专题07 一元一次不等式章末63道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版）

专题07 一元一次不等式章末63道压轴题型专训（9大题型） 题型一 一元一次不等式的解集压轴 题型二 一元一次不等式的整数解压轴 题型三 一元一次不等式的最值压轴 题型四 一元一次不等式组的解集压轴 题型五 一元一次不等式组的整数解压轴 题型六 一元一次不等式组与方程组结合压轴 题型七 特殊不等式组压轴 题型八 一元一次不等式的新定义运算 题型九 一元一次不等式组的实际应用 【经典例题一 一元一次不等式的解集压轴】 1．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）“因为满足的每一个数都是的解，所以不等式的解集就是．”这句话是否正确？请说明理由． 2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的两个不等式：与． (1)若这两个不等式的解集完全相同，求m的值； (2)若不等式的所有解都能使不等式成立，求m的取值范围． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于，的二元一次方程组，其中为常数． (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足，求应满足的条件． 4．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，． (1)若，则点A，B间的距离是多少？ (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边还是右边？说明理由． 5．（25-26七年级下·江苏南京·月考）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由①，得，第一步 ．第二步 由②，得，第三步 ，第四步 ．第五步 故原不等式组的解集为． 圆圆的解答过程从哪一步开始出错？请写出正确的解答过程． 6．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 故原方程的解是． (1)解方程：． (2)已知关于的方程： ①若方程无解，则的取值范围是_________； ②若方程只有一个解，则的值为_________． ③若方程有两个解，则的取值范围是_________． (3)解方程：． 7．（2025·山东·模拟预测）按要求解决问题： (1)如图，数轴上点A、B表示的数为a、b，且，化简． (2)下面是小茜同学解不等式的过程． 解：…………第一步 …………… 第二步 ……………第三步 ……………………第四步 ．………………………第五步 ①第二步的变形依据是 （填运算律）； ②小茜同学第 步开始出错，错误原因是 ； ③求出不等式正确的解集． 【经典例题二 一元一次不等式的整数解压轴】 8．（24-25七年级下·江西赣州·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，求满足题意的最小整数a． 9．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知关于、的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 解： 10．（24-25七年级下·山东烟台·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)不等式______（选填“是”或“不是”）的“云不等式”； (2)若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，且有个公共的整数解，求的取值范围． 11．（24-25七年级下·河南商丘·期末）【情境再现】 （1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下： 已知关于的方程的解是负数，求的取值范围． 【拓展】 （2）若关于，的方程组的解满足，求的最大整数值．   12．（2025·河北唐山·二模）如图，几个写有数字和运算符号的小球用实线、虚线穿在了一起，甲，乙两人分别沿实线和虚线将数按照小球上面标记以及小球穿线的顺序进行计算，得到的结果分别为和． (1)当的值为时，求的值； (2)若与的差大于，求的最小整数值． 13．（24-25七年级下·江苏南京·月考）材料阅读： 已知，为整数，关于的不等式的最小整数解为，关于的不等式的最大整数解为．根据材料回答以下问题： 已知，是整数，关于的不等式的最小整数解为，关于的不等式的最大整数解为． （1）求，的值； （2）在（1）的条件下，若，求符合题意的最大整数； （3）在（1）的条件下，求关于，的方程的非负整数解． 14．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【经典例题三 一元一次不等式的最值压轴】 15．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知关于x，y的方程组． (1)当时，求此方程组的解． (2)当x与y满足条件时，求m的取值范围． (3)在（2）的条件下，求的最大值． 16．（24-25七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 17．（25-26八年级上·江苏南京·寒假作业）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若该方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是多少？ (2)若，且，试求x的最小值． 18．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，小砾同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数x值，相应地会输出一个y值． (1)若输入一个正偶数，且输出y的值不大于6，求输入x的值． (2)若输出y的值大于52，求输入x的最小值． 19．（24-25七年级下·北京·期末）在数据处理中通常要把一组范围很大的数据（通过某种算法）限制在需要的一定范围内．现定义一种“映射变化”：对于数组 若其中最小值为则用 替换数组中的每个数例如： 原数组为，其中最小值为15，那么是它的“映射变化”数组，这个数组的最大值是 (1)数组通过“映射变化”得到的数组是 ． (2)若数组|的“映射变化”数组的最大值为1，求x的值． 20．（25-26七年级上·安徽六安·月考）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 21．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“相伴方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“相伴方程”． (1)在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“相伴方程”的有 (填序号)； (2)关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的“相伴方程”．且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“相伴方程”． ①求a的取值范围； ②直接写出代数式的最小值． 【经典例题四 一元一次不等式组的解集压轴】 22．（25-26七年级下·上海闵行·期中）已知关于的二元一次方程组，若方程组的解是正数，求的取值范围． 23．（25-26七年级下·安徽淮北·月考）已知x、y满足． (1)当时，求x的取值范围； (2)当x、y满足，，且时，求m的取值范围． 24．（2026·河北邢台·一模）某同学解一个关于的一元一次不等式组，已知不等式①的解集如图1所示． (1)求m的值； (2)解此不等式组，并在图2所示的数轴上表示出解集． 25．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 26．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”． 例如：不等式组是不等式组：的“子集”． (1)若不等式组，不等式组，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填“”或“”）； (2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是多少？ 27．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解不等式（组） (1)求不等式组：的所有整数解． (2)下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：第一步 去括号，得：第二步 移项，得：第三步 合并同类项，得：第四步 系数化为1，得：第五步 ①小星同学的解答过程从第 步开始出错；错误原因 ． ②请写出你认为正确的解答过程． 28．（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【经典例题五 一元一次不等式组的整数解压轴】 29．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）按下列要求解不等式或不等式组： (1)解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，并求出该不等式组的所有整数解． 30．（25-26七年级下·江苏常州·期中）解不等式及不等式组： (1)解不等式：，并将不等式的解集在数轴上表示； (2)解不等式组：，并写出所有正整数解． 31．（2026·重庆·一模）求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式得______， 解不等式得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 32．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）（1）解不等式组并写出它的所有整数解． （2）解不等式组并写出它的所有非负整数解． 33．（24-25七年级下·云南临沧·期末）若不等式（组）有（为自然数）个正整数解，则称这个不等式（组）为阶不等式（组）．例如：有2个正整数解，则称它为2阶不等式；有3个正整数解，则称它为3阶不等式组，特殊地，如，有0个正整数解，则称它为0阶不等式． (1)判断：是几阶不等式？是几阶不等式组？ (2)已知关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围． 34．（24-25七年级下·北京海淀·期末）如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的． 例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的． (1)下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）； ①，②，③ (2)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围； (3)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，直接写出a的取值范围 35．（25-26七年级下·广西贵港·期中）定义：若一个不等式组有解且解集是，则称为的“绝对距离”．若的绝对距离是不等式组的一个解，则称对于 “绝对包含”．例如：已知不等式组和．解集：，其绝对距离为；的解集：，因为，所以是的解，对于绝对包含． (1)已知关于的不等式组， ①这个不等式组的解集是______． ②这个不等式组的绝对距离是______． ③结合不等式组，判断：不等式组______（填“是”或“不是”）对绝对包含； (2)已知关于的不等式组，不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组，若存在整数，使得不等式组对于不等式组绝对包含，求满足条件的所有整数的和． 【经典例题六 一元一次不等式组与方程组结合压轴】 36．（24-25七年级下·山东德州·期末）若关于x，y的方程组 (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求的整数解； 37．（24-25七年级下·四川巴中·期末）已知方程组的解满足x为负数，y为非正数，求： (1)m的取值范围； (2)化简； (3)在（1）的条件下，若的解集为，请写出整数m的值． 38．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）已知x、y满足． (1)用含有x的代数式表示y； (2)当时，求x的取值范围； (3)当x、y满足，且时，求m的取值范围． 39．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”. (1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； (2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； (3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围. 40．（24-25七年级下·湖北恩施·月考）阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：． (1)填空：若，则___________，，则x的取值范围___________． (2)芳对于正整数m、n，满足，求的值； (3)若对于两个非负数x、y，满足，求实数k的取值范围． 41．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）阅读下列材料： 问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，求x+y的取值范围． 解：∵x﹣y＝2．∴x＝y+2， 又∵x＞1， ∴y+2＞1， ∴y＞﹣1， 又∵y＜0， ∴﹣1＜y＜0①， ∴﹣1+2＜y+2＜0+2， 即1＜x＜2②， ①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2， ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2， 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知x﹣y＝5，且x＞2，y＜0，则x的取值范围是_____；x+y的取值范围是______； (2)已知x﹣y＝a，且x＜b，y＞﹣b，根据上述做法得到-5＜2x+y＜4，求a、b的值． 42．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解． 例如：不等式被不等式“包含”． (1)下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ． A、   B、      C、     D、 (2)若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值． (3)已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 【经典例题七 特殊不等式组压轴】 43．（24-25七年级下·江苏南京·单元测试）解不等式：． 解：根据“有理数的乘法法则”，即两数相乘，同号得正，可得①或②．由①，得，所以．由②，得，所以． 所以不等式的解集为或． 请你根据上面的解法解不等式：． 44．（24-25七年级下·江苏南京·单元测试）阅读材料：解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数， ∴原不等式可转化为：①或② 解①得：无解，解②得： ∴原不等式的解集是 请仿照上述方法解分式不等式： 45．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则 即可以写成： 解不等式组得： ②当若，则 即可以写成： 解不等式组得： 综合以上两种情况：不等式解集：或． （以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 46．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集， 解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时，； 当，即时，此不等式为无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式． 47．（2025七年级下·江苏·专题练习）定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的蕴含不等式． (1)在不等式中，是的蕴含不等式的是 　　； (2)若是的蕴含不等式，求的取值范围； (3)若是的蕴含不等式，是的蕴含不等式，求n的取值范围． 48．（24-25七年级下·江苏南京·期中）阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 49．（24-25七年级下·河南新乡·期末）【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【经典例题八 一元一次不等式的新定义运算】 50．（2025七年级上·湖北恩施·模拟预测）根据绝对值的定义表示代表的点到原点的距离，则可表示代表的点到表示的点的距离．已知，求满足条件的所有的整数解． 51．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）定义一种新运算“a△b”：当a≥b时，a△b=a+2b；当a＜b时，a△b=．例如：3△=3+2×=，1△2=12×2=． （1）填空：△3= ．（直接写结果） （2）若（3m-4）△（m+6）=（3m-4）+2（m+6），求m的取值范围； （3）已知（3x-7）△（3-2x）＜-6，求x的取值范围； 52．（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 53．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）定义一种新运算“”：当时，；当时，． 例如：． （1）填空：_________； （2）若，则x的取值范围为_________； （3）已知，求x的值． 54．（24-25七年级下·江苏南京·单元测试）定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． (1)若关于的不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若关于的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求的取值范围． 55．（24-25七年级下·福建泉州·期末）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； (2)若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值． 56．（24-25七年级下·湖南永州·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“浯溪水亦香方程”．例如的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组，的“浯溪水亦香方程”． (1)方程是下列哪些不等式组的______“浯溪水亦香方程”：（填序号） ①；②；③． (2)若关于的方程是不等式组的“浯溪水亦香方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“浯溪水亦香方程”，其中，求的取值范围． 【经典例题九 一元一次不等式组的实际应用】 57．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． (1)若，直接写出该程序需要运行_____次才停止； (2)若该程序只运行了2次就停止了，求的取值范围． 58．（2026·江西宜春·一模）为落实教育部2026年人工智能进中小学课标、教学、评价的部署，推进探究式科学教育，激发学生好奇心与创新实践能力，某校计划采购A、B两类科学实验套装，助力学生在实践中提升科技素养．已知购买1件A种实验器材与2件B种实验器材共需要500元，购买2件A种实验器材与3件B种实验器材共需要850元． (1)求A种实验器材和B种实验器材的单价； (2)该学校计划购买A种实验器材和B种实验器材共180件，总费用不超过30000元，那么最多能购买A种实验器材多少件？ 59．（25-26七年级下·全国·期中）新中考体育考试项目已经确定，为方便选排球的同学在校训练，某中学共购买了50个排球，其中购买A种品牌的排球30个，B种品牌的排球20个，共花费3100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高30元． (1)A，B两种品牌排球的单价各是多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠4元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A，B两种品牌排球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的排球不少于20个，请通过计算说明学校有几种购买方案． 60．（24-25七年级上·广西桂林·期末）某校两名教师带若干名学生去旅游，原价为每人60元，联系两家标价相同的旅行社，经洽谈后，甲旅行社的优惠条件是：教师全额收费，学生按7.5折收费；乙旅行社的优惠条件是：全部师生8折优惠． (1)当学生人数等于多少人时，甲旅行社与乙旅行社收费价格一样？若有学生50人，那么他们选择哪一家旅行社旅游费用少些呢？ (2)现有学生238人，若选择甲旅行社，计划租用30座和45座的客车共6辆，求：租用30座车多少辆，才能使得师生都有车坐？ 61．（25-26八年级上·重庆九龙坡·月考）中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） 礼盒 150 220 礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 62．（24-25七年级下·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    63．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）“倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，西园街道计划在某小区内新建A、B两类垃圾站，在满足小区垃圾处理需求的同时，兼顾小区绿化空间的保护，完成垃圾站的规划、方案设计与优化．请你根据以下素材，探索完成任务： 如何规划设计小区垃圾站？ 素材1 新建A、B两类垃圾站，单座占用绿地面积分别为和； 素材2 已知1座A类垃圾站和2座B类垃圾站日处理垃圾能力为1.1吨，2座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力为1吨． 素材3 该小区计划投入使用共10座两类垃圾处理站，要求每日处理垃圾能力不低于3.6吨； 问题解决 (1)求1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是多少吨？ (2)若建设A类垃圾站n座，求n的取值范围，并分析共有几种符合要求的设计方案？ (3)考虑到小区绿化面积对居民身心健康的重要性，在（2）的前提下，若占用绿化面积不得超过．仅有两种方案可供选择，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元一次不等式章末63道压轴题型专训（9大题型） 题型一 一元一次不等式的解集压轴 题型二 一元一次不等式的整数解压轴 题型三 一元一次不等式的最值压轴 题型四 一元一次不等式组的解集压轴 题型五 一元一次不等式组的整数解压轴 题型六 一元一次不等式组与方程组结合压轴 题型七 特殊不等式组压轴 题型八 一元一次不等式的新定义运算 题型九 一元一次不等式组的实际应用 【经典例题一 一元一次不等式的解集压轴】 1．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）“因为满足的每一个数都是的解，所以不等式的解集就是．”这句话是否正确？请说明理由． 【答案】这句话不正确．理由见解析 【分析】本题考查了不等式的解集的定义，掌握不等式的解集是所有解的集合是解题的关键． 先解不等式得到正确解集，再判断是否包含所有解，通过举例说明存在解不在范围内，从而验证原说法错误． 【详解】解：这句话不正确． 理由：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集． 不等式的解集是，而只包含不等式的部分解． 例如，是不等式的解，但并不在的范围内， 这句话不正确． 2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的两个不等式：与． (1)若这两个不等式的解集完全相同，求m的值； (2)若不等式的所有解都能使不等式成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式及不等式解集的定义，熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”是解题的关键． （1）分别解出两个不等式，再根据解相同列方程求解即可； （2）根据题意列出关于m的不等式，即可得解． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得， 两个不等式的解集完全相同， ， ． （2）解：不等式的所有解都能使不等式成立， ， 解得． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于，的二元一次方程组，其中为常数． (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足，求应满足的条件． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解法，熟练掌握方程组解法，不等式解法是解题的关键． （）由，得，然后结合，即可求出的值； （2）由，得，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 解得：； （2）解：， 得，， 解得：． 4．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，． (1)若，则点A，B间的距离是多少？ (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边还是右边？说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)落在点A右边，理由见解析 【分析】（1）将代入，求出点B表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点B在点A右侧，列出不等式进行求解即可； （3）根据x的取值范围，求出的取值范围，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， 点B表示的数为8， 点A，B间的距离为． （2）解：由题意得，， 解得，． （3）解：落在点A右边，理由如下： ， ， ，即， 表示数的点应落在点A右边． 5．（25-26七年级下·江苏南京·月考）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由①，得，第一步 ．第二步 由②，得，第三步 ，第四步 ．第五步 故原不等式组的解集为． 圆圆的解答过程从哪一步开始出错？请写出正确的解答过程． 【答案】第一步   过程见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，去括号法则，掌握解不等式时去括号要应用分配律，不等式组解集取各解集的公共部分是解题的关键． 先检查圆圆的解答步骤，发现第一步去括号时漏乘，导致错误，再正确去括号求解每个不等式，最后取两个解集的公共部分． 【详解】解：圆圆的解答过程从第一步开始出错． 正确的解答过程如下： 由①，得， ， ． 由②，得， ． 故原不等式组的解集为． 6．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 故原方程的解是． (1)解方程：． (2)已知关于的方程： ①若方程无解，则的取值范围是_________； ②若方程只有一个解，则的值为_________． ③若方程有两个解，则的取值范围是_________． (3)解方程：． 【答案】(1) (2)①；②；③ (3) 【分析】（1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得； （2）①无解，得到②只有一个解，得到③两个解得到； （3）对的取值范围进行分类讨论进行解答. 【详解】（1）解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 故原方程的解是或． （2）解：①，  ②1 ， ③. （3）解：①当，即时，原方程可化为，即，解得； ②当，即时，原方程可化为，即，解得； ③当时，原方程可化为，此时方程无解． 故原方程的解为或． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，绝对值方程，同时也考查了分类讨论的数学思想，掌握绝对值的几何意义和运用分类讨论是解本题的关键. 7．（2025·山东·模拟预测）按要求解决问题： (1)如图，数轴上点A、B表示的数为a、b，且，化简． (2)下面是小茜同学解不等式的过程． 解：…………第一步 …………… 第二步 ……………第三步 ……………………第四步 ．………………………第五步 ①第二步的变形依据是 （填运算律）； ②小茜同学第 步开始出错，错误原因是 ； ③求出不等式正确的解集． 【答案】(1) (2)①乘法分配律；②五；不等式两边除以同一个负数时不等号方向没有改变；③该不等式的解集应为 【分析】（1）根据点A、B在数轴上的位置得出的取值范围，再判断出和，从而可化简． （2）根据解不等式的步骤解答即可． 【详解】（1）解：由数轴得：，， ∴，， ∴； （2）解：①第二步的变形依据是乘法分配律； ②小茜同学第五步开始出错，错误原因是不等式两边除以同一个负数时不等号方向没有改变； ③∵ ∴ 即该不等式的解集应为． 【经典例题二 一元一次不等式的整数解压轴】 8．（24-25七年级下·江西赣州·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，求满足题意的最小整数a． 【答案】16 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式的整数解，把方程组中两个方程相减得到，再由题意可得，则，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足， ∴， ∴， ∴， ∴满足题意的最小整数a是16， 故答案为：16． 9．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知关于、的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 解： 【答案】4 【分析】本题考查解二元一次方程组，求一元一次不等式的整数解，先求出二元一次方程组的解，将解代入不等式中，求出不等式的解集，进而求出的最大整数值即可． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为． 10．（24-25七年级下·山东烟台·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)不等式______（选填“是”或“不是”）的“云不等式”； (2)若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，且有个公共的整数解，求的取值范围． 【答案】(1)不是 (2)的取值范围为 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解“云不等式”是解题的关键 （1）根据“云不等式”的定义，即可解答； （2）先分别解两个不等式，然后根据题意可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：与没有公共解， 不等式不是的“云不等式”， 故答案为：不是； （2）解：解不等式，得； 解不等式，得； 这两个不等式互为“云不等式”， ， 又它们有个公共的整数解， 其公共整数解为和， 由题意得：， ， 的取值范围为． 11．（24-25七年级下·河南商丘·期末）【情境再现】 （1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下： 已知关于的方程的解是负数，求的取值范围． 【拓展】 （2）若关于，的方程组的解满足，求的最大整数值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，二元一次方程组，一元一次不等式； （1）先解一元一次方程，根据方程的解是负数，列出不等式，解不等式，即可求解； （2）先解二元一次方程组，得出，根据，列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：（1）由，解得． ∵关于的方程的解是负数， ∴，解得，即的取值范围为．     （2） 由①，得③． 由②③，得，解得．    由题意，得，解得，    ∴的最大整数值是． 12．（2025·河北唐山·二模）如图，几个写有数字和运算符号的小球用实线、虚线穿在了一起，甲，乙两人分别沿实线和虚线将数按照小球上面标记以及小球穿线的顺序进行计算，得到的结果分别为和． (1)当的值为时，求的值； (2)若与的差大于，求的最小整数值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了求代数式的值、解一元一次方程、求一元一次不等式的整数解，解决本题的关键是根据小球上的数和运算符号列出代数式，根据代数式进行计算． 根据可列方程，解方程求出的值，把的值代入中，计算求值即可； 根据与的差大于，可得不等式，解不等式求出的取值范围，在取值范围内找出最小整数即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， 当的值为时， 由题意可得：， 解得， 当时， ； （2）解：，， ， 与的差大于， ， 解得：， 的最小整数值为． 13．（24-25七年级下·江苏南京·月考）材料阅读： 已知，为整数，关于的不等式的最小整数解为，关于的不等式的最大整数解为．根据材料回答以下问题： 已知，是整数，关于的不等式的最小整数解为，关于的不等式的最大整数解为． （1）求，的值； （2）在（1）的条件下，若，求符合题意的最大整数； （3）在（1）的条件下，求关于，的方程的非负整数解． 【答案】（1），；（2）最大整数是3；（3），． 【分析】（1）根据已知得出，，求出解即可； （2）根据绝对值和（1）中的 的值得出，求出即可； （3）解方程得到，于是求得符合题意的非负整数解即可． 【详解】解：（1）是整数， 、也是整数， 关于的不等式的最小整数解为，关于的不等式的最大整数解为， ，， 解得：，； （2）， ， ， ， ，符合题意的最大整数是； （3），，． ， 关于，的方程的非负整数解为，． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组，正确的理解题意是解题的关键． 14．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可． 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 【经典例题三 一元一次不等式的最值压轴】 15．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知关于x，y的方程组． (1)当时，求此方程组的解． (2)当x与y满足条件时，求m的取值范围． (3)在（2）的条件下，求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)5 【分析】（1）将代入原方程组，利用加减消元法即可求解． （2）把方程组中两式相加，得到，化简再结合，即可求解； （3）利用不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入可得， 由②-①得，， 解得：， 将代入①中，可得， 解得：， ∴ （2）解：， 由①+②得，， 即， ∵， ∴， 解得：； （3）∵， ∴ ∴ ∴的最大值为5. 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式的能力以及不等式的性质，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 16．（24-25七年级下·海南儋州·期中）已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【答案】0 【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值． 【详解】原方程可化为：， 即7x=7， 解得：x=1， 把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5， 解不等式得：， 所以整数a的最小值为0． 【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键． 17．（25-26八年级上·江苏南京·寒假作业）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若该方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是多少？ (2)若，且，试求x的最小值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查换元法解二元一次方程组，二元一次方程组与不等式： （1）根据的解为，得到的解满足，进行求解即可； （2）分别用含的式子表示出，结合，且，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的解为， ∴的解满足， 解得． （2）解：， 由①得：， 由②得：， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴x的最小值是5． 18．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，小砾同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数x值，相应地会输出一个y值． (1)若输入一个正偶数，且输出y的值不大于6，求输入x的值． (2)若输出y的值大于52，求输入x的最小值． 【答案】(1)2 (2)18 【分析】本题考查了列不等式以及分类讨论思； （1）正确列出不等式，然后根据条件计算即可； （2）运用分类讨论思想正确列出不等式，然后根据条件计算即可； 熟练运用分类讨论思想是关键． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． ∵为正偶数， ∴． （2）①当输入的值为奇数时，， 解得， 则x的最小值为19； ②当输入x的值为偶数时，， 解得， 则x的最小值为18． 综上所述，符合条件的x的最小值为18． 19．（24-25七年级下·北京·期末）在数据处理中通常要把一组范围很大的数据（通过某种算法）限制在需要的一定范围内．现定义一种“映射变化”：对于数组 若其中最小值为则用 替换数组中的每个数例如： 原数组为，其中最小值为15，那么是它的“映射变化”数组，这个数组的最大值是 (1)数组通过“映射变化”得到的数组是 ． (2)若数组|的“映射变化”数组的最大值为1，求x的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查解不等式，有理数的运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算法则解答即可； （2）根据题意得到最小数为或，然后分为两种情况，分别根据“映射变化”数组的最大值为1，列方程解答即可． 【详解】（1）解：数组，最小时为， ∴“映射变化”后分别为，，， ∴数组通过“映射变化”得到的数组是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴最小数为或， 当为最小数时，这时， 解得， 数组|的“映射变化”后分别为，，， ∵“映射变化”数组的最大值为1， ∴， 解得； 当为最小数时，这时， 解得， 数组|的“映射变化”后数组的最大值为， 解得； 综上所述，x的值为或． 20．（25-26七年级上·安徽六安·月考）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)整数的最小值为2． 【分析】（1）解方程求得方程的解，根据定义判定求解即可； （2）解方程组求得方程组的解，根据定义建立不等式，求解即可； （3）根据定义求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程，得． 解不等式，得， 又因为， 所以方程的解是不等式的“内含解”； （2）解：， 由，得， 又因为， 所以， 解得； （3）解：解方程，得． 因为， 所以． 解不等式， 得． 由“内含解”的定义，得， 解得， 所以整数的最小值为2． 21．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“相伴方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“相伴方程”． (1)在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“相伴方程”的有 (填序号)； (2)关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的“相伴方程”．且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“相伴方程”． ①求a的取值范围； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)②③ (2)①；②3 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式（组），绝对值的意义； （1）分别解方程和不等式，根据结果判断即可； （2）①求出各方程和不等式的解和解集，根据伴随方程和非伴随方程列出不等式组，解之即可；②根据a的范围，利用绝对值的意义，可得结果． 【详解】（1）解：①， ， ， ； ②， ， ， ； ③， ， ， ； ， ， ， ， ∴在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“相伴方程”的有②③， 故答案为：②③； （2）①解得：， 解得：； 解得：， 解得：， 由题意可得：， 解得：； ②∵， ∴当时，的值最小，最小值， ∴代数式的最小值是3． 【经典例题四 一元一次不等式组的解集压轴】 22．（25-26七年级下·上海闵行·期中）已知关于的二元一次方程组，若方程组的解是正数，求的取值范围． 【答案】 【分析】先利用加减消元法解二元一次方程组，得到用表示的，再根据方程组的解为正数列出一元一次不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解 ： 得 化简得 得 化简得 ∵方程组的解是正数 ∴，即 解不等式，得 解不等式，得 ∴不等式组的解集为，即的取值范围是． 23．（25-26七年级下·安徽淮北·月考）已知x、y满足． (1)当时，求x的取值范围； (2)当x、y满足，，且时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得，根据得出，解不等式即可； （2）联立和，求出，根据，，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由，得， 所以． 根据题意，得：， 解得． （2）解：联立和，得， 解关于x，y的方程组，得， 根据题意，得， 解得． 24．（2026·河北邢台·一模）某同学解一个关于的一元一次不等式组，已知不等式①的解集如图1所示． (1)求m的值； (2)解此不等式组，并在图2所示的数轴上表示出解集． 【答案】(1) (2)不等式组的解集为：，数轴表示见解析 【分析】（1）先求出不等式①的解集，再根据数轴上的不等式①的解集可得； （2）把代入不等式组，求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：先解不等式①：， 移项得， 从图1得不等式①的解集为：， ∴， 解得：； （2）解：将代入原不等式组得：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， 所以，不等式组的解集为：， 将不等式组的解集在数轴上表示为： 25．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2)（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分别求出三个一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可得； （2）求出一元一次不等式组的整数解，则可得其关联方程的解，由此即可得； （3）先分别求出两个一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可得． 【详解】（1）解：方程①的解为， 方程②的解为， 方程③的解为， ， 解不等式④得：， 解不等式⑤得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的关联方程是③； （2）解：， 解不等式⑥得：， 解不等式⑦得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的整数解为1， ∵不等式组的一个关联方程的解是整数， ∴这个关联方程可以是（答案不唯一）； （3）解：方程的解为， 方程的解为， ， 解不等式⑧得：， 解不等式⑨得：， 则不等式组的解集为， ∵方程都是关于的不等式组的关联方程， ∴， 解得． 26．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”． 例如：不等式组是不等式组：的“子集”． (1)若不等式组，不等式组，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填“”或“”）； (2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解出两个不等式组的解集，然后根据定义判断即可； （2）先解不等式组，然后根据定义解答即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得， 解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解， ∴不等式组是不等式组的“子集”； （2）解：解不等式组，得， 关于的不等式组是不等式组的“子集”， ． 27．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解不等式（组） (1)求不等式组：的所有整数解． (2)下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：第一步 去括号，得：第二步 移项，得：第三步 合并同类项，得：第四步 系数化为1，得：第五步 ①小星同学的解答过程从第 步开始出错；错误原因 ． ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】(1)整数解为 (2)①一；不等式两边同乘以公分母6后，化简错误；②过程见解析 【分析】（1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可． （2）①根据小星的解题步骤分析即可； ②按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 其整数解为． （2）解：①小星同学的解答过程从第一步开始出错；不等式两边同乘以公分母6后，化简错误； ②去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 28．（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)任务一：①不等式的性质2∶不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；②一；任务二：；任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变（答案不唯一）； (2)；数轴见解析． 【分析】（1）任务一根据不等式的性质即可得出答案； 根据题干中的解题步骤进行判断即可； 任务二：将错误之处改正并解不等式即可； 任务三：根据解不等式需要注意的细节写出一条即可； （2）解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】（1）解：任务一由解题过程可得去分母的依据是不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变， 故答案为：不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变； 由解题步骤可得从第一步开始出错； 任务二：原不等式去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 两边都除以得； 任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变； （2）解不等式得， 解不等式得， 故原不等式组的解集为， 在数轴上表示其解集如下图所示： ． 【经典例题五 一元一次不等式组的整数解压轴】 29．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）按下列要求解不等式或不等式组： (1)解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，并求出该不等式组的所有整数解． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，整数解为：，0，1，2 【详解】（1）解： 解集在数轴上表示如下： ； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为： 该不等式组的整数解为：，0，1，2． 30．（25-26七年级下·江苏常州·期中）解不等式及不等式组： (1)解不等式：，并将不等式的解集在数轴上表示； (2)解不等式组：，并写出所有正整数解． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)不等式组解集为，所有正整数解为 【分析】（1）先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可； （2）先求出各不等式的解集，然后确定不等式组解集，再确定所有正整数解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． 在数轴上表示如下： （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为， ∴该不等式组的所有正整数解为1，2． 31．（2026·重庆·一模）求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式得______， 解不等式得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 【答案】 ；；；， 【分析】分别求解两个不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 解不等式， 两边同乘去分母得， 化简得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 所以，原不等式组的解集为， 所以，原不等式组的整数解为，． 32．（25-26七年级下·江苏南京·课后作业）（1）解不等式组并写出它的所有整数解． （2）解不等式组并写出它的所有非负整数解． 【答案】（1），0，1，2；（2），0，1． 【分析】（1）分别求解两个不等式，再取它们的解集的公共部分，最后找出公共部分中的所有整数解； （2）同理，分别求解两个不等式，取公共部分后找出其中的非负整数解． 【详解】解：（1） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 故原不等式组的所有整数解为，，． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 故原不等式组的所有非负整数解为，． 【点睛】本题考查了知识点一元一次不等式组的解法及整数解的确定，解题关键是正确求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分，最后准确找出符合条件的整数解． 33．（24-25七年级下·云南临沧·期末）若不等式（组）有（为自然数）个正整数解，则称这个不等式（组）为阶不等式（组）．例如：有2个正整数解，则称它为2阶不等式；有3个正整数解，则称它为3阶不等式组，特殊地，如，有0个正整数解，则称它为0阶不等式． (1)判断：是几阶不等式？是几阶不等式组？ (2)已知关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围． 【答案】(1)4阶，2阶 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，不等式的定义，理解新定义是解答关键. （1）根据题目中的新定义，求出正整数解，再进行求解； （2）先求出不等式的解集，再利用4阶不等式组的定义来求解. 【详解】（1）解：， 解得， 即不等式的正整数解为， 是4阶不等式； 解得， 它有正整数解为， 它是2阶不等式组； （2）解：解不等式组得. 不等式组是4阶不等式组， 有4个正整数解，为1，2，3，4， ， 解得. 34．（24-25七年级下·北京海淀·期末）如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的． 例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的． (1)下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）； ①，②，③ (2)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围； (3)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，直接写出a的取值范围 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义解答，即可求解； （2）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组，即可求解； （3）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：，解得：， ∴不等式的所有整数解为大于等于2的全体整数， ①，解得：，其所有整数解为大于等于5的全体整数，不符合题意； ②，解得：，其所有整数解为大于等于3的全体整数，不符合题意； ③，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意； 故答案为：③ （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴其所有整数解为， ， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组与是“整数同解”的， ∴不等式组的所有整数解为， ∴， 解得：； （3）解：，解得：， ，解得：， ∵不等式组与是“整数同解”的， 设“整数同解”解集中的最大整数为，且为非负整数， 则有， 解得：， ， ， 为非负整数， ． 将代入得： ． 35．（25-26七年级下·广西贵港·期中）定义：若一个不等式组有解且解集是，则称为的“绝对距离”．若的绝对距离是不等式组的一个解，则称对于 “绝对包含”．例如：已知不等式组和．解集：，其绝对距离为；的解集：，因为，所以是的解，对于绝对包含． (1)已知关于的不等式组， ①这个不等式组的解集是______． ②这个不等式组的绝对距离是______． ③结合不等式组，判断：不等式组______（填“是”或“不是”）对绝对包含； (2)已知关于的不等式组，不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组，若存在整数，使得不等式组对于不等式组绝对包含，求满足条件的所有整数的和． 【答案】(1)①；②；③是 (2) (3) 【分析】（1）根据不等式组的解法及“绝对包含”的意义求解即可； （2）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围； （3）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和． 【详解】（1）解：①解不等式组， 不等式的解集为：， 不等式的解集为：， ∴这个不等式组的解集是； ②， 这个不等式组的绝对距离是； ③∵不等式组的解集为，且，即是不等式组的解， ∴不等式组是对绝对包含； （2）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∴的取值范围为； （3）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∵为整数， ∴整数的取值为，，，， ∴满足条件的所有整数的和为：． 【经典例题六 一元一次不等式组与方程组结合压轴】 36．（24-25七年级下·山东德州·期末）若关于x，y的方程组 (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求的整数解； 【答案】(1) (2)1，2，3，4，5，6 【分析】本题考查的是方程组与不等式组的综合应用； （1）利用加减消元法先消去未知数，求解，再进一步求解即可； （2）由，，再建立不等式组解题即可； 【详解】（1）解：， ②①得： ∴ 把代入①得： ∴解方程组为 （2）解：∵， ∴ 解得： ∴的整数解是：1，2，3，4，5，6 37．（24-25七年级下·四川巴中·期末）已知方程组的解满足x为负数，y为非正数，求： (1)m的取值范围； (2)化简； (3)在（1）的条件下，若的解集为，请写出整数m的值． 【答案】(1) (2) (3)整数m的值为和． 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质． （1）加减消元法解二元一次方程组得，由题意得，，然后解一元一次不等式组即可； （2）根据（1）的结果得到，，化简绝对值，计算即可求解； （3）根据不等式的性质可知，，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：， 得，， 解得，， 将代入②得，， 解得，， ∴， ∵x为负数，y为非正数， ∴， 解③得，； 解④得，； ∴不等式组的解集为， ∴的取值范围为； （2）解：∵， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴，即， ∴的取值为． ∴整数m的值为和． 38．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）已知x、y满足． (1)用含有x的代数式表示y； (2)当时，求x的取值范围； (3)当x、y满足，且时，求m的取值范围． 【答案】(1)（1） (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程，解一元一次不等式．能正确解方程组或不等式组是解此题的关键． （1）把含x的项迁移到等式的右边，化y的系数为1即可； （2）建立起关于x的不等式，求解即可； （3）先构造方程组，用含有m的代数式分别表示x，y，后建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：联立方程组， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 39．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”. (1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； (2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； (3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围. 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，正确理解“完美解”的含义，是解答本题的关键． （1）根据“完美解”的定义代入计算即可判断； （2）将上述两个方程相加可得：，再根据“完美解”得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）根据题意可得，即可得，，问题随之得解． 【详解】（1）解：由，得：， ①，则方程的解不是不等式①的“完美解”； ②，则方程的解是不等式②的“完美解”； （2）解：， 将上述两个方程相加可得：， 即有， ∵是方程组与不等式的一组“完美解”， ∴， 解得：， （3）解：根据题意有：， 解得：，， ∴， 即的取值范围为：． 40．（24-25七年级下·湖北恩施·月考）阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：． (1)填空：若，则___________，，则x的取值范围___________． (2)芳对于正整数m、n，满足，求的值； (3)若对于两个非负数x、y，满足，求实数k的取值范围． 【答案】(1)0.25， (2)3 (3) 【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则，列出方程或不等式，即可求解； （2）根据二阶行列式的运算法则，列出不等式，即可求解； （3）根据二阶行列式的运算法则，列出方程组，求出x，y，再根据均为非负数，得到关于k的不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 根据题意得：， 解得：； 故答案为：，； （2）解：由题意得，， ， 是正整数， ，或 ； （3）解：由题意可得， ， 得：，解得：， 将代入②，得：， 解得， 均为非负数， ， 解得． 【点睛】本题考查实数的新运算，一元一次不等式，二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握实数的新运算法则，解一元一次不等式组的解集，解二元一次方程组． 41．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）阅读下列材料： 问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，求x+y的取值范围． 解：∵x﹣y＝2．∴x＝y+2， 又∵x＞1， ∴y+2＞1， ∴y＞﹣1， 又∵y＜0， ∴﹣1＜y＜0①， ∴﹣1+2＜y+2＜0+2， 即1＜x＜2②， ①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2， ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2， 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知x﹣y＝5，且x＞2，y＜0，则x的取值范围是_____；x+y的取值范围是______； (2)已知x﹣y＝a，且x＜b，y＞﹣b，根据上述做法得到-5＜2x+y＜4，求a、b的值． 【答案】(1)2＜x＜5，-1＜x+y＜5 (2)a＝-1，b＝1 【分析】（1）用x表示y，然后根据x＞2、y＜0可得关于x的不等式组，求出x取值范围，进而求出y取值范围，以及x+y的取值范围． （2）仿照例题进行求解即可． 【详解】（1）∵x-y=5， ∴y=x-5， ∵y＜0， ∴x-5＜0， ∴x＜5， 又∵x＞2， ∴x的取值范围是：2＜x＜5， x+y=x+x-5=2x-5， ∵2＜x＜5， ∴2×2-5＜2x-5＜2×5-5， 即-1＜2x-5＜5， ∴x+y的取值范围是-1＜x+y＜5． 故答案是：2＜x＜5，-1＜x+y＜5； （2）∵x-y＝a， ∴x＝y+a， ∵x＜b， ∴y+a＜b， ∴y＜-a+b． ∵y＞-b， ∴-b＜y＜-a+b①， -b+a＜y+a＜b， 即-b+a＜x＜b， ∴-2b+2a＜2x＜2b②， 由①+②得：-3b+2a＜2x+y＜-a+3b， ∵-5＜2x+y＜4， ∴， 解得：， 即a＝-1，b＝1． 【点睛】本题考查不等式的性质及解一元一次不等式组，二元一次方程组，解题关键是掌握理解题意，掌握解一元一次不等式组． 42．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解． 例如：不等式被不等式“包含”． (1)下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ． A、   B、      C、     D、 (2)若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值． (3)已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C (2)19 (3) 【分析】（1）分别求出四个选项中不等式（组）的解集，再根据“包含”关系的定义逐一判断即可； （2）根据题意可得，解得，再根据已知条件推出，由此即可得到答案； （3）先解方程组得到，再由，，求出，再根据P、Q之间的包含关系求出，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：A、不等式的解集为， ∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意 B、不等式的解集为， ∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意 C、不等式的解集为， ∴不等式能被不等式“包含”，符合题意 D、不等式组无解， ∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意 故选C； （2）解：关于x的不等式被“包含”， ∴ 解得 ，    又∵， 解得． ∴， ∵， ∴ ， ∴M的最小值是19． （3）解：解方程组得 ∵，， ∴ 解得， ∵k为整数， ∴k的值为，0，1，2； 不等式P：整理得，；不等式Q：的解集为 ， ∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含” ∴不等式P：的解集为 ， ∴，且， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式（组），正确理解题意是解题的关键． 【经典例题七 特殊不等式组压轴】 43．（24-25七年级下·江苏南京·单元测试）解不等式：． 解：根据“有理数的乘法法则”，即两数相乘，同号得正，可得①或②．由①，得，所以．由②，得，所以． 所以不等式的解集为或． 请你根据上面的解法解不等式：． 【答案】或 【分析】根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可； 【详解】由题意得：①或②．由①得， ∴．由②得，， ∴．所以不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，准确分析是解题的关键． 44．（24-25七年级下·江苏南京·单元测试）阅读材料：解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数， ∴原不等式可转化为：①或② 解①得：无解，解②得： ∴原不等式的解集是 请仿照上述方法解分式不等式： 【答案】或 【分析】先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式． 【详解】根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为： ① 或② 解①得：   解②得： 所以原不等式的解集是： 或 【点睛】考查一元一次不等式组的应用，把分式方程转化为一元一次不等式组是解题的关键. 45．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则 即可以写成： 解不等式组得： ②当若，则 即可以写成： 解不等式组得： 综合以上两种情况：不等式解集：或． （以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据例题可得：此题分两个不等式组和，分别解出两个不等式组即可； （2）根据两数相乘，异号得负可得此题也分两种情况）①，②，解出不等式组即可． 【详解】（1）当时，， 可以写成, 解得：； 当时，， 可以写成, 解得：， 综上：不等式解集：或； （2）当时，， 可以写成， 解得； 当时，， 可以写成， 解得：无解， 综上：不等式解集：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算． 46．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集， 解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时，； 当，即时，此不等式为无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式． 【答案】或或无解． 【分析】按照题中的思路解不等式即可． 【详解】解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时， 当即时，此不等式为无解． 【点睛】本题考查了解不等式的问题，掌握解不等式的思想方法是解题的关键． 47．（2025七年级下·江苏·专题练习）定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的蕴含不等式． (1)在不等式中，是的蕴含不等式的是 　　； (2)若是的蕴含不等式，求的取值范围； (3)若是的蕴含不等式，是的蕴含不等式，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据蕴含不等式的定义即可求解； （2）先解不等式可得，再根据蕴含不等式的定义解不等式即可求解； （3）根据蕴含不等式的定义可得，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：在不等式中，是的蕴含不等式的是． 故答案为：； （2）解：解不等式， 可得， 则， 解得． 故的取值范围是； （3）解：依题意有：， 解得． 故的取值范围是． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的技能和蕴含不等式的定义是解题的关键． 48．（24-25七年级下·江苏南京·期中）阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 【答案】（3）①或；② 【分析】（3）①根据题中所给方法进行分类求解不等式即可； ②先提取公因式，然后再根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：（3）①， ∴当时，解得：； 当时，解得：； ∴原不等式的解集为或； ② ∴当时，解得：； 当时，不等式组无解； ∴原不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查不等式组的求解，解题的关键是根据题中所给方法进行求解． 49．（24-25七年级下·河南新乡·期末）【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了不等式的性质，求一元一次不等式，解特殊不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （2）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． （3）模仿题干过程，先得出，再整理得，故由得，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ， 又， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （2）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ， ∵， 同理， 由得， 的取值范围是； （3）∵， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ∴， ， ∵， 同理， 由得， ∴， 即取值范围是． 【经典例题八 一元一次不等式的新定义运算】 50．（2025七年级上·湖北恩施·模拟预测）根据绝对值的定义表示代表的点到原点的距离，则可表示代表的点到表示的点的距离．已知，求满足条件的所有的整数解． 【答案】，，，，，0，1，2，3 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，求一元一次不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据定义得出表示代表x的点到点的距离，再根据表示的意义，得出满足条件的所有的整数解． 【详解】解：由题意可知， 按照定义表示代表x的点到点的距离， ∴表示，代表x的点到点的距离小于5． 由此可得，即. ∴满足所有整数解为：，，，，，0，1，2，3． 51．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）定义一种新运算“a△b”：当a≥b时，a△b=a+2b；当a＜b时，a△b=．例如：3△=3+2×=，1△2=12×2=． （1）填空：△3= ．（直接写结果） （2）若（3m-4）△（m+6）=（3m-4）+2（m+6），求m的取值范围； （3）已知（3x-7）△（3-2x）＜-6，求x的取值范围； 【答案】（1）；（2）；（3） 或． 【分析】（1）根据题干所给的运算法则计算即可； （2）根据（3m-4）△（m+6）=（3m-4）+2（m+6）结合题干所给的运算法则列不等式求解即可； （3）由题意分和两种情况分别求解即可． 【详解】解：（1）∵-4＜3 ； 故答案为：–10； （2）∵， ∴，解得． （3）由题意知： 当时，解得：； 当时，解得：． ∴x的取值范围: 或． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，掌握解不等式的基本步骤和弄清新定义成为解答本题的关键． 52．（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)若，求x的取值范围； (2)已知，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查解一元一次不等式、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可知，然后求解即可； （2）根据和题目中的新定义，利用分类讨论的方法解答即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，解得． 故x的取值范围是； （2）解：因为， 所以当，即时， ， 解得； 当，即时， ， 解得，故． 综上所述，x的取值范围是或． 53．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）定义一种新运算“”：当时，；当时，． 例如：． （1）填空：_________； （2）若，则x的取值范围为_________； （3）已知，求x的值． 【答案】（1）1；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据新定义列式计算即可得； （2）由已知等式，分两种情况进行讨论，解之可得； （3）分和两种情况，依据新定义列出方程求解可得． 【详解】解：（1）由题意得． （2）∵当时，；当时，． ∴当时，两种运算结果都为， 当，即时，，符合原运算，故； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，x的取值范围为：或． （3）当，即时， ， 解得：， 当，即时， ， ∴， 解得：， 综上或． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式及一元一次方程，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式及解一元一次不等式、一元一次方程的能力． 54．（24-25七年级下·江苏南京·单元测试）定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． (1)若关于的不等式的解集是，求不等式的解集； (2)若关于的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组等． （1）根据新定义整理不等式并求出其解集，进而得，解方程可得m的值，根据新定义整理所求不等式，再将m的值代入并解不等式即可． （2）先根据新定义整理不等式组得，解不等式组，再根据其解集中有且只有2个整数解，设这两个整数解为k，（k为整数），得到关于n的不等式组，解不等式组即可得的取值范围． 【详解】（1）解：，， ， 解得：， 又关于的不等式的解集是， ， 解得：， ， ， 把代入得， 解得：； （2）解：关于的不等式组可变为， 解得：， 关于的不等式组的解集中有且只有2个整数解， ∴设这两个整数解为k，（k为整数） ∴ 解得 ∴ 解得 ∴或4 当时， ∴； 当时， ∴； 当时，解得 ∴，符合题意 综上所述，的取值范围为或或． 55．（24-25七年级下·福建泉州·期末）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； (2)若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】题考查了一元一次不等式组的整数解，实数的运算，解二元一次方程组： （1）①利用题中的新定义化简已知两式，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值； ②把a与b的值代入确定出，表示不等式组，变形后表示出解集，根据解集恰有2024个整数解确定出p的范围即可； （2）利用新定义，变形后得出，由不论m，n取何值时，的值都是一个定值，即可得出，解得，代入，即可求得． 【详解】（1）解：①，，    解得： ，．    ②由①得：，    解得：    ∵关于m的不等式组恰好有2024个整数解， ，    ． （2）解： ， ∵且不论m，n取何值，的值都是一个定值，     解得：     ， ∴该定值为． 56．（24-25七年级下·湖南永州·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“浯溪水亦香方程”．例如的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组，的“浯溪水亦香方程”． (1)方程是下列哪些不等式组的______“浯溪水亦香方程”：（填序号） ①；②；③． (2)若关于的方程是不等式组的“浯溪水亦香方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“浯溪水亦香方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)③； (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于和的不等式组是解此题的关键． （1）先计算方程的解为，分别计算不等式的解，比较即可求解； （2）解不等式组得，求解方程，进而求解； （3）分别解方程，解方程，根据题意分为两种情况，求解即可； 【详解】（1）解：， 解得：； ， 解得：， ，不符合题意； ， 该不等式无解，不符合题意； ， 解得：； ， 方程是的“浯溪水亦香方程”； 故答案为： （2）解：解不等式组 得：． 解方程 得：， ∵关于的方程是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：， 即的取值范围是； （3）解：解方程， 得， 解方程 得， ∵方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”， ， 所以分为两种情况：①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以的取值范围是． 【经典例题九 一元一次不等式组的实际应用】 57．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． (1)若，直接写出该程序需要运行_____次才停止； (2)若该程序只运行了2次就停止了，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的运算，一元一次不等组的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据所给程序运算法则求解即可； （2）根据所给程序运算法则列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：第一次：， 第二次：， 第三次：，程序停止， ∴若，该程序需要运行次才停止， 故答案为：三； （2）解：由题意得：， 解得：． 58．（2026·江西宜春·一模）为落实教育部2026年人工智能进中小学课标、教学、评价的部署，推进探究式科学教育，激发学生好奇心与创新实践能力，某校计划采购A、B两类科学实验套装，助力学生在实践中提升科技素养．已知购买1件A种实验器材与2件B种实验器材共需要500元，购买2件A种实验器材与3件B种实验器材共需要850元． (1)求A种实验器材和B种实验器材的单价； (2)该学校计划购买A种实验器材和B种实验器材共180件，总费用不超过30000元，那么最多能购买A种实验器材多少件？ 【答案】(1) A种实验器材单价为200元，B种实验器材单价为150元 (2) 最多能购买A种实验器材60件 【分析】（1）设A种实验器材单价为元，B种实验器材单价为元，根据题干给出的两种购买总费用列出二元一次方程组，求解即可得到两种器材的单价； （2）设购买A种实验器材件，则购买B种实验器材件，根据总费用不超过限额的要求列出一元一次不等式，求解后取最大正整数即可得到结果； 【详解】（1）解：设A种实验器材单价为元，B种实验器材单价为元， 根据题意得， 解得：， 答： A种实验器材单价为200元，B种实验器材单价为150元； （2）解：设购买A种实验器材件，则购买B种实验器材件， 根据题意得， 化简得， 解得， 答： 最多能购买A种实验器材60件． 59．（25-26七年级下·全国·期中）新中考体育考试项目已经确定，为方便选排球的同学在校训练，某中学共购买了50个排球，其中购买A种品牌的排球30个，B种品牌的排球20个，共花费3100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高30元． (1)A，B两种品牌排球的单价各是多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠4元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A，B两种品牌排球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的排球不少于20个，请通过计算说明学校有几种购买方案． 【答案】(1)A种品牌排球的单价是50元，B种品牌排球的单价是80元 (2)共有6种购买方案，计算说明见解析 【分析】（1）设A种品牌排球的单价是x元，B种品牌排球的单价是y元，根据“购买A种品牌的排球30个，B种品牌的排球20个，共需3100元，B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的排球，则购买个A种品牌的排球，根据“此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的排球不少于20个”，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有6种购买方案， 【详解】（1）解：设种品牌排球的单价是元，种品牌排球的单价是元， 根据题意得， 解得， 种品牌排球的单价是50元，种品牌排球的单价是80元； （2）解：设购买个种品牌的排球，则购买个种品牌的排球， 根据题意得， 解得， 购买种品牌的排球不少于20个， ， 又为正整数， 可以为20或21或22或23或24或25， 共有6种购买方案． 60．（24-25七年级上·广西桂林·期末）某校两名教师带若干名学生去旅游，原价为每人60元，联系两家标价相同的旅行社，经洽谈后，甲旅行社的优惠条件是：教师全额收费，学生按7.5折收费；乙旅行社的优惠条件是：全部师生8折优惠． (1)当学生人数等于多少人时，甲旅行社与乙旅行社收费价格一样？若有学生50人，那么他们选择哪一家旅行社旅游费用少些呢？ (2)现有学生238人，若选择甲旅行社，计划租用30座和45座的客车共6辆，求：租用30座车多少辆，才能使得师生都有车坐？ 【答案】(1)当学生人数为8人时，两家旅行社收费价格一样；若学生有50人，选择甲旅行社旅游费用更少； (2)租用30座车0辆或1辆或2辆，都能使全体师生都有车坐 【分析】（1）设学生人数为x人，则总人数为人，根据两个旅行社不同的收费方式列出方程求解即可； （2）设租用30座车y辆，则租用45座车辆，根据题意列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设学生人数为x人，则总人数为人． 甲旅行社费用：； 乙旅行社费用：； 由题意得， 解得， 当时， 甲旅行社费用：（元）； 乙旅行社费用：（元）； ， 答：当学生人数为8人时，两家旅行社收费价格一样；若学生有50人，选择甲旅行社旅游费用更少； （2）解：设租用30座车y辆，则租用45座车辆， 由题意得， 解得， 又∵y为非负整数，且，， ∴y可取0，1，2， 当时，，可行； 当时，，可行； 当时，，可行； 答：租用30座车0辆或1辆或2辆，都能使全体师生都有车坐． 61．（25-26八年级上·重庆九龙坡·月考）中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） 礼盒 150 220 礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)该超市购进A礼盒20个，则购买礼盒80个 (2)该超市有13种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个，根据两种礼盒共获利4600元，列方程，解方程即可； （2）根据超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高，且第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，列出不等组求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个 由题意可得：， 解得：， 则（个） 答：该超市购进A礼盒20个，则购买礼盒80个． （2）解：∵、礼盒共100个，礼盒比第一次多购进个， 即礼盒购进个，礼盒购进个， ∵礼盒售价提高10元， ∴利润为（元） ∵礼盒售价提高， ∴（元） 由题意可得： ， ∵为整数 ∴可取共13个整数， 每个对应一个进货方案（即不同的和礼盒数量组合），且均满足条件． ∴该超市有13种进货方案． 62．（24-25七年级下·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【答案】能，或 【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点P在上时，如图1所示：    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； ②当点P在上时，    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； 综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或． 【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键． 63．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）“倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，西园街道计划在某小区内新建A、B两类垃圾站，在满足小区垃圾处理需求的同时，兼顾小区绿化空间的保护，完成垃圾站的规划、方案设计与优化．请你根据以下素材，探索完成任务： 如何规划设计小区垃圾站？ 素材1 新建A、B两类垃圾站，单座占用绿地面积分别为和； 素材2 已知1座A类垃圾站和2座B类垃圾站日处理垃圾能力为1.1吨，2座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力为1吨． 素材3 该小区计划投入使用共10座两类垃圾处理站，要求每日处理垃圾能力不低于3.6吨； 问题解决 (1)求1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是多少吨？ (2)若建设A类垃圾站n座，求n的取值范围，并分析共有几种符合要求的设计方案？ (3)考虑到小区绿化面积对居民身心健康的重要性，在（2）的前提下，若占用绿化面积不得超过．仅有两种方案可供选择，求a的取值范围． 【答案】(1)1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨； (2)，且n为整数，共有5种设计方案：方案1、建设A类垃圾站0座，建设B类垃圾站10座；方案2、建设A类垃圾站1座，建设B类垃圾站9座；方案3、建设A类垃圾站2座，建设B类垃圾站8座；方案4、建设A类垃圾站3座，建设B类垃圾站7座；方案5、建设A类垃圾站4座，建设B类垃圾站6座； (3) 【分析】（1）设1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨，，依题意得，计算求解即可； （2）若建设A类垃圾站n座，则建设B类垃圾站座，根据每日处理垃圾能力不低于3.6吨建立不等式求出n的取值范围，再根据n为整数求解即可； （3）由题意得，解得，由仅有两种方案可供选择，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：设1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨， 依题意得，， 解得， 答：1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨； （2）解：由题意得， 解得， ∴，且n为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴共有5种设计方案：方案1、建设A类垃圾站0座，建设B类垃圾站10座；方案2、建设A类垃圾站1座，建设B类垃圾站9座；方案3、建设A类垃圾站2座，建设B类垃圾站8座；方案4、建设A类垃圾站3座，建设B类垃圾站7座；方案5、建设A类垃圾站4座，建设B类垃圾站6座； （3）解：由题意得，， 解得， ∵仅有两种方案可供选择，且，且n为整数， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $