精品解析：河北省廊坊市第四中学2025-2026 学年度第二学期期中考试八年级数学

2025-2026学年度第二学期期中考试八年级数学 一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 下列式子中，为最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，2， B. 1，，2 C. 3，6，7 D. 6，9，12 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 6. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）． A. B. C. D. 7. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 如图，四边形的对角线和交于点，则下列能判断四边形是平行四边形的条件是（ ） A. ， B. C. ， D. 9. 如图，连接正八边形的两条对角线， ，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图给出了四边形的部分数据，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，菱形的对角线，交于点O，E是的中点，，则的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 12. 如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接，下列结论：①，②，③，④，正确的有几项（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 直角三角形中，两直角边的长分别为3和4，则斜边的中线长为 __________________． 14. 已知n是正整数，是整数，求n的最小值为___． 15. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为___________． 16. 如图，受台风影响，一棵米高的树被风刮断了，树顶落在离树根米处，则折断处的高度为__________米． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为，． （1）求的值； （2）求这两个正方形的周长之和． 18. 小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：” （1）他把“”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果； （2）他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？ 19. 一个多边形的每个内角都相等，每个内角是它相邻的外角的3倍，求这个多边形的边数． 20. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 21. 如图，在中，D，E分别为AB，AC的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若，，，求AC的长． 22. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积与周长； （2）是直角吗？请说明理由． 23. 嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图，在四边形中，，______． 求证：四边形是______四边形． （1）在方框中填空，以补全已知和求证； （2）按嘉淇的想法写出证明． 24. 如图，在四边形中，//，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始： （1）当运动，判断此时：四边形的形状，并证明． （2）当时，求长． （3）当时，需经过多少时间？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试八年级数学 一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 2. 下列式子中，为最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义对每个选项一一判断即可. 【详解】A.=2，不是最简二次根式； B.是最简二次根式； C.=，不是最简二次根式； D.=，不是最简二次根式. 故选B. 【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义. 3. 以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. ，2， B. 1，，2 C. 3，6，7 D. 6，9，12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，2，的三边不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为1，，2的三边可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴长为3，6，7的三边不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为6，9，12的三边不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法和除法运算、二次根式的性质，掌握运算法则及性质是关键，同时在二次根式的学习中避免犯类似错误． 根据二次根式的运算法则及性质即可解答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能相加，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这个四边形是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故测量方案正确的是：A． 6. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理计算出另一条直角边，结合平移得出最小长度． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，， 由平移的性质可得，地毯的长度至少需要． 7. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了多边形的外角和．由题意可知此多边形为正多边形，根据多边形外角和的性质“多边形的外角和为”求解即可． 【详解】解：由题意可知此多边形为正多边形， 则正多边形的边数为． 故选：C． 8. 如图，四边形的对角线和交于点，则下列能判断四边形是平行四边形的条件是（ ） A. ， B. C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A. ，不能判断四边形是平行四边形； B. ，不能判断四边形是平行四边形； C. ，，四边形是平行四边形，符合题意； D. ，不能判断四边形是平行四边形． 9. 如图，连接正八边形的两条对角线， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题以正多边形及其外接圆为载体，以正多边形的性质及其应用，解题的关键是掌握相关的知识．首先证明圆周长，然后求出所对的圆心角度数为，问题即可解决． 【详解】解：设正八边形的外接圆为； 正八边形的各边相等， 圆周长， 所对的圆心角度数为， 圆周角． 故选：C． 10. 如图给出了四边形的部分数据，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．由题意得，，，推出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 四边形是平行四边形， ， ． 故选：D． 11. 如图，菱形的对角线，交于点O，E是的中点，，则的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键． 由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故选：A． 12. 如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接，下列结论：①，②，③，④，正确的有几项（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①利用正方形的性质证明即可； ②利用的性质得出相等的角，然后利用等量代换即可求解； ③延长和，相交于点，证明，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解； ④利用反证法进行证明即可． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴， ∴E、F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴②正确，符合题意； ③如图所示，延长和，相交于点， ∵E是的中点， ∴， 又∵,， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴③正确，符合题意； ④假设， 由③得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 显然，矛盾， ∴假设错误， ∴④不符合题意； 综上，正确选项为①②③， 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线定理，反证法，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是能够综合运用上述知识． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 直角三角形中，两直角边的长分别为3和4，则斜边的中线长为 __________________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出斜边，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案． 【详解】解：根据勾股定理得，斜边为， ∴斜边上的中线为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 14. 已知n是正整数，是整数，求n的最小值为___． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简成最简二次根式即可解答． 【详解】解：∵， 是整数，是正整数， ∴是整数，即6n能被开方， ∴n的最小值6． 故填6． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，灵活利用二次根式的性质是解答本题的关键． 15. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据菱形的性质得，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， 所以菱形的边长为5． 16. 如图，受台风影响，一棵米高的树被风刮断了，树顶落在离树根米处，则折断处的高度为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形边长之间的关系是解题的关键． 假设的长度为米，故长度为米，根据勾股定理，可求出的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可知三角形为直角三角形， 根据勾股定理，得， 设的长度为米，故长度为米，结合米， 可得方程， 解得， 故的长度为米， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为，． （1）求的值； （2）求这两个正方形的周长之和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为． 18. 小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：” （1）他把“”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果； （2）他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？ 【答案】（1）4 （2） 设“”处的数字是，则 ， ∴， 解得：， ∴“”处的数字是． 【解析】 【分析】（1）把10代入列式，再计算即可； （2）设“”处的数字是，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： 他计算出的结果为4； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，方程思想的应用，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键． 19. 一个多边形的每个内角都相等，每个内角是它相邻的外角的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】8 【解析】 【详解】解：设这个多边形的一个外角为，则相邻内角为， 由内角与相邻外角互补得 ， 解得 ， 因为任意多边形的外角和为，且该多边形每个内角相等， 因此每个外角也相等， 所以这个多边形的边数为 ． 20. 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 【答案】水深12尺，芦苇的长度是13尺 【解析】 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深尺，芦苇尺，1丈=10尺， 由勾股定理：， 解得：， ∴， 答：水深12尺，芦苇的长度是13尺． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 21. 如图，在中，D，E分别为AB，AC的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若，，，求AC的长． 【答案】（1） 解：，分别为，的中点， 是的中位线． ． ， 四边形是平行四边形． 又， ． 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理证明平行关系，再结合一组对边平行且相等证明平行四边形，最后根据直角证明矩形； （2）先利用等腰直角三角形性质求 ，结合矩形性质求，再通过三角形中位线和勾股定理求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 是等腰直角三角形，． ， ， 由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形， ，，， ， ． 为的中点， ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用中位线定理推导平行和线段关系，结合勾股定理求解线段长度． 22. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积与周长； （2）是直角吗？请说明理由． 【答案】（1）16， （2） 是直角，理由如下： 连接，由勾股定理，得：， 由（1）知：，， ∴； ∴是直角． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键： （1）勾股定理求出各边长，求出周长即可，分割法求出面积即可； （2）连接，勾股定理逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：由图可知：四边形的面积； 由勾股定理，得：， ， ∴四边形的周长为：； 【小问2详解】 略 23. 嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图，在四边形中，，______． 求证：四边形是______四边形． （1）在方框中填空，以补全已知和求证； （2）按嘉淇的想法写出证明． 【答案】（1），平行 （2） 证明：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全已知和求证即可； （2）连接，证明，进而得到，得到，即可得证． 【小问1详解】 解：已知：如图，在四边形中，，． 求证：四边形是平行四边形． 【小问2详解】 略 24. 如图，在四边形中，//，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始： （1）当运动，判断此时：四边形的形状，并证明． （2）当时，求长． （3）当时，需经过多少时间？ 【答案】（1） 四边形PQCD为平行四边形， 证明：由题意得AP=t，PD=24-t，CQ=3t，BQ=26-3t， 运动6s时，AP=6cm，CQ=18cm， 又∵AD=24cm， ∴PD=AD-AP=18cm=CQ， ∵AD∥BC， ∴PD∥CQ，PD=CQ， ∴四边形PQCD为平行四边形； （2） （3）6s或7s 【解析】 【分析】（1）由题意得AP=t，PD=24-t，CQ=3t，BQ=26-3t，运动6s时，AP=6cm，CQ=18cm，证出PD=CQ，由平行四边形的判定可得出答案； （2）证明四边形APQB为矩形，由矩形的性质得出BQ=AP，求出AP的长，由勾股定理可得出答案； （3）根据PQ=CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，过点P作PS∥CD，PM⊥BC于M，证出QM=MS=2，可得3t=4+24-t，解此方程即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当PQ=8cm时，PQ=AB=8cm， 又∵∠B=90°， ∴四边形APQB为矩形， ∴BQ=AP， 即26-3t=t， ∴AP=t=6.5， ∴AQ=； 【小问3详解】 解：若PQ=DC，分两种情况： ①PQ∥DC，由（1）可知，t=6， ②PQ与CD不平行，过点P作PS∥CD，PM⊥BC于M， 由四边形PDCS为平行四边形得，PD=CS=24-t，PS=CD， 由四边形ABMP为矩形得，BM=AP=t， ∴MS=26-24=2， ∵PQ=PS=CD， ∴QM=MS=2， ∴3t=4+24-t， 解得：t=7． 综上所述，满足条件的t的值为6或7． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $