第11章 一元一次不等式 单元复习（5大知识点总结+11大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年苏科版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

该初中数学单元复习讲义以“概念-性质-解法-应用”为逻辑主线构建一元一次不等式知识体系，通过表格对比呈现不等式基本性质，用思维导图梳理知识点脉络，标注易错警示如“乘除负数忘变号”，清晰呈现重难点分布及内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的不等式判断到提升的含参问题，再到培优的分段计费方案决策，配合“遇负必变向”等口诀培养推理意识与模型意识。同步练习含不同难度题，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

第11章 一元一次不等式 知识点1：不等式相关概念 不等式：用<、>、、、表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个不等式的所有解组成的集合。 易错警示：混淆解与解集，解集是范围，不是单个值。 知识点2：不等式的基本性质 性质 文字表述 数学式子 易错警示 性质1 两边加（减）同一个数/整式，不等号方向不变 若，则 无方向变化 性质2 两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变 若，，则 无方向变化 性质3 两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变 若，，则 必须变号 易错警示：乘除负数时忘变号，是本章最高频错误。 知识点3：一元一次不等式概念与解法 概念：只含1个未知数，未知数次数为1，系数不为0的不等式。 解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 易错警示：去分母漏乘常数项；移项不变号；系数为负不变号。 知识点4：一元一次不等式组 定义：把同一个未知数的几个一元一次不等式联立。 解集：各不等式解集的公共部分。 解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。 易错警示：找不准公共部分，数轴表示虚实不分。 知识点5：一元一次不等式（组）实际应用 步骤：审题→设元→找不等关系→列不等式（组）→求解→检验→作答。 关键词：至少、最多、不低于、不超过、不足<。 易错警示：忽略整数解、非负限制等实际意义。 【易错题型】 【题型1】不等式性质3应用（乘除负数）易错题 1.易错点总结 不等式两边乘/除负数时，不等号方向不变导致错误； 系数化为1时，系数为负忘记变号； 去分母时系数含负，未同步变号。 2.纠错技巧 口诀：遇负必变向，正负要看清； 系数化为1前先判断系数正负，负则变号； 每一步变形标注是否变号，避免跳步。 【例题1】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可，注意特殊值的情况． 【详解】解：A、∵，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，∴，故A错误； B、∵，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴，故B正确； C、当时，，，此时，故不等式不一定成立，C错误； D、∵，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，∴，故D错误． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）已知，则下列不等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据不等式的基本性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ，故A选项错误，不符合题意； B、不等式两边同乘2，不等号方向不变，，故B选项正确，符合题意； C、不等式两边同乘得，不等式两边同时加得 ，故C选项错误，不符合题意； D、不等式两边同时减，不等号方向不变，，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·上海·期中）如果，那么下列各式中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项即可，找到错误的选项即为答案． 【详解】解：、∵， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项错误，符合题意； 、∵， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，该选项正确，不符合题意． 【变式题1-3】.（2026·广西防城港·一模）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质逐个判断各选项的正误即可得到结果. 【详解】解：对于选项A，∵当时，，，此时，∴A错误； 对于选项B，∵，即为非零实数，任何非零实数的平方都大于0，∴，∴B正确； 对于选项C，∵，，和异号，异号两数相除结果为负，∴，∴C错误； 对于选项D，当时，满足，此时，不满足，∴D错误. 【基础题型】 【题型2】一元一次不等式的判断 1.核心考点 判定标准：一个未知数、次数为1、整式不等式。 2.解题技巧 三看：看未知数个数、看次数、看是否整式。 【例题2】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列哪项是一元一次不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、是代数式，不是不等式，该选项不符合题意； 、是等式，该选项不符合题意； 、是一元一次不等式，该选项符合题意； 、中未知数的次数是，不是一元一次不等式，该选项不符合题意． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·上海奉贤·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式需满足：只含有一个未知数，未知数的次数为1，不等号两边都是整式．根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，故该选项符合题意； B、是分式，不是整式，不符合定义，故该选项不符合题意； C、含有两个未知数，不符合定义，故该选项不符合题意； D、未知数的次数为2，不符合定义，故该选项不符合题意． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·上海·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义及绝对值的性质即可确定出m的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 则 ∴． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：且， ∴． 【题型3】解一元一次不等式并在数轴表示 1.核心考点 按步骤解不等式；数轴表示解集（空心/实心）。 2.解题技巧 含等号画实心点，不含等号画空心圈； 大于向右画，小于向左画。 【例题3】.（25-26七年级下·湖南娄底·期中）不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出不等式的解集即可判断． 【详解】解：， 去括号得，， 移项并合并同类项得，， 系数化为1得，． 【变式题3-1】.（2026·陕西商洛·一模）解不等式，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集． 【答案】，解集表示见详解 【详解】解：， 不等式两边同时乘以2得，， 移项、合并同类项得，， 解集表示在数轴上，如图所示， 【变式题3-2】.（25-26八年级下·江西九江·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 数轴如下： 【变式题3-3】.（2026·安徽阜阳·二模）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【详解】解： 去分母得， 去括号得 移项、合并同类项得， 系数化为1得， 解集在数轴上表示如下： 【题型4】一元一次不等式组的解集求解 1.核心考点 分别解不等式；用数轴/口诀找公共部分。 2.解题技巧 用数轴法最稳妥，避免口诀出错； 端点是否包含看不等号。 【例题4】.（甘肃白银市2026年九年级数学质量监测试卷）解不等式组：． 【答案】 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 【变式题4-1】.（2026年上海市上海市金山区二模数学试题）解不等式组：． 【答案】无解 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则原不等式组无解． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·安徽宿州·期中）解不等式组：． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为． 【变式题4-3】.（2026·天津滨海新区·一模）解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 【答案】(1) (2) (3)作图见详解 (4) 【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，最后利用数轴表示解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，，得． （2）解：解不等式②，，得． （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如图： （4）解：原不等式组的解集为． 【题型5】一元一次不等式的整数解问题 1.核心考点 先求不等式解集，再找范围内整数。 2.解题技巧 先解出或，再圈出整数； 注意边界点是否可取。 【例题5】.（25-26七年级下·重庆·期中）不等式的最大整数解是___________． 【答案】2 【分析】按照解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再确定最大整数解即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴原不等式的最大整数解是2． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·上海闵行·月考）按要求完成下列计算： (1)解不等式： (2)解不等式并求出所有负整数解： 【答案】(1) (2)，负整数解：，， 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∴负整数解有：，，． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·河南周口·期中）已知代数式的值不小于代数式的值，求x 的取值范围，并求出满足条件的最大整数解． 【答案】 最大整数解为 【分析】根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∴满足条件的最大整数解为． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·上海杨浦·期中）求不等式的非负整数解． 【答案】，1，2，3，4 【分析】先去分母，然后去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1得出不等式的解集，最后写出非负整数解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的非负整数解为：，1，2，3，4． 【提升题型】 【题型6】含参一元一次不等式——已知解的情况求参数范围 1.核心考点 利用不等式性质判断参数符号 根据非负数解、整数解、唯一解等条件列不等式求参 2.解题技巧 先按常规步骤解不等式，用参数表示解集 系数含参时，先定系数正负，再定不等号方向 整数解问题：锁定解的范围→验证边界→确定参数区间 【例题6】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知关于的方程的根是非负数，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先解方程得到，再根据方程的解为非负数得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 方程的根是非负数， 解得． 【变式题6-1】.（上海市普陀区2025--2026学年第二学期七年级数学学科期中自适应练习）已知，如果，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变这一不等式基本性质，判断的符号，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵， ， ∴， 解得：． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江西九江·期中）不等式的解集为，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】对的符号进行分类讨论，结合不等式的性质可知，当时符合题意，则． 【详解】解：①当时，不等式无解； ②当时，则， 不等式两边同除以，得，与题意矛盾； ③当时，则， 不等式两边同除以，得，符合题意； 综上，． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·北京·期中）一元一次不等式的解集有且只有两个非负整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确非负整数的定义，再根据不等式有且只有两个非负整数，确定符合条件的非负整数，进而推导的取值范围。 【详解】解：∵非负整数为 ，不等式的解集有且只有两个非负整数， ∴符合条件的两个非负整数只能是和， ∵解集需要包含和，且不能包含下一个非负整数， ∴可得． 【题型7】含参数一元一次不等式组（有解/无解/整数解） 1.核心考点 根据不等式组有解、无解、整数解求参数范围。 2.解题技巧 画数轴分析公共部分； 临界值单独验证是否可取等号。 【例题7】.（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式组无解说明两个不等式没有公共解集，据此推导参数a的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式组无解， ∴两个不等式没有公共解集， 可得． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【分析】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【详解】解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）关于的不等式组有实数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因为不等式组有实数解， 所以， 所以． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·江西景德镇·期中）若关于的不等式组，恰有3个整数解，则字母的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定不等式组的解集，再根据整数解个数确定具体的整数解，最后结合端点验证确定a的取值范围． 【详解】解：∵ 不等式组恰有3个整数解 ∴ 不等式组的解集为． 小于3的最大的三个整数为2, 1, 0，即不等式组的整数解为2, 1, 0． 验证端点：当 时，解集为 ，整数解为0, 1, 2，共3个，符合要求；当 时，解集为 ，整数解为1, 2，共2个，不符合要求． ∴ 可得． 【题型8】方程组与不等式综合 1.核心考点 解方程组→用参数表示x、y→代入不等关系→求参数。 2.解题技巧 两式加减整体求或，简化计算； 转化为一元一次不等式求解。 【例题8】.（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组，求的取值范围． 【答案】 【分析】利用加减消元法表示出和的值，然后解一元一次不等式组即可． 【详解】解：， 得， ∴， 解得； 得， ∴， 解得； ∴． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·安徽淮北·期中）如果方程组：的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】先将两方程相加，整理得到根据解不等式即可． 【详解】解：由方程组， 得：， ， ， ， 解得：． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若方程组的解满足，则k的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】观察方程的特征，可以把两个方程相减后，用含k的式子表示出，再代入到求解k的取值范围即可． 【详解】解： ①②得：， ∴， ∵ ∴ 解得： 【变式题8-3】.（25-26八年级下·河南郑州·月考）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 【培优题型】 【题型9】分段计费与方案决策问题 1.核心考点 购物、行程、话费等分段建模；最优方案选择。 2.解题技巧 按临界值分段列不等式； 比较不同方案，选费用最少/利润最大。 【例题9】.（2026七年级下·江苏·专题练习）大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 【答案】 【详解】根据该名乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·重庆·期中）为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1) 辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨 (2) 共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的两种运货总量关系列出二元一次方程组，求解得到结果； （2）设型货车的数量，进而表示出型货车的数量，根据“型货车数量不低于辆”和“总费用不超过元”列出不等式组，求出整数解得到所有方案，再计算各方案的总费用，比较得到最少费用． 【详解】（1）解：设辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨， 根据题意得，，解得． 答：辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨； （2）解：设安排型货车辆，则安排型货车辆， 根据题意得，解得， 为正整数， 的取值为，，， 共有三种运输方案： 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）， ， 方案的总费用最少． 答：共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·四川攀枝花·期中）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌排球的单价． [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌排球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是（填序号）． ①A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价低30元； ②A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元． (2)[迁移类比] 小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求A、B两种品牌排球的单价． (3)[拓展探究] 老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，问：学校共有几种购买方案，并求出最省钱的购买方案？ 【答案】(1)② (2)A种品牌排球的单价为80元，B种品牌排球的单价为50元 (3)共有3种购买方案：方案1：购买A种品牌的排球23个，B种品牌的排球27个；方案2：购买A种品牌的排球24个，B种品牌的排球26个；方案3：购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球25个；最省钱的购买方案为方案1． 【分析】（1）根据所列方程得到题意； （2）设A种品牌排球的单价是x元，B种品牌排球的单价是y元，根据“购买A种品牌的排球个，B种品牌的排球个，共花费元；A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，，根据“总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数，即可得出共有种购买方案，再求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：根据方程可知，表示的是品牌排球的单价， ∵种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高元， ∴例题中被覆盖的条件是②； （2）解：设A种品牌排球的单价是x元，B种品牌排球的单价是y元 根据题意得：， 解得： 答：A种品牌排球的单价为80元，B种品牌排球的单价为50元； （3）解：设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个， 依题意得：， 解得 又∵m为正整数 ∴m可以为23，24，25 ∴共有3种购买方案 方案1：购买A种品牌的排球23个，B种品牌的排球27个； 方案2：购买A种品牌的排球24个，B种品牌的排球26个； 方案3：购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球25个． 方案1：； 方案2：； 方案3：； ∵， ∴最省钱的购买方案为方案1． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）综合与实践 【背景】 夏季来临，某电器专卖店计划采购、两种型号的空调进行销售．两种空调的进价均为元／台． 【素材1】 已知型空调每台售价为元，型空调每台售价比型多元．该店曾经购进型台、型台，全部售出后总利润为元．（注：两种型号空调的售价此后保持不变） 【素材2】 现该店计划用元的资金购进这两种空调共台，且型空调的数量不少于型空调数量的倍．全部售出后，总利润不低于元． 【任务】 (1)求、两种型号空调的销售单价； (2)求型空调所有可能的进货台数； (3)在（2）的条件下，分别计算每种进货方案的总利润，并指出总利润最大的进货方案． 【答案】(1)型空调销售单价为元，型空调销售单价为元 (2)型空调所有可能的进货台数是台，台，台 (3)三种进货方案的总利润分别为元，元，元；总利润最大的进货方案是购进型空调台，型空调台 【分析】（1）根据总利润的等量关系列一元一次方程，求解得到两种空调的销售单价； （2）设B型空调进货台数为未知数，结合题目给出的数量限制和总利润限制列一元一次不等式组，结合台数为正整数得到所有可能结果； （3）写出总利润关于B型空调台数的表达式，分别计算各方案总利润，比较得到总利润最大的方案． 【详解】（1）解：型空调销售单价为元，则型空调销售单价为 元． 由题意得 整理得 解得 则 答：A型空调销售单价为2300元，B型空调销售单价为2800元． （2）解：设购进B型空调台，则购进A型空调台． 两种空调总进价为 （元），满足不超过100000元的资金要求． 根据题意列不等式组 解第一个不等式得 解第二个不等式得 ，即 因为为正整数， 所以的取值为14，15，16 答：B型空调所有可能的进货台数为14台，15台，16台． （3）解：设总利润为元，由题意得 当时， （元），对应方案：购进A型空调36台，B型空调14台． 当时， （元），对应方案：购进A型空调35台，B型空调15台． 当时， （元），对应方案：购进A型空调34台，B型空调16台． 因为 所以总利润最大的方案为购进A型空调34台，B型空调16台 答：三种进货方案的总利润分别为22000元，22500元，23000元，总利润最大的进货方案是购进A型空调34台，B型空调16台． 【题型10】分配型不等式（组）实际应用 1.核心考点 人员、物资、车辆分配，不超额、不不足。 2.解题技巧 抓“不少于、不超过”列不等式组； 求正整数解，得所有可行方案。 【例题10】.（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克，根据配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克建立不等式组求解即可． 【详解】解：设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克， 由题意得，， 解得， 答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克． 【变式题10-1】.（2026·湖南益阳·二模）2026年某联赛点燃了球迷的热情，促进了消费．某商店在某场比赛前，购进100件“加油”帽和80件“助威”服，共花费4400元；在第二场比赛前，该商店又购进150件“加油”帽和160件“助威”服，共花费7800元． (1)求“加油”帽和“助威”服的单价； (2)第三场比赛前，该商店计划购进“加油”帽和“助威”服共300件，购进费用不超过7000元，则该商店至少购进“加油”帽多少件？ 【答案】(1)“加油”帽的单价为20元，“助威”服的单价为30元； (2)该商店至少购进“加油”帽200件 【分析】（1）设“加油”帽的单价为x元，“助威”服的单价为y元，根据前两场比赛购买的费用建立方程组求解即可； （2）设购进“加油”帽m件，则购进“助威”服件，根据购进费用不超过7000元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设“加油”帽的单价为x元，“助威”服的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：“加油”帽的单价为20元，“助威”服的单价为30元； （2）解：设购进“加油”帽m件，则购进“助威”服件， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：该商店至少购进“加油”帽200件． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·甘肃白银·期中）新中考体育考试项目已经确定，为方便选排球的同学在校训练，某中学共购买了50个排球，其中购买A种品牌的排球30个，B种品牌的排球20个，共花费3100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高30元． (1)A，B两种品牌排球的单价各是多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠4元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A，B两种品牌排球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的排球不少于20个，请通过计算说明学校有几种购买方案． 【答案】(1)A种品牌排球的单价是50元，B种品牌排球的单价是80元 (2)共有6种购买方案，计算说明见解析 【分析】（1）设A种品牌排球的单价是x元，B种品牌排球的单价是y元，根据“购买A种品牌的排球30个，B种品牌的排球20个，共需3100元，B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的排球，则购买个A种品牌的排球，根据“此次学校购买A、B两种品牌排球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的排球不少于20个”，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有6种购买方案， 【详解】（1）解：设种品牌排球的单价是元，种品牌排球的单价是元， 根据题意得， 解得， 种品牌排球的单价是50元，种品牌排球的单价是80元； （2）解：设购买个种品牌的排球，则购买个种品牌的排球， 根据题意得， 解得， 购买种品牌的排球不少于20个， ， 又为正整数， 可以为20或21或22或23或24或25， 共有6种购买方案． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 【题型11】新定义运算与不等式综合 1.核心考点 新定义规则转化为不等式，求解集/整数解。 2.解题技巧 严格按定义列式，转化为常规不等式； 注意取值范围限制。 【例题11】.（24-25七年级下·山东泰安·期末）对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如：，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解新运算法则是解题的关键． 根据新运算法则可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 该不等式的正整数解为1，2共2个， 故选：B． 【变式题11-1】.（24-25八年级上·浙江宁波·期中）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． 根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中有3个整数解， ， 解得：， 故答案为：． 【变式题11-2】.（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查新定义，涉及解一元一次方程、解一元一次不等式组等知识，理解新定义的“关联方程”是解决问题的关键． （1）解题中给出的三个一元一次方程及不等式组的解集，根据“关联方程”验证即可得到答案； （2）解一元一次方程得到，解不等式组得到，根据“关联方程”的定义得到求解即可确定答案． 【详解】（1）解：①，解得； ②，解得； ③，解得； ， 解不等式①得； 解不等式②得； 原不等式组的解集为； 、在范围内；不在范围内， 不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②； （2）解：，解得； 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集为； 关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ，解得． 【变式题11-3】.（25-26七年级下·福建福州·期中）定义：如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”．将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，解答下列问题： (1)填空：①下列两位数：30，32，33中，“互异数”为__________； ②计算：__________；（m、n分别为一个两位数的十位数字与个位数字） (2)如果一个“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，且；另一个“互异数”c的十位数字是，个位数字是，且，请求出“互异数”b和c； (3)如果一个“互异数”f的十位数字是，个位数字是x，且满足的互异数有且仅有3个，则t的取值范围__________ 【答案】(1)①；② (2)， (3) 【分析】（1）①由“互异数”的定义可得； ②根据定义计算可得； （2）根据，结合题意，列出二元一次方程组，即可求x和y的值，进而求得的值； （3）根据“互异数”f的十位数字是，个位数字是x，分类讨论f，根据满足的互异数有且仅有3个，求出t的取值范围． 【详解】（1）解：①∵如果一个两位数的十位数字为，个位数字为，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”， ∴，，中，“互异数”为， ② （2）解：，且， ， ， ， 联立 解得， 故， ； （3）当时，，此时为不是互异数； 当时，，此时为是互异数，； 当时，，此时为是互异数，； 当时，，此时为是互异数，； 当时，，此时为是互异数，； 满足的互异数有且仅有个， ． 【易错重难点总结】 1.核心易错点 不等式性质3：乘除负数，不等号不变号； 解不等式：移项不变号、去分母漏乘项； 数轴表示：虚实不分、方向画反； 不等式组：找错公共部分； 应用题：忽略整数、非负等实际限制。 2.本章重难点 重点：不等式性质、解一元一次不等式（组）、数轴表示； 重点：根据不等关系列不等式（组）解应用题； 难点：含参数不等式（组）求参范围； 难点：实际情境建模与整数解、最优方案。 3.解题通用步骤 解不等式：五步走，遇负变号； 解不等式组：分别求→数轴找→写公共解； 含参问题：解不等式→对比解集→列关系式； 应用题：抓关键词→列不等关系→求整数解→作答。 4.高分必备技巧 性质记忆：乘正不变，乘负必变； 解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找； 数轴表示：含等实心，不含空心，大右小左； 含参技巧：画数轴、验端点、分情况； 应用题：至少≥、最多≤、不低于≥、不超过≤。 5.素养提升关键 强化建模思想，把文字问题转化为数学不等式； 熟练数形结合，用数轴直观理解解集； 注重严谨性，变号、虚实、范围不遗漏； 规范步骤书写，每一步变形有据可依。 【同步练习】 一、单选题 1．下列数学表达式中是不等式的是（） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A．是用等号连接的等式，不符合不等式定义， 选项B．是代数式，未用不等号表示不等关系，不是不等式， 选项C．是用小于号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义， 选项D．是单独的常数，属于代数式，不是不等式． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法：大于向右画，小于向左画；有等号画实心点，无等号画空心圈，进行判断即可． 【详解】因为不等式为，所以数轴上表示时，方向应向右，且端点处应为实心圆点．观察选项可知，只有D选项符合题意． 3．下列说法不正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A．∵，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴，A说法正确． B．∵，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变， ∴，B说法正确． C．∵，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得， 不等式两边再同时减，不等号方向不变，可得， 与选项中不符，C说法不正确． D．∵，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变， ∴，D说法正确． 4．若不等式组无解，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求出两个不等式的解，根据题意判断两端的大小，从而得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∵不等式组无解， ∴， 解得． 二、填空题 5．关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 【答案】或 【分析】先解不等式组，得到解集为，根据题意，解集中任意均不在范围内，则有或，求解得到的取值范围． 【详解】解：解不等式组得， ∵解集中任意的值均不在范围内， ∴或， 解得或， 因此，的取值范围是或． 6．不等式的解集是__________． 【答案】 【详解】解：， 移项得． 7．已知关于、的方程组的解满足，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】根据加减消元法，得出，再结合，得到关于的不等式求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ， 8．如果关于的不等式的正整数解有4个，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解出不等式，再根据正整数解得到答案即可． 【详解】解：， ∴， 由关于的不等式的正整数解有4个， ∴关于的不等式的正整数解是1、2、3、4， ∴， ∴. 三、解答题 9．解不等式（组） (1) ； (2)； (3) (4)求不等式组的整数解． 【答案】(1) (2) (3) (4)0，1 【分析】（1）按照解不等式的基本步骤求解即可； （2）按照解不等式的基本步骤求解即可； （3） 先求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集． （4）先求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，确定符合要求的整数解即可． 【详解】（1）解： ， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （3）解：∵ ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． （4）解：根据题意，得 ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 故整数解为0，1． 10．2026年春节期间，鄂州吴都·乔街举办以非遗文化展示为核心亮点的活动，集中呈现雕花剪纸、武昌鱼圆制作技艺、龙灯巡游、采莲船、火壶表演等本地特色非遗项目，搭配打铁花这类视觉震撼的传统技艺，让游客沉浸式感受传统文化的独特魅力．为烘托活动氛围，决定创作A、B两类非遗主题绘染布画悬挂在景区．创作一张雕花主题A类绘染布画需要丝绸画布，染料，共花费3.6元；创作一张武昌鱼主题B类绘染布画需要丝绸画布，染料，共花费3.8元． (1)请问丝绸画布单价是多少元？染料单价是多少元？ (2)经核算，A、B两类绘染布画共需创作400幅，且A类绘染布画数量不足240幅，创作两类绘染布画所需丝绸画布不超过． ①如果创作A类绘染布画m幅，求m的取值范围， ②所需丝绸画布、染料有超市和网购两种购买方式可供选择，且它们均有优惠促销活动： Ⅰ．超市：用295元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买超市内任何商品，一律按商品价格的7折出售（已知乔街在此之前不是该超市的会员）； Ⅱ．网购：购买网店内任何商品，一律按商品价格的9折出售（无其他费用）． 请直接写出超市和网购两种购买方式所需费用相等时，m的值是_____张． 【答案】(1)丝绸画布单价是0.5元，染料单价是0.8元 (2)①（m为整数）②225 【分析】（1）设丝绸画布单价为x元，染料单价为y元，根据创作一张雕花主题A类绘染布画需要丝绸画布，染料，共花费3.6元；创作一张武昌鱼主题B类绘染布画需要丝绸画布，染料，共花费3.8元列二元一次方程组，求解即可； （2）①已知创作A类m幅，则B类幅，根据A类绘染布画数量不足240幅，创作两类绘染布画所需丝绸画布不超过列一元一次不等式组解答即可； ②根据超市和网购两种购买方式所需费用相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：设丝绸画布单价为x元，染料单价为y元，根据题意列方程组： 解得， 答：丝绸画布单价是0.5元，染料单价是0.8元； （2）解：①已知创作A类m幅，则B类幅，根据题意列不等式组： 解得：（m为整数） ②A类每幅3.6元，B类每幅3.8元，总原价为：， 超市费用：办卡295元，商品7折，总费用为：， 网购费用：商品9折，总费用为： 根据题意得：， 解得． 11．为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，某校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的滑动变阻器．已知购买甲种20个、乙种30个共需2000元，且乙种滑动变阻器的单价比甲种贵10元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价各是多少元； (2)该校物理社团计划再次采购这两种滑动变阻器共100个，若总费用不超过4200元，此次至少需购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】(1) 甲种滑动变阻器单价为34元，乙种滑动变阻器单价为44元 (2) 此次至少需购买20个甲种滑动变阻器 【分析】（1）根据二元一次方程组的购买问题关系：总价格=单价×数量，分别设甲、乙两种滑动变阻器的单价为x元，y元，再根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意，设购买a个甲种滑动变阻器，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元，乙种滑动变阻器的单价为y元， 则， 解得， ∴甲种滑动变阻器的单价为34元，乙种滑动变阻器的单价为44元； （2）解：设购买a个甲种滑动变阻器，则购买个乙种滑动变阻器 由题意，得， 解得， ∴此次至少需购买20个甲种滑动变阻器． 12．国内某知名车企研发的最新超快充充电技术，大幅提升充电效率，5分钟即可补能，9分钟能充至近满电．该技术兼顾极寒环境适应性与电池安全性，配合新一代刀片电池，实现高效、安全、耐用的综合优势，全面引领电动车快充新时代．为响应节能减排号召，某市出租车公司计划采购该车企的A、B两款搭载此项超快充技术的新能源电动汽车．已知每辆A款车进价18万元，每辆B款车进价10万元，公司拟用不超过1500万元的资金购进两款车共120辆，求最多可购买多少辆A款新能源电动汽车？ 【答案】37辆 【分析】设购买x辆A款新能源电动汽车，则购买辆B款新能源电动汽车，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设购买x辆A款新能源电动汽车，则购买辆B款新能源电动汽车，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大值取37， 答：最多可购买37辆A款新能源电动汽车． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 一元一次不等式 知识点1：不等式相关概念 不等式：用<、>、、、表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个不等式的所有解组成的集合。 易错警示：混淆解与解集，解集是范围，不是单个值。 知识点2：不等式的基本性质 性质 文字表述 数学式子 易错警示 性质1 两边加（减）同一个数/整式，不等号方向不变 若，则 无方向变化 性质2 两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变 若，，则 无方向变化 性质3 两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变 若，，则 必须变号 易错警示：乘除负数时忘变号，是本章最高频错误。 知识点3：一元一次不等式概念与解法 概念：只含1个未知数，未知数次数为1，系数不为0的不等式。 解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 易错警示：去分母漏乘常数项；移项不变号；系数为负不变号。 知识点4：一元一次不等式组 定义：把同一个未知数的几个一元一次不等式联立。 解集：各不等式解集的公共部分。 解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。 易错警示：找不准公共部分，数轴表示虚实不分。 知识点5：一元一次不等式（组）实际应用 步骤：审题→设元→找不等关系→列不等式（组）→求解→检验→作答。 关键词：至少、最多、不低于、不超过、不足<。 易错警示：忽略整数解、非负限制等实际意义。 【易错题型】 【题型1】不等式性质3应用（乘除负数）易错题 1.易错点总结 不等式两边乘/除负数时，不等号方向不变导致错误； 系数化为1时，系数为负忘记变号； 去分母时系数含负，未同步变号。 2.纠错技巧 口诀：遇负必变向，正负要看清； 系数化为1前先判断系数正负，负则变号； 每一步变形标注是否变号，避免跳步。 【例题1】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）已知，则下列不等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·上海·期中）如果，那么下列各式中错误的是（  ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（2026·广西防城港·一模）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【基础题型】 【题型2】一元一次不等式的判断 1.核心考点 判定标准：一个未知数、次数为1、整式不等式。 2.解题技巧 三看：看未知数个数、看次数、看是否整式。 【例题2】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列哪项是一元一次不等式（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·上海奉贤·期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·上海·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【题型3】解一元一次不等式并在数轴表示 1.核心考点 按步骤解不等式；数轴表示解集（空心/实心）。 2.解题技巧 含等号画实心点，不含等号画空心圈； 大于向右画，小于向左画。 【例题3】.（25-26七年级下·湖南娄底·期中）不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026·陕西商洛·一模）解不等式，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·江西九江·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【变式题3-3】.（2026·安徽阜阳·二模）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【题型4】一元一次不等式组的解集求解 1.核心考点 分别解不等式；用数轴/口诀找公共部分。 2.解题技巧 用数轴法最稳妥，避免口诀出错； 端点是否包含看不等号。 【例题4】.（甘肃白银市2026年九年级数学质量监测试卷）解不等式组：． 【变式题4-1】.（2026年上海市上海市金山区二模数学试题）解不等式组：． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·安徽宿州·期中）解不等式组：． 【变式题4-3】.（2026·天津滨海新区·一模）解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 【题型5】一元一次不等式的整数解问题 1.核心考点 先求不等式解集，再找范围内整数。 2.解题技巧 先解出或，再圈出整数； 注意边界点是否可取。 【例题5】.（25-26七年级下·重庆·期中）不等式的最大整数解是___________． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·上海闵行·月考）按要求完成下列计算： (1)解不等式： (2)解不等式并求出所有负整数解： 【变式题5-2】.（25-26七年级下·河南周口·期中）已知代数式的值不小于代数式的值，求x 的取值范围，并求出满足条件的最大整数解． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·上海杨浦·期中）求不等式的非负整数解． 【提升题型】 【题型6】含参一元一次不等式——已知解的情况求参数范围 1.核心考点 利用不等式性质判断参数符号 根据非负数解、整数解、唯一解等条件列不等式求参 2.解题技巧 先按常规步骤解不等式，用参数表示解集 系数含参时，先定系数正负，再定不等号方向 整数解问题：锁定解的范围→验证边界→确定参数区间 【例题6】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知关于的方程的根是非负数，求实数的取值范围． 【变式题6-1】.（上海市普陀区2025--2026学年第二学期七年级数学学科期中自适应练习）已知，如果，那么的取值范围是______． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江西九江·期中）不等式的解集为，则的取值范围为_____． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·北京·期中）一元一次不等式的解集有且只有两个非负整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7】含参数一元一次不等式组（有解/无解/整数解） 1.核心考点 根据不等式组有解、无解、整数解求参数范围。 2.解题技巧 画数轴分析公共部分； 临界值单独验证是否可取等号。 【例题7】.（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）关于的不等式组有实数解，则的取值范围是_____． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·江西景德镇·期中）若关于的不等式组，恰有3个整数解，则字母的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8】方程组与不等式综合 1.核心考点 解方程组→用参数表示x、y→代入不等关系→求参数。 2.解题技巧 两式加减整体求或，简化计算； 转化为一元一次不等式求解。 【例题8】.（25-26七年级下·四川宜宾·期中）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组，求的取值范围． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·安徽淮北·期中）如果方程组：的解满足，求的取值范围． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若方程组的解满足，则k的取值范围是_____________． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·河南郑州·月考）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【培优题型】 【题型9】分段计费与方案决策问题 1.核心考点 购物、行程、话费等分段建模；最优方案选择。 2.解题技巧 按临界值分段列不等式； 比较不同方案，选费用最少/利润最大。 【例题9】.（2026七年级下·江苏·专题练习）大连地铁票收费标准如下： 不超过2元/人次；超过到（含）3元/人次；超过到（含）4元/人次；超过到（含）5元/人次；超过到（含）6元/人次；超过到（含）7元/人次；超过到（含）8元/人次；超过部分，票价每增加1元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围为 ___________ ． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·重庆·期中）为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【变式题9-2】.（25-26七年级下·四川攀枝花·期中）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌排球的单价． [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌排球的单价为x元，则列出一元一次方程：”． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是（填序号）． ①A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价低30元； ②A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元． (2)[迁移类比] 小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求A、B两种品牌排球的单价． (3)[拓展探究] 老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，问：学校共有几种购买方案，并求出最省钱的购买方案？ 【变式题9-3】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）综合与实践 【背景】 夏季来临，某电器专卖店计划采购、两种型号的空调进行销售．两种空调的进价均为元／台． 【素材1】 已知型空调每台售价为元，型空调每台售价比型多元．该店曾经购进型台、型台，全部售出后总利润为元．（注：两种型号空调的售价此后保持不变） 【素材2】 现该店计划用元的资金购进这两种空调共台，且型空调的数量不少于型空调数量的倍．全部售出后，总利润不低于元． 【任务】 (1)求、两种型号空调的销售单价； (2)求型空调所有可能的进货台数； (3)在（2）的条件下，分别计算每种进货方案的总利润，并指出总利润最大的进货方案． 【题型10】分配型不等式（组）实际应用 1.核心考点 人员、物资、车辆分配，不超额、不不足。 2.解题技巧 抓“不少于、不超过”列不等式组； 求正整数解，得所有可行方案。 【例题10】.（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【变式题10-1】.（2026·湖南益阳·二模）2026年某联赛点燃了球迷的热情，促进了消费．某商店在某场比赛前，购进100件“加油”帽和80件“助威”服，共花费4400元；在第二场比赛前，该商店又购进150件“加油”帽和160件“助威”服，共花费7800元． (1)求“加油”帽和“助威”服的单价； (2)第三场比赛前，该商店计划购进“加油”帽和“助威”服共300件，购进费用不超过7000元，则该商店至少购进“加油”帽多少件？ 【变式题10-2】.（25-26八年级下·甘肃白银·期中）新中考体育考试项目已经确定，为方便选排球的同学在校训练，某中学共购买了50个排球，其中购买A种品牌的排球30个，B种品牌的排球20个，共花费3100元，已知B种品牌排球的单价比A种品牌排球的单价高30元． (1)A，B两种品牌排球的单价各是多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的排球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的排球单价优惠4元，B种品牌的排球单价打8折．如果此次学校购买A，B两种品牌排球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的排球不少于20个，请通过计算说明学校有几种购买方案． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【题型11】新定义运算与不等式综合 1.核心考点 新定义规则转化为不等式，求解集/整数解。 2.解题技巧 严格按定义列式，转化为常规不等式； 注意取值范围限制。 【例题11】.（24-25七年级下·山东泰安·期末）对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如：，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题11-1】.（24-25八年级上·浙江宁波·期中）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是_____． 【变式题11-2】.（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 【变式题11-3】.（25-26七年级下·福建福州·期中）定义：如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”．将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，解答下列问题： (1)填空：①下列两位数：30，32，33中，“互异数”为__________； ②计算：__________；（m、n分别为一个两位数的十位数字与个位数字） (2)如果一个“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，且；另一个“互异数”c的十位数字是，个位数字是，且，请求出“互异数”b和c； (3)如果一个“互异数”f的十位数字是，个位数字是x，且满足的互异数有且仅有3个，则t的取值范围__________ 【易错重难点总结】 1.核心易错点 不等式性质3：乘除负数，不等号不变号； 解不等式：移项不变号、去分母漏乘项； 数轴表示：虚实不分、方向画反； 不等式组：找错公共部分； 应用题：忽略整数、非负等实际限制。 2.本章重难点 重点：不等式性质、解一元一次不等式（组）、数轴表示； 重点：根据不等关系列不等式（组）解应用题； 难点：含参数不等式（组）求参范围； 难点：实际情境建模与整数解、最优方案。 3.解题通用步骤 解不等式：五步走，遇负变号； 解不等式组：分别求→数轴找→写公共解； 含参问题：解不等式→对比解集→列关系式； 应用题：抓关键词→列不等关系→求整数解→作答。 4.高分必备技巧 性质记忆：乘正不变，乘负必变； 解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找； 数轴表示：含等实心，不含空心，大右小左； 含参技巧：画数轴、验端点、分情况； 应用题：至少≥、最多≤、不低于≥、不超过≤。 5.素养提升关键 强化建模思想，把文字问题转化为数学不等式； 熟练数形结合，用数轴直观理解解集； 注重严谨性，变号、虚实、范围不遗漏； 规范步骤书写，每一步变形有据可依。 【同步练习】 一、单选题 1．下列数学表达式中是不等式的是（） A． B． C． D．0 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）. A． B． C． D． 3．下列说法不正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若不等式组无解，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 5．关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 6．不等式的解集是__________． 7．已知关于、的方程组的解满足，则的取值范围是___． 8．如果关于的不等式的正整数解有4个，那么的取值范围是______． 三、解答题 9．解不等式（组） (1) ； (2)； (3) (4)求不等式组的整数解． 10．2026年春节期间，鄂州吴都·乔街举办以非遗文化展示为核心亮点的活动，集中呈现雕花剪纸、武昌鱼圆制作技艺、龙灯巡游、采莲船、火壶表演等本地特色非遗项目，搭配打铁花这类视觉震撼的传统技艺，让游客沉浸式感受传统文化的独特魅力．为烘托活动氛围，决定创作A、B两类非遗主题绘染布画悬挂在景区．创作一张雕花主题A类绘染布画需要丝绸画布，染料，共花费3.6元；创作一张武昌鱼主题B类绘染布画需要丝绸画布，染料，共花费3.8元． (1)请问丝绸画布单价是多少元？染料单价是多少元？ (2)经核算，A、B两类绘染布画共需创作400幅，且A类绘染布画数量不足240幅，创作两类绘染布画所需丝绸画布不超过． ①如果创作A类绘染布画m幅，求m的取值范围， ②所需丝绸画布、染料有超市和网购两种购买方式可供选择，且它们均有优惠促销活动： Ⅰ．超市：用295元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买超市内任何商品，一律按商品价格的7折出售（已知乔街在此之前不是该超市的会员）； Ⅱ．网购：购买网店内任何商品，一律按商品价格的9折出售（无其他费用）． 请直接写出超市和网购两种购买方式所需费用相等时，m的值是_____张． 11．为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，某校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的滑动变阻器．已知购买甲种20个、乙种30个共需2000元，且乙种滑动变阻器的单价比甲种贵10元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价各是多少元； (2)该校物理社团计划再次采购这两种滑动变阻器共100个，若总费用不超过4200元，此次至少需购买多少个甲种滑动变阻器？ 12．国内某知名车企研发的最新超快充充电技术，大幅提升充电效率，5分钟即可补能，9分钟能充至近满电．该技术兼顾极寒环境适应性与电池安全性，配合新一代刀片电池，实现高效、安全、耐用的综合优势，全面引领电动车快充新时代．为响应节能减排号召，某市出租车公司计划采购该车企的A、B两款搭载此项超快充技术的新能源电动汽车．已知每辆A款车进价18万元，每辆B款车进价10万元，公司拟用不超过1500万元的资金购进两款车共120辆，求最多可购买多少辆A款新能源电动汽车？ 学科网（北京）股份有限公司 $