专题05一元一次不等式易错必刷题型专项训练(20大题型共计67道题)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题05一元一次不等式易错必刷题型专项训练 本专题汇一元一次不等式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.不等式的性质 题型02.求一元一次不等式解集 题型03.求一元一次不等式整数解 题型04.在数轴上表示不等式解集 题型05.求一元一次不等式解的最值 题型06.求不等式组的解集 题型07.求不等式组的整数解 题型08.由不等式组解集求参数 题型09.由不等式组解集的情况求参数 题型10.不等式组和方程组结合的问题 题型11.列一元一次不等式组 题型12.不等式组行程问题 题型13不等式组经济问题 题型14.不等式组分配问题 题型15.不等式组方案选择问题 题型16.不等式组阶梯收费问题 题型17.列一元一次不等式 题型18.不等式解决实际问题 题型19.不等式解集几何问题 题型20.不等式组的其他应用 易错必刷题型01.不等式的性质 典题特征：选择、填空题型为主，给出两个字母大小关系，判断不等式变形对错；给式子做变形正误判断。 易错点：两边乘除负数，忘记不等号必须变方向；看到字母参数，不区分正负就直接乱变形。 1．如果，那么______ ．（填入“>”、“<”或“=”） 2．如果，那么下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．设，，则______（选填“”或“”或“”）． 4．是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型02.求一元一次不等式解集 典题特征：解答、填空题型居多，带括号、带分母的一元一次不等式，完整求解集。 易错点：去分母时，整数常数项容易漏乘；系数化成1，系数是负数却不变不等号方向。 5．若代数式的值为非负数，则x的取值范围是______． 6．如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的不等式的每一个解都能使成立，那么的取值范围是_______． 8．若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型03.求一元一次不等式整数解 典题特征：先解出不等式解集，再从范围里找出所有符合要求的整数、正整数、负整数、非负整数。 易错点：边界数该不该包含分不清；容易多找、漏找整数，0和负整数最容易漏掉。 9．不等式的所有负整数解之和等于__________． 10．已知关于x的不等式，则x可取的最大整数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 12．解不等式，并求出最大的整数解． 易错必刷题型04.在数轴上表示不等式解集 典题特征：算出解集后，在数轴画图表示；也会给数轴图形，反过来写出对应解集。 易错点：有等号用空心圈、无等号用实心点，两个经常弄反；大于往左画、小于往右画，方向画颠倒。 13．已知三个不等式的解集在数轴上表示如图所示，请分别写出这三个不等式的解集： （1）  ____________________． （2）   ____________________． （3）____________________． 14．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 15．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 易错必刷题型05.求一元一次不等式解的最值 典题特征：根据不等式解集，求最大整数解、最小整数解，直接求最值范围。 易错点：把解集边界小数直接当成整数最值；分不清普通数值最值和整数最值的区别。 16．按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 17．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 18．已知、满足和，求的最小值． 易错必刷题型06.求不等式组的解集 典题特征：两个及以上一元一次不等式组成一组，分别求解，再找公共重叠的解集。 易错点：单个不等式解错；不会找公共部分，有解无解判断错误；同大取大、同小取小口诀用错。 19．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 20．不等式组解集是_____． 21．已知实数a，b满足，，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 22．解不等式组． 易错必刷题型07.求不等式组的整数解 典题特征：解完整不等式组公共解集，再从中筛选出符合条件的所有整数。 易错点：解集区间判断不准；区间夹缝里的整数容易漏掉、多数。 23．已知整数满足，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 24．如图，若整式的值落在数轴上的区间①内，则整数______． 25．已知关于的不等式组的最小整数解是3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．解不等式组，并求出所有的整数解． 易错必刷题型08.由不等式组解集求参数 典题特征：不等式组里面带字母参数，题目直接给出完整解集，反着求参数数值或取值范围。 易错点：不会顺着已知解集反推参数；边界位置等号能不能取，判断出错。 27．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 28．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是______． 29．若关于x的不等式组． （1）解集为，则a的值为_____________． （2）不等式组的正整数解之和为6，则a的取值范围为____________． 30．如果不等式组的解集是． (1)求的取值范围； (2)不等式的解集为，求m的取值范围． 易错必刷题型09.由不等式组解集的情况求参数 典题特征：题目告知不等式组有解、无解、只有几个整数解，根据这个条件求参数范围。 易错点：有解、无解的临界边界搞混；整数解个数限制里，边界等号判断最容易出错。 31．关于x的不等式组 无解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 32．已知关于的不等式组：恰有3个整数解，求实数的取值范围__________． 33．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______． 34．数轴上两点，表示的数分别是，，若线段上所有点对应的数都是不等式组的解，则称不等式组对于线段“绝对包含”． (1)当，时， ①关于的不等式组，对于线段 （填“是”或“不是”）“绝对包含”． ②已知关于的不等式组且不等式组对于线段“绝对包含”，求的取值范围． (2)已知关于的不等式组，若不等式组对于线段“绝对包含”，且满足，求的取值范围． 易错必刷题型10.不等式组和方程组结合的问题 典题特征：二元一次方程组里带参数，方程组的解满足大小、正负不等要求，联立求参数范围。 易错点：用参数表示方程组的解容易算错；不等关系列不等式时，不等号写反。 35．方程组的解为正数，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k≥4 C．k＞0 D．k＞﹣4 36．已知关于x、y的方程组．①当时，方程组的解是；②无论m为何值，方程组的解都是关于x，y的二元一次方程的解；③方程组的解x与y可以同为负数．其中正确的是___________．（填写序号） 37．已知：关于的方程组的解满足，求的取值范围． 易错必刷题型11.列一元一次不等式组 典题特征：应用题题干里有两个及以上不等限制条件，只根据题意列出不等式组，不用求解。 易错点：找不全题干里隐藏的不等关系；至少、至多、不超过，对应不等号写错。 38．小明一家在自驾旅游时，发现某段高速公路上对行驶汽车的速度有如下规定：设该段高速公路上小客车的速度为（），则满足的条件是（    ） 最高限速 小客车 大型客车 货车 最低限速 A． B． C． D． 39．如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是____________． 40．新情景：（地方特色）利用以下素材解决问题． 素材1 “中国第一水乡”周庄，不仅有小桥流水的古韵，更藏着许多手工制作、传承百年的江南特色小吃，如袜底酥、青团、万三蹄等特色小吃，其中，万三蹄因明代富商沈万三而得名． 素材2 周庄古镇内某商店销售万三蹄，成本价是15元/个，分为线上，线下两种方式，都是整个出售，其中，线上1个和线下2个的售价共100元，线上2个和线下1个的售价共95元，五一小长假即将到来，预计今年5月1号到5号这五天的线上销售个数不多于1002个，两种方式的总销售个数达到4000个，总销售金额不多于135000元． (1)求万三蹄线上，线下的售价分别是每个多少元． (2)预计今年五一小长假万三蹄的线上销售个数可能有多少个？ (3)若万三蹄线上售价上涨m元/个，线下售价不变，则预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，请直接写出m的值． 易错必刷题型12.不等式组行程问题 典题特征：行程应用题，围绕路程、速度、时间，存在多个限制条件，列不等式组解题。 易错点：时间、路程、速度单位不统一；快慢、提前、迟到对应的不等关系理解错误。 41．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 42．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 43．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 易错必刷题型13不等式组经济问题 典题特征：围绕进价、售价、折扣、利润、成本，多个经济限制条件，列不等式组计算。 易错点：打折售价计算公式记错；利润率、利润概念混淆；不等号方向写反。 44．某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 45．国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 46．某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 易错必刷题型14.不等式组分配问题 典题特征：物品分给人，出现分不完有剩余、不够分、最后一人分不满的分配类题型。 易错点：不够分、分不足的范围列错；忘记人数、物品个数必须是正整数。 47．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 48．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 49．某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 易错必刷题型15.不等式组方案选择问题 典题特征：进货、生产、租车、购物类题型，多种可行方案，求所有符合条件的整数方案。 易错点：限制条件列不等式列错；算出范围后，漏数、多数可行整数方案。 50．某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 51．“端午节”将至，某超市销售两种品牌的“粽子”，若购买9件A品牌粽子和6件B品牌粽子共需390元；若购买5件A品牌粽子和8件B品牌粽子共需310元． (1)A品牌粽子、B品牌粽子每件价格分别是多少元？ (2)若某公司购买两种品牌粽子30件，且A品牌粽子的数量至少比B品牌粽子的数量多5件，又不超过B品牌粽子的2倍，求该公司有几种购买方案？ 52．重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ .易错必刷题型16.不等式组阶梯收费问题 典题特征：水费、电费、燃气费、打车费，分段阶梯收费，根据总费用求用量范围。 易错点：分段区间划分不清；超过部分单独计价算成全部一起高价算。 53．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 54．大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 55．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 易错必刷题型17.列一元一次不等式 典题特征：应用题题干只有一个不等条件，直接根据题意列出单个一元一次不等式即可。 易错点：题干关键词对应不等号搞混；不大于、不小于、不少于最容易写反符号。 56．一个数x的与4的差不大于这个数的2倍加上5所得的和”可列不等式为（    ） A． B． C． D． 57．某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为_________． 58．用不等式表示下列不等关系： (1)a与15的和大于27； (2)b的一半与3的差是负数； (3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍． 易错必刷题型18.不等式解决实际问题 典题特征：单个不等式解生活实际应用题，算出结果后，结合生活实际取值。 易错点：算出小数结果，忘记人数、车辆数只能取正整数；不会用进一法、去尾法取舍。 59．一个工程队原定在10天内至少要挖土，前两天一共完成了，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．问：后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？设后6天内平均每天要挖土，根据题意可列不等式（　　） A． B． C． D． 60．为了激发学生学习数学的积极性，某校举行了主题为“学数学、用数学、爱数学”的知识竞赛活动，共20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分，大赛规定总分不低于80分获奖，伊伊想获奖，至少要答对_________道题． 61．某海南特产店购进一批本地产的红茶与绿茶，其中红茶的进价为70元/盒，绿茶的进价为90元/盒．一盒红茶的售价比一盒绿茶的售价低20元．春节期间，一位游客小明在该店购买了1盒红茶与4盒绿茶，共花费580元． (1)求红茶和绿茶每盒的售价分别是多少元？（列方程或方程组求解） (2)若春节期间红茶按售价的八折优惠销售，小明打算购买红茶、绿茶共10盒作为礼物带回老家，若要确保该笔交易中特产店的获利不低于220元，问小明最多可以购买多少盒红茶？ 易错必刷题型19.不等式解集几何问题 典题特征：结合三角形边长、周长、边长取值范围，利用几何性质列不等式求解。 易错点：忘记三角形两边之和大于第三边；等腰三角形腰和底边范围分不清。 62．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 63．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    64．如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 易错必刷题型20.不等式组的其他应用 典题特征：综合类应用题，条件多、隐藏限制多，综合性强，多条件结合列不等式组。 易错点：隐藏的限制条件找不出来；多个不等式联立，公共解集找错。 65．小明用天平称量一个物体的质量，他将2个该物体放在天平的左边，右边分别放1个、2个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量的取值范围是___________． 66．四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 67．北京时间2024年10月30日12时51分，在轨执行任务的神舟十八号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十九号航天员乘组入驻中国空间站．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价． (2)该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？并将方案列举出来． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05一元一次不等式易错必刷题型专项训练 本专题汇一元一次不等式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.不等式的性质 题型02.求一元一次不等式解集 题型03.求一元一次不等式整数解 题型04.在数轴上表示不等式解集 题型05.求一元一次不等式解的最值 题型06.求不等式组的解集 题型07.求不等式组的整数解 题型08.由不等式组解集求参数 题型09.由不等式组解集的情况求参数 题型10.不等式组和方程组结合的问题 题型11.列一元一次不等式组 题型12.不等式组行程问题 题型13不等式组经济问题 题型14.不等式组分配问题 题型15.不等式组方案选择问题 题型16.不等式组阶梯收费问题 题型17.列一元一次不等式 题型18.不等式解决实际问题 题型19.不等式解集几何问题 题型20.不等式组的其他应用 易错必刷题型01.不等式的性质 典题特征：选择、填空题型为主，给出两个字母大小关系，判断不等式变形对错；给式子做变形正误判断。 易错点：两边乘除负数，忘记不等号必须变方向；看到字母参数，不区分正负就直接乱变形。 1．如果，那么______ ．（填入“>”、“<”或“=”） 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质即可得到结论． 【详解】解：， ∴， ． 2．如果，那么下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：已知 根据不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变． ∵两边同时加3，不等号方向不变， ∴成立，A不符合题意； 根据不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变． ∵，两边同时乘，不等号方向改变， ∴，因此不成立，B符合题意． ∵两边同时减2，不等号方向不变， ∴成立，C不符合题意； 根据不等式性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，结合性质1可得： ∵，两边同时除以正数2，得，再两边同时加1，不等号方向不变， ∴ 成立，D不符合题意； 3．设，，则______（选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先分别展开两个多项式，再计算的结果，再根据结果的符号判断和的大小关系． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 4．是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴表示数的意义和方法、绝对值、有理数加减运算、不等式的性质等知识点，理解绝对值、不等式的性质是解题的关键． 根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出，且，再根据绝对值、相反数的意义、有理数加减运算、不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， A．，因此A选项正确； B．由，则，因此B选项错误； C．由，则，因此C选项错误； D．由，则，因此D选项错误． 故选：A． 易错必刷题型02.求一元一次不等式解集 典题特征：解答、填空题型居多，带括号、带分母的一元一次不等式，完整求解集。 易错点：去分母时，整数常数项容易漏乘；系数化成1，系数是负数却不变不等号方向。 5．若代数式的值为非负数，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据非负数的定义列出不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解: 依题意得 ， 移项得 ， 系数化为，不等号方向改变，得， 即x的取值范围是． 6．如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，求得选项中的不等式的解集为即为所求． 【详解】解：观察数轴得：不等式的解集为， A、，解得：，故A选项不符合题意； B、，解得：，故B选项符合题意； C、，解得：，故C选项不符合题意； D、，解得：，故D选项不符合题意； 7．已知关于的不等式的每一个解都能使成立，那么的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据两个解集之间的关系，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵不等式的每一个解都能使成立， ∴． 8．若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解两个不等式，得到第一个不等式的解集为 ，第二个不等式的解集为 ．由题意，所有满足第一个不等式的 都满足第二个不等式，因此需要 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， ， ， ， 两边同乘 3 得 ， ， ， ∴ . 解不等式 ， ， ， ， 两边同除以-4，不等号方向改变， . ∵ 对于 的每一个值，都能使 成立， ∴ ， 两边同乘 10 得 ， ， ， ∴ . 因此， 的取值范围是 ， 故选： C． 【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于的不等式是解此题的关键． 易错必刷题型03.求一元一次不等式整数解 典题特征：先解出不等式解集，再从范围里找出所有符合要求的整数、正整数、负整数、非负整数。 易错点：边界数该不该包含分不清；容易多找、漏找整数，0和负整数最容易漏掉。 9．不等式的所有负整数解之和等于__________． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式得到不等式的解集，再找出解集中所有的负整数解，计算负整数解的和即可得到答案． 【详解】解：移项得：， 合并同类项得：， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得：， 所以不等式的所有负整数解为， ． 10．已知关于x的不等式，则x可取的最大整数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式是解题的关键． 去括号，移项，合并同类项，解不等式可得：，从而可得的最大整数解，从而可得答案． 【详解】解： 为整数， 可取的最大整数为 故选：C． 11．用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要考查取整函数，利用不等式即可得出为6的倍数，再计算小于100的正整数中6的倍数的个数． 【详解】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ∴， ∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且， ∴n的值为6，12，18，24，......96，共有16个， 故选：D． 12．解不等式，并求出最大的整数解． 【答案】 不等式的解集为，最大的整数解为 【分析】通过去分母，去括号，未知数的系数化为1，求解，进而求得整数解． 【详解】解：， 去分母得： 去括号得：， 解得：， ∴最大整数解为． 易错必刷题型04.在数轴上表示不等式解集 典题特征：算出解集后，在数轴画图表示；也会给数轴图形，反过来写出对应解集。 易错点：有等号用空心圈、无等号用实心点，两个经常弄反；大于往左画、小于往右画，方向画颠倒。 13．已知三个不等式的解集在数轴上表示如图所示，请分别写出这三个不等式的解集： （1）  ____________________． （2）   ____________________． （3）____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用数轴表示不等式的解集，熟练掌握数轴表示解集的方法是解题的关键； （1）（2）（3）根据数轴上表示不等式解集的方法，判断折线方向以及端点是实心还是空心来确定不等式的解集． 【详解】解：（1）折线开口向左，表示小于，端点空心即不包含， 则该不等式的解集为：； （2）折线开口向右，表示大于，端点实心即包含， 则该不等式的解集为：； （3）折线开口向左，表示小于，端点实心即包含， 则该不等式的解集为：． 14．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出不等式的解集即可判断． 【详解】解：， 去括号得，， 移项并合并同类项得，， 系数化为1得，． 15．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见详解 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 把它的解集在数轴上表示出来如图： 易错必刷题型05.求一元一次不等式解的最值 典题特征：根据不等式解集，求最大整数解、最小整数解，直接求最值范围。 易错点：把解集边界小数直接当成整数最值；分不清普通数值最值和整数最值的区别。 16．按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 【答案】A 【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x． 【详解】当时，第1次运算结果为， ∴当时，输出结果是1； 由题意，得 ， 解得， ∴使代数式的值小于20的最大整数x是7， 故选A． 【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键． 17．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 18．已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 易错必刷题型06.求不等式组的解集 典题特征：两个及以上一元一次不等式组成一组，分别求解，再找公共重叠的解集。 易错点：单个不等式解错；不会找公共部分，有解无解判断错误；同大取大、同小取小口诀用错。 19．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： ． 20．不等式组解集是_____． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集，根据一元一次不等式组解集的确定原则，得到不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式，不等式两边同乘得， 去括号得， 移项合并同类项得； 解不等式，移项得， 合并同类项得， 不等式组的解集为． 21．已知实数a，b满足，，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，代入不等式组，即可解答． 【详解】解：由可得， ， ， 解得，故B正确； ，即，故A正确； ，， ，故C正确； ，， ，故D错误． 22．解不等式组． 【答案】不等式组的解集为 【分析】分别求解两个一元一次不等式，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①， 去括号得 移项，合并同类项得； 解不等式② 去分母得 移项，合并同类项得 系数化为1得； 不等式组的解集为． 易错必刷题型07.求不等式组的整数解 典题特征：解完整不等式组公共解集，再从中筛选出符合条件的所有整数。 易错点：解集区间判断不准；区间夹缝里的整数容易漏掉、多数。 23．已知整数满足，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由题意易得，然后可得，则根据“a、b为整数”可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵a、b为整数， ∴， ∴． 24．如图，若整式的值落在数轴上的区间①内，则整数______． 【答案】2 【分析】由整式的值落在数轴上的区间①内得，解不等式组得x的取值范围，进而可得整数x的值． 【详解】解：若整式的值落在数轴上的区间①内，则 ， ∴， ∴， 解得， ∴整数． 25．已知关于的不等式组的最小整数解是3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集为，根据最小整数解是，可知不是解而是解，从而得出关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式： ∵ ∴ ． 解第二个不等式： ∵ 两边乘： 展开： 移项： ∴ ． 即 ． ∴ 不等式组的解集为 ． ∵ 最小整数解是 ∴ 不是解，故 ． 又 ∵ 是解，故 ∵ ∴ ． 即 ． ∵ 且 ∴ ． 即 ． ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点一元一次不等式组的整数解，解题关键是根据最小整数解的条件，建立关于的不等式，从而确定 的取值范围． 26．解不等式组，并求出所有的整数解． 【答案】，整数解为 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为． 易错必刷题型08.由不等式组解集求参数 典题特征：不等式组里面带字母参数，题目直接给出完整解集，反着求参数数值或取值范围。 易错点：不会顺着已知解集反推参数；边界位置等号能不能取，判断出错。 27．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解第一个不等式得到x的范围，再根据一元一次不等式组解集的“同大取大”法则，确定m的取值范围． 【详解】解：不等式， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 由于不等式组的解集为， 则． 28．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查根据一元一次不等式组的解集求参数，根据一元一次不等式组解集的无解的确定方法：大大小小无解找，确定取值范围即可． 【详解】解：由解得， ∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴，即m的取值范围是， 故答案为：． 29．若关于x的不等式组． （1）解集为，则a的值为_____________． （2）不等式组的正整数解之和为6，则a的取值范围为____________． 【答案】 6 【分析】（1）求出不等式组中的两个不等式的解集，再根据不等式组的解集即可得到答案； （2）求出不等式组中的两个不等式的解集，再根据不等式组的正整数解之和为6确定不等式组的正整数解，进而可得答案． 【详解】解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得， ∵原不等式组的解集为， ∴； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组的正整数解之和为6，且， ∴不等式组的正整数解为1，2，3， ∴ ． 30．如果不等式组的解集是． (1)求的取值范围； (2)不等式的解集为，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”得原则是解题的关键． （1）求出不等式组各不等式的解集，再与已知解集相比较即可得出m的取值范围； （2）根据不等式的基本性质得出m的取值范围，再结合（1）中m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：， 由①得，， 不等式组的解集是， ； （2）不等式的解为， ， 解得：， 由（1）知，， 易错必刷题型09.由不等式组解集的情况求参数 典题特征：题目告知不等式组有解、无解、只有几个整数解，根据这个条件求参数范围。 易错点：有解、无解的临界边界搞混；整数解个数限制里，边界等号判断最容易出错。 31．关于x的不等式组 无解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式组解集的性质，两个不等式若无公共解集则不等式组无解，据此推导m的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴的取值范围是 ． 32．已知关于的不等式组：恰有3个整数解，求实数的取值范围__________． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据关于的不等式组：恰有3个整数解判断实数的取值范围即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组：恰有3个整数解， ∴， 解得：． 33．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的整数解个数求参数，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤以及解的情况． 先解不等式组，得到x的取值范围，再根据整数解的个数列出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 因为有且只有4个整数解，所以整数解为， 因此， 解得． 故答案为：． 34．数轴上两点，表示的数分别是，，若线段上所有点对应的数都是不等式组的解，则称不等式组对于线段“绝对包含”． (1)当，时， ①关于的不等式组，对于线段 （填“是”或“不是”）“绝对包含”． ②已知关于的不等式组且不等式组对于线段“绝对包含”，求的取值范围． (2)已知关于的不等式组，若不等式组对于线段“绝对包含”，且满足，求的取值范围． 【答案】(1)①是；②的取值范围是； (2)． 【分析】（1）①根据新定义求解即可判断； ②先求得不等式组的解集为，根据新定义得到，据此求解即可； （2）先求得不等式组的解集为，推出，根据新定义得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：①解不等式组，得， 已知线段对应的数为，完全在内， ∴不等式组对于线段是“绝对包含”； ②不等式组， 解不等式得，， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组对于线段是“绝对包含”， ∴， 解得， 解得， ∴的取值范围是； （2）解：不等式组， 解不等式得； 解不等式得； ∴不等式组的解集为， ∵且线段对应的数为，又，即，得， ∴， ∵不等式组对于线段是“绝对包含”， ∴， 解得． 易错必刷题型10.不等式组和方程组结合的问题 典题特征：二元一次方程组里带参数，方程组的解满足大小、正负不等要求，联立求参数范围。 易错点：用参数表示方程组的解容易算错；不等关系列不等式时，不等号写反。 35．方程组的解为正数，则k的取值范围是（　　） A．k＞4 B．k≥4 C．k＞0 D．k＞﹣4 【答案】D 【分析】把k当作已知表示出x、y的值，再根据x、y为正数求出k的取值范围即可． 【详解】解： ，①﹣②×2得，（k+4）y＝4，解得y＝ ， 代入②得，x＝， ∵此方程组的解为正数，即 ， ∴k+4＞0，解得k＞﹣4． 故选D． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组的方法，在解此方程组时要把k当作已知表示出另外两个未知数，再根据题目中所给的条件列出不等式组，求出k的取值范围即可． 36．已知关于x、y的方程组．①当时，方程组的解是；②无论m为何值，方程组的解都是关于x，y的二元一次方程的解；③方程组的解x与y可以同为负数．其中正确的是___________．（填写序号） 【答案】①② 【分析】先解方程组，用含m的式子表示，即．①把代入即可；②把方程组的解代入方程，成立则为方程的解，否则不是方程的解；③解不等式组，根据不等式组的解集进行判断． 【详解】解方程组得， ①当时，方程组的解是，故①正确； ②把代入方程，得： 左边右边， ∴是方程的解， 即方程组的解都是关于x，y的二元一次方程的解， 故②正确； ③若x与y可以同为负数，则， 该不等式组无解， ∴方程组的解x与y不能同为负数， 故③错误． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查方程组的解，一元一次不等式组，正确理解方程组的解是解题的关键． 37．已知：关于的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了含参数的二元一次方程组，求解的关键是将两个方程相加，得到，然后，利用条件，即可得出结果． 【详解】解：， 将可得， ，即， ， ， 解得． 易错必刷题型11.列一元一次不等式组 典题特征：应用题题干里有两个及以上不等限制条件，只根据题意列出不等式组，不用求解。 易错点：找不全题干里隐藏的不等关系；至少、至多、不超过，对应不等号写错。 38．小明一家在自驾旅游时，发现某段高速公路上对行驶汽车的速度有如下规定：设该段高速公路上小客车的速度为（），则满足的条件是（    ） 最高限速 小客车 大型客车 货车 最低限速 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵由表格信息可得，该段高速公路小客车的最高限速为，所有车辆的最低限速为． ∴小客车速度需要同时满足不低于最低限速和不高于最高限速，即，整理得． 39．如图，用图1中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，若a＋b的值在285和315之间（不含285与315），且用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a的值可能是____________． 【答案】218，225，232 【分析】根据题意图形可知，竖式纸盒需要4个长方形纸板与1个正方形纸板，横式纸盒要3个长方形纸板与2个正方形纸板，设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个，即可算出总共用的纸板数，再根据，即可得到不等式组求出x的值，即可进行求解． 【详解】设做成横式纸盒x个，则做成竖式纸盒个， ∵， ∴， 解得， ∵x为正整数， ∴或或， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，a的值为218，225，232， 故答案为：218，225，232． 【点睛】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意设出未知数，找到不等关系进行求解，注意结合实际情况取整数解． 40．新情景：（地方特色）利用以下素材解决问题． 素材1 “中国第一水乡”周庄，不仅有小桥流水的古韵，更藏着许多手工制作、传承百年的江南特色小吃，如袜底酥、青团、万三蹄等特色小吃，其中，万三蹄因明代富商沈万三而得名． 素材2 周庄古镇内某商店销售万三蹄，成本价是15元/个，分为线上，线下两种方式，都是整个出售，其中，线上1个和线下2个的售价共100元，线上2个和线下1个的售价共95元，五一小长假即将到来，预计今年5月1号到5号这五天的线上销售个数不多于1002个，两种方式的总销售个数达到4000个，总销售金额不多于135000元． (1)求万三蹄线上，线下的售价分别是每个多少元． (2)预计今年五一小长假万三蹄的线上销售个数可能有多少个？ (3)若万三蹄线上售价上涨m元/个，线下售价不变，则预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，请直接写出m的值． 【答案】(1)线上30元/个，线下35元/个 (2)1000、1001、1002个 (3) 【分析】（1）设线上售价x元/个，线下售价y元/个，根据题意列出方程组求解即可； （2）设线上销售a个，线下销售个，根据题意列出不等式组即可求解； （3）根据题意列出代数式，然后化简即可． 【详解】（1）解：设线上售价x元/个，线下售价y元/个 根据题意得：， 解得：， ∴线上30元/个，线下35元/个； （2）解：设线上销售a个，线下销售个， 根据题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴， ∴线上销售个数可能有个或个或个； （3）解：根据题意得：利润， ∵预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值， ∴， 解得：． 易错必刷题型12.不等式组行程问题 典题特征：行程应用题，围绕路程、速度、时间，存在多个限制条件，列不等式组解题。 易错点：时间、路程、速度单位不统一；快慢、提前、迟到对应的不等关系理解错误。 41．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 42．为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 43．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 易错必刷题型13不等式组经济问题 典题特征：围绕进价、售价、折扣、利润、成本，多个经济限制条件，列不等式组计算。 易错点：打折售价计算公式记错；利润率、利润概念混淆；不等号方向写反。 44．某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 【答案】购进商品的件数为19或20件 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用；设购进件商品，则购进件商品，根据题意列出一元一次不等式组，计算求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品，根据题意得： 解得：， 整数值为19或20． 答：购进商品的件数为19或20件． 45．国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 【答案】(1)甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元 (2)①15；②18 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元，根据“1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元”列出二元一次方程组求解； （2）①由题意知，乙种纪念品购买件，根据“两种优惠活动付费一样”列出一元一次方程求解； ②由题意知：乙种纪念品购买件，分别表示出活动一和活动二的付费，然后根据“活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元”列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元， 根据题意得，， 解得：， 答：甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元； （2）解：①由题意知：乙种纪念品购买件， 由题意得，， 解得，； ②由题意知：乙种纪念品购买件， 活动一付费：， 活动二付费：， 由题意知：， 解得：， m为整数， m的值为18． 46．某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)元 (2)方案一：购买电饭煲台，电压力锅台；方案二：购买电饭煲台，电压力锅台；方案三：购买电饭煲台，电压力锅台 【分析】（）设购买电饭煲台，购买电压力锅台，根据题意列方程组求出的值，再列式求出利润即可； （）设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，列出不等式组求出的取值范围，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∴购买电饭煲台，电压力锅台， ∴厨具店在该买卖中盈利为元； （2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴或或， ∴有以下三种进货方案： 方案一：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案二：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案三：购买电饭煲台，电压力锅台． 易错必刷题型14.不等式组分配问题 典题特征：物品分给人，出现分不完有剩余、不够分、最后一人分不满的分配类题型。 易错点：不够分、分不足的范围列错；忘记人数、物品个数必须是正整数。 47．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 48．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 49．某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 易错必刷题型15.不等式组方案选择问题 典题特征：进货、生产、租车、购物类题型，多种可行方案，求所有符合条件的整数方案。 易错点：限制条件列不等式列错；算出范围后，漏数、多数可行整数方案。 50．某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格书柜共20个．甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量．学校最多能提供资金4320元，请设计几种购买方案供学校选择． 【答案】购买方案有三种：甲种书柜8个，乙种书柜12个；甲种书柜9个，乙种书柜11个；甲种书柜10个，乙种书柜10个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 根据不等关系列出一元一次不等式组，求出解集，再根据整数解确定符合题意的方案． 【详解】解：设购买甲种书柜x个，则购买乙种书柜个，根据题意，得 ， 解得， 当时，； 当时，； 当时，． 所以一共有三种方案： 方案一：购买甲种书柜8个，乙种书柜12个； 方案而：购买甲种书柜9个，乙种书柜11个； 方案三：购买甲种书柜10个，乙种书柜10个． 51．“端午节”将至，某超市销售两种品牌的“粽子”，若购买9件A品牌粽子和6件B品牌粽子共需390元；若购买5件A品牌粽子和8件B品牌粽子共需310元． (1)A品牌粽子、B品牌粽子每件价格分别是多少元？ (2)若某公司购买两种品牌粽子30件，且A品牌粽子的数量至少比B品牌粽子的数量多5件，又不超过B品牌粽子的2倍，求该公司有几种购买方案？ 【答案】(1)A品牌粽子每件30元． B品牌粽子每件20元． (2)共有3种购买方案． 【分析】（1）根据两种购买方案的总费用，设未知数列出二元一次方程组，求解即可得 （2）根据两种品牌粽子的数量限制，列出一元一次不等式组，求出未知数的正整数解的个数，即可得到购买方案的数量． 【详解】（1）解：设品牌粽子每件x元，品牌粽子每件y元．根据题意可得 解得 答：品牌粽子每件30元，品牌粽子每件20元． （2）设购买品牌粽子m件，则购买品牌粽子件，m为正整数．根据题意可得 解不等式组得， ∴符合条件的正整数m为18，19，20，共3个． 答：该公司有3种购买方案． 52．重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元 (2)①超市共有3种进货方案， 方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面； 方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面； 方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面． ②当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元，利用总价＝单价×数量，结合购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即精装版豌杂面每箱的售价），再将其代入中，即可求出简装版豌杂面每箱的售价； （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面，根据“进货总资金不超过4020元，且试销总利润不低于790元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案； ②求出选择各方案超市可获得的总利润，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元， 根据题意得：，解得， 则． 答：精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元． （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面， 根据题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以为6，7，8． ∴超市共有3种进货方案． 方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面； 方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面； 方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面． ②选择方案1获得的总利润为：（元）； 选择方案2获得的总利润为：（元）； 选择方案3获得的总利润为（元）； ， ∴当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元． .易错必刷题型16.不等式组阶梯收费问题 典题特征：水费、电费、燃气费、打车费，分段阶梯收费，根据总费用求用量范围。 易错点：分段区间划分不清；超过部分单独计价算成全部一起高价算。 53．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 54．大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 55．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 易错必刷题型17.列一元一次不等式 典题特征：应用题题干只有一个不等条件，直接根据题意列出单个一元一次不等式即可。 易错点：题干关键词对应不等号搞混；不大于、不小于、不少于最容易写反符号。 56．一个数x的与4的差不大于这个数的2倍加上5所得的和”可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将文字语言准确转化为代数式，明确“不大于”表示小于等于，对应不等号为，列出不等式即可. 【详解】解：∵的为，它与的差为， 这个数的倍加上的结果为， 由题意， 可列不等式为. 57．某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道， 根据题意得，， 故答案为：． 58．用不等式表示下列不等关系： (1)a与15的和大于27； (2)b的一半与3的差是负数； (3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列不等式，理解题意并找到关键词是解题的关键． （1）根据正负数的定义列出不等式即可； （2）直接列出不等式即可； （3）设全县原有猕猴桃种植面积为，然后根据种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍列出不等式即可． 【详解】（1）解 ：a与15的和大于27，即． （2）解：b的一半与3的差是负数，即． （3）解：设全县原有猕猴桃种植面积为， 由题意可得：． 易错必刷题型18.不等式解决实际问题 典题特征：单个不等式解生活实际应用题，算出结果后，结合生活实际取值。 易错点：算出小数结果，忘记人数、车辆数只能取正整数；不会用进一法、去尾法取舍。 59．一个工程队原定在10天内至少要挖土，前两天一共完成了，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．问：后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？设后6天内平均每天要挖土，根据题意可列不等式（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设后6天平均每天挖土，则总挖土量为前两天完成的120加上后6天的，根据总挖土量不低于600列不等式即可． 【详解】解：设后6天平均每天挖土， 则可得不等式：． 60．为了激发学生学习数学的积极性，某校举行了主题为“学数学、用数学、爱数学”的知识竞赛活动，共20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分，大赛规定总分不低于80分获奖，伊伊想获奖，至少要答对_________道题． 【答案】18 【分析】找出不等关系，正确列出一元一次不等式，解答即可． 【详解】解：设伊伊答对x道题，则答错或不答道题， 根据题意得：， 解不等式得： ， 为正整数， 的最小值为． 61．某海南特产店购进一批本地产的红茶与绿茶，其中红茶的进价为70元/盒，绿茶的进价为90元/盒．一盒红茶的售价比一盒绿茶的售价低20元．春节期间，一位游客小明在该店购买了1盒红茶与4盒绿茶，共花费580元． (1)求红茶和绿茶每盒的售价分别是多少元？（列方程或方程组求解） (2)若春节期间红茶按售价的八折优惠销售，小明打算购买红茶、绿茶共10盒作为礼物带回老家，若要确保该笔交易中特产店的获利不低于220元，问小明最多可以购买多少盒红茶？ 【答案】(1)红茶每盒的售价为100元，绿茶每盒的售价为120元； (2)小明最多可以购买4盒红茶 【分析】（1）设红茶每盒的售价为x元，绿茶每盒的售价为y元，根据一盒红茶的售价比一盒绿茶的售价低20元，购买1盒红茶与4盒绿茶，共花费580元建立方程组求解即可； （2）设小明购买m盒红茶，则购买盒，根据特产店的获利不低于220元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设红茶每盒的售价为x元，绿茶每盒的售价为y元， 由题意得，， 解得， 答：红茶每盒的售价为100元，绿茶每盒的售价为120元； （2）解：设小明购买m盒红茶，则购买盒， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为4， 答：小明最多可以购买4盒红茶． 易错必刷题型19.不等式解集几何问题 典题特征：结合三角形边长、周长、边长取值范围，利用几何性质列不等式求解。 易错点：忘记三角形两边之和大于第三边；等腰三角形腰和底边范围分不清。 62．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 63．将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 64．如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解：，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 易错必刷题型20.不等式组的其他应用 典题特征：综合类应用题，条件多、隐藏限制多，综合性强，多条件结合列不等式组。 易错点：隐藏的限制条件找不出来；多个不等式联立，公共解集找错。 65．小明用天平称量一个物体的质量，他将2个该物体放在天平的左边，右边分别放1个、2个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由天平平衡关系，直接列不等式组即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 66．四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设共有名同学，则书本总数为本，根据最后一人分到书但不到3本的条件列出不等式组，求解后取正整数即可得到结果． 【详解】解：设共有名同学，则书本总数为本， 根据题意，最后一人分得的书本数大于0且小于3，可得不等式组： 化简第一个不等式得， 化简第二个不等式得， 因此不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴． 即共有6名同学． 67．北京时间2024年10月30日12时51分，在轨执行任务的神舟十八号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十九号航天员乘组入驻中国空间站．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价． (2)该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？并将方案列举出来． 【答案】(1)每个神舟模型进价50元，每个天宫模型进价40元 (2)共有3种进货方案：①神舟模型买27个，天宫模型买53个；②神舟模型买28个，天宫模型买52个；③神舟模型买29个，天宫模型买51个 【分析】（1）设每个神舟模型的进价为x元，每个天宫模型的进价为y元，列方程组解答； （2）根据总费用不超过3490元列不等式组解答 【详解】（1）解：设每个神舟模型的进价为x元，每个天宫模型的进价为y元． 由题意得 解得 所以，每个神舟模型进价50元，每个天宫模型进价40元； （2）根据题意可得 解得 因为取正整数，所以． 共有3种进货方案 ①神舟模型买27个，天宫模型买53个 ②神舟模型买28个，天宫模型买52个 ③神舟模型买29个，天宫模型买51个 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $