精品解析：河北省廊坊市广阳区第六中学2024学年-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

八年级第二学期期中考试 数学（人教版） 本试卷共8页、总分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是二次根式，则的值不能为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再逐项分析即可判断． 【详解】解：是二次根式， ， A、，的值能为3，不符合题意； B、，的值能为，不符合题意； C、，的值不能为，符合题意； D、，的值能为，不符合题意； 故选：C． 2. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形对角相等，直接求解． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴． 故选：B． 3. 在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（ ） A. B. C. D. 不确定哪个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意直接利用勾股定理的逆定理进行判断即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，，的对边分别是a，b，c，且， ∴． ∴b、c是两直角边，a是斜边， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理．注意掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 4. 下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（ ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A. ①和②都正确 B. ①和②都不正确 C. 只有①不正确 D. 只有②不正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了原命题与逆命题，判断逆命题的真假，解题的关键是熟练掌握命题的结构． 根据原命题，写出逆命题，判断逆命题的真假即可． 【详解】解：∵命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”， ∴①正确， ∵如果两个角相等，这两个角不一定是对顶角，比如，等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角， ∴②不正确， ∴只有②不正确，  故选：． 5. 如图，三个正方形围成一个直角三角形，其中两个较小正方形的面积分别为，，则字母所代表的正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据正方形的面积公式和勾股定理，可得字母所代表的正方形的面积，根据正方形的边长与面积之间的关系即可求得边长． 【详解】解：由题意可知，字母所代表的正方形的面积， ∴字母所代表的正方形的边长为，  故选：． 6. 如图给出了四边形的部分数据，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．由题意得，，，推出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 四边形是平行四边形， ， ． 故选：D． 7. 如图，甲、乙、丙三人手中各有一张卡片，卡片上分别写有一个算式，在这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ） A. 3张 B. 2张 C. 1张 D. 0张 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，有理数的定义，解题的关键是熟练掌握运算法则． 按照运算法则求出每个算式的结果，根据有理数的定义“整数和分数统称为有理数”判断即可． 【详解】解：∵，是有理数， ，是有理数， ，是有理数， ∴计算结果是有理数的有张，  故选：． 8. 在中，对角线与交于点，下列结论正确的有（ ） ①；②；③当时，四边形是正方形 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，解题的关键是熟练掌平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质，对每一个结论进行分析判断即可． 【详解】解：∵在中，对角线与交于点， ∴，，， ∴结论①正确， ∵对角线与不一定相等， ∴结论②不正确， 当时，四边形是矩形， ∵邻边不一定相等， ∴结论③不正确， ∴正确的结论有个，   故选：． 9. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、三角形的面积，利用勾股定理求线段长度是解题的关键．根据勾股定理求出、、，利用勾股定理的逆定理推出，再利用割补法求出，结合选项即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 结合选项可得，A、B、C选项结论正确，D选项结论不正确． 故选：D． 10. 如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（ ） A. 小于12.5米 B. 大于12.5米 C. 等于12.5米 D. 大于等于12.5米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边中线性质，是解题的关键． 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，由M是的中点，所以中，． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵M是的中点， ∵， M是的中点， ∴中，． 故选：C． 11. 在平行四边形中，，．要求在边，上分别找到点，，使四边形是菱形．下面有两种方案，下列判断正确的是（ ） A. 只有方案I可行 B. 只有方案Ⅱ可行 C. 方案I、Ⅱ都可行 D. 方案I、Ⅱ都不可行 【答案】A 【解析】 【分析】方案I：设与相交于点，证明，得出，从而得出，即可得出四边形为菱形；方案II：得出，证明出，即可四边形为平行四边形，但不能判断四边形为菱形． 【详解】解：方案I：如图，设与相交于点， ∵是线段的垂直平分线， ∴，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 方案II：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不能判断四边形为菱形； 综上所述，只有方案I可行， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 12. 如图，在的小正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点均在网格的格点（网格线的交点）上，这样的平行四边形最多可画个，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据题意结合平行四边形的性质画图即可得解，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意画图如下： ， 故的值为， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 请写出一个正整数的值：__________________，使是最简二次根式． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴或或等， ∴或或等， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在矩形中，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质（对角线相等且互相平分 ）和三角形中位线定理（三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半 ），熟练掌握矩形性质和三角形中位线定理是解题的关键．先根据矩形性质得出对角线的关系，求出的长度，再利用三角形中位线定理，结合、是中点，得出与的数量关系，进而求出的长． 【详解】解：四边形是矩形，， ，且，， ． ，分别是线段，的中点， 是的中位线， ， ． 故答案为： ． 15. 已知一个矩形的周长为，其中一条边长为，则这个矩形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键．先利用周长和一边长度求出另一边长度，再求面积即可． 【详解】解：∵矩形的周长为，其中一条边长为， ∴矩形的另外一条边长为 ， ∴矩形的面积为 ， 故答案为：． 16. 如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，是边上的动点，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为，连接，则的最小值为________________ 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过点向的延长线作垂线，垂足为点，根据折叠性质及三角形三边关系得出有最小值为，利用含角的直角三角形的性质及勾股定理求得，从而求得的最小值即可得答案． 【详解】解：连接，过点向的延长线作垂线，垂足为点，如图： ∵将沿所在直线翻折得到，点的对应点为， ∴， ∵， ∴在上的时，有最小值为， 四边形是菱形，是边的中点， ，，， ， ∴, ∴在中，， ∴， ， 在中， ， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，最短距离问题、含角的直角三角形的性质及勾股定理，根据三角形三边关系得出有最小值为，是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各小题． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先计算每一部分，再进行加减即可； （2）先计算每一部分，再进行加减即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 如图，工人王师傅在制作矩形木框时分①、②、③、④四个步骤进行． ①先截出两对符合规格（每对的长度相等）的等宽木条； ②将步骤①中的木条首尾相接钉成②中的四边形木框； ③将直角工具紧靠四边形木框的一个角，调整木框的边框； ④将木框的边框调整至直角工具的两条边与木框无缝隙时停止． （1）步骤②中四边形是平行四边形吗？并说明理由； （2）上述四个步骤结束时，判断王师傅制作的木框是否为矩形，并说明判断依据． 【答案】（1） 步骤②中四边形是平行四边形， 理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 答：步骤②中四边形是平行四边形． （2） 四个步骤结束时，王师傅制作的木框为矩形， 判断依据：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵步骤④中，， ∴，， ∴四边形为矩形， 答：四个步骤结束时，王师傅制作的木框为矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理． （1）根据平行四边形的判定定理，可得四边形的形状； （2）由平行四边形的性质可知对边平行，根据平行线的性质，结合已知可得四边形的内角，根据矩形的判定定理，可得四边形的形状． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，代数式求值，完全平方式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接将，代入式子计算即可； （2）先利用完全平方式将变形为，再代入进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形； （2）4 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 21. 某公园的西门和东门之间有一片绿植，为满足市民的通行需求，市政部门修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方向上，点在点的正东方向上，米，米，在的北方，且米，栅栏（笔直）将四边形分成了和两部分． （1）求栅栏的长； （2）请通过计算比较区域和区域栽种绿植的面积大小． 【答案】（1）栅栏的长为米； （2）区域栽种绿植的面积大于区域栽种绿植的面积． 【解析】 【分析】本题考查了方位角，勾股定理及其逆定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）根据题意确定三角形的形状，用勾股定理解三角形即可； （2）通过计算，得出线段之间的数量关系，根据勾股定理的逆定理，确定三角形的形状，分别求两个三角形的面积，进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵点在点的正南方向上，点在点的正东方向上， ∴， ∵米，米， ∴（米）， 答：栅栏的长为米． 【小问2详解】 解：∵米，米， ，， ∴， ∴是直角三角形，， 在中，米，米，， ∴区域栽种绿植的面积（平方米） 在中，米，， ∴区域栽种绿植的面积（平方米） ∵， ∴， 答：区域栽种绿植的面积大于区域栽种绿植的面积． 22. 如图，在中，与交于点，是边延长线上一点，连接．若，． （1）的长为_____________；若，则的长为__________________； （2）当，且时，四边形是菱形吗？请说明理由，并求此时的长； （3）当与之间满足数量关系：_____________时，四边形是矩形． 【答案】（1）； （2） 解：四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵在中，； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）利用四边形是平行四边形，得出，利用中位线性质得出； （2）利用直角三角形斜边中线的性质得出，结合四边形是平行四边形，得出四边形是菱形，求出，利用勾股定理即可得出； （3）要使四边形是矩形，结合四边形是平行四边形，则只需，又易证，只需即可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：要使四边形是矩形． ∵四边形是平行四边形， ∴只需， 由（1）可得， 又平行四边形中， ∴， ∴只需即可证明四边形是矩形， 故答案为：． 23. 如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． （1）现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ （2）将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 【答案】（1）甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短； （2）蚂蚁经过的路程最短路程为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可； （2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵纸盒是棱长为的立方体， ∴甲设计的爬行路线长为， 乙设计的爬行路线长为， 丙设计的爬行路线长为， ∵， ∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短， 答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短． 【小问2详解】 解：∵两点之间线段最短， ∴不考虑沿着棱爬行的情况， 如图所示， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， ∵， ∴蚂蚁沿爬行，经过的路程最短，最短路程为， 答：蚂蚁经过的路程最短路程为． 24. 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向运动到点，点从点出发，沿方向运动到点，点，的速度均为每秒1个单位长度．设点，的运动时间为（秒）． （1）求与之间的距离； （2）求当为何值时，四边形是平行四边形，并求此时四边形的面积； （3）分别过点，作于点，于点，若以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，证明四边形是矩形，求出，再利用勾股定理求出即可； （2）先列式得出，，，要使四边形是平行四边形，只需即可，列式求解即可； （3）先证明四边形是矩形，四边形是矩形，分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，得出要使以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，只需即可，分别列式求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， 则， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即与之间的距离为； 【小问2详解】 解：设点，的运动时间为（秒）， ∵点，的速度均为每秒1个单位长度．，， ∴，，， 要使四边形是平行四边形， ∵， ∴只需即可， ∴， 解得：， 此时， 由（1）可知，与之间的距离为， ∴四边形的面积为； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 当在左侧时，如图， 要使以，，，四个点为顶点的四边形是正方形， 则只需， ∵与之间的距离为， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当在右侧时，如图， 要使以，，，四个点为顶点的四边形是正方形， 则只需， ∵与之间的距离为， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上，或． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形和正方形的判定，勾股定理，一元一次方程的应用等，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级第二学期期中考试 数学（人教版） 本试卷共8页、总分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是二次根式，则的值不能为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（ ） A. B. C. D. 不确定哪个角是直角 4. 下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（ ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A. ①和②都正确 B. ①和②都不正确 C. 只有①不正确 D. 只有②不正确 5. 如图，三个正方形围成一个直角三角形，其中两个较小正方形的面积分别为，，则字母所代表的正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图给出了四边形的部分数据，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，甲、乙、丙三人手中各有一张卡片，卡片上分别写有一个算式，在这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ） A. 3张 B. 2张 C. 1张 D. 0张 8. 在中，对角线与交于点，下列结论正确的有（ ） ①；②；③当时，四边形是正方形 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一架施工云梯靠在墙（垂直于地面）上，云梯底端A到墙根的距离为7米，云梯顶端到地面的距离为24米，在云梯中点处有一个操作平台，连接，现将云梯的底端A向外移动到处，则的长将（ ） A. 小于12.5米 B. 大于12.5米 C. 等于12.5米 D. 大于等于12.5米 11. 在平行四边形中，，．要求在边，上分别找到点，，使四边形是菱形．下面有两种方案，下列判断正确的是（ ） A. 只有方案I可行 B. 只有方案Ⅱ可行 C. 方案I、Ⅱ都可行 D. 方案I、Ⅱ都不可行 12. 如图，在的小正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点均在网格的格点（网格线的交点）上，这样的平行四边形最多可画个，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 请写出一个正整数的值：__________________，使是最简二次根式． 14. 如图，在矩形中，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为______ 15. 已知一个矩形的周长为，其中一条边长为，则这个矩形的面积为_________． 16. 如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，是边上的动点，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为，连接，则的最小值为________________ 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各小题． （1）； （2）． 18. 如图，工人王师傅在制作矩形木框时分①、②、③、④四个步骤进行． ①先截出两对符合规格（每对的长度相等）的等宽木条； ②将步骤①中的木条首尾相接钉成②中的四边形木框； ③将直角工具紧靠四边形木框的一个角，调整木框的边框； ④将木框的边框调整至直角工具的两条边与木框无缝隙时停止． （1）步骤②中四边形是平行四边形吗？并说明理由； （2）上述四个步骤结束时，判断王师傅制作的木框是否为矩形，并说明判断依据． 19. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 20. 在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求的长． 21. 某公园的西门和东门之间有一片绿植，为满足市民的通行需求，市政部门修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方向上，点在点的正东方向上，米，米，在的北方，且米，栅栏（笔直）将四边形分成了和两部分． （1）求栅栏的长； （2）请通过计算比较区域和区域栽种绿植的面积大小． 22. 如图，在中，与交于点，是边延长线上一点，连接．若，． （1）的长为_____________；若，则的长为__________________； （2）当，且时，四边形是菱形吗？请说明理由，并求此时的长； （3）当与之间满足数量关系：_____________时，四边形是矩形． 23. 如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． （1）现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ （2）将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 24. 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向运动到点，点从点出发，沿方向运动到点，点，的速度均为每秒1个单位长度．设点，的运动时间为（秒）． （1）求与之间的距离； （2）求当为何值时，四边形是平行四边形，并求此时四边形的面积； （3）分别过点，作于点，于点，若以，，，四个点为顶点的四边形是正方形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $