专题06 一元一次不等式章末易错必刷题型专训（60题20个考点）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版）

**基本信息** 聚焦一元一次不等式20个核心考点，以60道易错题为载体，构建从概念到应用的递进式训练体系，通过辨析与应用培养抽象能力和推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式基础|9题|概念辨析、性质应用、解集判断|从定义到性质推导，建立不等式基本认知框架| |不等式求解|12题|解法正误、整数解、最值问题|强化变形规则，培养运算能力与逻辑推理| |实际应用|9题|几何建模、生活场景、方案设计|结合实际问题发展模型意识与应用能力| |不等式组|30题|解集求解、参数确定、新定义综合|整合不等式知识，提升综合解题与创新思维|

专题06 一元一次不等式章末易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 不等式的概念】 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）下列式子中，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的定义：用不等号连接的式子都叫做不等式．根据不等式的定义对各式子进行解答即可． 【详解】解：①，不含有不等号，不是不等式，不符合题意； ②，是不等式，符合题意； ③，是不等式，符合题意； ④，是不等式，符合题意； ⑤，是不等式，符合题意； ⑥不含有不等号，不是不等式，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）用不等关系表示“x与6的和比x的5倍大”________． 【答案】x+6>5x 【分析】根据与的和为：；的倍为：，即可写出不等式． 【详解】∵与的和为：；的倍为： ∴与的和比的倍大 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的知识，解题的关键是理解题意，列出不等式． 3．（24-25八年级上·江苏常州·单元测试）某种饮料重约，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为多少克？ 【答案】不少于克 【分析】本题主要考查了不等式的应用，根据题意求出蛋白质含量的最小值即可得到答案． 【详解】解：∵某种饮料重约，罐上注有“蛋白质含量”， ∴蛋白质含量的最小值为克， ∴蛋白质的含量不少于克， 答：蛋白质的含量不少于克． 【易错必刷二 不等式的性质】 4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的性质逐一判断选项即可。 【详解】已知 ， 对选项A，根据不等式性质，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ，A错误； 对选项B，的符号不确定，当时，，当时，，当时，，不一定成立，B错误； 对选项C，当时，，当时，，∴不一定成立，C错误； 对选项D，根据不等式性质，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，，成立， D正确． 5．（24-25七年级下·天津河北·期末）如图的框图表示解不等式的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据是________． 【答案】不等式的性质3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：如图的框图表示解不等式的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据是不等式的性质3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变， 故答案为：不等式的性质3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6．（24-25七年级下·江苏常州·课后作业）小明说永远不可能成立，因为在不等式两边都除以x，得到这个错误结论．小明的说法正确吗？请说明理由． 【答案】小明的说法不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了分类讨论思想，不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，先要进行分类讨论，再结合不等式的性质进行作答即可． 【详解】解：小明的说法不正确．理由如下： 小明默认，未对x的取值范围进行分类讨论． 当时，由，得； 当时，； 当时，由，得． 综上，当时，成立．故小明的说法不正确． 【易错必刷三 不等式的解集】 7．（24-25七年级下·江苏常州·期末）下列说法中正确的是（　　） A．若x＞3，则x＞4 B．若x＞3，则x＜4 C．若x＞4，则x＞3 D．若x＞4，则x＜3 【答案】C 【分析】对各选项进行逐项分析即可找出说法正确的选项，对A、C、D选项可以举反例进行说明． 【详解】解：A、若x＞3，则x＞4，说法错误，例如x=3.5,故本选项不合题意； B、若x＞3，则x＜4，说法错误，例如x=5,故本选项不合题意； C、若x＞4，则x＞3，说法正确，故本选项符合题意； D、若x＞4，则x＜3，说法错误，例如x=5,故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了学生对于不等式的理解，涉及到了辩证的思维模式，解决本题的关键是能够正确理解题目意思，并对错误选项举出反例，本题较基础，考查了学生的基本功． 8．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏常州·寒假作业）下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？ (1)x=1． (2)x=3． (3)x=10． (4)x=12． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 (4)是 【分析】把未知数的值代入计算，比较后，判断即可 【详解】（1）把x=1代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×1+1)=6＜25，所以x=1不是不等式2(2x+1)＞25的解． （2）把x=3代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×3+1)=14＜25，所以x=3不是不等式2(2x+1)＞25的解． （3）把x=10代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×10+1)=42＞25，所以x=10是不等式2(2x+1)＞25的解． （4）把x=12代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×12+1)=50＞25，所以x=12是不等式2(2x+1)＞25的解． 【点睛】本题考查了不等式的解即使不等式左右两边成立的未知数的值，正确理解不等式的解是解题的关键． 【易错必刷四 一元一次不等式的定义】 10．（24-25八年级上·湖南永州·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．没有含未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； B．含有两个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； C．是一元一次不等式，故本选项符合题意； D．不是整式的不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式． 11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若是一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义可知，求得m的值即可． 【详解】解：∵是一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键． 12．（24-25七年级下·江苏常州·月考）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， 解得：或，且 ． 【易错必刷五 求一元一次不等式的解集】 13．（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）一元一次不等式去分母后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式去分母的操作，解题思路是找到两个分母的最小公倍数，将不等式两边同时乘以最小公倍数去掉分母，过程中注意不等号方向不变． 【详解】解： ， 去分母，得 ． 14．（24-25七年级下·安徽·月考）不等式的解集是________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由不等式的性质求解即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 15．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）已知是方程的解，试求不等式的解集． 【答案】 【分析】把代入方程求出的值，再求出不等式的解集即可． 【详解】解∶∵是方程的解， ∴， 解得∶， ∴不等式即为∶， ∴； ∴． 【易错必刷六 求一元一次不等式的整数解】 16．（2025·江苏南通·一模）关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式有三个非负整数解得出的范围是解题的关键． 由不等式得，根据不等式有三个非负整数解知，求解可得． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式恰有三个非负整数解， ∴， 解得：， 故选：A． 17．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知不等式的最小整数解也是方程的解，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，整数解，以及方程的解，关键是正确确定出x的值． 首先解出一元一次不等式的解集，再确定出x的值，再把x的值代入方程即可得到关于k的方程，再解方程即可算出k的值． 【详解】解：， 解得：， ∵x是不等式的最小整数解， ∴， 把代入方程中得：， 解得：， 故答案为：4． 18．（2025七年级下·江苏常州·专题练习）（1）解不等式，并写出它的负整数解； （2）解不等式，并写出它的正整数解． 【答案】（）该不等式的负整数解为，；（）该不等式的正整数解为，，，． 【分析】（）根据去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； 本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解：（）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 故该不等式的负整数解为，； （）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故该不等式的正整数解为，，，． 【易错必刷七 求一元一次不等式解的最值】 19．（24-25七年级下·河南南阳·期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】先解二元一次方程组，再根据条件列出不等式，解不等式即可求得答案． 【详解】 ①②得： ①②得： 解得 的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键． 20．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 【详解】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 21．（24-25七年级下·河北唐山·月考）如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了列不等式以及分类讨论思想；，熟练运用分类讨论思想是关键． （1）正确列出不等式，然后根据条件计算即可； （2）运用分类讨论思想正确列出不等式，然后根据条件计算即可；． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得，     为正整数，且为偶数， ； （2）解：当输入的为奇数时，， 解得， 则的最小值为19；     当输入的为偶数时，， 解得， 则的最小值为18；     综上所述，符合条件的的最小值为18． 【易错必刷八 解|x|≥a型的不等式】 22．（24-25七年级下·江苏常州·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，利用“一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为非正数”这一性质列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 移项得 两边同时除以3，得． 故选：C． 23．（2025七年级下·江苏淮安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次不等式的关系，熟练掌握绝对值不等式的解法，二次函数与一元二次不等式的关系是解题的关键． 先运算绝对值不等式得到或或，再分别求出两个不等式中的取值范围即可． 【详解】解：， 或， 整理，得或， 当恒成立时，即对应的二次函数在范围内在轴上方， ∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴， ， 当恒成立，即时， ， ， ， 综上所述，实数的取值范围是或， 故答案为：或． 24．（2025八年级上·浙江宁波·模拟预测）解关于x的不等式：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】解：当时，原不等式化为， 解得：， 此时； 当时，原不等式化为， 解得：， 此时； 当时，原不等式化为， 解得：， 此时； 综上所述，原不等式的解集为或． 【易错必刷九 列一元一次不等式】 25．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）“x的与的和不大于4”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列不等式，涉及到对代数式和一元一次不等式的理解与应用；解决本题的关键是正确理解题目意思，能将文字语言正确翻译为数学符号语言，能正确列出代数式或不等式． 先将的与的和，用代数式表示出来，再用数学符号表示“不大于”，最后将它们与最后的数字连起来即可． 【详解】解：的与的和，用代数式可以表示为， “不大于”可以用符号“”表示， 因此原文可以表示为“”， 故选：D． 26．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用不等式表示“的3倍与2的差为正数”：_______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，理解题意正确列出不等式是解题的关键．根据题意列出不等式即可求解． 【详解】解：用不等式表示“的3倍与2的差为正数”为． 故答案为：． 27．（24-25七年级下·江苏常州·月考）我们规定的运算法则为，例如．若，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确理解新定义运算法则是解题关键．根据运算法则列不等式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 即的取值范围为． 【易错必刷十 用一元一次不等式解决实际问题】 28．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）某茶园准备用篱笆围成一片长方形土地用来培育新品种茶叶，已知该长方形土地的长比宽多40米，若要求围成该长方形土地的篱笆长度不超过200米，则该长方形土地的宽至多为（    ） A．50米 B．45米 C．40米 D．30米 【答案】D 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式解决实际最值问题，解题的关键是准确找出不等关系． 设宽为米，则长为米，根据周长公式和篱笆长度不超过200米的条件，建立不等式并求解． 【详解】解：设宽为米，则长为米，根据题意得， ， 解得， 因此，宽的最大值为30米， 故选：D． 29．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）某校准备用不超过1000元购买篮球和足球共15个，其中篮球每个60元，足球每个80元，求最多可购买多少个足球．若设购买足球m个，则可列不等式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，理解题意是解题的关键． 根据题意列出不等式即可． 【详解】解：由题意知，购买足球和篮球的花费一共不超过元， 设购买足球个，则购买篮球个， ∴． 故答案为： ． 30．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）为保证学生有充足睡眠时间，某校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到？ 【答案】至少4分钟 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明同学跑步时间为x分钟，根据题意列出不等式即可． 【详解】解：设小明同学跑步时间为x分钟，依题意，得 ， 解得， 答：小明同学至少跑步4分钟才能保证不迟到． 【易错必刷十一 用一元一次不等式解决几何问题】 31．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 32．（24-25七年级下·江苏常州·课后作业）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 33．（24-25七年级下·江苏常州·寒假作业）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1)a=50-2b，15． (2) 【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值即可； （2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意得，即a=50-2b 当时，．解得． （2）解：∵，， ∴ 解这个不等式组得：． 答：矩形花园宽的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确列出不等式组是解答本题的关键． 【易错必刷十二 在数轴上表示不等式的解集】 34．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图所示，在数轴上表示为某不等式的解集，它的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集．熟练掌握数轴上的点表示的数是解题的关键． 根据数轴表示的不等式的解集是判断即得． 【详解】解：如图， 是不等式的解集． 故选：D． 35．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）若关于的不等式的解集如图所示，则的值是______．    【答案】3 【分析】先解出不等式的解集为，再由数轴可得不等式的解集为，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 解得：， 根据题意得：关于x的不等式的解集为， ∴， 解得： 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了含参数的一元一次不等式，解题的关键是根据数轴所表示的解集正确列出关于m的方程． 36．（25-26八年级上·浙江温州·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟记运算步骤是关键． 按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， 解得：． 把解集表示在数轴上，如下图： 【易错必刷十三 一元一次不等式的新定义】 37．（24-25七年级下·江苏常州·课后作业）下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 38．（24-25七年级下·江苏常州·课后作业）下列不等式组： （1） （2） （3） （4） 其中__________是一元一次不等式组．（用序号表示） 【答案】（1）（4） 【分析】根据不等式组的定义进行判断即可．把两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．掌握不等式组的定义是解题的关键． 【详解】（1）（4）符合一元一次不等式组的定义，故是一元一次不等式组； （2）中不等式组含有两个未知数，所以它不是一元一次不等式组； （3）中第一个不等式的分母中含有未知数，故它不是一元一次不等式． 39．（24-25八年级上·江苏常州·课后作业）一般地，由几个____________的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的____________就是不等式组的解． 【答案】 含有同一个未知数 公共部分 【分析】根据定义填空即可． 【详解】一般地，由几个含有同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解． 故答案为：含有同一个未知数，公共部分． 【点睛】本题直接考查一元一次不等式组的定义，不等式组的解的定义．熟知定义是解题关键． 【易错必刷十四 一元一次不等式的错解订正问题】 40．（24-25七年级下·江苏常州·期末）小亮在解不等式组时，解法步骤如下： 解不等式①，得，…第一步； 解不等式②，得，…第二步； 所有原不等式组组的解集为…第三步． 对于以上解答，你认为下列判断正确的是(   ) A．解答有误，错在第一步 B．解答有误，错在第二步 C．解答有误，错在第三步 D．原解答正确无误 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为． 所以解答有误，错在第三步 故选C． 41．（24-25七年级下·北京西城·期中）以下是一位同学求解不等式时的过程： 发现有错后，请你修改正确答案. 他在分析错因时写道：单独一个数或字母，在“去分母”时，容易漏乘，应该在“1”下面标注“”或另作标记，提醒自己注意． ① “”内应修改的正确答案是____ ② “去分母”这步，依据的不等式基本性质是_______（请写明基本性质的具体内容） 【答案】 12 不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号开口方向不变 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质． ①根据去分母的方法进行求解即可； ②根据不等式的性质2：不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变，求解即可． 【详解】 解：①“”内应修改的正确答案是12； ②“去分母”这步，依据的不等式基本性质是不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号开口方向不变． 故答案为：①12；②不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变． 42．（2025·山东潍坊·一模）下面是小亮解一道不等式的步骤，请阅读后回答问题. 解不等式： 解 去分母，得         ……  第一步 移项，得              ……  第二步 合并同类项，得                   ……  第三步 系数化为1，得                        ……  第四步 ①小亮的解法有错吗？如果有，错在哪一步？并给出改正. ②小亮解不等式的过程中从第一步到第二步的变形依据是什么？ 【答案】①有错误，第四步， ②不等式的基本性质1 【分析】本题考查解一元一次不等式： ①观察小明解题过程，找出错误的步骤，并改正； ②利用不等式的基本性质判断即可． 【详解】解：①有错误，错在第四步，改正后为：； ②小亮解不等式的过程中从第一步到第二步的变形依据是：不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 【易错必刷十五 求不等式组的解集】 43．（25-26七年级下·江苏常州·月考）一元一次不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解出不等式组中的两个一元一次不等式，再根据“同大取大”的原则确定不等式组的解集． 【详解】解： ∵解不等式得：， 解得：, ∴原不等式组的解集为． 44．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）不等式组的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）即可． 【详解】解：， 解不等式① 解得， 解不等式② 解得， ∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 45．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式①，得_________________， 解不等式②，得_________________， 原不等式组的解集为_________________， 满足条件的所有整数解为____________________． 【答案】；；； 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，然后确定整数解计算即可． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 【易错必刷十六 求一元一次不等式组的整数解】 46．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）若不等式组恰有三个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质分别求解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，由此即可求解． 【详解】解：， 解①得，， ∴， ∵不等式组恰有三个整数解，即， ∴， 故选：C ． 47．（24-25七年级下·上海松江·月考）不等式组的正整数解为______． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后求出正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的正整数解为， 故答案为：． 48．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）解不等式组，并求出符合条件的所有整数解． 【答案】不等式组的解集是，整数解是，0，1 【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集、不等式组的整数解等知识点，掌握解不等式的方法是解题的关键． 先分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示，即可得到不等式组的解集，最后根据数轴确定不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一条数轴上表示不等式①与②的解集如图所示： 所以该不等式组的解集是， 它的整数解是，0，1． 【易错必刷十七 由不等式组解集的情况求参数】 49．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若不等式组无解，则“□”处的数字可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．设“□”处的数字为a，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，确定关于a的不等式，解之可得． 【详解】解：设“□”处的数字为a， 解，得 解，得． ∵不等式组无解， ∴， 解得： 因此，“□”处的数字需满足 ，选项中符合条件的是 D． 故选D． 50．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如果关于的不等式组无解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据不等式组解集的表示方法“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则可得答案． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， ∴． 51．（24-25八年级上·浙江·单元测试）如果某一元一次方程的解是另一个一元一次不等式组的一个解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组的关联方程． (1)若不等式组的一个关联方程的解是整数，求这个关联方程（写出一个即可）； (2)若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得； （2）解不等式组得出，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案． 【详解】（1）解：解不等式组得：， 所以不等式组的整数解为， 则该不等式组的关联方程为； （2）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以不等式组的解集为． 方程的解为， 方程的解为， 所以m的取值范围是． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力． 【易错必刷十八 一元一次不等式组的解集求参数】 52．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集求参数，解不等式可得出，由不等式的解集为即可得出． 【详解】解： ∴， ∵不等式的解集为 ∴， 故选：A． 53．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知不等式组的解集为，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：由，得： 由，得：， ∵不等式组的解集为， ∴ ，， 解得，， 则 故答案为：． 54．（24-25七年级下·江苏常州·月考）填空： (1)不等式组的解集是； (2)不等式组的解集是； (3)不等式组的解集是； (4)不等式组的解集是． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据不等式的解集确定方法：同大取较大，同小取较小．小大大小中间找，大大小小解不了，即可解答． 【详解】（1）不等式组的解集是； 故答案为：； （2）不等式组的解集是； 故答案为：； （3）不等式组的解集是； 故答案为：； （4）不等式组的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的确定方法是解题的关键． 【易错必刷十九 不等式组和方程组相结合的问题】 55．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接用方程组中的减去得到，再结合，得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵方程组的中x，y满足， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了方程组和不等式结合的问题，正确利用方程组得到是解题的关键． 56．（24-25七年级下·江西新余·期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围_____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的结合，通过将两个方程相加，可以得到的表达式．利用题目给出的条件，建立关于的不等式，进而求解的取值范围． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加： ， 将方程两边同时除以4： ， ， ． 故答案为：． 57．（2025七年级下·江苏常州·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解题的关键在于熟知解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法． （1）先把m看做常数利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是正数得到关于m的不等式组，解不等式求出m的取值范围即可； （2）根据（1）所求结合不小于0建立不等式求解即可． 【详解】（1）解方程组， 得， ∵方程组的解是正数， ， 解得． （2）∵方程组的解满足不小于0， ， 解得． 【易错必刷二十 一元一次不等式组的新定义问题】 58．（24-25七年级下·山东泰安·期末）定义新运算，若，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，正确理解新定义是解题的关键． 根据新运算的定义，当左边的数小于右边的数时，结果为右边的数，因此，由可知，解此不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 因此，的取值范围是， 故选：B． 59．（2025·四川南充·模拟预测）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的整数解为______． 【答案】，0，1 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解以及有理数的混合运算，根据，可以将不等式组转化为，然后求解即可． 【详解】由题意可得， 不等式组转化为， 解得． 所以不等式组的整数解为，0，1． 故答案为：，0，1． 60．（24-25七年级下·江苏常州·周测）新定义  题定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．若的值大于而小于，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，新定义的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．根据新定义得出关于的一元一次不等式组， 解不等式即可得出答案． 【详解】解：． 根据题意得， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一元一次不等式章末易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 不等式的概念】 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）下列式子中，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）用不等关系表示“x与6的和比x的5倍大”________． 3．（24-25八年级上·江苏常州·单元测试）某种饮料重约，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为多少克？ 【易错必刷二 不等式的性质】 4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·天津河北·期末）如图的框图表示解不等式的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据是________． 6．（24-25七年级下·江苏常州·课后作业）小明说永远不可能成立，因为在不等式两边都除以x，得到这个错误结论．小明的说法正确吗？请说明理由． 【易错必刷三 不等式的解集】 7．（24-25七年级下·江苏常州·期末）下列说法中正确的是（　　） A．若x＞3，则x＞4 B．若x＞3，则x＜4 C．若x＞4，则x＞3 D．若x＞4，则x＜3 8．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是______． 9．（24-25七年级下·江苏常州·寒假作业）下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？ (1)x=1． (2)x=3． (3)x=10． (4)x=12． 【易错必刷四 一元一次不等式的定义】 10．（24-25八年级上·湖南永州·期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若是一元一次不等式，则______． 12．（24-25七年级下·江苏常州·月考）已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【易错必刷五 求一元一次不等式的解集】 13．（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）一元一次不等式去分母后正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·安徽·月考）不等式的解集是________． 15．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）已知是方程的解，试求不等式的解集． 【易错必刷六 求一元一次不等式的整数解】 16．（2025·江苏南通·一模）关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知不等式的最小整数解也是方程的解，则的值为________． 18．（2025七年级下·江苏常州·专题练习）（1）解不等式，并写出它的负整数解； （2）解不等式，并写出它的正整数解． 【易错必刷七 求一元一次不等式解的最值】 19．（24-25七年级下·河南南阳·期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　） A．1 B． C．0 D． 20．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 21．（24-25七年级下·河北唐山·月考）如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值． 【易错必刷八 解|x|≥a型的不等式】 22．（24-25七年级下·江苏常州·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 23．（2025七年级下·江苏淮安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______． 24．（2025八年级上·浙江宁波·模拟预测）解关于x的不等式：． 【易错必刷九 列一元一次不等式】 25．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）“x的与的和不大于4”可以表示为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用不等式表示“的3倍与2的差为正数”：_______． 27．（24-25七年级下·江苏常州·月考）我们规定的运算法则为，例如．若，求的取值范围． 【易错必刷十 用一元一次不等式解决实际问题】 28．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）某茶园准备用篱笆围成一片长方形土地用来培育新品种茶叶，已知该长方形土地的长比宽多40米，若要求围成该长方形土地的篱笆长度不超过200米，则该长方形土地的宽至多为（    ） A．50米 B．45米 C．40米 D．30米 29．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）某校准备用不超过1000元购买篮球和足球共15个，其中篮球每个60元，足球每个80元，求最多可购买多少个足球．若设购买足球m个，则可列不等式为_______． 30．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）为保证学生有充足睡眠时间，某校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到？ 【易错必刷十一 用一元一次不等式解决几何问题】 31．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·江苏常州·课后作业）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 33．（24-25七年级下·江苏常州·寒假作业）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 【易错必刷十二 在数轴上表示不等式的解集】 34．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图所示，在数轴上表示为某不等式的解集，它的解集是（  ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）若关于的不等式的解集如图所示，则的值是______．    36．（25-26八年级上·浙江温州·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． 【易错必刷十三 一元一次不等式的新定义】 37．（24-25七年级下·江苏常州·课后作业）下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·江苏常州·课后作业）下列不等式组： （1） （2） （3） （4） 其中__________是一元一次不等式组．（用序号表示） 39．（24-25八年级上·江苏常州·课后作业）一般地，由几个____________的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组，组成不等式组的各个不等式的解的____________就是不等式组的解． 【易错必刷十四 一元一次不等式的错解订正问题】 40．（24-25七年级下·江苏常州·期末）小亮在解不等式组时，解法步骤如下： 解不等式①，得，…第一步； 解不等式②，得，…第二步； 所有原不等式组组的解集为…第三步． 对于以上解答，你认为下列判断正确的是(   ) A．解答有误，错在第一步 B．解答有误，错在第二步 C．解答有误，错在第三步 D．原解答正确无误 41．（24-25七年级下·北京西城·期中）以下是一位同学求解不等式时的过程： 发现有错后，请你修改正确答案. 他在分析错因时写道：单独一个数或字母，在“去分母”时，容易漏乘，应该在“1”下面标注“”或另作标记，提醒自己注意． ① “”内应修改的正确答案是____ ② “去分母”这步，依据的不等式基本性质是_______（请写明基本性质的具体内容） 42．（2025·山东潍坊·一模）下面是小亮解一道不等式的步骤，请阅读后回答问题. 解不等式： 解 去分母，得         ……  第一步 移项，得              ……  第二步 合并同类项，得                   ……  第三步 系数化为1，得                        ……  第四步 ①小亮的解法有错吗？如果有，错在哪一步？并给出改正. ②小亮解不等式的过程中从第一步到第二步的变形依据是什么？ 【易错必刷十五 求不等式组的解集】 43．（25-26七年级下·江苏常州·月考）一元一次不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 44．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）不等式组的解集是______． 45．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式①，得_________________， 解不等式②，得_________________， 原不等式组的解集为_________________， 满足条件的所有整数解为____________________． 【易错必刷十六 求一元一次不等式组的整数解】 46．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）若不等式组恰有三个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级下·上海松江·月考）不等式组的正整数解为______． 48．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）解不等式组，并求出符合条件的所有整数解． 【易错必刷十七 由不等式组解集的情况求参数】 49．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若不等式组无解，则“□”处的数字可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 50．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如果关于的不等式组无解，则实数的取值范围是__________． 51．（24-25八年级上·浙江·单元测试）如果某一元一次方程的解是另一个一元一次不等式组的一个解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组的关联方程． (1)若不等式组的一个关联方程的解是整数，求这个关联方程（写出一个即可）； (2)若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 【易错必刷十八 一元一次不等式组的解集求参数】 52．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C． D． 53．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知不等式组的解集为，则的值是___________． 54．（24-25七年级下·江苏常州·月考）填空： (1)不等式组的解集是； (2)不等式组的解集是； (3)不等式组的解集是； (4)不等式组的解集是． 【易错必刷十九 不等式组和方程组相结合的问题】 55．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 56．（24-25七年级下·江西新余·期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围_____． 57．（2025七年级下·江苏常州·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 【易错必刷二十 一元一次不等式组的新定义问题】 58．（24-25七年级下·山东泰安·期末）定义新运算，若，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 59．（2025·四川南充·模拟预测）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的整数解为______． 60．（24-25七年级下·江苏常州·周测）新定义  题定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．若的值大于而小于，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $