专题03 幂的运算章末55道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

专题03 幂的运算章末55道压轴题型专训（8大题型） 题型一 同底数幂乘法压轴题 题型二 幂的乘方与积的乘方压轴题 题型三 同底数幂除法压轴题 题型四 利用幂的运算比较大小 题型五 幂的运算相关应用题 题型六 幂的运算中有规律的计算 题型七 幂的新定义运算 题型八 幂的新定义运算（劳格数） 【经典例题一 同底数幂乘法压轴题】 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）小明在预习课本时看到幂的运算章节图里有这样一句话：“乘方的意义、乘法运算律是研究幂的运算性质的基础”，我们知道同底数幂的乘法运算性质为：．（、是正整数）． (1)请结合课本的这句话写出这一运算性质的推导过程； (2)解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法运算法则的推导． （1）根据乘方的意义解答即可； （2）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵，，∴． 2．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如果，那么我们记．例如：因为，所以． (1)___________；，则___________． (2)已知，求的值； 【答案】(1)4；32 (2)3 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，本题是新定义型，熟练掌握新定义的规定并熟练应用是解题的关键． （1）利用新定义的规定列式解答即可； （2）利用新定义的规定列式求得，，再代入运算即可． 【详解】（1）解：， ； ， ． 故答案为：4；32； （2）解：， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·吉林长春·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵，∴，∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)若（，都是正整数）能被整除，试说明也能被整除． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了代数式求值，同底数幂相乘逆用，整体代入思想，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，把变形为，然后代入即可求解； （）先由变形为，又（，都是正整数）能被整除，能被整除，从而可得也能被整除． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：由 ， ∵（，都是正整数）能被整除，能被整除， ∴能被整除， ∴也能被整除． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：     ① 然后在①式的两边都乘以6，得：    ② 得，即， 所以，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”（且），能否求出的值？ 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，有理数的乘方．理解并掌握题干中给出的计算方法，是解题的关键． 根据题干给定的方法，设，则，两式相减后，进行求解即可． 【详解】解：设……① 则……② 得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的文字，按要求解答问题． 求的值． 解：令，① 将等式两边同时乘5，得．② ②-①，得， ． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了等式的性质，有理数的混合运算，利用类比的方法找出数字之间的运算规律，进一步解决问题． （1）根据所给阅读材料，依照所给方法，在所令的等式两边都乘即可解决问题； （2）根据所给阅读材料，依照所给方法，先提出，然后在所令的等式两边都乘即可解决问题． 【详解】（1）解：（1）令，① 将等式两边同时乘2，得．② ②-①，得． （2）解：（2）． 令，① 令 ，则． 两式相减得： 原式． 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）材料，一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算：　　 ，　　 ，　　 ； (2)观察（1）题中的三数，4，16，64之间存在怎样的关系式 ，，，又存在怎样的关系式 ； (3)由（2）题猜想 （且，，）；并结合幂的运算法则：进行证明； (4)已知，求的值．（且） 【答案】(1)2，4，6 (2)， (3)，证明见解析 (4)6 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是理解新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． （1）根据，写成对数式即可； （2）根据题意对照比较，写出关系式即可； （3）设，则，结合即可得到； （4）根据（3）得出的运算性质计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，4，16，64之间存在怎样的关系式为， ，，之间存在的关系式为， 故答案为：，； （3）解：由（2）得，， 设，则， ∴，即， ∴； 故答案为：； （4）解：∵， ∴． 7．（25-26七年级上·广西崇左·月考）探索、发现与应用： (1)探索：运用有理数乘方的意义，完成如表： 算式 运算过程 结果 (2)发现：如果字母m，n都是正整数，那么 ． (3)应用：直接运用上述发现的规律，完成下列各式计算： ①； ②； ③． 【答案】(1)；；；；；； (2) (3)①；②；③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法． （1）根据有理数的乘方的意义计算即可； （2）由（1）可得结论； （3）根据（2）中结论逐一计算即可． 【详解】（1）解：由乘方的意义得： ； ； ； 故答案为：；；；；；； （2）解：由（1）得； 故答案为：； （3）解：① ． ② ． ③ ． 【经典例题二 幂的乘方与积的乘方压轴题】 8．（2026七年级下·江苏·专题练习）计算下列各式，并用幂的形式表示结果： (1) ， ； ， ； ， ； ， ． (2)观察第（1）题的计算结果，你有什么发现？把你的发现用适当的数学符号表示出来． 【答案】(1)，；，；，；， (2) 【分析】本题考查幂的乘方，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法和乘方的意义进行计算，为发现规律作铺垫； （2）观察（1）的计算结果，归纳总结出幂的乘方法则． 【详解】（1）解：，； ，； ，； ，， 故答案为：，；，；，；，； （2）解：符号表示：． 9．（2026七年级下·江苏·专题练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题： (1)比较与的大小； (2)比较、、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则以及同底数或同指数幂的大小比较方法． （1）根据幂的乘方，可化成指数相同的幂的形式，根据指数相同，底数越大，幂越大，可得答案； （2）根据幂的乘方的运算法则，将各幂化为同底数幂的形式进行比较． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，，， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算的逆运算，是解题的关键： （1）逆用积的乘方进行计算即可； （2）利用幂的乘方，以及同底数的乘法法则进行求解即可； （3）先将各数化为同指数的形式，再比较底数的大小即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， 解得． （3）解：，， ，， 又∵， ， ． 12．（25-26八年级上·河南南阳·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，（，m，n为正整数）．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值． (2)若，求m的值． (3)比较大小：若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算，解决本题的关键是逆运用计算法则． （1）逆用同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，进行运算，即可解答； （2）转化为底数为３的幂进行计算，即可解答； （3）转化为指数相同的幂，再根据正指数相同的正数底数幂，底数大的幂大，底数小的幂小，比较大小，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ∵ ， ∴， ∴， 解得． （3）解：∵，，， ∴， ， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·山东济南·期末）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ． (2)①若，，，请你尝试证明：；②若，，，则 （用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ， ， ，即． ． (3)结合上文结论，求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② (3) 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义，熟记指数幂相关运算法则是解决问题的关键． （1）由新定义运算法则直接求解即可得到答案； （2）①由新定义运算法则及同底数幂的乘法运算法则证明即可；②按照①的证明思路求解即可得到答案； （3）按照材料中的探究过程，结合新定义运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如果，那么， ， ； ， ； 则， 故答案为：； （2）①证明：，，， ，，， ， ，即， ； ②由①的证明过程可知，，， ， ，即， 则， 故答案为：； （3）解： ； 设，，则， ， ， ， ， 即． 14．（25-26七年级上·浙江·假期作业）逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：______． (2)，，． (3)已知，求的值． (4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______． 【答案】(1) (2)5，81，6 (3)64 (4) 【分析】本题主要考查的幂的运算法则的逆向运用，解题关键是正确运用公式，将所求的式子变形． （1）把看作一个整体，先用同底数幂的运算法则，在运用积的乘方法则计算即可； （2）依次用同底数幂的运算法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，计算即可； （3）由，得，根据，即可求解； （4）先变形，，，进而即可得出结论． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：， ， ． 故答案为：5，81，6． （3）解：， ． ． （4）解：， ， ， 又， ， 即． 故答案为：． 【经典例题三 同底数幂除法压轴题】 15．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，变形计算即可； （2）逆向应用积的乘方解答即可． 本题考查了公式的逆向应用，熟练掌握公式是解题的关键 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解： ． 17．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求的值．（用含a，b的式子表示） (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 5 【分析】本题考查了幂的运算的逆用（同底数幂的乘除、幂的乘方），解题的关键是将所求式子转化为已知底数的幂的形式，利用幂的运算法则逆用计算． （1） 将转化为，代入、求解； （2） 把、16化为以2为底的幂，利用同底数幂乘法法则合并，根据指数相等列方程求． 【详解】（1）解： （2）解： 解得． 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）用所学知识，完成下列题目： （1）若，，，直接说出a，b，c之间的数量关系：　　　　　　； （2）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了幂的运算公式的逆用；掌握，，，及其逆用是解题的关键． （1）由同底数幂的乘法公式得，，即可求解； （2）由积的乘方公式得，，由同底数幂的除法公式得，即可求解； （3）由同底数幂的乘法公式及幂的乘方公式得，即可求解． 【详解】解：（1）因为， ， 所以， 即． 故答案为：． （2）a，b，c之间的数量关系为， 理由如下： 因为，， 所以， 所以， 所以． （3）a，b，c之间的数量关系为， 理由如下： 因为， 所以． 19．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； (3)的值为或． 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法的法则，零指数幂的定义等，分类讨论是解决问题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行运算，得到，再根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； （3）先分类讨论：（）当且时，求出的值并判断；（）当时，整理，得：，再根据题意进行的分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，的值为或或； （3）∵， ∴分类讨论： （）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，的值为或． 20．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）规定两个有理数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：，． (1)填空：________，________，________； (2)小明在研究这种运算时发现等式成立，他的证明过程如下： 设， 则． ，即． ，即． 仿照上述方法说明：． 【答案】(1)3，2，4． (2)答案见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的除法，理解同底数幂的除法运算法则（底数不变，指数相减）是解题关键． （1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解； （2）根据新定义运算，结合同底数幂的除法运算法则进行分析计算． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， ． 故答案为：3，2，4． （2）解：设，，． ，，． ． ， ． ，即 等式成立． 21．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）【概念学习】我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，则， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算[， ]，写出计算过程； （3）猜想[， ]，并说明理由． 【答案】（1）3，4；（2）24，见解析；（3）6，理由见解析 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，熟练掌握同底数幂的乘除法及题意是解题的关键； （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解； （3）设，，则，，进而根据新定义运算及同底数幂的除法可进行求解． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：3，4； （2）设，，则，， ∵， ∴， ∴； （3），理由如下： 设，，则，， ∵， ∴， ∴． 【经典例题四 利用幂的运算比较大小】 22．（24-25七年级下·江苏南京·月考）设，，为了比较与的大小，小明想到了如下方法：，即25个16相乘的积；，即25个27相乘的积，显然，现在设，，请你用小明的方法比较与的大小． 【答案】x<y 【分析】根据x=430=（43）10=6410，y=340=（34）10=8110，判断出x、y的大小关系即可． 【详解】解：x=430=（43）10=6410，y=340=（34）10=8110， ∵64<81， ∴6410<8110， ∴x<y． 【点睛】此题主要考查了幂的乘方的逆用，以及有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（am）n=amn（m，n是正整数）． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小．当时，，当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大．根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：________（填写“＞”“＜”或“＝”）． (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)＜ (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较，有理数的乘方运算，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）化为相同指数，再比较底数的大小，来确定原数的大小关系； （2）先化为相同指数，再比较底数的大小，从而可确定原数的大小关系 【详解】（1）解：∵，， ， ， ∴， 故答案为：＜； （2）解：，，，， ， ． 24．（24-25七年级下·山东烟台·期末）请阅读下列材料：已知，，比较，的大小关系： 解：因为，，且， 所以． 所以． 类比阅读材料的解题方法，解答下面问题： 已知，，试比较a，b的大小． 【答案】当时，；当时，． 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算法则，利用幂的大小比较底数大小是解决本题的关键． 先找到2与3的最小公倍数，通过将a、b转化为相同指数的幂，然后根据幂的大小关系来判断a、b的大小关系． 【详解】解：由题意知， 当时，； 当时，，． 因为，所以，所以． 综上，当时，；当时，． 25．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的含义，有理数幂的大小比较； （1）由可得，由可得即； （2）由，；进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，而， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，； ∵， ∴； 26．（25-26八年级上·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，结合即可比较； （2）根据题意可知，，结合，再逆向推导a、b的大小即可； （3）由指数幂的运算，得，，再结合即可比较； 【详解】（1）解：，且， ，即； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， 又， ， 即． 故答案为：． 27．（24-25八年级上·北京房山·期中）阅读，学习和解题． (1)阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小．分析：小刚同学发现，，都是的倍数，于是把这三个数都转化为指数为的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小．解法如下： 解：∵，，， ∴． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题：比较，，的大小． (2)阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值．分析：小刚同学发现，这些已知的和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：∵，， ∴． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题：已知，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）利用幂的乘方的逆运算转化即可解答； （）利用同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算转化即可求解； （）利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的运算法则进行计算即可求解； 本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、幂的大小比较，掌握同底数幂乘法及其逆运算、幂的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， 且， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解： ， ， ． 28．（24-25七年级下·山东青岛·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则的大小关系是 （填“”或“”）． 解：；，且， ， ， (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质： ； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (2)比较的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据，，进行求解即可； （3）根据，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． 【经典例题五 幂的运算相关应用题】 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方的逆用，猜想与证明等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 逆用幂的乘方法则，并运用同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：猜想． 理由：，，， ， ， ， ． 30．（24-25七年级下·江苏南京·期中）球体表面积的计算公式为．地球可以近似地看成一个球体，其半径约为米，它的表面积约为多少平方米？（结果用科学记数法表示，取3）． 【答案】它的表面积约为平方米 【分析】本题主要考查了积的乘方的应用，根据球的表面积计算公式列式计算即可． 【详解】解： 平方米， 答：它的表面积约为平方米． 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）市环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，那么请你想一想，能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满？若有，请求出正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由． 【答案】有，正方体贮水池的棱长为分米 【分析】本题考查了单项式的乘法，积的乘方和幂的乘方，根据单项式的乘法，可得长方体的体积，根据积的乘方等于乘方的积，可得正方体的体积，可得答案． 【详解】解：有， ∵废水的体积为立方分米， 又∵， ∴正方体贮水池的棱长为分米． 32．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算下面两组算式： (1)①与；②与； (2)根据以上计算结果猜想：等于什么？（直接写出结果） (3)猜想与验证：当n为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由． (4)利用上述结论，求的值． 【答案】(1)①225，225②36,36 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】本题考查有理数的乘方、有理数的乘法，掌握乘方的意义是解题的关键． （1）①②根据乘方的意义直接计算即可； （2）根据（1）中的计算结果猜想即可； （3）根据以上的规律猜想，并利用乘方的意义证明即可； （4）利用以上得到的结论计算即可． 【详解】（1）解：计算下面两组算式：①；． ②； （2）解：根据（1）计算结果猜想：； （3）解：当n为正整数时，． 理由：当n为正整数时，． 即：当n为正整数时，． （4）解：． 33．（24-25七年级下·福建三明·月考）我们学过的正整数指数幂的运算法则有：①同底数幂的乘法法则；②幂的乘方法则；③积的乘方法则；④同底数幂的除法法则．以下在计算式子的过程中，分别运用了哪一条运算法则，请在横线上填入相应序号． 解：             （___________）                              （___________）                                     （___________） 请在下面写出一种与上述不同的解法： 解： 【答案】③②①，不同的解法见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方和积的乘方法则．先根据积的乘方法则计算，再根据幂的乘方法则计算，然后根据同底数幂相乘法则进行计算，另一种算法是先根据同底数幂相乘法则计算括号里面的，再根据幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：             （③积的乘方）                              （②幂的乘方）                                     （①同底数幂的乘法） 请在下面写出一种与上述不同的解法： 解： （同底数幂的乘法） （幂的乘方）． 34．（2025七年级上·全国·专题练习）（1）请按底面周长相等的要求，制作无盖、等高的圆柱形和长方体形（底面是正方形）的容器各一个． （2）请通过装物实验方法比较哪个容器的容积较大． （3）设它们的底面周长为a，请通过容积的表达式说明哪个容器的容积大． 【答案】（1）按照题目要求制作即可 （2）见解析 （3）圆柱形的容积大 【分析】本题主要考查代数式和整式的乘除运算： （1）按照题目要求制作即可； （2）将两个容器加满水，用量筒分别测量加入水的体积，加入水体积大的，容器的容积就大； （3）设圆柱形和长方体形的高为，底面圆的半径，底面正方形的边长，再进行计算比较即可． 【详解】（1）按照题目要求制作即可； （2）将两个容器加满水，用量筒分别测量加入水的体积，加入水体积大的，容器的容积就大． 通过测量可知正方体形的容积大． （3）设圆柱形和长方体形的高为． 底面圆的半径，底面圆的面积，圆柱形的容积． 底面正方形的边长，底面正方形的面积，长方体形的容积． 因为，所以圆柱形的容积大． 35．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． 小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， （2）仿照以上证明，计算，写出计算过程． 【答案】（1）4，；（2）32 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法及题意是解题的关键． （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解． 【详解】解 ：（1），， 又如果，那么 ； 故答案为：4，； （2）设，， 则，， ， 又如果，那么， ； 故答案为：32． 【经典例题六 幂的运算中有规律的计算】 36．（24-25八年级上·河南周口·月考）阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【答案】(1)， (2)①1，1② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用积的乘方法则计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 故答案为：，； （2）解：①， ， 故答案为：1，1； ② ． 37．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）探究题： (1)计算下列算式的结果：______，______； 发现，小浦猜想会有如下规律：______（用，，表示）； (2)利用上述规律，你能帮助小浦解决下列问题吗？ ①若，求的值； ②比较，，的大小，并用“”号连接． 【答案】(1)64；64； (2)①；② 【分析】（1）根据乘方运算法则求解，，从而得到猜想； （2）由（1）中猜想，直接运算以及化成同指数幂的形式比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 小浦猜想会有如下规律：（用，，表示）； 故答案为：64；64；； （2）解：①∵， ∴； ②∵，，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查幂的乘方运算的归纳及应用，读懂题意，理解幂的乘方运算法则的应用是解决问题的关键． 38．（2025·安徽亳州·模拟预测）观察以下等式： ； ； ； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)试写出第n(n为正整数)个等式，并证明这个等式； (3)求的值．(n为正整数，结果用含有幂的形式表示) 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查数字类规律题，同底数幂的乘法，根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题干找出规律即可得解； （2）根据题干找出规律即可得解； （3）由（2）的结论得到，，再分别取，2，3，……，再代入运算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）由题意可知，左边前后3的指数差1， 总结规律得：第n个等式：． 证明：左边右边， ∴等式成立． （3）∵， ∴， 原式 ． 39．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 【答案】探究规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提出猜想：；验证规律：见详解；应用规律：（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 探究规律：根据乘方的意义计算每个小题即可得到规律； 提出猜想：根据得到的规律即可得到答案； 验证规律：根据乘方的意义计算即可得到答案； 应用规律：根据发现的规律进行计算即可． 【详解】解：探究规律： ； ； ，发现的规律是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 提出猜想：根据发现的规律可得：； 故答案为：； 验证规律：； 应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3）． 40．（24-25七年级上·浙江金华·月考）阅读材料，根据材料回答： 例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216． 例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125 =（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1． (1)仿照上面材料的计算方法计算：． (2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）； (3)用（2）的规律计算：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）模仿材料，把原式整理成，即可得出答案． （2）根据第一问的计算可知指数相同的幂相乘时，可先将底数相乘，指数不变． （3）根据第二问的结论计算即可． 【详解】（1）解： =1； （2）解：原式=， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，运算过程中符号是易错点，可先定符号再计算． 41．（24-25七年级上·重庆·期中）阅读材料：根据乘方的意义计算： 例如1： 例如2： (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）___________； (3)用（2）的规律计算： 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，解题的关键是找出规律，进行简便计算． （1）根据积的乘方的逆运算直接求解即可得到答案； （2）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案； （3）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意可得， 故答案为：； （3）解：             ． 42．（2025·安徽合肥·三模）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下的长方形．并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．    (1)规律探究：如图1所示，第8个正方形的边长为________ (2)如图2所示，相应长方形的周长如表所示， 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 周长 6 10 16 x y 若按此规律继续作长方形，则________，________； (3)拓展延伸：按一定规律排列的一列数：，，，，，，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数且，猜想x、y、z满足的关系式是________． 【答案】(1)21 (2)26；42； (3) 【分析】（1）根据题干中的规律求解即可； （2）分别表示出①-③中周长的计算方法，发现规律求解即可； （3）根据题意得出这一列数的底数均相同，连续三个数x、y、z，最后一个数的指数等于前两个数的指数的和，利用同底数幂的乘法即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得：第6个正方形的边长为：3+5=8， 第7个正方形的边长为：5+8=13，第8个正方形的边长为：8+13=21， 故答案为：21； （2）①的周长为， ②的周长为， ③的周长为， ∴④的周长为， 第⑤个的周长为：； 故答案为：26；42； （3）根据题意得：这一列数的底数均相同，连续三个数x、y、z，最后一个数的指数等于前两个数的指数的和， ∴x、y、z满足的关系式为：； 故答案为：． 【点睛】题目主要考查数字规律探索，同底数幂的乘法，理解题意，找出相应规律是解题关键． 【经典例题七 幂的新定义运算】 43．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）定义一种新运算，若，则，例，．若，求x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，解题的关键是理解题意；设，，，利用可得，即可求解． 【详解】解：设，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 44．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）对于整数、定义运算： （其中、为常数），如． (1)填空：当时， ___________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据定义的运算解答即可； （2）根据新定义运算，幂的乘方计算即可即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 45．（24-25七年级下·山东烟台·期末）规定两个非零数之间的一种新运算：如果，那么．例如：因为，所以；因为，所以． (1)根据上述规定填空：______；______； (2)按以上规定，请说明等式成立． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据积的乘方法则，结合定义计算． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴ 故答案为：；． （2）设， ,则，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键． 46．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为108，求t的值； (3)，，，则的值为 ． 【答案】(1)96 (2) (3)21 【分析】本题考查了有理数的乘方、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用等知识，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义可得，再计算有理数的乘方即可得； （2）根据新运算的定义和同底数幂乘法的逆用可得，则可得，由此即可得； （3）先根据新运算的定义可得，再利用同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：由题意得： ， ∵运算的结果为108， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴ ， 故答案为：21． 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）规定一种新运算“”：如果，那么；如果，那么． （1）试计算：； （2）如果正整数，满足：，，且，试求，的值． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）利用新定义求解； （2）根据新定义和幂的性质求解． 【详解】解：（1） ； （2），， ， ， ，是正整数， ，． 48．（24-25八年级上·福建漳州·期中）规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)①25；②3 (2)243 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：， ． ② ， 又， ， ， ． （2）解：依题意得，，， . 49．（24-25七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)1，6； (2)6； (3)见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为1； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是6； 故答案为：1，6； （2）解：， 的末尾数字是6， 的末尾数字是6； （3）证明：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 【经典例题八 幂的新定义运算（劳格数）】 50．（2025七年级下·全国·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 51．（2025七年级·江苏·专题练习）阅读材料：如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d（100）＝2． 理解运用： (1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10﹣3）＝　 　，d（1）＝　 　； (2)“劳格数”有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），；根据运算性质，填空：＝　 　；（a为正数） (3)若d（2）＝0.3010，计算：d（4）、d（5）； (4)若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，请证明m＝n＝p． 【答案】(1)﹣3，0 (2)3 (3)0.6020，0.6990 (4)证明见解析 【分析】（1）根据“劳格数”的定义即可求得； （2）由“劳格数”运算性质及乘方的意义，即可求解； （3）由d（4）＝d（2×2）、d（5）=，再根据“劳格数”运算性质及已知即可求解； （4）由d（4）＝d（2×2）＝2d（2）、d（8）＝d（2×2×2）＝3d（2），以及已知可得关于m、n、p的方程组，即可得m、n、p的关系． 【详解】（1）∵10b＝10﹣3， ∴b＝﹣3， ∴d（10﹣3）＝﹣3， ∵10b＝1＝100， ∴b＝0， ∴d（1）＝d（100）＝0， 故答案为：﹣3，0． （2） ＝ ＝ ＝ ＝3； 故答案为：3． （3）∵d（2）＝0.310， ∴d（4） ＝d（2×2） ＝d（2）+d（2） ＝2d（2） ＝2×0.3010 ＝0.6020， d（5） ＝ ＝d（10）﹣d（2） ＝1﹣0.3010 ＝0.6990； （4）∵d（2）＝2m+n， ∴d（4） ＝d（2×2） ＝d（2）+d（2） ＝2d（2） ＝2（2m+n） ＝4m+2n， d（8） ＝d（2×2×2） ＝d（2）+d（2）+d（2） ＝3d（2） ＝3（2m+n） ＝6m+3n ∵d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p， ∴ ∴解得：m＝n＝p， 【点睛】本题是材料阅读题，考查了有理数的乘方意义，读懂题中的新定义及新定义的运算性质，结合有理数乘方的意义进行解答是解题的关键． 52．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）一般地，个相同的因数相乘记作，如，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”．记为，则．一般地，若且，则叫做以为底的“劳格数”，记为．如．则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为． (1)下列各“劳格数”的值：______，______，______． (2)观察（1）中的数据易得，你发现此时满足关系式是______． (3)由（2）的结果，请你猜想与且之间的关系，并证明你的猜想． (4)根据上述结论解决下列问题：已知，，求的值和的值．（且）． 【答案】(1)1；3；4 (2) (3)猜想，证明见解析 (4)， 【分析】本题主要考查了新定义，同底数乘法计算： （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）设，则，，则； （4）根据（3）的结论可得，则． 【详解】（1）解：∵ ∴，，； 故答案为：1；3；4； （2）解：由（1）可得； （3）解：猜想，证明如下： 设， ∴，， ∴，， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴． 53．（24-25七年级下·山东青岛·期中）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 【答案】1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则． 54．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 【答案】(1) (2)3，1.3，0.15 (3) 【分析】（1）根据劳格数的定义进行计算即可得到答案； （2）根据可得，代入进行计算即可得到的值，利用，求出，代入计算即可，根据得到，求出，代入计算即可得到答案； （3）分别表示出，，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：，为正数， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3，1.3，0.15； （3）解：，，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下有理数的运算、幂的乘方，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 55．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）如果，那么b为n的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的b、n两个量之间的同一关系．如：，则． (1)根据劳格数的定义，可知：，，那么：______，______． (2)劳格数有如下运算性质： 若m、n为正数，则，． 根据运算性质，填空： ______（为正数）， 若，则______，______． (3)如表中与数对应的劳格数有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正． 【答案】(1)， (2)，， (3)表格中错误的是，，改正为， 【分析】（1）根据劳格数的定义及计算方法即可求解； （2）根据劳格数的运算性质即可求解； （3）根据劳格数的运算性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，， 故答案为：，． （2）解：∵，， ∴， ∵若m、n为正数，则，， 已知， ∵，， ∴，， 故答案为：，，． （3）解：根据表格信息可得，， ∴， ∴ ， ∴， ， ∴表格中错误的是，，改正为，． 【点睛】本题主要考查乘方的新定义运算，理解劳格数的定义和运算，掌握乘方运算法则，整式加减运算法则是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 幂的运算章末55道压轴题型专训（8大题型） 题型一 同底数幂乘法压轴题 题型二 幂的乘方与积的乘方压轴题 题型三 同底数幂除法压轴题 题型四 利用幂的运算比较大小 题型五 幂的运算相关应用题 题型六 幂的运算中有规律的计算 题型七 幂的新定义运算 题型八 幂的新定义运算（劳格数） 【经典例题一 同底数幂乘法压轴题】 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）小明在预习课本时看到幂的运算章节图里有这样一句话：“乘方的意义、乘法运算律是研究幂的运算性质的基础”，我们知道同底数幂的乘法运算性质为：．（、是正整数）． (1)请结合课本的这句话写出这一运算性质的推导过程； (2)解决问题：已知，，求的值． 2．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如果，那么我们记．例如：因为，所以． (1)___________；，则___________． (2)已知，求的值； 3．（25-26八年级上·吉林长春·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵，∴，∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)若（，都是正整数）能被整除，试说明也能被整除． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：     ① 然后在①式的两边都乘以6，得：    ② 得，即， 所以，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”（且），能否求出的值？ 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的文字，按要求解答问题． 求的值． 解：令，① 将等式两边同时乘5，得．② ②-①，得， ． (1)求的值． (2)求的值． 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）材料，一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算：　　 ，　　 ，　　 ； (2)观察（1）题中的三数，4，16，64之间存在怎样的关系式 ，，，又存在怎样的关系式 ； (3)由（2）题猜想 （且，，）；并结合幂的运算法则：进行证明； (4)已知，求的值．（且） 7．（25-26七年级上·广西崇左·月考）探索、发现与应用： (1)探索：运用有理数乘方的意义，完成如表： 算式 运算过程 结果 (2)发现：如果字母m，n都是正整数，那么 ． (3)应用：直接运用上述发现的规律，完成下列各式计算： ①； ②； ③． 【经典例题二 幂的乘方与积的乘方压轴题】 8．（2026七年级下·江苏·专题练习）计算下列各式，并用幂的形式表示结果： (1) ， ； ， ； ， ； ， ． (2)观察第（1）题的计算结果，你有什么发现？把你的发现用适当的数学符号表示出来． 9．（2026七年级下·江苏·专题练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题： (1)比较与的大小； (2)比较、、的大小． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 12．（25-26八年级上·河南南阳·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，（，m，n为正整数）．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值． (2)若，求m的值． (3)比较大小：若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 13．（25-26七年级上·山东济南·期末）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ． (2)①若，，，请你尝试证明：；②若，，，则 （用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ， ， ，即． ． (3)结合上文结论，求的值． 14．（25-26七年级上·浙江·假期作业）逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：______． (2)，，． (3)已知，求的值． (4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______． 【经典例题三 同底数幂除法压轴题】 15．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 16．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 17．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求的值．（用含a，b的式子表示） (2)已知，求x的值． 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）用所学知识，完成下列题目： （1）若，，，直接说出a，b，c之间的数量关系：　　　　　　； （2）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，，试确定a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 19．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 20．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）规定两个有理数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：，． (1)填空：________，________，________； (2)小明在研究这种运算时发现等式成立，他的证明过程如下： 设， 则． ，即． ，即． 仿照上述方法说明：． 21．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）【概念学习】我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，则， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算[， ]，写出计算过程； （3）猜想[， ]，并说明理由． 【经典例题四 利用幂的运算比较大小】 22．（24-25七年级下·江苏南京·月考）设，，为了比较与的大小，小明想到了如下方法：，即25个16相乘的积；，即25个27相乘的积，显然，现在设，，请你用小明的方法比较与的大小． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小．当时，，当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大．根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：________（填写“＞”“＜”或“＝”）． (2)已知，，，试比较，，的大小． 24．（24-25七年级下·山东烟台·期末）请阅读下列材料：已知，，比较，的大小关系： 解：因为，，且， 所以． 所以． 类比阅读材料的解题方法，解答下面问题： 已知，，试比较a，b的大小． 25．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 26．（25-26八年级上·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 27．（24-25八年级上·北京房山·期中）阅读，学习和解题． (1)阅读和学习下面的材料： 比较，，的大小．分析：小刚同学发现，，都是的倍数，于是把这三个数都转化为指数为的幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小．解法如下： 解：∵，，， ∴． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题：比较，，的大小． (2)阅读和学习下面的材料： 已知，，求的值．分析：小刚同学发现，这些已知的和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成题目的解答．解法如下： 解：∵，， ∴． 学习以上解题思路和方法，然后完成下题：已知，，求的值． (3)计算：． 28．（24-25七年级下·山东青岛·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则的大小关系是 （填“”或“”）． 解：；，且， ， ， (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质： ； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (2)比较的大小； (3)比较与的大小． 【经典例题五 幂的运算相关应用题】 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 30．（24-25七年级下·江苏南京·期中）球体表面积的计算公式为．地球可以近似地看成一个球体，其半径约为米，它的表面积约为多少平方米？（结果用科学记数法表示，取3）． 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）市环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，那么请你想一想，能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满？若有，请求出正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由． 32．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算下面两组算式： (1)①与；②与； (2)根据以上计算结果猜想：等于什么？（直接写出结果） (3)猜想与验证：当n为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由． (4)利用上述结论，求的值． 33．（24-25七年级下·福建三明·月考）我们学过的正整数指数幂的运算法则有：①同底数幂的乘法法则；②幂的乘方法则；③积的乘方法则；④同底数幂的除法法则．以下在计算式子的过程中，分别运用了哪一条运算法则，请在横线上填入相应序号． 解：             （___________）                              （___________）                                     （___________） 请在下面写出一种与上述不同的解法： 解：                                                                     34．（2025七年级上·全国·专题练习）（1）请按底面周长相等的要求，制作无盖、等高的圆柱形和长方体形（底面是正方形）的容器各一个． （2）请通过装物实验方法比较哪个容器的容积较大． （3）设它们的底面周长为a，请通过容积的表达式说明哪个容器的容积大． 35．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）【概念学习】 我们规定a，b两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． 小颖发现也成立，并证明如下： 设，，则，， 因为，所以， 所以， （2）仿照以上证明，计算，写出计算过程． 【经典例题六 幂的运算中有规律的计算】 36．（24-25八年级上·河南周口·月考）阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 37．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）探究题： (1)计算下列算式的结果：______，______； 发现，小浦猜想会有如下规律：______（用，，表示）； (2)利用上述规律，你能帮助小浦解决下列问题吗？ ①若，求的值； ②比较，，的大小，并用“”号连接． 38．（2025·安徽亳州·模拟预测）观察以下等式： ； ； ； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)试写出第n(n为正整数)个等式，并证明这个等式； (3)求的值．(n为正整数，结果用含有幂的形式表示) 39．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3）  40．（24-25七年级上·浙江金华·月考）阅读材料，根据材料回答： 例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216． 例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125 =（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1． (1)仿照上面材料的计算方法计算：． (2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）； (3)用（2）的规律计算：． 41．（24-25七年级上·重庆·期中）阅读材料：根据乘方的意义计算： 例如1： 例如2： (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）___________； (3)用（2）的规律计算：    42．（2025·安徽合肥·三模）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下的长方形．并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．    (1)规律探究：如图1所示，第8个正方形的边长为________ (2)如图2所示，相应长方形的周长如表所示， 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 周长 6 10 16 x y 若按此规律继续作长方形，则________，________； (3)拓展延伸：按一定规律排列的一列数：，，，，，，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数且，猜想x、y、z满足的关系式是________． 【经典例题七 幂的新定义运算】 43．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）定义一种新运算，若，则，例，．若，求x的值． 44．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）对于整数、定义运算： （其中、为常数），如． (1)填空：当时， ___________； (2)若，，求的值． 45．（24-25七年级下·山东烟台·期末）规定两个非零数之间的一种新运算：如果，那么．例如：因为，所以；因为，所以． (1)根据上述规定填空：______；______； (2)按以上规定，请说明等式成立． 46．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)若运算的结果为108，求t的值； (3)，，，则的值为 ． 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）规定一种新运算“”：如果，那么；如果，那么． （1）试计算：； （2）如果正整数，满足：，，且，试求，的值． 48．（24-25八年级上·福建漳州·期中）规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 49．（24-25七年级下·江苏·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律： ， 的末尾数字是1， 的末尾数字是1， 的末尾数字是3， 同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【经典例题八 幂的新定义运算（劳格数）】 50．（2025七年级下·全国·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 51．（2025七年级·江苏·专题练习）阅读材料：如果10b＝n，那么b为n的“劳格数”，记为b＝d（n）．由定义可知：10b＝n与b＝d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d（100）＝2． 理解运用： (1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10﹣3）＝　 　，d（1）＝　 　； (2)“劳格数”有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），；根据运算性质，填空：＝　 　；（a为正数） (3)若d（2）＝0.3010，计算：d（4）、d（5）； (4)若d（2）＝2m+n，d（4）＝3m+2n+p，d（8）＝6m+2n+p，请证明m＝n＝p． 52．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）一般地，个相同的因数相乘记作，如，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”．记为，则．一般地，若且，则叫做以为底的“劳格数”，记为．如．则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为． (1)下列各“劳格数”的值：______，______，______． (2)观察（1）中的数据易得，你发现此时满足关系式是______． (3)由（2）的结果，请你猜想与且之间的关系，并证明你的猜想． (4)根据上述结论解决下列问题：已知，，求的值和的值．（且）． 53．（24-25七年级下·山东青岛·期中）阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 54．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 55．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）如果，那么b为n的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的b、n两个量之间的同一关系．如：，则． (1)根据劳格数的定义，可知：，，那么：______，______． (2)劳格数有如下运算性质： 若m、n为正数，则，． 根据运算性质，填空： ______（为正数）， 若，则______，______． (3)如表中与数对应的劳格数有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正． 学科网（北京）股份有限公司 $