专题01 一元一次不等式概念与解重难点题型专训（3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版）

专题01 一元一次不等式概念与解重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 求一元一次不等式的解集 题型六 求一元一次不等式的整数解 题型七 在数轴上表示不等式的解集 题型八 求一元一次不等式解的最值 拓展训练一 不等式变形问题 拓展训练二 一元一次不等式含参数计算 拓展训练三 一元一次不等式解的新定义运算 知识点一：不等式的有关概念 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个不等式所有解的全体。 解不等式：求不等式解集的过程 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）用不等式表示“的2倍与3的差小于0”__________． 知识点二：不等式的三条基本性质（重中之重） 不等式两边加（或减）同一个数或式子，不等号方向不变。 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海·期中）如果，那么______ ．（填入“>”、“<”或“=”） 知识点三：解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （2）移项； 移项时不要忘记变号； （3）合并同类项； （4）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山西临汾·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）不等式的解集是__________． 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（24-25七年级下·云南昭通·月考）某市一天的最高气温是，最低气温是，则当天该市气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）将“a与b的和是负数”用不等式表示为__________． 1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级下·江苏苏州·课后作业）（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数：______________； （2）与的积小于7：______________； （3），两数的平方和大于10：______________． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·课后作业）用不等式表示： (1)0大于． (2)x减去y不大于． (3)a的倍与的和是非负数． (4)a的与b的平方的和为正数． 【经典例题二 不等式的性质】 【例1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·课后作业）已知，那么______． 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为的正方形场地．场地甲中间有一个边长为的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为、宽为的长方形花卉区，下方为草坪．已知，设甲、乙两块场地中草坪面积的比为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，记，当，则的范围为_____． 3．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【经典例题三 不等式的解集】 【例1】（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·课后作业）请写出满足下列条件的解： （1）的正整数解有_____． （2）的负整数解有_____． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·课后作业）对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例1】（24-25七年级下·江苏苏州·寒假作业）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A．5+4>8 B．2x-1 C．2x≤5 D．2x+y>7 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知是关于x的一元一次不等式，那么_____． 1．（2025七年级下·江苏苏州·专题练习）下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25七年级下·江苏苏州·寒假作业）给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是：___．（只填序号） 3．（24-25七年级下·江苏常州·月考）若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值． 【经典例题五 一元一次不等式的定义】 【例1】（2025·安徽·模拟预测）不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山西临汾·期中）已知有理数和，定义一种新运算“&”，规定：（、是都不为0的常数），等式右边的运算是通常的四则运算．例如．当，时，则关于的不等式的最小整数解为____________． 1．（25-26七年级上·江苏苏州·课后作业）对实数，定义运算“★”：，设，则不等式的解为（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25七年级下·广西南宁·期中）定义新运算，，则不等式的解集为___________． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）阅读下列解不等式“”的过程，填写解题的方法步骤和变形依据． 解：___________①，得 （___________②） ___________③，得 （___________④） ___________⑤，得 （___________⑥） ___________⑦，得 系数化为1，得 ___________⑧（___________⑨） 【经典例题六 求一元一次不等式的整数解】 【例1】（24-25七年级下·广西桂林·期中）定义，例如：，若，则非负整数的值有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【例2】（24-25七年级下·河南南阳·月考）不等式的非负整数解为______． 1．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·江苏苏州·专题练习）若是一个正偶数，且它的3倍与10的和不小于它的5倍与的和，则的值为___________． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·课后作业）如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是多少？ 【经典例题七 在数轴上表示不等式的解集】 【例1】（2026·福建三明·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026七年级下·江苏宿迁·专题练习）请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：______． 1．（2026·河北石家庄·一模）某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）规定新运算：▲，例如：2▲1，若关于的不等式▲的解集在数轴上表示如图所示，则的值为__________． 3．（25-26七年级下·江苏常州·期中）下面是小明同学解一元一次不等式的部分解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 移项，得…………第三步… (1)小明的解答从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)请写出不等式的正确解答过程，并在数轴上表示它解集； (3)请你给同学们提出在解一元一次不等式时避免解答出错的一条建议． 【经典例题八 求一元一次不等式解的最值】 【例1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为______． 1．（2025·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 【拓展训练一 不等式变形问题】 【例1】（25-26七年级下·重庆·月考）下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·课后作业）把不等式变形得到，其依据是不等式的性质_______，即不等式的两边都_______，不等号的方向_______． 1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）说出下列不等式的变形依据． (1)若，则 (2)若，则 2．（24-25七年级下·河南周口·期中）“由得到”，这个变形正确吗？请判断并运用不等式的基本性质说明理由． 3．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 【拓展训练二 一元一次不等式含参数计算】 【例1】（24-25七年级下·江苏苏州·单元测试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若是关于的一元一次不等式，则______． 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知关于的方程的根是非负数，求实数的取值范围． 2．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知关于，的二元一次方程组．若方程组的解满足，求的取值范围． 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的两个不等式：与． (1)若这两个不等式的解集完全相同，求m的值； (2)若不等式的所有解都能使不等式成立，求m的取值范围． 【拓展训练三 一元一次不等式解的新定义运算】 【例1】（2025·福建龙岩·一模）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是(   ) A．或 B． 或 C．或 D． 或 【例2】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义新运算“”，规定当时，；当时，．例如：，．如果，那么x的值为______． 1．（25-26七年级下·江苏苏州·课后作业）定义新运算：对于任意实数a，b都有．例如．求不等式的解集． 2．（25-26八年级上·浙江·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________． (2)若，则的取值范围是________． (3)已知，求的取值范围． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求、的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最小整数值． A基础训练 1．（2026·安徽滁州·一模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）下列不等式的解集中，不包括这个解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·假期作业）若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏常州·期中）国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·江苏苏州·课后作业）解不等式的过程如图所示，开始出现错误的步骤是（    ） 解：， 去分母，得，    第一步 移项，得，    第二步 合并同类项，得，    第三步 系数化为1，得．    第四步 A．第四步 B．第三步 C．第二步 D．第一步 B 提高训练 6．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）下列不等式：①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有_______（填序号）． 7．（24-25七年级下·山东日照·月考）已知三个正整数a，b，c，满足，且，则______． 8．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是______．    9．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）学完不等式的解集后，小明说：“的解集是”小刚说：“是的一个解”小颖说：“的整数解有无数个”他们的说法中错误的是___________ ． 10．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）设为自然数，且，又，则的最大值为______________．     C 培优训练 11．（2026·陕西渭南·模拟预测）解不等式：． 12．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）解下列不等式，并把它们解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)． 13．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知：a、b、m、n四个数中，， (1)比较与的大小； (2)若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明： 14．（24-25七年级下·山东烟台·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)不等式______（选填“是”或“不是”）的“云不等式”； (2)若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，且有个公共的整数解，求的取值范围． 15．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】如表是七年级下册数学教材的部分内容． 例利用不等式的性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：（1）因为，所以． 又因为，所以． 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，即如果且，那么，它也可以作为推理的依据． 通过例，利用不等式的传递性，我们可以证出不等式的同向可加性． 根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是______； 若，，则的取值范围是______； 【性质应用】已知，且，，求的取值范围，补全解答过程： 解：由，得． 将代入得， ， 即． 又因为， 所以． 求解过程缺失 【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次不等式概念与解重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 求一元一次不等式的解集 题型六 求一元一次不等式的整数解 题型七 在数轴上表示不等式的解集 题型八 求一元一次不等式解的最值 拓展训练一 不等式变形问题 拓展训练二 一元一次不等式含参数计算 拓展训练三 一元一次不等式解的新定义运算 知识点一：不等式的有关概念 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个不等式所有解的全体。 解不等式：求不等式解集的过程 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质对各选项逐一判断，即可得到正确结论． 【详解】解：∵ ∴ 不等式两边同时减1，不等号方向不变，可得 ，A正确； 不等式两边同乘，不等号方向改变，得，两边同时加1得 ，B错误； 不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得 ，C错误； 不等式两边同乘，不等号方向不变，得，两边同时加1得 ，D错误． 因此正确选项为A． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）用不等式表示“的2倍与3的差小于0”__________． 【答案】 【分析】先将的2倍与3的差表示为，再根据“小于0”的不等关系列出不等式即可． 【详解】解：“的2倍与3的差小于0”，用不等式表示为． 知识点二：不等式的三条基本性质（重中之重） 不等式两边加（或减）同一个数或式子，不等号方向不变。 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质，不等式两边同时加(减)同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘(除)同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘(除)同一个负数，不等号方向改变. 根据不等式性质逐一判断各选项即可. 【详解】解：对选项A， ∵ ， ∴ ，A不成立； 对选项B， ∵ ， ∴ ，可得，B不成立； 对选项C， ∵ ， ∴ ，C不成立； 对选项D， ∵ ， ∴ ，D一定成立. 2．（25-26七年级下·上海·期中）如果，那么______ ．（填入“>”、“<”或“=”） 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质即可得到结论． 【详解】解：， ∴， ． 知识点三：解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （2）移项； 移项时不要忘记变号； （3）合并同类项； （4）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山西临汾·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ． 2．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）不等式的解集是__________． 【答案】 【详解】解：， 移项得． 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（24-25七年级下·云南昭通·月考）某市一天的最高气温是，最低气温是，则当天该市气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的定义，能理解最高气温和最低气温的意义是解此题的关键．根据最高气温和最低气温得出t的范围即可． 【详解】解：∵当天该市气温最高气温是，最低气温是， ∴当天气温的变化范围是， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）将“a与b的和是负数”用不等式表示为__________． 【答案】 【分析】a与b的和为负数即是小于0的数，据此列不等式． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】不等号把两个式子连接起来所形成的式子叫不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：①3＞0是不等式；②4x＋y＜2是不等式；③2x＝3是等式；④ x－1是代数式；⑤是不等式，共有3个不等式． 故答案为B． 【点睛】本题考查了不等式的定义，即用不等号把两个式子连接起来所形成的式子叫不等式． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·课后作业）（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数：______________； （2）与的积小于7：______________； （3），两数的平方和大于10：______________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】解：（1）的4倍与3的差是正数：， 故答案为：． （2）与的积小于7：， 故答案为：． （3），两数的平方和大于10：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·课后作业）用不等式表示： (1)0大于． (2)x减去y不大于． (3)a的倍与的和是非负数． (4)a的与b的平方的和为正数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题意列出不等式即可； （2）根据题意列出不等式即可； （3）根据题意列出不等式即可； （4）根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：0大于表示为：； （2）x减去y不大于表示为：； （3）a的倍与的和是非负数表示为：； （4）a的与b的平方的和为正数：． 【点睛】此题考查了不等式，读懂题意正确列式是解题的关键． 【经典例题二 不等式的性质】 【例1】（25-26七年级下·江苏南京·期末）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴, 不一定成立； B、，不成立； C、, 不成立； D、，成立； 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·课后作业）已知，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质即可得出答案，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为的正方形场地．场地甲中间有一个边长为的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为、宽为的长方形花卉区，下方为草坪．已知，设甲、乙两块场地中草坪面积的比为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，不等式的性质，根据图形分别用含a、b的式子表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案． 【详解】解：甲中草坪面积为，乙中草坪面积为， ∴， ∵，且， ∴， ∴，即， 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，记，当，则的范围为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用．分两种情况：当时，当时，结合新定义，分别求出y的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，， 此时， 即； 当时，， 此时， 即； 综上所述，的范围为． 故答案为： 3．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【答案】(1)不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的基本性质）． 故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （2）解：方法一：∵，， ∴； 方法二：． ∵， ∴， ∴． 【经典例题三 不等式的解集】 【例1】（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】由数轴可知，左边端点是空心圆，右边端点是实心点，所以不等式的解集是． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集是． 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·课后作业）请写出满足下列条件的解： （1）的正整数解有_____． （2）的负整数解有_____． 【答案】 1，2 －3，－2，－1 【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集． （1）由不等式，结合正整数定义，找出所有满足条件的正整数； （2）由不等式 ，结合负整数定义，找出所有满足条件的负整数． 【详解】解：（1），且为正整数， 可取，， 故答案为：； （2），且为负整数， 可取，，． 故答案为：，，． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·课后作业）对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．据此判断即可． 【详解】解：这句话说的不正确，只是该不等式解集的一部分．如：是不等式的解，但未包含在内，所以这句话不正确． 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例1】（24-25七年级下·江苏苏州·寒假作业）下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A．5+4>8 B．2x-1 C．2x≤5 D．2x+y>7 【答案】C 【分析】从是否含有不等号，是否含有未知数，未知数的个数是否一个，这个未知数的指数是否为1，四个方面判断即可． 【详解】∵5+4>8中，没有未知数， ∴不是一元一次不等式，A不符合题意； ∵2x-1，没有不等号， ∴不是一元一次不等式，B不符合题意； ∵2x≤5是一元一次不等式， ∴C符合题意； ∵2x+y>7中，有两个未知数， ∴不是一元一次不等式，D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义即含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，正确理解定义是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知是关于x的一元一次不等式，那么_____． 【答案】-1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，所以，求解即可； 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案是：-1． 【点睛】本题主要是对一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件的考查 1．（2025七年级下·江苏苏州·专题练习）下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【详解】解：①，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意； ②，属于一元一次不等式，符合题意； ③，属于一元一次不等式，符合题意； ④，属于一元二次不等式，不合题意； ⑤属于方程，不合题意； ⑥，属于一元一次不等式，符合题意． 综上所述，一元一次不等式有3个． 故本题选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·寒假作业）给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是：___．（只填序号） 【答案】②④ 【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就是一元一次不等式． 【详解】①x＋1＞x－x2是一元二次不等式，故选项不符合题意； ②y－1＞3是一元一次不等式，故此选项符合题意； ③x＋≥2中不是整式，故选项不符合题意； ④x≤0是一元一次不等式，故此选项符合题意； ⑤3x－y＜5；含两个未知数，故选项不符合题意． 故答案为：②④ 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数不能是0． 3．（24-25七年级下·江苏常州·月考）若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值． 【答案】m=0， n≠3． 【分析】根据一元一次不等式的定义知道二次项系数为零，一次项系数不为零，即可求出m、n的取值. 【详解】解∵不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式， ∴二次项系数为零，一次项系数不为零， 又∵3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3化简为: mx2+(n-3)x≥0 ∴解得：m=0，n﹣3≠0． 故m=0，n≠3． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义（只有一个未知数，且未知数的次数为1，系数为零，左右两边为整式），熟记一元一次不等式的定义是解题的关键. 【经典例题五 一元一次不等式的定义】 【例1】（2025·安徽·模拟预测）不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据去分母、移项、合并、系数化为1可得不等式的解集． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 合并得，， 系数化为得，， 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·山西临汾·期中）已知有理数和，定义一种新运算“&”，规定：（、是都不为0的常数），等式右边的运算是通常的四则运算．例如．当，时，则关于的不等式的最小整数解为____________． 【答案】5 【分析】首先根据题意建立关于的二元一次方程组，求解可确定的值，然后根据可得关于的不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵，，， 则有，解得， ∴， ∵， ∴， 解得， 所以，关于的不等式的最小整数解为5． 1．（25-26七年级上·江苏苏州·课后作业）对实数，定义运算“★”：，设，则不等式的解为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式．根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论． 【详解】解：由题意得，当时， 即时，， ∵， 则， 解得：， 综上：， 当时， 即时，， ∵， 则， 解得：， 综上：， 综上所述，的解集是或． 故选：D． 2．（24-25七年级下·广西南宁·期中）定义新运算，，则不等式的解集为___________． 【答案】或 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握新运算法则是解题关键．根据新运算的定义，需要分两种情况讨论：当时和当时，分别解不等式即可． 【详解】解：当时，即，此时， 不等式化为，解得，结合条件，得； 当时，即，此时， 不等式化为，解得，结合条件，得， 综上，不等式解集为：或， 故答案为：或． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）阅读下列解不等式“”的过程，填写解题的方法步骤和变形依据． 解：___________①，得 （___________②） ___________③，得 （___________④） ___________⑤，得 （___________⑥） ___________⑦，得 系数化为1，得 ___________⑧（___________⑨） 【答案】去分母；不等式基本性质3；去括号；乘法分配律；移项；不等式基本性质2；合并同类项；；不等式基本性质3 【详解】解：去分母①，得（不等式基本性质3②） 去括号③，得 （乘法分配律④） 移项⑤，得 （不等式基本性质2⑥） 合并同类项⑦，得 系数化为1，得 ⑧（不等式基本性质3⑨） 【经典例题六 求一元一次不等式的整数解】 【例1】（24-25七年级下·广西桂林·期中）定义，例如：，若，则非负整数的值有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查定义新运算，求一元一次不等式的整数解，先根据新定义，列出不等式，进而求出不等式的解集即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∴非负整数的值有，共4个； 故选B． 【例2】（24-25七年级下·河南南阳·月考）不等式的非负整数解为______． 【答案】0，1，2，3 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并得，， 系数化为1，得， 所以，不等式的非负整数解为0，1，2，3． 故答案为：0，1，2，3． 1．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解关于的不等式求得，根据不等式的最小整数解是即可作答． 【详解】解：， 移项，得：， 不等式的最小整数解是， ， 故选：B． 2．（2025七年级下·江苏苏州·专题练习）若是一个正偶数，且它的3倍与10的和不小于它的5倍与的和，则的值为___________． 【答案】6或4或2 【分析】本题考查了解不等式的整数解集，根据题意列出不等式，再解不等式即可，解题的关键是列出不等式． 【详解】解：根据题意可得， 解得， 是一个正偶数， ， 故答案为：6或4或2． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·课后作业）如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是多少？ 【答案】21 【分析】本题考查一元一次不等式解决实际问题，分x为奇数和x为偶数两种情况，分别列出不等式，求出x的值，再找出最小正整数即可． 【详解】解：当x为奇数时，根据题意，得， 解得， ∴正整数； 当x为偶数时，， 解得， ∴正整数， 综上，输入的最小正整数x是21． 【经典例题七 在数轴上表示不等式的解集】 【例1】（2026·福建三明·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 不等式的解集在数轴上表示为：． 【例2】（2026七年级下·江苏宿迁·专题练习）请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先由数轴判断不等式的解集，再根据解集写出一元一次不等式即可． 【详解】解：由数轴可知解集为， ∴解集是的一元一次不等式为． 1．（2026·河北石家庄·一模）某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，即可得解． 【详解】解：根据题意可知： ， 在数轴上表示如下： 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）规定新运算：▲，例如：2▲1，若关于的不等式▲的解集在数轴上表示如图所示，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，用数轴表示不等式的解集，根据不等式的解集求参数，根据新定义，列出不等式，求出不等式的解集，结合数轴，确定的值即可． 【详解】解：由题意，得：▲， 解得：， 由数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为： 3．（25-26七年级下·江苏常州·期中）下面是小明同学解一元一次不等式的部分解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 移项，得…………第三步… (1)小明的解答从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)请写出不等式的正确解答过程，并在数轴上表示它解集； (3)请你给同学们提出在解一元一次不等式时避免解答出错的一条建议． 【答案】(1)一，去分母时，常数项漏乘6 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：小明的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时，常数项漏乘6； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为1，得； 不等式的解集在数轴上表示如下： （3）建议：去分母时，常数项不要漏乘最小公倍数； 括号前面是“”， 去括号时，括号里的每一项都要变号； 不等式两边同时乘或除以一个负数时，不等号的方向要改变等. 【经典例题八 求一元一次不等式解的最值】 【例1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意可得，易知，结合可得的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵, ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最小值是． 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为______． 【答案】578 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 1．（2025·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键． 2．（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 【答案】(1)5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算以及一元一次不等式，能根据题意分别列出算式和不等式是关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据A区的计算结果大于B区的计算结果列不等式，解出即可． 【详解】（1）解：按键1次后，，两区显示的结果的和； （2）解：由题意，得， 解得， 为整数， 的最小值为4． 【拓展训练一 不等式变形问题】 【例1】（25-26七年级下·重庆·月考）下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质与不等式的基本性质对每个选项的变形逐一判断即可． 【详解】解：A、，根据等式性质，两边同时加3，可得，变形正确； B、，根据等式性质，两边同时乘3，可得，变形正确； C、，不等式两边同时除以时，若，不等号方向要改变，得到，题目未说明的符号，无法直接推出，故变形不正确； D、由得，根据不等式性质，两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，变形正确； 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·课后作业）把不等式变形得到，其依据是不等式的性质_______，即不等式的两边都_______，不等号的方向_______． 【答案】 1 减去2 不变 【分析】本题主要考查了不等式性质， 根据不等式的性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，据此解答即可． 【详解】解：不等式变形得到，即， 其依据是不等式的性质1，即不等式的两边都减去2，不等号的方向不变． 故答案为：，减去2，不变． 1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）说出下列不等式的变形依据． (1)若，则 (2)若，则 【答案】(1)根据不等式的性质1，不等式的两边同时加1 (2)根据不等式的性质3，不等式的两边同除以 【分析】（1）直接利用不等式的性质1，分析得出答案； （2）直接利用不等式的性质3，分析得出答案． 【详解】（1）解：由，得，根据不等式的性质1，不等式的两边同时加1，不等号的方向不变； （2）解：由，得，根据不等式的性质3，不等式的两边同除以，不等号的方向改变． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质，正确掌握不等式的性质是解题关键． 2．（24-25七年级下·河南周口·期中）“由得到”，这个变形正确吗？请判断并运用不等式的基本性质说明理由． 【答案】变形不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了运用不等式的性质解一元一次不等式的问题，先根据不等式的性质1算出第一步，再根据不等式的性质2，注意同乘同除一个负数是要变号，解决此题的关键是熟练掌握不等式的性质． 【详解】解：变形不正确． 不等式的两边减5，得，即， 不等式的两边除以，得， 所以． 故变形不正确． 3．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 【答案】(1)不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）；不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）联系上下文，结合不等式的性质进行分析，即可作答． （2）模仿题干过程，先由，，得，再结合，，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，依据1：不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）． 依据2：不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． （2）解：依题意，∵，， ∴①， 又∵，， ∴②， 由①②可得： 【拓展训练二 一元一次不等式含参数计算】 【例1】（24-25七年级下·江苏苏州·单元测试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 故答案为：4． 【例2】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若是关于的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，绝对值，根据一元一次不等式的定义可得且，求解即可，正确把握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴的值为， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知关于的方程的根是非负数，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先解方程得到，再根据方程的解为非负数得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 方程的根是非负数， 解得． 2．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知关于，的二元一次方程组．若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组用表示出、，再根据得到关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 得：，解得， 把代入得：，解得， ， ， ， 解得． 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的两个不等式：与． (1)若这两个不等式的解集完全相同，求m的值； (2)若不等式的所有解都能使不等式成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式及不等式解集的定义，熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”是解题的关键． （1）分别解出两个不等式，再根据解相同列方程求解即可； （2）根据题意列出关于m的不等式，即可得解． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得， 两个不等式的解集完全相同， ， ． （2）解：不等式的所有解都能使不等式成立， ， 解得． 【拓展训练三 一元一次不等式解的新定义运算】 【例1】（2025·福建龙岩·一模）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是(   ) A．或 B． 或 C．或 D． 或 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次不等式，注意分情况讨论是解题的关键．分当，即时，当，即时，两种情况，根据题目所给的新定义建立关于x的不等式进行求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选C． 【例2】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义新运算“”，规定当时，；当时，．例如：，．如果，那么x的值为______． 【答案】2或 【分析】本题主要考查解一元一次方程，一元一次不等式和新定义题型，先判断两个式子的大小，得到一元一次不等式，根据新定义题的题意得到一元一次方程，进而解答即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，即，，解得：，，成立； 当时，即，，解得，，成立． 故答案为：2或． 1．（25-26七年级下·江苏苏州·课后作业）定义新运算：对于任意实数a，b都有．例如．求不等式的解集． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，不等式的解集，解题的关键是理解新定义运算，掌握一元一次不等式的解题步骤． 根据，计算出的值，然后根据解不等式的步骤，即可解出不等式的解集． 【详解】解：∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·浙江·期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________． (2)若，则的取值范围是________． (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用，解题的关键是根据新运算定义准确判断运算双方的大小关系，选择对应运算公式，第三问需分情况讨论并合并解集． （1）比较与的大小，选用计算； （2）由等式右边运算形式确定，解不等式； （3）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，求解后取并集． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：． （2）解：， ， 解得， 故答案为：． （3）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求、的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最小整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得， ， ， ， 的最小整数值是． A基础训练 1．（2026·安徽滁州·一模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简已知不等式，再根据不等式的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：， ∴， A、不等式两边加得，即，故选项A错误； B、当，时，满足，但不满足，故选项B错误； C、不等式两边加1得，故选项C错误； D、不等式两边同乘，不等号方向改变，得，故D选项一定成立． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）下列不等式的解集中，不包括这个解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，依题意，结合每个选项的的解集进行判断，即可作答． 【详解】解：A、包括这个解，故该选项不符合题意； B、包括这个解，故该选项不符合题意； C、不包括这个解，故该选项符合题意； D、包括这个解，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·假期作业）若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，，向右画；，向左画；在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 根据不等式的正整数解只有，，对四个选项中数轴所表示的不等式的解集内的正整数解分别进行判定即可解决问题． 【详解】解：A、不等式的解集为，正整数解为：，，，…，不符合题意； B、不等式的解集为，正整数解为：，，，…，不符合题意； C、不等式的解集为，正整数解为：，不符合题意； D、不等式的解集为，正整数解为：，，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·江苏常州·期中）国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可． 【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下， 故， 故选：B． 5．（25-26七年级下·江苏苏州·课后作业）解不等式的过程如图所示，开始出现错误的步骤是（    ） 解：， 去分母，得，    第一步 移项，得，    第二步 合并同类项，得，    第三步 系数化为1，得．    第四步 A．第四步 B．第三步 C．第二步 D．第一步 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，去分母时的乘法分配律，掌握解不等式去分母时，每一项都要乘以公分母，注意括号内的符号变化是解题的关键． 检查解不等式的每一步，重点在于去分母时是否正确处理符号和分配律． 【详解】解：∵原不等式为 ， 去分母时，两边应同乘， 左边： ， 右边： ， ∴正确结果应为 ， 但步骤中写为 ，即 ， ∴第一步错误，开始出现错误的步骤是第一步． 故选：D． B 提高训练 6．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）下列不等式：①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有_______（填序号）． 【答案】④ ⑤ 【分析】根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，逐个判断即可得到结果． 【详解】解：① ，根号下含有未知数，不是整式，不是一元一次不等式，不符合题意； ② ，没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ③ ，含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ④ ，是常数，不等式两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，是一元一次不等式，符合题意； ⑤ ，不等式两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，是一元一次不等式，符合题意； 故答案为：④ ⑤． 7．（24-25七年级下·山东日照·月考）已知三个正整数a，b，c，满足，且，则______． 【答案】36 【分析】此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答此题的关键．先由，且，，为正整数得，则，，由此可得，则，进而可得，同理得，则，结合可得，进而再求出的值即可． 【详解】解：，且，，为正整数， ， ， 又， ，， ，， 即：， ， 将代入，得：， 同理：，则， ， ， 将代入，得：， 综上所述：，，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是______．    【答案】2 【分析】解不等式可得，由数轴可得，从而可得，求解即可． 【详解】解：， 解得， 由数轴可得，， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集、解一元一次方程，熟练掌握在数轴上表示不等式的解集是解题的关键． 9．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）学完不等式的解集后，小明说：“的解集是”小刚说：“是的一个解”小颖说：“的整数解有无数个”他们的说法中错误的是___________ ． 【答案】小刚 【分析】将不等式的系数为即可判断小明的说法；将不等式的系数化即可判断小刚的说法；根据小于的整数有无数个即可判断小颖的说法； 【详解】解：， 系数化得，， 故小明的说法正确； ， 系数化得，， ， 不是的一个解， 故小刚说法错误； 小于的整数有无数个， 的整数解有无数个， 故小颖的说法正确； 综上，小刚的说法错误． 故答案为：小刚． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解． 10．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）设为自然数，且，又，则的最大值为______________．     【答案】61 【分析】根据自然数的性质，得 ，确定的最大值，依次，确定的最大值，解答即可． 本题考查了自然数的性质，不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据自然数的性质，得 ， 故， 故的最大值为19， 故， 故， 故， 故的最大值为20， 故， 故， 故， 故的最大值为22， 故的最大值为， 故答案为：61． C 培优训练 11．（2026·陕西渭南·模拟预测）解不等式：． 【答案】 【分析】按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 12．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）解下列不等式，并把它们解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 (3)，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下所示： （2）解： 去括号得 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下所示： （3）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下所示： 13．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知：a、b、m、n四个数中，， (1)比较与的大小； (2)若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明： 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质即可求得答案； （2）利用不等式的性质易得，，然后利用不等式的传递性即可证得结论． 【详解】（1）解：解：， 两边同时乘以得； （2）解：，m是正数， ， ，b是正数， ， 14．（24-25七年级下·山东烟台·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)不等式______（选填“是”或“不是”）的“云不等式”； (2)若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，且有个公共的整数解，求的取值范围． 【答案】(1)不是 (2)的取值范围为 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解“云不等式”是解题的关键 （1）根据“云不等式”的定义，即可解答； （2）先分别解两个不等式，然后根据题意可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：与没有公共解， 不等式不是的“云不等式”， 故答案为：不是； （2）解：解不等式，得； 解不等式，得； 这两个不等式互为“云不等式”， ， 又它们有个公共的整数解， 其公共整数解为和， 由题意得：， ， 的取值范围为． 15．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】如表是七年级下册数学教材的部分内容． 例利用不等式的性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：（1）因为，所以． 又因为，所以． 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，即如果且，那么，它也可以作为推理的依据． 通过例，利用不等式的传递性，我们可以证出不等式的同向可加性． 根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是______； 若，，则的取值范围是______； 【性质应用】已知，且，，求的取值范围，补全解答过程： 解：由，得． 将代入得， ， 即． 又因为， 所以． 求解过程缺失 【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是______． 【答案】【教材呈现】，；【性质应用】见解析；【拓展提升】 【分析】教材呈现：根据不等式的性质进行计算即可； 性质应用：先根据已知条件把用表示出来，再根据和求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可； 拓展提升：先根据已知条件把用表示出来，再根据和求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可． 本题主要考查了不等式和等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质． 【详解】解：教材呈现： ，， ，即， ，， ，即， 故答案为：，； 性质应用： 由，得， 将代入得， ， ， ， ， ， ， ， ； 拓展提升： ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $