专题02 一元一次不等式组重难点题型专训（4个知识点+6大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版）

专题02 一元一次不等式组重难点题型专训 （4个知识点+6大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 一元一次不等式组的定义 题型二 求不等式组的解集 题型三 求一元一次不等式组的整数解 题型四 由一元一次不等式组的解集求参数 题型五 由不等式组解集的情况求参数 题型六 不等式组和方程组结合的问题 拓展训练一 已知解集，求参数范围 拓展训练二 解特殊不等式组 拓展训练三 一元一次不等式组的新定义计算 拓展训练四 一元一次不等式组有解问题 知识点一：什么是一元一次不等式组 由同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。 例： 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏扬州·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·甘肃庆阳·月考）下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 知识点二：一元一次不等式组的解法 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 【即时训练】 1．（2026·河南周口·一模）关于x的不等式组的解集表示正确的是（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26七年级下·北京·期中）不等式组的解集是________． 知识点三：一元一次不等式(组）之含参问题 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如果关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南南阳·一模）不等式组的解集是，请写出一个符合条件的的值_________． 知识点四：一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解法及解集表示： 不等式组（a＞b) 解集 在数轴上表示 口诀 x＞a 同大取大 x＜b 同小取小 b＜x＜a 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不小 【即时训练】 1．（2025·辽宁丹东·二模）不等式组的整数解为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·新疆和田·月考）已知是整数，并且，写出可能取的所有数_______． 【经典例题一 一元一次不等式组的定义】 【例1】（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是_________． 1．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）我们把两个（或两个以上）的_____，就组成了一个一元一次不等式组． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）下列不等式组： （1） （2） （3） （4） 其中__________是一元一次不等式组．（用序号表示） 【经典例题二 求不等式组的解集】 【例1】（2026·山西晋中·二模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 1．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图，是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）不等式组的解为，，则不等式组的解是__________． 3．（25-26七年级下·广西贵港·期中）定义：若一个不等式组有解且解集是，则称为的“绝对距离”．若的绝对距离是不等式组的一个解，则称对于 “绝对包含”．例如：已知不等式组和．解集：，其绝对距离为；的解集：，因为，所以是的解，对于绝对包含． (1)已知关于的不等式组， ①这个不等式组的解集是______． ②这个不等式组的绝对距离是______． ③结合不等式组，判断：不等式组______（填“是”或“不是”）对绝对包含； (2)已知关于的不等式组，不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组，若存在整数，使得不等式组对于不等式组绝对包含，求满足条件的所有整数的和． 【经典例题三 求一元一次不等式组的整数解】 【例1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是22，则m的取值范围是___________． 1．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如果关于x的不等式组的整数解仅有，那么适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）若关于的不等式组的解集中仅有2个整数解，则的整数解之和为__________． 3．（25-26七年级下·江苏常州·期中）已知关于的不等式组． (1)当时，求这个不等式组的解集，写出所有正整数解； (2)如果不等式组只有3个整数解，求的取值范围． 【经典例题四 由一元一次不等式组的解集求参数】 【例1】（21-22七年级下·江苏宿迁·期末）已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河南南阳·一模）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为______． 1．（25-26七年级下·北京·期中）两个关于x、y的二元一次方程为：方程①和方程②，其中方程①的部分解如下表所示．将方程①中的y值记为，方程②中的y值记为，若当时，对于x的每一个值，都有，则m的取值范围是（    ） x … 0 1 2 … y … 0 1 2 3 … A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京房山·期中）定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知关于的不等式组， (1)若该不等式组的解集为，求的值； (2)若该不等式组恰有一个整数解，求的取值范围． 【经典例题五 由不等式组解集的情况求参数】 【例1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）定义：表示不大于的最大整数，如．我们把满足（为常数）的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为的的核心范围为． （1）若，则的核心范围是___________． （2）若关于的不等式组有且只有五个整数解，写出的取值范围___________． 1．（25-26七年级下·四川内江·期中）若关于、的方程组中未知数、满足，且关于的不等式组恰好有三个整数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C．11 D．9 2．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若一个不等式（组）A有解且解集为（），则称为A的“界中值”，若A的界中值是不等式（组）B的解（即界中值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A“界中包含”． (1)已知关于x的不等式组①：，②，③以及不等式M：，则不等式M对于不等式组①___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组②___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组③___________（是/不是）“界中包含”． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C“界中包含”，求m的取值范围． (3)关于x的不等式组E：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E“界中包含”，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 【经典例题六 不等式组和方程组结合的问题】 【例1】（2026·安徽蚌埠·二模）已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·重庆万州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为______． 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解；           ②当时，； ③；                                              ④若，则． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为________． （2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为_________． 3．（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【拓展训练一 已知解集，求参数范围】 【例1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的整数的值之和为（   ） A．6 B．8 C．9 D．7 【例2】（25-26七年级下·湖南娄底·期中）关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 1．（25-26七年级下·江苏镇江·月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）已知关于的方程的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)若关于的不等式组的解集为，求所有符合条件的整数的和． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 【拓展训练二 解特殊不等式组】 【例1】（2025·山东日照·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知的解集为，则的解集为________． 1．（2025七年级下·江苏·专题练习）定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的蕴含不等式． (1)在不等式中，是的蕴含不等式的是 　　； (2)若是的蕴含不等式，求的取值范围； (3)若是的蕴含不等式，是的蕴含不等式，求n的取值范围． 2．（24-25七年级上·重庆·月考）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【拓展训练三 一元一次不等式组的新定义计算】 【例1】（24-25七年级下·河南商丘·期末）对定义新运算：规定，若关于正数的不等式组恰有2个整数解，则的取值范围是（    ） A． B．8 C．8 D．8 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是_____． 1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)填空：______； (2)若则的取值范围为______； (3)已知，求的取值范围． 2．（24-25七年级下·山东滨州·期末）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作，即：当x为非负整数时，如果，则；反之，当n为非负整数时，如果，则，如，，，， 试解决下列问题 (1)填空：①___________， ②如果，则实数x的取值范围为___________； (2)求满足的所有非负实数x的值； (3)若关于x的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围． 3．（24-25七年级下·四川乐山·期末）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②中，关于的不等式组的“关联方程”是__________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 【拓展训练四 一元一次不等式组有解问题】 【例1】（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是； ④若不等式组有解，则． 其中正确的结论个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是___________． 1．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）已知关于的不等式组． (1)若该不等式组有解，求的取值范围； (2)若该不等式组有且恰有四个整数解，求的取值范围． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）小明､小华､小刚三人在一起讨论一个一元一次不等式组． 小明：它的所有解为非负数； 小华：其中一个不等式的解集为； 小刚：其中有一个不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向． 请你试着写出符合上述条件的不等式组，并解这个不等式组． 3．（24-25七年级下·福建莆田·期中）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是 ； A．    B．    C． D． (2)若关于的不等式被“容纳”，求的取值范围； (3)若能被关于的不等式“容纳”，求的取值范围． A基础训练 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 3．（24-25七年级下·江苏常州·开学考试）若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）定义一种新的运算＆，规定，若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 B 提高训练 6．（25-26七年级下·上海闵行·月考）不等式组的整数解为___________． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）不等式组无解，则a的取值范围是_______； 不等式组无解，则a的取值范围是_______； 不等式组无解，则a的取值范围是_______． 8．（24-25七年级下·山东日照·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和为，且为整数，则的值是_____． 9．（2025七年级下·江苏南京·模拟预测）已知关于y的不等式组 有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数m的值分别为_______． 10．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知关于、的方程组的解满足，则（）a的取值范围是__________；（）如果，且，那么的最大值为__________． C 培优训练 11．（2026·江苏常州·模拟预测）解不等式组：． 12．（2026·重庆·一模）求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式得______， 解不等式得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 13．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”. (1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； (2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； (3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围. 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若一个不等式组有解且解集为；则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于x的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为_________； ②不等式组对于不等式组_________（填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． 15．（24-25七年级下·湖南永州·期中）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”、例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式_____的“梦想解”．（填序号） (2)若关于的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程组和不等式的“梦想解”均为正数（即“梦想解”中的均为正数），请直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次不等式组重难点题型专训 （4个知识点+6大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 一元一次不等式组的定义 题型二 求不等式组的解集 题型三 求一元一次不等式组的整数解 题型四 由一元一次不等式组的解集求参数 题型五 由不等式组解集的情况求参数 题型六 不等式组和方程组结合的问题 拓展训练一 已知解集，求参数范围 拓展训练二 解特殊不等式组 拓展训练三 一元一次不等式组的新定义计算 拓展训练四 一元一次不等式组有解问题 知识点一：什么是一元一次不等式组 由同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。 例： 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏扬州·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的定义，准确判断是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，判断即可得到结果． 【详解】解：A、，是一元一次不等式组，故不符合题意； B、，是一元一次不等式组，故不符合题意； C、，是一元一次不等式组，故不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·甘肃庆阳·月考）下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 知识点二：一元一次不等式组的解法 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 【即时训练】 1．（2026·河南周口·一模）关于x的不等式组的解集表示正确的是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再取两个解集的公共部分即可得到答案； 【详解】解：解不等式①得， ， 解不等式②得， ， 两个不等式解集的公共部分为：， 故不等式组的解集是． 2．（25-26七年级下·北京·期中）不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组解集的确定规则“同大取大”，即可确定该不等式组的解集. 【详解】解：， 根据“同大取大”的规则，可得该不等式组的解集为． 知识点三：一元一次不等式(组）之含参问题 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如果关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，先解出不等式组，再根据不等式组的已知解集，确定原不等式的 解集，从而得到取值范围． 【详解】解： 不等式组的解集为 故选：C． 2．（2025·河南南阳·一模）不等式组的解集是，请写出一个符合条件的的值_________． 【答案】3 （答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式组以及不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式组的解集． 根据不等式组的解集即可求出答案． 【详解】解：不等式组， 由①得：， ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：3 （答案不唯一）． 知识点四：一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解法及解集表示： 不等式组（a＞b) 解集 在数轴上表示 口诀 x＞a 同大取大 x＜b 同小取小 b＜x＜a 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不小 【即时训练】 1．（2025·辽宁丹东·二模）不等式组的整数解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的整数即可得到答案． 【详解】解：解第一个不等式， 移项得， 两边同除以得， 解第二个不等式， 移项得， 两边同乘，改变不等号方向得， 原不等式组的解集为 该不等式组的整数解为． 2．（25-26七年级上·新疆和田·月考）已知是整数，并且，写出可能取的所有数_______． 【答案】 【分析】该题考查了不等式的整数解，根据求解即可． 【详解】解：∵，x是整数， ∴x为，0，1． 故答案为：． 【经典例题一 一元一次不等式组的定义】 【例1】（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（2025·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 1．（25-26七年级下·江苏扬州·课后作业）下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义，需由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成，逐一判断各选项． 【详解】解：A、包含等式，不是全由不等式组成，不符合题意； B、包含不等式，其中未知数的次数为，不是一元一次不等式，不符合题意； C、含有和两个未知数，不是一元，不符合题意； D、两个不等式都只含一个未知数，且未知数的次数为，都是一元一次不等式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，解题关键是抓住“一元”（一个未知数）和“一次”（未知数次数为）两个核心特征，同时确保组内全是不等式． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）我们把两个（或两个以上）的_____，就组成了一个一元一次不等式组． 【答案】一元一次不等式合在一起 【分析】本题考查了一元一次不等式组的概念，直接根据一元一次不等式组的定义解答． 【详解】解：把两个（或两个以上）的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 故空中填：一元一次不等式合在一起． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·课后作业）下列不等式组： （1） （2） （3） （4） 其中__________是一元一次不等式组．（用序号表示） 【答案】（1）（4） 【分析】根据不等式组的定义进行判断即可．把两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．掌握不等式组的定义是解题的关键． 【详解】（1）（4）符合一元一次不等式组的定义，故是一元一次不等式组； （2）中不等式组含有两个未知数，所以它不是一元一次不等式组； （3）中第一个不等式的分母中含有未知数，故它不是一元一次不等式． 【经典例题二 求不等式组的解集】 【例1】（2026·山西晋中·二模）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则，先分别解两个不等式，用含的式子表示第二个不等式的解集，再结合已知解集求解的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①，移项得，系数化为得． 解不等式②，移项得，系数化为得． 不等式组的解集为， 根据同大取大的原则，可得， 解得． 1．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图，是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序运行两次就停止，即可得出关于的一元一次不等式组，然后求出的取值范围即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：依题意，得：， 解得：， 故选：． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）不等式组的解为，，则不等式组的解是__________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，有理数的大小比较，比较的大小是解题的关键．由第一个不等式组的解集为 且 ，可推断出 ，进而求解第二个不等式组． 【详解】解：不等式组 的解集为 ，且 ， ， 不等式组的解是． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·广西贵港·期中）定义：若一个不等式组有解且解集是，则称为的“绝对距离”．若的绝对距离是不等式组的一个解，则称对于 “绝对包含”．例如：已知不等式组和．解集：，其绝对距离为；的解集：，因为，所以是的解，对于绝对包含． (1)已知关于的不等式组， ①这个不等式组的解集是______． ②这个不等式组的绝对距离是______． ③结合不等式组，判断：不等式组______（填“是”或“不是”）对绝对包含； (2)已知关于的不等式组，不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组，若存在整数，使得不等式组对于不等式组绝对包含，求满足条件的所有整数的和． 【答案】(1)①；②；③是 (2) (3) 【分析】（1）根据不等式组的解法及“绝对包含”的意义求解即可； （2）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围； （3）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和． 【详解】（1）解：①解不等式组， 不等式的解集为：， 不等式的解集为：， ∴这个不等式组的解集是； ②， 这个不等式组的绝对距离是； ③∵不等式组的解集为，且，即是不等式组的解， ∴不等式组是对绝对包含； （2）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∴的取值范围为； （3）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∵为整数， ∴整数的取值为，，，， ∴满足条件的所有整数的和为：． 【经典例题三 求一元一次不等式组的整数解】 【例1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，列出关于m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍，首先确定不等式组的解集，再根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围． 【详解】解：由，得， ， 原不等式的解集为， 不等式组的整数解共有4个， 其整数解应为：1、2、3、4， m的取值范围是， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·江苏·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是22，则m的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为22，可以确定不等式组的整数解，再确定m的取值范围即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， ∴， ∵所有整数解的和是22，即或， ∴不等式组的整数解为：7，6，5，4或7，6，5，4，3，2，1，0，，，， ∴或； 故答案为：或． 1．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如果关于x的不等式组的整数解仅有，那么适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的根据是求出a、b的值，求出不等式组的解集，根据已知求出，求出，，，即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的整数解仅有， 则，， 解得：，， 则当时，、10、11； 当时，、10、11； 所以适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对共有6个， 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）若关于的不等式组的解集中仅有2个整数解，则的整数解之和为__________． 【答案】14 【分析】本题考查了一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题关键． 先解不等式组，求出解集，再根据“仅有2个整数解”，得m的不等式组，求出m的范围，取其中整数，求和即得． 【详解】解： ， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴， ∵不等式组的解集中仅有2个整数解， ∴， ∴， 解得， ∵取整数， ∴， ∴的整数解之和为． 故答案为：14． 3．（25-26七年级下·江苏常州·期中）已知关于的不等式组． (1)当时，求这个不等式组的解集，写出所有正整数解； (2)如果不等式组只有3个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)；正整数解为1 (2) 【分析】（1）先把代入原不等式组，再分别解出每个不等式，最后求出不等式组的解集，即可得出正整数解为1； （2）分别解出每个不等式，求出不等式组的解集，为，再根据该不等式组只有3个整数解，可确定其整数解为1，0，，从而得到关于的不等式，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，则不等式组为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为 即正整数解为1． （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 该不等式组只有3个整数解， 该不等式组的3个整数解为，0，1， ， 解得． 【经典例题四 由一元一次不等式组的解集求参数】 【例1】（21-22七年级下·江苏宿迁·期末）已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，先解出第二个不等式的解集，再根据“同小取小”的解集法则确定参数m的取值范围即可． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 不等式组的解集是 ． 【例2】（2026·河南南阳·一模）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查由一元一次不等式组的解集情况求参数，根据不等式组无解的条件，推导得到的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式组无解， ∴两个不等式没有公共解集， 可得， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·北京·期中）两个关于x、y的二元一次方程为：方程①和方程②，其中方程①的部分解如下表所示．将方程①中的y值记为，方程②中的y值记为，若当时，对于x的每一个值，都有，则m的取值范围是（    ） x … 0 1 2 … y … 0 1 2 3 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据表格给出的解确定方程①的表达式，整理得到和，再根据时恒成立的条件，推导得到的取值范围即可． 【详解】解：将分别代入方程①，得 ，即， ∴方程①可化为方程①， ∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴， 即方程①为， ∴， 整理方程②，得 ， 根据题意，当时，恒成立，代入得： ∴ ． ， ， 即， ∵所有满足的都小于， ∴要使大于所有的，可得． 2．（25-26七年级下·北京房山·期中）定义一种新运算“★”．规定．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，再分别解两个一元一次不等式，最后根据已知解集，结合一元一次不等式组解集的确定方法确定a的取值范围． 【详解】解：根据新定义，关于x的不等式组可化为： ， 解不等式①可得：， 解不等式②移项可得：， 因为该不等式组的解集为， 根据同大取大的解集确定法则，可得， 解得：． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知关于的不等式组， (1)若该不等式组的解集为，求的值； (2)若该不等式组恰有一个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）先用m表示出不等式组的解集，再根据不等式组的解集为，即可得出关于m的等式，据此进行计算即可． （2）根据题意，得出关于m的不等式，求解即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为， ， 解得：， 的值为9． （2）若该不等式组恰有一个整数解， ， 解得：， 的取值范围为． 【经典例题五 由不等式组解集的情况求参数】 【例1】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“同小取小”的法则，列不等式求解即可． 【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为， ∴ ， 解得． 【例2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）定义：表示不大于的最大整数，如．我们把满足（为常数）的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为的的核心范围为． （1）若，则的核心范围是___________． （2）若关于的不等式组有且只有五个整数解，写出的取值范围___________． 【答案】 【分析】（1）根据新定义以及核心范围的定义，即可求出结论； （2）由，可求出，结合原不等式组只有五个整数解，即可找出的取值范围． 【详解】（1）解：表示不大于的最大整数，， ； （2）解：由，得， 有且只有五个整数解， 的五个整数解为：， ． 1．（25-26七年级下·四川内江·期中）若关于、的方程组中未知数、满足，且关于的不等式组恰好有三个整数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C．11 D．9 【答案】B 【分析】首先解方程组得到，然后根据求出；然后解不等式组得到，然后根据不等式组恰好有三个整数解，进而求解即可． 【详解】解： 得，， ∵ ∴ ∴； 解不等式组得， ∵关于的不等式组恰好有三个整数解， ∴三个整数解为，0，1， ∴， ∴， ∴ ∴整数，， ∴． ∴符合条件的所有整数的和是． 2．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组有解确定的取值范围，再解关于的一元一次方程，根据方程有非负整数解找出符合条件的整数，最后计算所有符合条件的整数的和． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：， 化简方程得， ∵， ∴， ∴方程的解为， ∵方程有非负整数解，且不满足方程， ∴为正整数，即为负整数，且是的因数， ∵， ∴， ∴的可能取值为， ∴对应整数为． ∴符合条件的所有整数的和为． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若一个不等式（组）A有解且解集为（），则称为A的“界中值”，若A的界中值是不等式（组）B的解（即界中值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A“界中包含”． (1)已知关于x的不等式组①：，②，③以及不等式M：，则不等式M对于不等式组①___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组②___________（是/不是）“界中包含”；不等式M对于不等式组③___________（是/不是）“界中包含”． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C“界中包含”，求m的取值范围． (3)关于x的不等式组E：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E“界中包含”，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 【答案】(1)是，是，不是； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了两数的界中值、解一元一次不等式组、不等式的解，解题的关键是学会解一元一次不等式（组）． （1）先求不等式组的解集，然后求得的界中值，最后判断； （2）先求不等式组的解集和不等式组的解集，然后求得的界中值，最后根据定义求得的取值范围； （3）先求不等式组和的解集，再求得界中值，然后根据定义得到和不等式，最后通过的条件求出的取值范围． 【详解】（1）解：（1）由题意，①解不等式组得， “界中值”为，故不等式对于不等式组①是“界中包含”． ②解不等式组得． “界中值”为，故不等式对于不等式组②是“界中包含”． ③解不等式组得． “界中值”为，故不等式对于不等式组③不是“界中包含”． 故答案为：是，是，不是． （2）解：∵“D对于不等式组‘界中包含’ ”， 不等式组和不等式组有解， 解不等式组：得． 解不等式组：得， ， 解得， 当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为， 的界中值为， 对于不等式组“界中包含”， ， ∴， 又， ． （3）解：解不等式组：得，，解不等式组：得，， 的界中值为， 不等式组对于不等式组“界中包含”， ， 解得：． 所有符合要求的整数m之和为14， 整数可取、、、，或整数可取、、、、、、， 或． 【经典例题六 不等式组和方程组结合的问题】 【例1】（2026·安徽蚌埠·二模）已知实数满足，，则下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用已知等式用表示，代入不等式求出的范围，再依次推导各选项中代数式的范围，找出错误判断． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴，因此选项A判断正确． ∴ ， ∴， ∴，因此选项B判断正确． ∵ ， 由得 ， ∴ ，因此选项C判断正确． ∵， 由 得 ， 即 ，不符合选项D给出的范围，因此选项D判断错误． 【例2】（24-25七年级下·重庆万州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到，再根据方程组的解为正数，得到，据此求出，则满足条件的所有整数a有4、5、6，据此求和即可． 【详解】解： 得：， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解为正数， ∴， 解得， ∴满足条件的所有整数a有4、5、6， ∴满足条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解；           ②当时，； ③；                                              ④若，则． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法，正确解出方程组是解题的关键，注意方程与不等式的综合运用．用加减法解出方程组，根据x为正数，y为非负数，得出，求出，然后对各个选项进行判断即可． 【详解】解：， 得，， 得，， ∵x为正数，y为非负数， ∴， 解得：，故③不正确； ②当时，， 解得：，故②正确； ③时，方程组的解为：， 把，代入方程成立，故①正确； ④时，， 解得：， 又∵， ∴， ∴此时， 即，故④不正确； 综上分析可知：正确的有①②． 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为________． （2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是得出关于k的不等式． （1）将方程组中的两个方程相加，即可得到用含k的代数式表示出，然后根据，即可求得k的取值范围 (2)先用含k的式子表示出方程组的解，再根据x，y均为正整数，且，即可得到该方程组的解． 【详解】解：（1） ①+②，得 ， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由解得 ， ∵均为正整数，且， ∴当时，； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不符合题意，都舍去， 由上可得，该方程组的解为． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【详解】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 【拓展训练一 已知解集，求参数范围】 【例1】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的整数的值之和为（   ） A．6 B．8 C．9 D．7 【答案】C 【分析】先求得不等式组的解集为，根据题意得到，据此求解即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且只有3个整数解，即、0、1， ∴，解得， ∵是整数， ∴的取值为、0、1、2、3、4． ∴满足条件的整数的值之和为． 【例2】（25-26七年级下·湖南娄底·期中）关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 【答案】或 【分析】先解不等式组，得到解集为，根据题意，解集中任意均不在范围内，则有或，求解得到的取值范围． 【详解】解：解不等式组得， ∵解集中任意的值均不在范围内， ∴或， 解得或， 因此，的取值范围是或． 1．（25-26七年级下·江苏镇江·月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1)实数的取值范围为 (2)整数的值为 【分析】（1）将方程组的两个方程相加，可得，结合，可列出关于m的不等式，求解即可； （2）根据不等式的解集为得到，再结合（1）可求出m的取值范围，找出整数m即可解答． 【详解】（1）解： ，得， ∴． ， ， ∴． （2）解：不等式可变形为． ∵的解集为， ， ， 由（1）有， ∴ ∴整数的值为． 2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）已知关于的方程的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)若关于的不等式组的解集为，求所有符合条件的整数的和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式（组），不等式组的整数解，熟记解一元一次不等式（组），不等式组的整数解的法则是解题关键． （1）先求出方程的解，根据解是非负数，列出不等式求解； （2）先求出不等式组中各个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于待定字母的不等式求解，再求出所有符合条件的整数，并求出它们的和即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵关于的方程的解是非负数， ∴，解得：； （2）， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 解得：， 由（1）可知：， ∴所有符合条件的整数为1、0、、、、、，所以它们的和为． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是读懂材料中的例子，并掌握不等式的性质． （1）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （2）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （3）仿照例子得到，由不等式的性质求出的取值范围，根据题意可得，结合不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （2）由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （3）由可得， ， ， 解得：， ， 的取值范围是， ， ， 即， ． 【拓展训练二 解特殊不等式组】 【例1】（2025·山东日照·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：解：，由①得，x≤﹣1，由②得，x＞﹣5，故﹣5＜x≤﹣1． 在数轴上表示为： ． 故选A． 考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式组． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知的解集为，则的解集为________． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，利用换元法，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴则的解集为， ∴； 故答案为：． 1．（2025七年级下·江苏·专题练习）定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的蕴含不等式． (1)在不等式中，是的蕴含不等式的是 　　； (2)若是的蕴含不等式，求的取值范围； (3)若是的蕴含不等式，是的蕴含不等式，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据蕴含不等式的定义即可求解； （2）先解不等式可得，再根据蕴含不等式的定义解不等式即可求解； （3）根据蕴含不等式的定义可得，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：在不等式中，是的蕴含不等式的是． 故答案为：； （2）解：解不等式， 可得， 则， 解得． 故的取值范围是； （3）解：依题意有：， 解得． 故的取值范围是． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的技能和蕴含不等式的定义是解题的关键． 2．（24-25七年级上·重庆·月考）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或者 (2) (3)或者 【分析】本题考查了绝对值及不等式的知识． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求出的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或 ∴方程的解为或， 故答案为：或； （2）解：∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点的对应的数为或8 ∴方程的解为或 ∴的解集为． （3）解：由绝对值的几何意义可知，方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值． ∵在数轴上4和对应的点的距离是6 ∴满足方程的x的点在4的右边或的左边 若x对应的点在4的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得 ∴方程的解为或 ∴的解集为或者． 【拓展训练三 一元一次不等式组的新定义计算】 【例1】（24-25七年级下·河南商丘·期末）对定义新运算：规定，若关于正数的不等式组恰有2个整数解，则的取值范围是（    ） A． B．8 C．8 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解的含义求解字母的取值范围，根据新定义运算H的规则，将不等式组转化为关于x的一元一次不等式组，结合x为正数的条件，确定解集范围．通过分析整数解的个数，确定参数a的取值范围． 【详解】解：当时，，解得． 当时，，解得（舍去，因x为正数）． 综上，第一个不等式的解集为． ∵， ∴， ∴，解得． ∴不等式组的解集为． 要求整数解恰好为2个，则的整数解应为6和7． ∴需满足，即的取值范围为． 故选：B 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． 根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中有3个整数解， ， 解得：， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)填空：______； (2)若则的取值范围为______； (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】（1）根据公式直接解答； （2）结合公式可得，求解即可； （3）分两种情况：①，②，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵当时， ∴， 故答案为：1； （2）∵， ∴ ∴ 故答案为：； （3）由题意可知分两种情况讨论： ①，解得； ②，解得 综上，x的取值范围为或． 【点睛】此题考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是解题的关键，尤其需要注意不等式两边乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 2．（24-25七年级下·山东滨州·期末）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记作，即：当x为非负整数时，如果，则；反之，当n为非负整数时，如果，则，如，，，， 试解决下列问题 (1)填空：①___________， ②如果，则实数x的取值范围为___________； (2)求满足的所有非负实数x的值； (3)若关于x的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围． 【答案】(1)①，② (2)， (3) 【分析】此题考查的是新定义类问题和解不等式组，理解新定义和掌握不等式组的解法是解决此题的关键． （1）①根据新定义，即可求出；②根据新定义，即可求出实数的取值范围． （2）根据新定义，设，k为整数，则，求出k的取值范围，即可求出k的整数值，从而求出x的值． （3）解不等式组得，根据不等式的整数解即可求出的值，从而求出a的取值范围． 【详解】（1）解：①由题意可得． 故答案为：3． ②， ， ． 故答案为：． （2）解：，且为整数， ∴设，k为整数，则， ∴， ，， ， ，1， ，． （3）解：， 解不等式组得， 由不等式组的整数解恰有3个，得， ∵为非负整数， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·四川乐山·期末）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②中，关于的不等式组的“关联方程”是__________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 【答案】(1)① (2) 【分析】（1）求得方程的解，不等式的解集，根据定义判定即可． （2）先求得不等式组的解集，求得方程的解，建立新的不等式组解答即可． 本题考查了新定义问题，解方程，解不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：方程①的解为；②解方程得，关解不等式组得，在解集范围内，不在范围内， 故是不等式组的“关联方程”， 故答案为：①． （2）解：方程的解为， 由得到不等式组的解集为， 由方程是不等式组的“关联方程”， 故， 解得． 【拓展训练四 一元一次不等式组有解问题】 【例1】（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是； ④若不等式组有解，则． 其中正确的结论个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据不等式组的解求参数等．根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【详解】解：∵， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 若它的解集是，即，解得：， ∴①正确， ∵当，，即不等式组无解， ∴②错误， 若它的整数解仅有3个，即， ∴a的取值范围是， ∴③错误， 若不等式组有解，即，则， ∴④错误， 则正确的结论只有1个． 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】解不等式组得到不等式组的解集，再根据不等式组有解列出关于的不等式式子求解即可． 【详解】解：由解得：， 由解得：， ∵关于x的不等式组有解， ∴， ∴． 1．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）已知关于的不等式组． (1)若该不等式组有解，求的取值范围； (2)若该不等式组有且恰有四个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数，正确的求出不等式式组的解集，是解题的关键： （1）先求出每一个不等式组的解集，根据不等式组有解，得到，进行求解即可； （2）由（1）得到不等式组的整数解为：，得到，进行求解即可． 【详解】（1） 解：解不等式①，得：． 解不等式②，得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：． （2）由（1）知：，， ∵该不等式组有且恰有四个整数解，故整数解为：， ∴， 解得：． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）小明､小华､小刚三人在一起讨论一个一元一次不等式组． 小明：它的所有解为非负数； 小华：其中一个不等式的解集为； 小刚：其中有一个不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向． 请你试着写出符合上述条件的不等式组，并解这个不等式组． 【答案】其解集为，（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的定义及不等式的基本性质．由于一元一次不等式组的解集为非负数，所以其中一个不等式的解集必为，由于一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，所以其中一个不等式中的系数为负数，根据这两个条件写出符合条件的一元一次不等式组即可． 【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为非负数， ∴其中一个不等式的解集必为， ∵一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向， ∴其中一个不等式中的系数为负数， ∴符合条件的一元一次不等式组可以为：（答案不唯一）． 解不等式①，得：， 结合不等式②的解集知． 3．（24-25七年级下·福建莆田·期中）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是 ； A．    B．    C． D． (2)若关于的不等式被“容纳”，求的取值范围； (3)若能被关于的不等式“容纳”，求的取值范围． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查不等式参数解问题及解不等式，解题的关键是注意参数不等式的分类讨论． （1）分别解出不等式比较即可得到答案； （2）解出不等式列不等式即可得到答案； （3）解出不等式根据能被关于的不等式 “容纳”列式即可得到答案． 【详解】（1）解：不等式A的解集为：， A不符合题意； 不等式B的解集为：， ∴B不符合题意； 不等式C的解集为：， ∴C符合题意； 不等式组D的解集为：无解， ∴D不符合题意； 综上，能被不等式“容纳”的是：C． 故答案为：C； （2）解不等式得， 不等式被 “容纳”， ， ； （3）能被关于的不等式 “容纳”， ，不等式的解集为， ， 的取值范围为 A基础训练 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解不等式组，不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 首先由得到，然后由得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再根据数轴上表示的不等式组的解集确定的值即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 由数轴可知，不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏常州·开学考试）若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围．解出关于x的方程，根据解为非负数的条件，求出a的取值范围，解出关于y的一元一次不等式组，根据至少有3个整数解的条件，求出a的取值范围，找出所有符合条件的整数a的和． 【详解】解：由，可得． 关于的方程的解为非负数， ，解得． 解不等式组， 解得：． 一元一次不等式组至少有3个整数解， ． 综上可得． 可取的整数为：． 所有符合条件的整数的和为． 故选∶ D． 4．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）定义一种新的运算＆，规定，若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查已知不等式组的解集求参数，根据新定义运算，将不等式转化为绝对值形式，再结合解集整数解的个数确定参数范围． 【详解】解：规定， 当 时，，解得 ； 当 时，，解得 ，与 矛盾，无解； 综上，第一个不等式的解集为 ， 由于 ，，故 ， 不等式变为 ，即 ， 解集为 ， 要求恰好有4个整数解，即 ， 因此， 需满足 ，解得 ， 故选B． 5．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． B 提高训练 6．（25-26七年级下·上海闵行·月考）不等式组的整数解为___________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集找出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的整数解为： 7．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）不等式组无解，则a的取值范围是_______； 不等式组无解，则a的取值范围是_______； 不等式组无解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据解集的情况列出关于a的不等式是解题的关键． 根据已知不等式组解的情况列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴，解得：； ∵不等式组无解， ∴，解得：； ∵不等式组无解， ∴，解得：． 故答案为：，，． 8．（24-25七年级下·山东日照·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和为，且为整数，则的值是_____． 【答案】0或3/3或0 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，先解不等式，再根据不等式组解的情况得到m的取值范围，进而根据m为整数可得结论． 【详解】解：解不等式组，得， ∵该不等式组的所有整数解的和为， ∴该不等式组的整数解为和或、、、0、1， ∴或， ∴或， ∵为整数， ∴的值是0或3， 故答案为：0或3． 9．（2025七年级下·江苏南京·模拟预测）已知关于y的不等式组 有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数m的值分别为_______． 【答案】，，，1，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组的解集为，再根据这个不等式组有且仅有2个整数解可得，求出的取值范围，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵这个不等式组有且仅有2个整数解， ∴， 解得， ∴所有满足条件的整数的值分别为，，，1，2， 故答案为：，，，1，2． 10．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知关于、的方程组的解满足，则（）a的取值范围是__________；（）如果，且，那么的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、解一元一次不等式，解决本题的关键是根据的取值范围求出的取值范围，再根据的取值范围求出的最大值． 解方程组，把方程组的解用含的代数式表示出来，可得：，再根据可得：，从而可得：； 根据可得：，从而可得：，再根据的取值范围求出的取值范围，从而可得的最大值． 【详解】解：， 得：， 得：， 系数化为得：， 把代入方程得：， 解得：， ， ， ， 解得：， 故答案为：； 解：， ， ， 又， ， ， ， 的最大值是， 故答案为：． C 培优训练 11．（2026·江苏常州·模拟预测）解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①： 解不等式②： 去分母， ， 移项， ， 原不等式组的解为 ． 12．（2026·重庆·一模）求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式得______， 解不等式得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 【答案】 ；；；， 【分析】分别求解两个不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 解不等式， 两边同乘去分母得， 化简得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 所以，原不等式组的解集为， 所以，原不等式组的整数解为，． 13．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”. (1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； (2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； (3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围. 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，正确理解“完美解”的含义，是解答本题的关键． （1）根据“完美解”的定义代入计算即可判断； （2）将上述两个方程相加可得：，再根据“完美解”得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）根据题意可得，即可得，，问题随之得解． 【详解】（1）解：由，得：， ①，则方程的解不是不等式①的“完美解”； ②，则方程的解是不等式②的“完美解”； （2）解：， 将上述两个方程相加可得：， 即有， ∵是方程组与不等式的一组“完美解”， ∴， 解得：， （3）解：根据题意有：， 解得：，， ∴， 即的取值范围为：． 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若一个不等式组有解且解集为；则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于x的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为_________； ②不等式组对于不等式组_________（填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． 【答案】(1)5；是 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． （1）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解； （2）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：① 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 不等式组的解集中点值为， 故答案为：5． ②不等式组：，不等式组的解集中点值为5， 不等式组对于不等式组中点包含， 故答案为：是． （2）解：不等式组：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 不等式组的解集中点值为； 不等式组：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 不等式组对于不等式组中点包含， ， ． 15．（24-25七年级下·湖南永州·期中）我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”、例如：已知方程与不等式，当时，与同时成立，则称是方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是它与不等式_____的“梦想解”．（填序号） (2)若关于的二元一次方程组和不等式有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程组和不等式的“梦想解”均为正数（即“梦想解”中的均为正数），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)③ (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于的不等式组，最后解不等式组即可． （3）先求出方程组的解集，代入不等式，根据“梦想解”的定义，即可得出． 【详解】（1）解方程，得：， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”； （2）解方程组 得： ∴ ∵方程组的解是不等式组的梦想解 ∴ ∴ 为整数， ∴为14或15； （3）解方程组 得： 均为正数， 解得： 将代入 解得： 综上的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $