专题03 用一元一次不等式解决问题重难点题型专训（2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版）

专题03用一元一次不等式解决问题重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 列一元一次不等式 题型二 用一元一次不等式解决实际问题 题型三 用一元一次不等式解决几何问题 题型四 列一元一次不等式组 题型五 不等式组的行程问题 题型六 不等式组的经济问题 题型七 不等式组的分配问题 题型八 不等式组的方案选择问题 题型九 不等式组的阶梯收费问题 拓展训练一 新定义问题 拓展训练二 一元一次不等式组实际综合应用 知识点一：经济与方案问题 经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广西百色·期末）某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 知识点二：用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）小明一家在自驾旅游时，发现某段高速公路上对行驶汽车的速度有如下规定：设该段高速公路上小客车的速度为（），则满足的条件是（    ） 最高限速 小客车 大型客车 货车 最低限速 A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组______． 【经典例题一 列一元一次不等式】 【例1】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）小聪用120元钱去购买笔记本和钢笔共20件，已知每本笔记本5元，每支钢笔7元，设小聪能买x支钢笔．则可列不等式为 ____________ ． 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）列不等式与解不等式 (1)用不等式表示数量关系：x的3倍与9的差不大于． (2)解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． 2．（25-26七年级下·江苏镇江·课后作业）用不等式（组）解决下列问题： (1)小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的．”如果设苹果的实际质量为x斤，用不等式把这个“高高的”的意思表示出来． (2)小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，请表示的取值范围． 3．（25-26七年级下·江苏镇江·课后作业）某工厂要将货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆．已知两种型号的汽车承载质量及其租金如下表所示： 承载质量/（/辆） 租金/（元/辆） 甲型汽车 16 800 乙型汽车 18 850 设租用甲型汽车辆，回答下列问题： (1)若想一次性把货物全部运走，请直接写出应满足的不等式． (2)若此工厂计划此次租车的费用不超过5000元，请直接写出应满足的不等式． 【经典例题二 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）王老板以每件80元的价格购进一批卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要求利润率不低于，则该卫衣至多可以打________折． 1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）某学校计划开展科技创新活动，计划采购A，B两款机器人共6台，付款总额不超过15万元，A，B两款机器人的售价分别为1万元/台和3万元/台，求该学校最多能采购B型机器人的台数． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）根据以下学习素材，完成下列任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒3斤 每盒4斤 现在需要对斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这32斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的成本控制在10元以内，请你设计出所有符合要求的分装方案，并说明理由． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）“倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，西园街道计划在某小区内新建A、B两类垃圾站，在满足小区垃圾处理需求的同时，兼顾小区绿化空间的保护，完成垃圾站的规划、方案设计与优化．请你根据以下素材，探索完成任务： 如何规划设计小区垃圾站？ 素材1 新建A、B两类垃圾站，单座占用绿地面积分别为和； 素材2 已知1座A类垃圾站和2座B类垃圾站日处理垃圾能力为1.1吨，2座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力为1吨． 素材3 该小区计划投入使用共10座两类垃圾处理站，要求每日处理垃圾能力不低于3.6吨； 问题解决 (1)求1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是多少吨？ (2)若建设A类垃圾站n座，求n的取值范围，并分析共有几种符合要求的设计方案？ (3)考虑到小区绿化面积对居民身心健康的重要性，在（2）的前提下，若占用绿化面积不得超过．仅有两种方案可供选择，求a的取值范围． 【经典例题三 用一元一次不等式解决几何问题】 【例1】（24-25七年级上·重庆丰都·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    1．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）我市在创建江苏镇江文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． (1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ (2)考虑到资金周转，用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则至多购进A种树苗多少棵． 2．（25-26八年级上·广东汕头·期末）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【经典例题四 列一元一次不等式组】 【例1】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）用abc表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ） A．abc B．bac C．acb D．cba 【例2】（24-25七年级下·福建厦门·月考）已知，且，，则的取值范围是______． 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）某工人制造机器零件，如果每天比预定的多做一件，那么80天所做的零件数超过1000件；如果每天比预定的少做一件，那么80天所做的零件数不到900件，这个工人预定每天做几件零件？ 2．（24-25七年级下·河南周口·期末）阅读材料：形如的不等式，我们称之为双连不等式，求解这类不等式的方法之一：转化为不等式组求解，如上面的不等式转化为再求解；方法二：利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去3，得，然后再同时除以2，得． (1)解决问题：请你将双连不等式转化为不等式组； (2)解决问题：利用不等式的性质解双连不等式． 3．（24-25七年级下·山西晋城·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由得（为正整数），   ∴    则有   又为正整数， ∴为正整数． 由2与3互质可知，为3的倍数，从而， ∴， ∴的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解____________； (2)若为自然数，则满足条件的有______ 个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？ 【经典例题五 不等式组的行程问题】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【例2】（24-25七年级下·江苏镇江·暑假作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________． 1．（24-25八年级上·重庆渝中·期末）“元旦节”假期最后一天，李老师驾车从老家沿高速路回主城，途中依次经过四地，其中和路程均为为高速出口，且在出口旁有加油站，的路程为．李老师用2小时通过路段，其中通过路段的平均速度是通过路段的1.2倍． (1)求李老师通过路段的平均速度． (2)李老师所驾驶汽车的“最佳油耗时速”为（以此速度行驶时油耗最低），以“最佳油耗时速”行驶，每100公里耗油为，速度每增加，每100公里耗油增加．当他经过地时的时间为上午9：30，发现此时油箱里还剩余燃油．若李老师要在中午12：00前通过地，同时通过地时燃油未耗尽，求他在路段的平均时速的取值范围． 2．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，在长方形中，，，是的中点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向向终点运动，设点运动的时间为秒．    (1)点在运动的路线上和点之间的距离为4时，________秒． (2)若的面积为，用含的代数式表示． (3)若点从点出发3秒后，点以每秒6个单位长度的速度沿的方向运动，点运动到达点后立即沿着原路原速返回到点．当与在运动的路线上相距不超过4时，请直接写出相应的取值范围． 【经典例题六 不等式组的经济问题】 【例1】（24-25七年级下·河南周口·月考）某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A数量不少于B的 (1)求A款最少购买多少本； (2)直接写出所有购买方案． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 3．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表： 型借阅机 型借阅机 单日最大借阅量（册天） 单台采购成本（元台） 如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案． 【经典例题七 不等式组的分配问题】 【例1】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 1．（25-26七年级下·江苏镇江·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 2．（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【经典例题八 不等式组的方案选择问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【例2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为创建“文明校园”，琥珀中学学生会计划购买、两种分类垃圾桶，用于校园垃圾分类宣传活动．已知购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元；购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元． (1)求、两种垃圾桶每个的单价分别是多少元？ (2)学生会计划购买、两种垃圾桶共个，且总费用不超过元，且购买的种垃圾桶数量不少于种垃圾桶数量的．请问共有几种购买方案，最省钱方案的费用是多少？ 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购、两种型号机器人．已知用万元可以采购台型机器人和台型机器人，用万元可以采购台型机器人和台型机器人． (1)求采购一台型机器人、一台型机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用万元的预算再采购第二批、两型机器人共台，且型机器人数量不超过型机器人数量的倍．求该公司有多少种采购方案？ (3)采购要求与（）中一致（总预算不超过万元，总数量为台，且型机器人数量不超过型机器人数量的倍），因型机器人非常紧俏，每台型机器人进价提高万元，型机器人进价不变，最终该公司以万元的最低价格完成采购，直接写出的值． 【经典例题九 不等式组的阶梯收费问题】 【例1】（25-26七年级下·江苏镇江·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 1．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）某城市居民生活用水的收费采用阶梯价格，标准如表： 收费方式 年用水量 费用/（元） 计费（年用水量为，t为正整数） 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 根据表格提供的信息，请解答下列问题： (1)第一阶梯的计费为__________，第二阶梯的计费为____________；（用含t的代数式表示） (2)若某户居民一年的水费为930元，这户居民的年用水量是多少立方米？（列方程解应用题） 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人），称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量/ 费用/（元/） 第一阶梯 0～180 4.5 第二阶梯 181～240 6 第三阶梯 240以上 8 (1)设某户居民的年用水量为（t是正整数），请你写出当t在不同范围内取值时，如何计费； (2)已知某户居民一年的水费为990元，这户居民的年用水量是多少立方米？ (3)根据题中相关条件，自己再提出一个可以利用一元一次方程解决的问题，请正确的表述问题及其解决过程． 3．（24-25七年级上·陕西西安·月考）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过度的部分 超过度但不超过度的部分 超过度的部分 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以度为标准，超出度记为正、低于度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)小刚家一月份应交纳电费 元； (3)若小刚家七月份应缴纳电费元，求小刚家七月份的用电量． 【拓展训练一 新定义问题】 【例1】 （2025·贵州遵义·三模）定义一种运算：，现有两个满足该运算条件的式子：和，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河南周口·期中）定义：对于任何实数，符号表示不大于的最大整数．已知，则．例如：若，则．如果，那么的取值范围是__________。 1．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题： (1)填空：若，则实数a的取值范围为_______． (2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围． (3)求满足的所有非负实数c的值． 3．（24-25七年级下·四川成都·月考）定义：关于x，y的二元一次方程 （其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数m，n，t且t满足，并且是关于x，y的二元一次方程的“变更方程”，求m的值． 【拓展训练二 一元一次不等式组实际综合应用】 【例1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·月考）餐厅用西瓜、哈密瓜、火龙果三种水果两两搭配做成水果拼盘，有以下三种搭配方式： 搭配方式 西瓜 哈密瓜 火龙果 总质量 搭配一 搭配二 搭配三 （1）若三种水果共用了，则搭配三的数量为_______； （2）若使用的西瓜不超过，使用的火龙果不超过，则搭配二的数量最多是_______． 1．（24-25七年级下·河南许昌·月考）某公司计划生产甲、乙两种产品共20件，其总产值w（万元）满足：，相关数据如下表，为此，公司应怎样设计这两种产品的生产方案？ 产品名称 每件产品的产值（万元） 甲 45 乙 75 2．（24-25七年级下·上海·月考）综合与实践：猜数游戏在日常生活中有着广泛应用，与数学有着密切的关联． 小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写了什么数． 游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8，，， ，解得：，正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是 ，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是 ； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是 ； 游戏拓展：小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．模仿上述求解过程，求出小丽在4张纸片上各写了什么正整数． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期末）数学活动 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2的转运问题，进行了调研获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为___（用含n的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车？ (3)若该超市需转运120辆购物车，使用电梯总次数为6次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． A基础训练 1．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）把一些笔分给几名学生，如果每人分支，那么余支；如果前面的学生每人分支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于支，则共有学生（    ） A．或人 B．人 C．或人 D．人 2．（25-26七年级下·江苏镇江·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级·香港·模拟预测）在Monica的厨房里，橱柜里两个层板之间的间距是36厘米．她知道她喜欢的8个杯子摞在一起有42厘米高，2个杯子摞在一起有18厘米高．问在一个层板上最多可以摞着放几个杯子？（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 E．7 4．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏常州·月考）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）进价为200元的商品，标价是300元，要使利润率不能少于5%，那么这种商品最多可以按____折销售？ 7．（24-25七年级下·山东滨州·期末）学生若干人，住若干房间，若每间住4人，则剩19人没处住，若每间住6人，则最后一间超过三人但没住满，则共有___________ 个房间，有___________ 人． 8．（25-26七年级下·福建泉州·月考）按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值”到“结果是否？”为一次操作，若操作四次才停止，则的取值范围是______． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）为有效提高道路通行效率，高安市公安局交警大队在我市中心城区建设了锦绣大道等6条绿波道路（通过对主干道上连续的多个路口实现信号联动控制，设定路口之间红绿灯启动时间差，车辆按照“绿波速度”通行，实现连续通过多个路口都是绿灯的效果）﹒如图是某绿波路段的一部分，限速，长，路口B的每次绿灯时长为，小车经过路口A后，以的速度行驶后，B路口小车通行方向变绿灯，若小车想在这个绿灯间顺利通过B路口，则小车行驶的平均速度的取值范围是______． 10．（24-25七年级上·北京海淀·期中）若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点将M，P两点的距离记为MP．给出如下定义：若MP小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，1＜2，即点A可称为点O的2可达点． （1）如图，点B1，B2，B3中，___是点A的2可达点； （2）若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为﹣1，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ___； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ___； （3）若m≠0，动点C表示的数是m，动点D表示的数是2m，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ___． C 培优训练 11．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）茶文化是中华民族传统文化的重要组成部分，也是中国文化的瑰宝之一．茶叶种植大户王伯伯参加了茗茶品鉴交流会后，准备在茶园里用篱笆围成一块长方形的区域来培育新品种的茶叶，现有长度为的篱笆，若要求该长方形区域的宽比长少，且篱笆材料需要够用，则长方形区域的长最大为多少米？ 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）成都市双流区立格实验学校准备购买体育教学用的器材A和B，下表是这两种器材的价格信息： A B 总费用 3件 1件 500元 1件 1件 200元 (1)求每件器材A、器材B的销售价格； (2)若该学校准备用不多于2650元的金额购买这两种器材共25件，且购买器材A不少于12件，则有哪几种购买方案，并求出最少费用是多少元？ 13．（24-25七年级下·四川资阳·期末）某商场用2700元购进A、B两种新型节能日光灯共60盏，这两种日光灯的进价、标价如下表：             类型 价格 A型 B型 进价（元/盏） 35 65 标价（元/盏） 50 100 (1)求这两种日光灯各购进多少盏？ (2)若A型日光灯按标价的9折出售，要使这批日光灯全部售出后商场获得不少于700元的利润，则B型日光灯应按标价的至少几折出售？ 14．（24-25七年级下·福建福州·期中）学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： (1)如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； (2)甲、乙两队各有多少位学生？ (3)现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 15．（24-25七年级下·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03用一元一次不等式解决问题重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 列一元一次不等式 题型二 用一元一次不等式解决实际问题 题型三 用一元一次不等式解决几何问题 题型四 列一元一次不等式组 题型五 不等式组的行程问题 题型六 不等式组的经济问题 题型七 不等式组的分配问题 题型八 不等式组的方案选择问题 题型九 不等式组的阶梯收费问题 拓展训练一 新定义问题 拓展训练二 一元一次不等式组实际综合应用 知识点一：经济与方案问题 经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广西百色·期末）某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，根据新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，则售出的产品数量满足，再解不等式组即可． 【详解】解：由题意可得：， 由可得：， ∴； 故选：A． 2．（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 【详解】解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 知识点二：用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）小明一家在自驾旅游时，发现某段高速公路上对行驶汽车的速度有如下规定：设该段高速公路上小客车的速度为（），则满足的条件是（    ） 最高限速 小客车 大型客车 货车 最低限速 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵由表格信息可得，该段高速公路小客车的最高限速为，所有车辆的最低限速为． ∴小客车速度需要同时满足不低于最低限速和不高于最高限速，即，整理得． 2．（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． 【经典例题一 列一元一次不等式】 【例1】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先统一单位，再根据路程、速度、时间的关系找不等关系，据此列出不等式即可． 【详解】解：总距离为千米，即米， 设跑步时间为x分钟．根据题意，在40分钟内完成的总路程应不小于2500米． 基于此，假设用满40分钟，其中跑步x分钟，则步行分钟，那么跑步路程为米，步行路程为米，此时总路程应大于或等于2500米，因此可列不等式． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）小聪用120元钱去购买笔记本和钢笔共20件，已知每本笔记本5元，每支钢笔7元，设小聪能买x支钢笔．则可列不等式为 ____________ ． 【答案】 【分析】设小聪购买x支钢笔，则可得到笔记本的购买数量为本，根据总价等于单价乘购买数量，结合总花费不超过120元，即可列出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设小聪购买x支钢笔，则购买了本笔记本， 根据题意得：． 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）列不等式与解不等式 (1)用不等式表示数量关系：x的3倍与9的差不大于． (2)解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． 【答案】(1) (2) 不等式的解集为，所有符合条件的正整数解为 【分析】（1）根据x的3倍即，x的3倍与9的差即，然后可得不等式； （2）先求出不等式的解集，然后写出该不等式的正整数解． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：， ， ， ， ∴不等式的解集为， ∴满足条件的正整数解为：． 2．（25-26七年级下·江苏镇江·课后作业）用不等式（组）解决下列问题： (1)小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的．”如果设苹果的实际质量为x斤，用不等式把这个“高高的”的意思表示出来． (2)小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，请表示的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列不等式即可； （2）当小丽进电梯后电梯警示音未响起，得出，当小华进电梯后，电梯因超重而警示音响起，列出不等式，得到不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：根据题意得； （2）解：根据题意得 解得． 3．（25-26七年级下·江苏镇江·课后作业）某工厂要将货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆．已知两种型号的汽车承载质量及其租金如下表所示： 承载质量/（/辆） 租金/（元/辆） 甲型汽车 16 800 乙型汽车 18 850 设租用甲型汽车辆，回答下列问题： (1)若想一次性把货物全部运走，请直接写出应满足的不等式． (2)若此工厂计划此次租车的费用不超过5000元，请直接写出应满足的不等式． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； （1）（2）根据题干所给要求找出符合题意的不等关系列出式子． 【详解】（1）解：已知租用甲型汽车x辆，总共租用6辆车， 则乙型汽车租用辆； 甲型汽车每辆承载质量为，乙型汽车每辆承载质量为，货物总重为； 则：． （2）解：已知租用甲型汽车x辆，总共租用6辆车， 则乙型汽车租用辆； 甲型汽车每辆租金为800元，乙型汽车租金每辆为850元； 则：． 【经典例题二 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 【答案】B 【分析】根据不等式各部分的实际意义，结合x表示原同学人数，分析不等式中每个代数式对应的实际含义，即可判断横线上的条件． 【详解】解：∵设有名原同学，给出的不等式为 ， ∴代表每人分本，代表比原人数多个人，即可以多分给个人， ∴横线上的条件为每人分本，则恰好可多分给个人． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）王老板以每件80元的价格购进一批卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要求利润率不低于，则该卫衣至多可以打________折． 【答案】八/ 【分析】设该卫衣打折销售，根据利润率的计算公式列出不等式求解． 【详解】解：设该卫衣打折销售， 根据题意，得， 整理得， 解得， 因此该卫衣至多可以打折． 1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）某学校计划开展科技创新活动，计划采购A，B两款机器人共6台，付款总额不超过15万元，A，B两款机器人的售价分别为1万元/台和3万元/台，求该学校最多能采购B型机器人的台数． 【答案】4台 【分析】设采购B型机器人x台，则采购A型机器人台，根据“付款总额不超过15万元”，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设采购B型机器人x台，则采购A型机器人台， 根据题意得， 解得， ∵x为整数， ∴该学校最多能采购B型机器人4台． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）根据以下学习素材，完成下列任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒3斤 每盒4斤 现在需要对斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这32斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的成本控制在10元以内，请你设计出所有符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】所有符合要求的分装方案为：方案一：精包装4盒，简包装5盒；方案二：精包装8盒，简包装2盒 【分析】本题考查二元一次方程与一元一次不等式的实际应用，设出两种包装的盒数，根据总重量得到等量关系列出方程，再根据成本限制列出不等式，结合盒数为正整数的条件即可求出所有符合要求的方案． 【详解】解：设分装时使用精包装盒，简包装盒，其中为正整数． 依题意得： 由①得， 代入②得： 不等式两边同乘得： 整理得解得 又因为是正整数，所以，即，解得 结合为正整数，可得是的倍数， 因此符合条件的取值为：当时，；当时，，均满足要求． 答：符合要求的分装方案是精包装4盒简包装5盒，或精包装8盒简包装2盒． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）“倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，西园街道计划在某小区内新建A、B两类垃圾站，在满足小区垃圾处理需求的同时，兼顾小区绿化空间的保护，完成垃圾站的规划、方案设计与优化．请你根据以下素材，探索完成任务： 如何规划设计小区垃圾站？ 素材1 新建A、B两类垃圾站，单座占用绿地面积分别为和； 素材2 已知1座A类垃圾站和2座B类垃圾站日处理垃圾能力为1.1吨，2座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力为1吨． 素材3 该小区计划投入使用共10座两类垃圾处理站，要求每日处理垃圾能力不低于3.6吨； 问题解决 (1)求1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是多少吨？ (2)若建设A类垃圾站n座，求n的取值范围，并分析共有几种符合要求的设计方案？ (3)考虑到小区绿化面积对居民身心健康的重要性，在（2）的前提下，若占用绿化面积不得超过．仅有两种方案可供选择，求a的取值范围． 【答案】(1)1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨； (2)，且n为整数，共有5种设计方案：方案1、建设A类垃圾站0座，建设B类垃圾站10座；方案2、建设A类垃圾站1座，建设B类垃圾站9座；方案3、建设A类垃圾站2座，建设B类垃圾站8座；方案4、建设A类垃圾站3座，建设B类垃圾站7座；方案5、建设A类垃圾站4座，建设B类垃圾站6座； (3) 【分析】（1）设1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨，，依题意得，计算求解即可； （2）若建设A类垃圾站n座，则建设B类垃圾站座，根据每日处理垃圾能力不低于3.6吨建立不等式求出n的取值范围，再根据n为整数求解即可； （3）由题意得，解得，由仅有两种方案可供选择，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：设1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨， 依题意得，， 解得， 答：1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨； （2）解：由题意得， 解得， ∴，且n为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴共有5种设计方案：方案1、建设A类垃圾站0座，建设B类垃圾站10座；方案2、建设A类垃圾站1座，建设B类垃圾站9座；方案3、建设A类垃圾站2座，建设B类垃圾站8座；方案4、建设A类垃圾站3座，建设B类垃圾站7座；方案5、建设A类垃圾站4座，建设B类垃圾站6座； （3）解：由题意得，， 解得， ∵仅有两种方案可供选择，且，且n为整数， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 【经典例题三 用一元一次不等式解决几何问题】 【例1】（24-25七年级上·重庆丰都·期末）关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式的应用、多项式的次数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．先解一元一次方程可得，从而可得，则，再根据多项式的次数可得所有满足条件的正整数的值，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， ∴， ∵关于的多项式是四次多项式， ∴所有满足条件的正整数的值为1和2， ∴所有满足条件的正整数的和是， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 1．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）我市在创建江苏镇江文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． (1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ (2)考虑到资金周转，用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则至多购进A种树苗多少棵． 【答案】(1)购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元 (2)53棵 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买种树苗每棵需元，种树苗每棵需元，利用总价单价数量，结合“购买种树苗8棵，种树苗3棵，需要950元；购买种树苗5棵，种树苗6棵，需要800元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，利用总价单价数量，结合“用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元”，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元， 依题意得， 解得， 答：购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元； （2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵， 依题意得：， 解得：， 至多购进A种树苗53棵． 2．（25-26八年级上·广东汕头·期末）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，理解题意是解决本题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】（1）解：依题意可得：， ， ∴ ． ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，的整数n有且仅有4个 ∴这四个整数解为：22，23，24，25， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②且 【分析】本题考查平行线的性质，两种三角板的角度，一元一次不等式的几何应用等知识，找出、与的关系是解题的关键． （1）先分别画出符合条件的情况，再根据平行线的性质分别求出即可； （2）①分别求出和，再做差即可； ②分当时、当时和当时三种情况分析，求出和，根据列出不等式并求解，最后综合三种情况即可得解． 【详解】（1）如下图所示， 要使得， 则， ∴当时，； 如下图所示， 要使得， 则， ∴， 又∵， ∴， 即当时，， 故答案为：，； （2）①∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， 同理：∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴， 当，，此时不合题意； 当时，的延长线与的延长线无交点，如下图所示： 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：的取值范围是且． 【经典例题四 列一元一次不等式组】 【例1】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）用表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．根据图示三种物体的质量列出不等关系式是关键． 【详解】解：依据第一个图得，则， 依据第二个图得：， 则， 故， 故选A． 【例2】（24-25七年级下·福建厦门·月考）已知，且，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如表示另一个量如，然后根据题中已知量的取值范围，构建另一量的不等式，从而确定的取值范围，同法再确定另一未知量的取值范围． 利用不等式的性质解答即可． 【详解】解：， ， 又， ， ． 又， ① 同理得：② 由①②得： 的取值范围是： 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）某工人制造机器零件，如果每天比预定的多做一件，那么80天所做的零件数超过1000件；如果每天比预定的少做一件，那么80天所做的零件数不到900件，这个工人预定每天做几件零件？ 【答案】这个工人预定每天做12件零件． 【分析】设这个工人预定每天做x件零件，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设这个工人预定每天做x件零件，根据题意得： ， 解得：， ∵x取整数， ∴， 答：这个工人预定每天做12件零件． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据关键词列出不等式组，求出不等式组的解集，注意联系生活实际取值． 2．（24-25七年级下·河南周口·期末）阅读材料：形如的不等式，我们称之为双连不等式，求解这类不等式的方法之一：转化为不等式组求解，如上面的不等式转化为再求解；方法二：利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去3，得，然后再同时除以2，得． (1)解决问题：请你将双连不等式转化为不等式组； (2)解决问题：利用不等式的性质解双连不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据把双连不等式化为不等式组的方法可得答案； （2）先在双连不等式中的左边，中间，右边都减去2，再在左边，中间，右边都除以，从而可得答案． 【详解】（1）解：双连不等式转化为不等式组为： （2）∵， ∴ 即 ∴左边，中间，右边都除以得： 【点睛】本题考查的是双连不等式的定义，双连不等式与一元一次不等式组之间的联系，利用不等式的性质解双连不等式，掌握解双连不等式的方法与步骤是解本题的关键． 3．（24-25七年级下·山西晋城·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由得（为正整数），   ∴    则有   又为正整数， ∴为正整数． 由2与3互质可知，为3的倍数，从而， ∴， ∴的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解____________； (2)若为自然数，则满足条件的有______ 个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？ 【答案】(1) (2)4 (3)有两种方案：①买10本笔记本，1支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔 【分析】（1）根据题意可知，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解． （2）参照例题的解题思路进行解答； （3）设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支，根据题意得，其中x、y均为自然数．参照例题的解题思路解该二元一次方程即可． 【详解】（1）解：由，得（x、y为正整数）． 所以，即， ∴当时，， 即方程的正整数解是； 故答案为：； （2）解：若为自然数， 则有：，即． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 即满足条件x的值有4个， 故答案为：4； （3）设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支， 根据题意得， 解得，（为正整数）， ∴，解得， 又∵是3的倍数， ∴的取值为1或4． ∴的正整数解为或者， 即有两种方案：①买10本笔记本，1支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所有解均不可能出现小数和负数，这也就说要求的是正整数． 【经典例题五 不等式组的行程问题】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·江苏镇江·暑假作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·重庆渝中·期末）“元旦节”假期最后一天，李老师驾车从老家沿高速路回主城，途中依次经过四地，其中和路程均为为高速出口，且在出口旁有加油站，的路程为．李老师用2小时通过路段，其中通过路段的平均速度是通过路段的1.2倍． (1)求李老师通过路段的平均速度． (2)李老师所驾驶汽车的“最佳油耗时速”为（以此速度行驶时油耗最低），以“最佳油耗时速”行驶，每100公里耗油为，速度每增加，每100公里耗油增加．当他经过地时的时间为上午9：30，发现此时油箱里还剩余燃油．若李老师要在中午12：00前通过地，同时通过地时燃油未耗尽，求他在路段的平均时速的取值范围． 【答案】(1)李老师通过路段的平均速度为 (2)李老师通过路段的速度应大于小于 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设李老师通过路段的平均速度为，则李老师通过路段的平均速度为，利用时间路程度数，结合李老师用2小时通过路段，可列出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设李老师在路段的平均时速为，则每100公里耗油，根据“李老师要在中午前通过地，同时通过地时燃油未耗尽”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设李老师通过路段的平均速度为，则李老师通过路段的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：李老师通过路段的平均速度为； （2）解：共，． 设李老师在路段的平均时速为，则每100公里耗油， 根据题意得：， 解得：． 答：李老师在路段的平均时速大于小于． 2．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，在长方形中，，，是的中点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向向终点运动，设点运动的时间为秒．    (1)点在运动的路线上和点之间的距离为4时，________秒． (2)若的面积为，用含的代数式表示． (3)若点从点出发3秒后，点以每秒6个单位长度的速度沿的方向运动，点运动到达点后立即沿着原路原速返回到点．当与在运动的路线上相距不超过4时，请直接写出相应的取值范围． 【答案】(1)4或8 (2) (3)或或 【分析】（1）分点在和上两种情况进行讨论求解； （2）分点在上，在上和上，三种情况讨论求解即可； （3）分到达之前，到达之后返回未到达和返回到达，三种情况进行讨论求解． 【详解】（1）∵长方形， ∴； ①当点在上与点相距时，即：，解得：； ②当点在上与点相距4时，即：，解得； 综上：或； 故答案为：4或8； （2）∵是的中点，且， ∴； 当时，如图1，由得，，整理得，；    当时，如图2，由得，，整理得，；    当时，如图3，由得，，整理得，，    综上所述，． （3）由题意，可知：当点到达点时，所需时间为：秒； 如图4，点到达前：    由题意，得：，解得：； 当点到达点时，，解得：， 如图5，点返回，但未到达点，    由题意，得：，解得：； 当点回到点，则，解得：； ∵，此时点未到达点， 如图6，由题意，得：，解得：．    综上：或或． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，求函数表达式，一元一次不等式组的应用．解题的关键是理清题意，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 【经典例题六 不等式组的经济问题】 【例1】（24-25七年级下·河南周口·月考）某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式组的应用，某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压，“至少得赚回利润1100元”指的是最终销售额需要覆盖最初积压的全部资金(元)，并在此基础上盈利1100元，因此对最终销售额的最低要求为元；设商店应该将这批新进货高出买进价的卖出，则实际出售商品的收入为；商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货，则以零售价出售的收入为；且满足：最少收入实际出售商品的收入以零售价出售的收入，代入求解即可． 【详解】解：设新进货应高出进价的， 由题意得，则， 解得：， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A数量不少于B的 (1)求A款最少购买多少本； (2)直接写出所有购买方案． 【答案】(1)A最少买20本 (2)第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本 【分析】（1）设A款买x本，则B款买本，根据总费用不超过260元、A数量不少于B的列不等式组求解即可； （2）根据（1）中x的取值范围写出所有购买方案即可． 【详解】（1）解：设A款买x本，则B款买本，由题意，得 ， 解得， 所以A最少买20本； （2）解：∵， ∴x可取∶20、21、22、……、40，共21种方案， 方案：第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 【答案】(1)A物资买了100份，B物资买了100份； (2)133 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，根据关系列出等式和不等式即可； （1）设A物资买了份，B物资买了份；列出方程，求解即可；             （2）设A物资买了份，B物资买了份；列出不等式，再根据B物资的数量不低于A物资数量的一半，列出不等式即可，求解即可. 【详解】（1）解：设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， B物资：， 答：A物资买了100份，B物资买了100份； （2）设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， ∵B物资的数量不低于A物资数量的一半， ∴，   解得：， ∴， ∴A物资最多可以买133份. 3．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表： 型借阅机 型借阅机 单日最大借阅量（册天） 单台采购成本（元台） 如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案． 【答案】共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台． 【分析】设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台，根据题意得，然后解不等式组即可． 【详解】解：万元元，设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台， 根据题意得， 解第一个不等式得； 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， 因为为正整数， 所以的取值为或， 当时，； 当时，， 答：共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台． 【经典例题七 不等式组的分配问题】 【例1】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 【详解】解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 【答案】23或26 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 1．（25-26七年级下·江苏镇江·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 2．（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克，根据配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克建立不等式组求解即可． 【详解】解：设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克， 由题意得，， 解得， 答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 【经典例题八 不等式组的方案选择问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为创建“文明校园”，琥珀中学学生会计划购买、两种分类垃圾桶，用于校园垃圾分类宣传活动．已知购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元；购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元． (1)求、两种垃圾桶每个的单价分别是多少元？ (2)学生会计划购买、两种垃圾桶共个，且总费用不超过元，且购买的种垃圾桶数量不少于种垃圾桶数量的．请问共有几种购买方案，最省钱方案的费用是多少？ 【答案】(1)种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元 (2)共有种购买方案，最省钱方案费用为元 【分析】（1）列二元一次方程组，根据已知的购买数量和总价求出两种垃圾桶的单价； （2）列一元一次不等式组，确定购买数量的取值范围，然后判断最省钱方案． 【详解】（1）解：设种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元， 可得， 解得， 故种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元． （2）解：设购买种垃圾桶个，则购买种垃圾桶为个， 可得， 解得， ∵是正整数， ， ∴共有种购买方案， ∵种垃圾桶单价高于种垃圾桶， ∴当种垃圾桶的数量最少，即种垃圾桶个，种垃圾桶个时，总费用最低， ∴最省钱方案费用：（元）． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)租用1辆A型大巴车需500元，租用1辆B型大巴车需300元； (2)共有3种租车方案，方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车；方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车；方案3：租用12辆A型大巴车，18辆B型大巴车； (3)采用方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 【分析】设租用1辆A型大巴车需x元，租用1辆B型大巴车需y元，根据“租用1辆A型大巴车和2辆B型大巴车，共需费用1100元；4辆A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车，根据“租用A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各租车方案； （3）求出各租车方案所需总费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设租用1辆A型大巴车需x元，租用1辆B型大巴车需y元， 根据题意得：， 解得： 答：租用1辆A型大巴车需500元，租用1辆B型大巴车需300元； （2）设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 共有3种租车方案， 方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车； 方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车； 方案3：租用12辆A型大巴车，18辆B型大巴车； （3）选择方案1所需总费用为元 选择方案2所需总费用为元 选择方案3所需总费用为元， ， 采用方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 3．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购、两种型号机器人．已知用万元可以采购台型机器人和台型机器人，用万元可以采购台型机器人和台型机器人． (1)求采购一台型机器人、一台型机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用万元的预算再采购第二批、两型机器人共台，且型机器人数量不超过型机器人数量的倍．求该公司有多少种采购方案？ (3)采购要求与（）中一致（总预算不超过万元，总数量为台，且型机器人数量不超过型机器人数量的倍），因型机器人非常紧俏，每台型机器人进价提高万元，型机器人进价不变，最终该公司以万元的最低价格完成采购，直接写出的值． 【答案】(1)采购一台型机器人需万元，一台型机器人需万元； (2)该公司有种采购方案； (3)的值为． 【分析】设采购一台型机器人需万元，一台型机器人需万元，根据“用万元可以采购台型机器人和台型机器人，用万元可以采购台型机器人和台型机器人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设采购台型机器人，则采购台型机器人，根据“该公司准备用万元的预算再采购第二批、两型机器人共台，且型机器人数量不超过型机器人数量的倍”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出该公司有种采购方案； 设采购台型机器人，则采购台型机器人，结合中的采购要求列出一元一次不等式组，结合其解集分、及三种情况考虑，利用总价单价数量，可得出购买单价低的数量越多，总价越低，结合最终该公司以万元的最低价格完成采购，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设采购一台型机器人需万元，一台型机器人需万元， 根据题意得， 解得， 答：采购一台型机器人需万元，一台型机器人需万元； （2）解：设采购台型机器人，则采购台型机器人， 根据题意得， 解得， 为整数， 种， 答：该公司有种采购方案； （3）解：设采购台型机器人，则采购台型机器人， 根据题意得， 解得， 当，即时，不等式组的解集为， 则有， 解得； 当，即时，不成立，该情况舍去； 当，即时，由得， 此时，不符合题意，舍去． 答：的值为． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准各数量之间的关系，正确列出相应的方程或不等式求解． 【经典例题九 不等式组的阶梯收费问题】 【例1】（25-26七年级下·江苏镇江·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 【例2】（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 1．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）某城市居民生活用水的收费采用阶梯价格，标准如表： 收费方式 年用水量 费用/（元） 计费（年用水量为，t为正整数） 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 181~240 6 第三阶梯 240以上 8 根据表格提供的信息，请解答下列问题： (1)第一阶梯的计费为__________，第二阶梯的计费为____________；（用含t的代数式表示） (2)若某户居民一年的水费为930元，这户居民的年用水量是多少立方米？（列方程解应用题） 【答案】(1)； (2)这户居民的年用水量是200立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式． （1）利用总价单价数量，结合该城市居民生活用水的收费标准，即可用含t的代数式表示出第一、二阶梯的计费； （2）求出年用水量是及时的应缴水费，将其与930元比较后，可得出年用水量的计费在第二阶梯，根据该户居民一年的水费为930元，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：第一阶梯的计费为； 第二阶梯的计费为； 故答案为：；； （2）解：当时，水费为， 当时，水费为， ， ， 依题意，得：， 解得． 答：这户居民的年用水量是200立方米． 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过4人），称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量/ 费用/（元/） 第一阶梯 0～180 4.5 第二阶梯 181～240 6 第三阶梯 240以上 8 (1)设某户居民的年用水量为（t是正整数），请你写出当t在不同范围内取值时，如何计费； (2)已知某户居民一年的水费为990元，这户居民的年用水量是多少立方米？ (3)根据题中相关条件，自己再提出一个可以利用一元一次方程解决的问题，请正确的表述问题及其解决过程． 【答案】(1)当时，水费为元；当时，水费为元；当时，水费为元 (2)这户居民的年用水量是立方米； (3)见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据题意，分段列出代数式，即可求解； （2）根据题意先确定这户居民的年用水量范围为：，结合（1）列出方程，解方程，即可求解； （3）提出问题，若某户某月实际应交水费平均每立方米元，求该户该月用水量．设该户该月用水量为，根据某户某月实际应交水费平均每立方米元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，水费为元， 当时，水费为元， 当时，水费为元； （2）解：，， ∵， ∴这户居民的年用水量范围为：． ∴， 解得：， 答：这户居民的年用水量是立方米； （3）解：问题：若某户某年实际应交水费平均每立方米元，求该户该年用水量． 设该户该年用水量为，根据题意得： ， 解得：， 答：该户该年用水量为立方米． 3．（24-25七年级上·陕西西安·月考）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过度的部分 超过度但不超过度的部分 超过度的部分 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以度为标准，超出度记为正、低于度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是 月份，实际用电量为 度； (2)小刚家一月份应交纳电费 元； (3)若小刚家七月份应缴纳电费元，求小刚家七月份的用电量． 【答案】(1)五， (2) (3) 【分析】本题主要考查正负数的实际意义、列代数式和解一元一次方程的知识点，掌握以上知识是解题的关键： （1）根据正负数表示的意义，结合表格找到最多的加上基础量进行计算即可解答； （2）根据表格求出用电量，结合收费标准列式计算即可得到答案； （3）根据收费标准，判断出小刚家七月份用电量超过了度，再设小刚家七月份的用电量为度，利用前两档满额计算加上第三档的即可得到答案； 【详解】（1）解：由表格可知， 五月份用电量最多，实际用电量为：（度）， 故答案为：五，； （2）解：小刚家一月份用电：（度）， 小刚家一月份应交纳电费：（元）， 故答案为：； （3）解：居民每月用电量为度时，电费为：（元）， 居民每月用电量为度时，电费为：（元）， ∵， ∴小刚家七月份用电量超过了度， 设小刚家七月份的用电量为度， 即：， 解得：， 答：小刚家七月份的用电量为度； 【拓展训练一 新定义问题】 【例1】 （2025·贵州遵义·三模）定义一种运算：，现有两个满足该运算条件的式子：和，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得， ， 解不等式组得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式组的应用，解题关键是准确理解题意，列出不等式组． 【例2】（24-25七年级下·河南周口·期中）定义：对于任何实数，符号表示不大于的最大整数．已知，则．例如：若，则．如果，那么的取值范围是__________。 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组，根据新定义的概念将问题转化一元一次不等式，最后求解即可． 【详解】解： 由题意，可得， 解得． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 【答案】(1)2；2 (2) (3)或2或 【分析】本题以新定义为背景，考查了一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，求出相应的数值． （1）根据题意和四舍五入法，可以写出题目中的数据的结果； （2）根据题意和，可以得到不等式组，然后求解即可； （3）根据题意和，可以设，然后可以得到，从而可得关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围，进而求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：2，2； （2）解：由题意可得：， 解得， 故答案为：； （3）解：设，为整数，则，， ，解得． 为整数， 或2或3， 时，，； 时，，； 时，，； 或2或． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题： (1)填空：若，则实数a的取值范围为_______． (2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围． (3)求满足的所有非负实数c的值． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）根据题意列不等式即可得到结论； （2）首先将看作一个整体，解不等式组进而根据整数解的个数得出b的取值范围； （3）利用，设，为整数，得出关于的不等关系求出即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解不等式组，得：， 由不等式组整数解恰有2个得，，则， 故； （3）∵，为整数，设，为整数， 则， ∴， ∴，， ∴， ∴，1，2， 则，，． 【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键． 3．（24-25七年级下·四川成都·月考）定义：关于x，y的二元一次方程 （其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数m，n，t且t满足，并且是关于x，y的二元一次方程的“变更方程”，求m的值． 【答案】(1) (2)2025 (3)2 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得，联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，结合求出，代入二元一次方程得，，代入代数式化简求值即可； （3）根据题意可得，分别求出，根据可得，由此可求出，结合整数即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程的“变更方程”方程为， ∴联立方程组为， 解得，， 故答案为：； （2）解：根据题意，的”变更方程”为， ∴联立方程组得，， 解得，， ∵，则， ∴，即， ∵是二元一次方程的一个解， ∴，则， ∴ ； （3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”， ∴， ①②得，，整理得，，， 把代入①得，，整理得，， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴，则， ∵m是整数， ∴， 当时，，，符合题意， ∴． 【拓展训练二 一元一次不等式组实际综合应用】 【例1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设共有名同学，则书本总数为本，根据最后一人分到书但不到3本的条件列出不等式组，求解后取正整数即可得到结果． 【详解】解：设共有名同学，则书本总数为本， 根据题意，最后一人分得的书本数大于0且小于3，可得不等式组： 化简第一个不等式得， 化简第二个不等式得， 因此不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴． 即共有6名同学． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·月考）餐厅用西瓜、哈密瓜、火龙果三种水果两两搭配做成水果拼盘，有以下三种搭配方式： 搭配方式 西瓜 哈密瓜 火龙果 总质量 搭配一 搭配二 搭配三 （1）若三种水果共用了，则搭配三的数量为_______； （2）若使用的西瓜不超过，使用的火龙果不超过，则搭配二的数量最多是_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法及乘法的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意正确列式是解题的关键． （1）当每种搭配的数量是时，，不符合题意，此时水果还剩 ，，得到，得出若三种水果共用了，则搭配三的数量为，即可得到答案； （2）设搭配二的数量最多是，根据题意得，解得，得到搭配二的数量最多是，即可得到答案． 【详解】（1）解：当每种搭配的数量是时，， 不符合题意， ，， ， 若三种水果共用了，则搭配三的数量为， 故答案为：； （2）解：设搭配二的数量最多是， 根据题意得， 解得：， 搭配二的数量最多是， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河南许昌·月考）某公司计划生产甲、乙两种产品共20件，其总产值w（万元）满足：，相关数据如下表，为此，公司应怎样设计这两种产品的生产方案？ 产品名称 每件产品的产值（万元） 甲 45 乙 75 【答案】公司应安排生产甲种产品11件，乙种产品9件 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解答的关键．设计划生产甲种产品x件，根据题意，结合表格数据列不等式组求解即可． 【详解】解：设计划生产甲种产品x件，则生产乙种产品件， 根据题意，得 解得 ∵x为整数， ∴， 此时，（件）， 答：公司应安排生产甲种产品11件，乙种产品9件 2．（24-25七年级下·上海·月考）综合与实践：猜数游戏在日常生活中有着广泛应用，与数学有着密切的关联． 小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写了什么数． 游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8，，， ，解得：，正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是 ，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是 ； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是 ； 游戏拓展：小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．模仿上述求解过程，求出小丽在4张纸片上各写了什么正整数． 【答案】游戏分析：；；给出结论：或；游戏拓展：纸片上的数可能是或 【分析】本题考查的是不等式组的应用， 游戏分析：根据题意分析计算求和进而写出结论； 给出结论：根据分析内容汇总得出结论； 游戏拓展：结合上面的分析及结论，类别写出即可． 【详解】解：游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8， ，， ，解得：， 正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是或； 故答案为：；；或； 游戏拓展：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为m、n、e、f，其中． 最小的两个数的和为6，最大的两个数的和为9， ，， ，解得：， 正整数，2，3． 当时，，则不满足最大的两个数的和为9这一条件，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是； 当时，，若，，但它们的和出现的数6，9，不符合题意； 当时，，若，，它们的和出现的数； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是或； 3．（24-25七年级下·山东济宁·期末）数学活动 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2的转运问题，进行了调研获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为___（用含n的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车？ (3)若该超市需转运120辆购物车，使用电梯总次数为6次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1) (2)该超市直立电梯一次最多能转运14辆购物车 (3)共有3种运输方案：①扶手电梯运4次，直立电梯运2次；②扶手电梯运5次，直立电梯运1次；③扶手电梯运6次，见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用； （1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案； （2）根据（1）中式子先求出一列长度为的购物车列包含多少辆购物车，然后进一步计算即可； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放是长， 故答案为：； （2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车， 因此由（1）可得， 解得， （辆）， 答：该超市直立电梯一次最多能转运14辆购物车； （3）解：设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输14辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，5，6， 共有3种运输方案：①扶手电梯运4次，直立电梯运2次；②扶手电梯运5次，直立电梯运1次；③扶手电梯运6次． A基础训练 1．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）把一些笔分给几名学生，如果每人分支，那么余支；如果前面的学生每人分支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于支，则共有学生（    ） A．或人 B．人 C．或人 D．人 【答案】C 【分析】根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，得出，且，分别求出即可． 【详解】解：假设共有学生人，根据题意得出：， 解得：． 因为是正整数，所以符合条件的的值是11或12． 观察选项，选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键． 2．（25-26七年级下·江苏镇江·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 3．（2025八年级·香港·模拟预测）在Monica的厨房里，橱柜里两个层板之间的间距是36厘米．她知道她喜欢的8个杯子摞在一起有42厘米高，2个杯子摞在一起有18厘米高．问在一个层板上最多可以摞着放几个杯子？（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 E．7 【答案】D 【分析】根据“8个杯子摞在一起有42厘米高，2个杯子摞在一起有18厘米高”求出一个杯子的高度，两个杯子摞在一起，杯口间的距离，然后根据“总高度不超过36厘米”列出不等式求解即可． 【详解】解：设一个杯子的高为x厘米，两个杯子摞在一起，杯口间的距离为y厘米， 根据题意，得， ∴， 设在一个层板上可以摞着放m个杯子， 根据题意，得， 解得， ∴在一个层板上最多可以摞着放6个杯子． 4．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 5．（24-25七年级下·江苏常州·月考）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． B 提高训练 6．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）进价为200元的商品，标价是300元，要使利润率不能少于5%，那么这种商品最多可以按____折销售？ 【答案】七/7 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设这种商品按折销售，根据利润率不低于建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：设这种商品按折销售， 由题意得：， 解得， 则这种商品最多能按七折销售， 故答案为：七． 7．（24-25七年级下·山东滨州·期末）学生若干人，住若干房间，若每间住4人，则剩19人没处住，若每间住6人，则最后一间超过三人但没住满，则共有___________ 个房间，有___________ 人． 【答案】 10 59 【分析】本题考查一元一次不等式组在实际生活中的运用． 设房间间．由题意可知共有人，由每间住6人，最后一间超过三人但没住满得到，计算即可 【详解】解：设房间x间，由每间住4人，则剩19人没处住可知共有人， 由每间住6人，最后一间超过三人但没住满得：， ， ． 因为x是正整数， 所以． 则人． 故答案为：10，59． 8．（25-26七年级下·福建泉州·月考）按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值”到“结果是否？”为一次操作，若操作四次才停止，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意求出四次的操作结果，再根据题意列不等式组解答即可求解． 【详解】解：由程序可得，第一次的操作结果为， 第二次的操作结果为， 第三次的操作结果为， 第四次的操作结果为， ∵操作四次才停止， ∴， 解得， 即的取值范围是． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）为有效提高道路通行效率，高安市公安局交警大队在我市中心城区建设了锦绣大道等6条绿波道路（通过对主干道上连续的多个路口实现信号联动控制，设定路口之间红绿灯启动时间差，车辆按照“绿波速度”通行，实现连续通过多个路口都是绿灯的效果）﹒如图是某绿波路段的一部分，限速，长，路口B的每次绿灯时长为，小车经过路口A后，以的速度行驶后，B路口小车通行方向变绿灯，若小车想在这个绿灯间顺利通过B路口，则小车行驶的平均速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，根据小车想在这个绿灯间顺利通过B路口和限速得到一元一次不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 解得 即小车行驶的平均速度的取值范围是， 故答案为： 10．（24-25七年级上·北京海淀·期中）若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点将M，P两点的距离记为MP．给出如下定义：若MP小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，1＜2，即点A可称为点O的2可达点． （1）如图，点B1，B2，B3中，___是点A的2可达点； （2）若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为﹣1，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ___； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ___； （3）若m≠0，动点C表示的数是m，动点D表示的数是2m，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ___． 【答案】 、/B3、B2 3 【分析】（1）分别求两点间距离，满足≤2即可； （2）①求得CA两点间距离为2，k≥2即可；②表示CA的距离为，列不等式求解即可； （3）根据题意，，列不等式计算． 【详解】解：（1）由题意知：2，2，2， ∴、是点A的2可达点， 故填：、； （2）①当点C表示的数为﹣1时，≤，故k＝3， 故填：3； ②当点C表示的数为m时，≤2，解得：， 故填：； （3）由题意知：，， 即：，， 解得：， 故填：． 【点睛】本题考查两点间距离、不等式的应用，正确理解题意是关键． C 培优训练 11．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）茶文化是中华民族传统文化的重要组成部分，也是中国文化的瑰宝之一．茶叶种植大户王伯伯参加了茗茶品鉴交流会后，准备在茶园里用篱笆围成一块长方形的区域来培育新品种的茶叶，现有长度为的篱笆，若要求该长方形区域的宽比长少，且篱笆材料需要够用，则长方形区域的长最大为多少米？ 【答案】长方形区域的长最大为 【分析】设长方形区域的长为，则宽为，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：设长方形区域的长为，则宽为，    根据题意，得：， 解得， 答：长方形区域的长最大为． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）成都市双流区立格实验学校准备购买体育教学用的器材A和B，下表是这两种器材的价格信息： A B 总费用 3件 1件 500元 1件 1件 200元 (1)求每件器材A、器材B的销售价格； (2)若该学校准备用不多于2650元的金额购买这两种器材共25件，且购买器材A不少于12件，则有哪几种购买方案，并求出最少费用是多少元？ 【答案】(1)每件器材A的销售价格为150元，每件器材B的销售价格为50元． (2)共有3种购买方案，方案1：购买12件器材A，13件器材B；方案2：购买13件器材A，12件器材B；方案3：购买14件器材A，11件器材B．最少费用是2450元． 【分析】（1）设每件器材A的销售价格为x元，每件器材B的销售价格为y元，根据题意列出方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m件器材A，则购买件器材B，根据购买器材A不少于12件且购买费用不多于2650元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案，再分别求出各购买方案所需费用，比较后即可找出最少费用． 【详解】（1）解：设每件器材A的销售价格为x元，每件器材B的销售价格为y元， 依题意，得：， 解得：， 答：每件器材A的销售价格为150元，每件器材B的销售价格为50元． （2）解：设购买m件器材A，则购买件器材B， 依题意，得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴m可以取12，13，14， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买12件器材A，13件器材B，所需费用为（元）； 方案2：购买13件器材A，12件器材B，所需费用为（元）； 方案3：购买14件器材A，11件器材B，所需费用为（元）； ∵， ∴最少费用是2450元． 答：共有3种购买方案，方案1：购买12件器材A，13件器材B；方案2：购买13件器材A，12件器材B；方案3：购买14件器材A，11件器材B．最少费用是2450元． 13．（24-25七年级下·四川资阳·期末）某商场用2700元购进A、B两种新型节能日光灯共60盏，这两种日光灯的进价、标价如下表：             类型 价格 A型 B型 进价（元/盏） 35 65 标价（元/盏） 50 100 (1)求这两种日光灯各购进多少盏？ (2)若A型日光灯按标价的9折出售，要使这批日光灯全部售出后商场获得不少于700元的利润，则B型日光灯应按标价的至少几折出售？ 【答案】(1)购A型日光灯40盏，购B型日光灯20盏； (2)B型日光灯应按标价的至少8折出售． 【分析】（1）设购A型日光灯x盏，购B型日光灯y盏，依题意列出方程组，求解即可； （2）设B型日光灯应按标价的m折出售，由题意列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设购A型日光灯x盏，购B型日光灯y盏，由题意得： ， 解得：， 答：购A型日光灯40盏，购B型日光灯20盏； （2）解：设B型日光灯应按标价的m折出售，由题意得： ， 解得：， 答：B型日光灯应按标价的至少8折出售． 14．（24-25七年级下·福建福州·期中）学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： (1)如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； (2)甲、乙两队各有多少位学生？ (3)现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 【答案】(1) (2)甲队有40人，乙队有35人 (3)一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组求解是解题的关键． （1）计算出甲、乙两队联合起来购买演出服的费用即可得到答案； （2）设甲队有x人，则乙队有人，先根据甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队列出不等式组求出x的取值范围，再讨论x的取值范围并根据价格表建立方程讨论求解即可； （3）设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人，由题意得，，求出此方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，甲、乙两队联合起来购买演出服的费用为元， ∵元， ∴如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省元； （2）解：设甲队有x人，则乙队有人， ∵甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队， ∴， ∴且x为正整数， 当时，则， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，则 ∴， 解得， ∴， 综上所述，甲队有40人，则乙队有35人， 答：甲队有40人，乙队有35人； （3）解：设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人， 由题意得，， ∴， ∵m、n为正整数， ∴是正整数，即是正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 15．（24-25七年级下·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【答案】能，或 【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点P在上时，如图1所示：    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； ②当点P在上时，    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； 综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或． 【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $