：A． 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（    ） A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量 【答案】A 【分析】此题考查了常量和变量的定义，在一个变化过程中变化的量是变量，始终不变的量是常量．根据常量，变量的定义解法即可． 解：由题意得，， 变量y是随本数x的变化而变化的，而本的单价5元不变，故5是常量，是变量， 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下表是公园内某天（细颗粒物）含量与时间之间的关系．在这个情境中，自变量是（   ） 时间 1时 2时 3时 4时 … 含量 0.02 0.03 0.019 0.03 … A．时间 B．含量 C．公园的天气 D．公园的人数 【答案】A 【分析】本题考查了自变量的概念，掌握自变量是主动变化的量是解题的关键． 根据自变量的定义，观察表格中哪个量的变化会带动另一个量的变化，以此确定自变量． 解：∵时间变化导致含量变化， ∴自变量是时间． 故选：A． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 【答案】D 【分析】本题考查了变量与常量的概念，解题关键是区分“变化的量”和“固定不变的量”． 要判断变量和常量，需明确：变量是在变化过程中数值发生改变的量，常量是数值固定不变的量，结合关系式分析即可． 解：在关系式中： （身高）和（一拃长）的数值会随不同的人发生变化，因此与是变量； 和是固定不变的数值，因此是常量． A、是变量，是常量，错误，不符合题意； B、是变量，是常量，错误，不符合题意； C、与是变量，与是常量，错误，不符合题意； D、与是变量，与是常量，正确，符合题意． 故选：D ． 5．（24-25七年级下·全国·周测）手工课上，轩轩用火柴棒按图所示的方法设计图案，火柴棒的根数m随三角形的个数n的变化而变化．在这一变化中，下列说法错误的是（   ） A．m，n都是变量 B．n是自变量，m是因变量 C．m是自变量，n是因变量 D．m随着n的变化而变化 【答案】C 【分析】本题考查了变量、自变量与因变量的概念，掌握自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． 根据变量、自变量、因变量的定义，判断三角形个数与火柴棒根数的变化关系，逐一验证选项的正确性． 解：变量是变化的量，自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量：三角形个数和火柴棒根数都在变化，故都是变量，故选项A正确； 是主动变化的三角形个数，是自变量； 随的变化而变化，是因变量，故选项B、D正确，选项C错误． 故选：C． 6．（25-26七年级上·全国·期末）李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是固定不变的量，变量是变化的量．在加油过程中，单价是固定值，而金额和数量随加油量变化，据此进行分析，即可作答． 解：依题意，单价7.54元/升是固定不变的，而金额和数量会随加油量变化而变化， ∴常量是单价， 故选：C． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 【答案】D 【分析】本题考查函数的表示方法，能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 由表格可得，时间t每增加，油温y增加，据此逐一判断即可． 解： A：当时，即没有加热时，油的温度是，不符合题意； B：由表格可得，时间t每增加，油温y增加， ∴加热，温度升高了， ∵初始， ∴，不符合题意； C：由题意可得，时间t是自变量，油温y是因变量，不符合题意； D：每油温上升，而非，符合题意． 故选D． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法和有理数的混合运算．根据图表里的信息，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 解：A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，正确，此选项不符合题意； B.根据数据表可知，在一定范围内，温度越高，声速越快，正确，此选项不符合题意； C、，当空气温度为时，声音可以传播，故选项不符合题意； D、∵，，，，， ∴当温度每升高，声速增加，正确，此选项不符合题意； 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（25-26六年级下·全国·单元测试）某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是__________ ． 【答案】销售量 【分析】本题考查了变量与函数，根据函数的定义，自变量是主动变化的量，因变量是随之变化的量．本题中，销售收入随销售量的变化而变化，因此销售量是自变量． 解：在变化过程中，销售收入随销售量的变化而变化， 所以销售量是自变量． 故答案为：销售量． 10．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）圆柱的底面半径是，当圆柱的高h由小到大变化时，圆柱的体积V也随之发生了变化．则V与h的关系式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式、圆柱的体积公式等知识点，利用圆柱的体积公式是解题关键． 根据圆柱的体积公式即可解答． 解：体积V与高h之间的关系式，即． 故答案为：． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么下列各量中：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量，变量的个数是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了常量与变量的概念，掌握常量是固定不变的量，变量是随过程变化的量是解题的关键．依据变量的概念，判断汽车匀速行驶过程中各量是否发生变化，进而确定变量的个数． 解：由于汽车匀速行驶，所以①行驶速度是常量，数值保持不变． ②行驶时间会随行驶过程持续变化，是变量． ③行驶路程随行驶时间的变化而变化，是变量． ④汽车油箱中的剩余油量随行驶时间的增加而减少，是变量． 综上，变量共有3个， 故答案为3个． 12．（24-25七年级下·山东·期末）某快递公司同城快递的收费标准如下表（交寄物品的质量不足按计）： 质量 1 2 3 4 5 … 费用元 … 若小明交寄了的物品，则他需要支付的快递费用为______元． 【答案】 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，根据所寄物品的质量每增加，需要多付元，求出寄的物品需要支付的快递费用即可． 解：根据表格可知：所寄物品的质量每增加，需要多付元，则寄的物品，他需要支付的快递费用为： （元）． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图描述的是大部分男子身高与所穿运动鞋的鞋码之间的关系，根据该趋势图估计身高为的男子所穿的鞋码大致是_______码． 【答案】 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，由图可得，身高每增加3cm，鞋码增大1码，即可求解． 解：由图可得，身高每增加3cm，鞋码约增大1码， ∵身高为的男子所穿的鞋码大致是码， ∴身高为的男子所穿的鞋码大致是码， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·阶段检测）一个等腰三角形的周长为24，其中它的腰长为自变量，底边长为因变量，则用表示的关系式是_____________. 【答案】 【分析】根据等腰三角形的周长为24列出等式，移项使y在等号左边，其余在等号右边即可． 解：等腰三角形的周长为24，腰长为，底边长为， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查列关系式，解题的关键是理解自变量与因变量的定义． 15．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某车间每天需要完成一定量的零件的生产任务，每一名工人每天生产的零件数量和需要安排的工人人数如表，那么该车间每天需要完成零件__________件； 每一名工人每天生产的零件数量/件 60 40 30 … 需要安排的工人人数/人 2 3 4 … 【答案】120 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，通过计算表格中每种情况下的总零件数，发现结果均为120件，因此确定每天需要完成的零件总数为120件． 解：设每天需要完成的零件总数为件． 由表格数据：当每人每天生产60件时，需2人，则； 当每人每天生产40件时，需3人，则； 当每人每天生产30件时，需4人，则． 故该车间每天需要完成A零件120件， 故答案为：120． 16．（24-25七年级下·全国·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）：________________． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）：________________． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）：________________． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）：________________． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键． 确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． 解：（1）一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而增加，故选D； （2）匀速行驶的汽车，速度始终不变，故选B； （3）足球守门员踢出去的球，球的高度先上升后下降，故选A； （4）一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，最后趋于0°C，故选C；   故答案为：D，B，A，C． （3） 解答题（本大题共4小题，共32分） 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出下列关系式中的常量、自变量与因变量： （1）分针旋转一周内，旋转的角度n（单位：°）与旋转的时间t（单位：min）之间的关系式为． （2）某市居民用电价格是0.58元/kW·h，居民生活应交电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW·h）之间满足． 【答案】（1）常量：6；自变量：t；因变量：n；（2）常量：0.58；自变量：x；因变量：y 【分析】本题考查了常量、自变量与因变量的概念，掌握常量是固定不变的量，自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． （1）（2）根据常量、自变量、因变量的定义，分别判断每个关系式中对应的量． 解：（1）解：在关系式中： ∵是固定不变的量， ∴常量是； ∵时间是主动变化的量， ∴自变量是； ∵旋转的角度随时间的变化而变化， ∴因变量是． （2）解：在关系式中： ∵是固定不变的电价， ∴常量是 ； ∵用电量是主动变化的量， ∴自变量是； ∵应交电费随用电量的变化而变化， ∴因变量是． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水． （1）抽水后，水池中还有水________． （2）在这一变化过程中，哪些是变量？哪些是常量？ （3）几小时后才能把满池水抽干？ 【答案】（1）250；（2）时间、抽水机抽水总量是变量，水池的容积、每台抽水机每小时的抽水量是常量；（3）后才能把满池水抽干 【分析】本题考查了常量与变量：用关系式表示变量间的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水，且抽水，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，得出时间、抽水机抽水总量是变量，水池的容积、每台抽水机每小时的抽水量是常量，即可作答． （3）结合有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水，进行列式计算，即可作答． 解：（1）解：依题意， 故答案为：250． （2）解：在这一变化过程中，时间、抽水机抽水总量是变量，水池的容积、每台抽水机每小时的抽水量是常量． （3）解：根据题意，得． 故后才能把满池水抽干 19．（24-25六年级下·山东泰安·期末）小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）根据图象回答以下问题： （1）哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）11时，他离家多远？11时到12时他行驶了多少千米？ （3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？在这个地方待了多长时间？ （4）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？ 【答案】（1）时间是自变量，离家的距离是因变量；（2）；；（3）他到达离家最远的地方的时间是12时，此时离家30km，在这个地方待了1小时；（4）平均速度是． 【分析】本题考查了函数的概念，以及图象的实际应用，需要从图象中获取信息，理解变量间的依赖关系是解决本题的关键． （1）根据自变量和因变量的概念，即“自变量是在一个变化过程中主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量”，由此判断即可； （2）由图象，找到时对应的纵坐标，并计算和时纵坐标的差值即可； （3）由图象，找到纵坐标最大值所对应的时间即可求解； （4）由“速度路程时间”计算即可． 解：（1）解：时间是自变量，离家的距离是因变量； （2）解：观察图象， 时，对应纵坐标为， ∴11时他离家； 11时到12时他行驶了：； （3）解：观察图象，纵坐标最大值为30， ∴他到达离家最远的地方的时间是12时，此时离家，在这个地方待了1小时． （4）解：观察图象，他由离家最远的地方返回所用时间为， ∴他由离家最远的地方返回时的平均速度是：． 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 （1）在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； （2）声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______； （3）某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】（1）气温，声音在空气中的传播速度；（2）；（3）小乐与燃放烟花所在地大约相距远 【分析】本题主要考查变量的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）根据表格中的数据求出关系式； （3）根据求出的关系式得到声音在空气中的传播速度，从而求出小乐与燃放烟花所在地的距离． 解：（1）解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）由题意得，气温每上升声音在空气中的传播速度增大， ∴声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为， 故答案为：； （3） ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.1 现实中的变量（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点】变量与常量 1 【题型 1】变量与常量的理解 1 【题型 2】图象与几何中的常量与变量 2 【题型 3】生活中的常量与变量 3 【题型 4】常量与变量相关的运算 3 二.同步检测 4 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分,） 4 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 6 （三）解答题（本大题共4小题，共32分） 7 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点】变量与常量 在一个变化过程中，数值会发生变化的量叫做变量；其中主动变化、不受其他量影响，并引起其他量变化的量叫做自变量。随着自变量的变化而变化的量，它的变化是被动的、由自变量决定的量叫做因变量。数值始终保持不变的量叫做常量。 【题型 1】变量与常量的理解 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．在这个变化过程中，变量为______，常量为______． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某款汽车紧急刹车后滑行的距离s（单位：）大致满足，其中v（单位：）表示刹车前汽车的速度，这个关系式中的自变量和因变量分别是（    ） A．300；s B．s；300 C．s；v D．v；s 【变式2】（24-25八年级下·全国·阶段检测）如图，把两根木条和的一端用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面说法不正确的是（   ） A．的度数是变量 B．的面积是变量 C．的长度是常量 D．的长度是常量 【变式3】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）正方形的周长与边长之间的关系为，则常量为_________． 【题型 2】图象与几何中的常量与变量 【例题2】（24-25七年级下·全国·课后作业）该公园内有一音乐喷泉，喷出水的高度y（单位：m）与音乐响起的时间t（单位：min）的变化情况如图所示．在这个变化过程中，自变量为___________，因变量为________________． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积．若h为定长，则（   ） A．S，a是变量 B．S，h是常量 C．h，a是变量 D．S，a是常量 【变式2】（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）边形从一个顶点引出对角线的条数为，与的关系是，其中常量是 __，变量是 __． 【题型 3】生活中的常量与变量 【例题3】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）小亮去超市买生鲜，电子秤的数据显示屏显示重量、单价、金额三个量，则这三个量中的常量是______．（填“重量”或“单价”或“金额”） 【变式1】（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）在利用电热水壶烧水的过程中，电热水壶的水的温度随烧水时间的长短而变化，这个问题中，自变量是___________，因变量是________ 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）程程在收拾家务时，把32个玩具随机放入两个箱子（每个箱子都放），第一个箱子放入a个，第二个箱子放入b个．这个问题中的变量是（   ） A．a B．6 C．a和32 D．a和b 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【题型 4】常量与变量相关的运算 【例题4】（24-25六年级下·全国·单元测试）为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数的变化关系如表所示： 1 2 3 4 5 … /棵 4 8 … 观察表中数据可知，该班有8人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为_____棵． 【变式1】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表： 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … 则放水时，水池中有水______． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温（单位：）随时间（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 水温 18 34 50 66 若水温的变化是均匀的，则每分钟水温增加______． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）王师傅为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 400 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为，则A，B两地之间的路程是______． 二.同步检测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分,） 1．（24-25六年级下·全国·单元测试）一粒石子落入湖面，形成一个如圆周样的涟漪，在圆周长与半径的关系式中，常量是（    ） A．和2 B． C． D．， 2．（25-26六年级下·全国·课后作业）一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（    ） A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下表是公园内某天（细颗粒物）含量与时间之间的关系．在这个情境中，自变量是（   ） 时间 1时 2时 3时 4时 … 含量 0.02 0.03 0.019 0.03 … A．时间 B．含量 C．公园的天气 D．公园的人数 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 5．（24-25七年级下·全国·周测）手工课上，轩轩用火柴棒按图所示的方法设计图案，火柴棒的根数m随三角形的个数n的变化而变化．在这一变化中，下列说法错误的是（   ） A．m，n都是变量 B．n是自变量，m是因变量 C．m是自变量，n是因变量 D．m随着n的变化而变化 6．（25-26七年级上·全国·期末）李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（25-26六年级下·全国·单元测试）某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是__________ ． 10．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）圆柱的底面半径是，当圆柱的高h由小到大变化时，圆柱的体积V也随之发生了变化．则V与h的关系式为___________． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么下列各量中：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量，变量的个数是_______． 12．（24-25七年级下·山东·期末）某快递公司同城快递的收费标准如下表（交寄物品的质量不足按计）： 质量 1 2 3 4 5 … 费用元 … 若小明交寄了的物品，则他需要支付的快递费用为______元． 13．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图描述的是大部分男子身高与所穿运动鞋的鞋码之间的关系，根据该趋势图估计身高为的男子所穿的鞋码大致是_______码． 14．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·阶段检测）一个等腰三角形的周长为24，其中它的腰长为自变量，底边长为因变量，则用表示的关系式是_____________. 15．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某车间每天需要完成一定量的零件的生产任务，每一名工人每天生产的零件数量和需要安排的工人人数如表，那么该车间每天需要完成零件__________件； 每一名工人每天生产的零件数量/件 60 40 30 … 需要安排的工人人数/人 2 3 4 … 16．（24-25七年级下·全国·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）：________________． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）：________________． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）：________________． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）：________________． （3） 解答题（本大题共4小题，共32分） 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）写出下列关系式中的常量、自变量与因变量： （1）分针旋转一周内，旋转的角度n（单位：°）与旋转的时间t（单位：min）之间的关系式为． （2）某市居民用电价格是0.58元/kW·h，居民生活应交电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW·h）之间满足． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一个容积为的水池，现用10台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水． （1）抽水后，水池中还有水________． （2）在这一变化过程中，哪些是变量？哪些是常量？ （3）几小时后才能把满池水抽干？ 19．（24-25六年级下·山东泰安·期末）小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）根据图象回答以下问题： （1）哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）11时，他离家多远？11时到12时他行驶了多少千米？ （3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？在这个地方待了多长时间？ （4）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？ 20．（24-25七年级下·四川成都·期中）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 （1）在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； （2）声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______； （3）某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $