专题02 解二元一次方程组重难点题型专训（2个知识点+5大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

本讲义聚焦解二元一次方程组核心知识点，系统梳理代入消元法、加减消元法及三元一次方程组的概念与解法，以消元思想为纽带构建“二元→一元→三元”的学习支架，衔接前后知识逻辑。 资料通过“2知识点+8题型+3拓展”分层设计，含错解复原、构造方程组等题型，培养运算能力与推理意识，经典例题结合即时训练，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

专题02解二元一次方程组重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 题型五 构造二元一次方程组求解 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型七 方程组相同解问题 题型八 三元一次方程组的定义及解 拓展训练一 不解方程组，整体求代数式值 拓展训练二 看错系数、错解复原经典压轴 拓展训练三 新定义二元一次方程组压轴 知识点一：二元一次方程组的解法 1. 消元思想 ​ 核心思路：化二元为一元，逐一求解 2.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 3.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·北京延庆·期中）解方程组： 【答案】 【分析】用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 将代入得， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·河南开封·期中）解二元一次方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：， 得， 解得， 把代入得， ∴， 解得， ∴方程组的解为． 知识点二：三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代入消元法，逐步消元求解三元一次方程组即可． 【详解】解：， 将①代入②，得 解得， 将①和代入③，得 解得， 将代入①，得， 原方程组的解为． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）请写出一个以为解的三元一次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三元一次方程的定义及方程解得概念，解题关键是熟练掌握三元一次方程的定义． 将、、的值代入能使等式成立即可． 【详解】解：可以根据、、的值进行运算构造方程，比如， 把，，代入：， ∴得到三元一次方程． 故答案为：（答案不唯一）． 【经典例题一 代入消元法】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（   ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 【答案】B 【分析】当方程组中有一个方程直接给出一个未知数用另一个未知数表示的形式时，适合用代入消元法；当同一未知数的系数相同或互为相反数，或易化为相同/相反数时，适合用加减消元法，据此解答即可． 【详解】解：观察四个方程组： ∵①中已用直接表示，③中已用直接表示， ∴①③适合选用代入法； ∵②中同一未知数的系数可快速化为相同或相反数，④中的系数相等，可直接减法消元， ∴②④适合选用加减法． 【例2】（25-26七年级下·河南周口·月考）由可得用表示，得 ________． 【答案】 【详解】解：， 移项得：， 化系数为1得：． 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）已知关于x，y的二元一次方程，其取值如下表，则p的值为（    ） x m y n t 5 p A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】将表格中的数据带入方程列出关系式，计算即可求出p的值．． 【详解】根据题意得， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查了代入法解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组准确代入计算是解题关键． 2．（2025七年级下·浙江·模拟预测）如下表，是小明同学探究关于的代数式（其中，为常数）的值变化规律的情况，则的值是________． 【答案】 【分析】根据表格数据分别得到和时的代数式值，先求出与的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 解得：， ∴， 即的值是． 3．（25-26八年级上·全国·期末）（1）解方程组：； （2）小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数和，求这两个数． 【答案】 （1） （2）， 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握好代入消元法和加减消元法是解题关键． （1）使用加减消元法解方程组即可； （2）将代入方程组求出的值，进而求出被遮盖的部分． 【详解】解：（1）， 将，得， ， 解得，， 将代入②，得， ， 解得，， ∴方程组的解为； （2）， 将代入①，得， ， 解得，， ∴， 将，代入②，得， ， ∴， ∴，． 【经典例题二 加减消元法】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（   ） A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将 【答案】D 【分析】根据加减消元法的规则，使目标未知数的系数和为0即可消去该未知数，据此判断各选项即可. 【详解】解：对于方程组 若消去： ∵的系数分别为和，要使的系数和为，需要， ∴选项A、C错误； 若消去： ∵的系数分别为和，要使的系数和为，将，可得： ，的系数和为，被消去， ∴选项B错误，选项D正确. 【例2】（25-26七年级下·全国·单元测试）解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路：________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 根据加减消元法解二元一次方程组，观察方程①和②中的系数，分别为和，其最小公倍数为，因此将①乘以、②乘以，可使的系数互为相反数，相加后即可消去未知数． 【详解】解：得：； 得：； 将两式相加：， 简化得 ，从而消去未知数． 故答案为：（答案不唯一）． 1．（24-25七年级下·河南南阳·月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．消y，将 B．消x，将 C．消y，将 D．消x，将 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用消元的思想，观察方程组中x和y得系数特点，利用加减消元法判断即可． 【详解】解：由已知可得，消元的方法有两种，分别为： 消x，将； 消y，将， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程组，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握消元法解方程组是解题的关键．利用加减消元法解方程组，求出的值，再代入计算即可． 【详解】解： 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解为， ∴． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·山东泰安·月考）按要求解方程组： (1)（代入消元） (2)； (3)；（加减消元） (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据代入消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可； （3）整理后根据加减消元法求解即可； （4）整理后根据加减消元法求解即可； 【详解】（1）解：， 将①代入②得：，即，解得：， 将代入①得：， 故方程组的解为． （2）解：， 得：， 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 故方程组的解为． （3）解：， 整理得：， 得：③， ：④， 得：，解得：， 将代入②得：，解得：， 故方程组的解为． （4）解：， 整理得：， 得：③， 得：，解得：， 将代入②得：，解得：， 故方程组的解为． 【经典例题三 二元一次方程组的特殊解法】 【例1】（24-25七年级下·吉林长春·月考）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是观察题目特点，灵活运用换元法求解．两个方程组除未知数不同外其余都相同，所以可用换元法进行解答，即可获得答案． 【详解】解：对于方程组，可设，， 可得， 结合题意可知， 解得． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】将第二个方程组中的和分别作为一个整体，参照第一个方程组的解即可得到结果． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 所以，关于，的二元一次方程组的解为． 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二元一次方程组解的定义，通过对已知方程组变形，对比待解方程组的对应项即可求出解． 【详解】解：∵ 方程组的解是， ∴ 将代入方程组得    ， 将方程组两边同时除以，整理得，对比待解方程组， 可得． 2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）若方程组的解是，求方程组的解______，______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组．将第二个方程组变形为第一个方程组的形式，从而得到，求出的值即可得到答案． 【详解】解：将方程组的两个方程的两边同时除以4，得 ， 方程组的解是， ， 解得：， 方程组的解为． 故答案为：， 3．（24-25七年级下·河南周口·期中）阅读材料： 善于思考的小亮同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形为，即③， 把方程①代入③，得，解得； 把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请解决下列问题． (1)请模仿小亮同学用“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握“整体代换”法是解题的关键； （1）利用整体代换法进行求解即可； （2）把看成一个整体，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 将方程②变形为，即③． 把方程①代入③，得， 解得． 把代入方程①，得， 方程组的解为 （2）解：原方程组化为 ①②，得：， ． 【经典例题四 二元一次方程组的错解复原问题】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解同一个方程组时，甲同学由正确的解出，乙同学因看错了而解得，那么、、的正确的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】把甲的结果代入方程组第一个方程与第二个方程，将乙的结果代入第一个方程，求出与，的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 把代入方程组第二个方程得：， 解得：， 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）解方程组时，一学生把c看错而得到而正确的解是，那么_____． 【答案】 【分析】将错误的解和正确的解分别代入方程组，得出和，，联立关于的方程组，解得的值，即可得解. 【详解】解：将代入方程组，得①， 将代入方程组，得②， 联立，得 解得 ∴， 故答案为：. 【点睛】此题主要考查利用二元一次方程组的解求参数的值，掌握方程组的解的概念是关键. 1．（24-25七年级下·河南漯河·期末）在解方程组时，小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是．小亮把常数抄错了，得到的解是，则原方程组的正确解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过小明由于粗心把系数抄错了，得到，通过小亮把常数抄错了，得到，便可将原方程组复原，再求解即可． 【详解】对于方程组， 小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是 ∴ 解得 小亮把常数抄错了，得到的解是 ∴ 解得 ∴原方程组为，解得 故答案选：C． 【点睛】本题是二元一次方程组错解复原问题．通过错解复原原方程组是本题的关键． 2．（24-25七年级下·山东聊城·期中）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则_________，_________，_______． 【答案】 0.25/ 0.75/ 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．首先根据题意，可得：，据此求出c的值，然后根据乙同学因把c写错而得到，可得，所以，应用加减消元法，求出a、b的值即可． 【详解】解：∵解方程组时，甲同学正确解得， ∴， 解得， ∵乙同学因把c写错而得到， ∴， ∴， ，可得， 解得， 把代入②，可得：， 解得， ∴原方程组的解是， ∴． 故答案为：0.25，0.75，． 3．（24-25七年级下·四川宜宾·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为 (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把看成了，乙把看成了； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键． （1）甲看错了方程组中的，把代入①，②，乙看错了方程组中的，把代入①，②，从而求出、正确的值和错误的值； （2）把，代入原方程组，然后用加减消元法解出方程组的解． 【详解】（1）解：， 把代入①，②得， ， ， ． ； 把代入①、②得， ， ， ， ； 甲把看成了，乙把看成了； （2）把，代入原方程组， 原方程组为， 由②，得③， ，得， 把代入①，得， 原方程组的解：． 【经典例题五 构造二元一次方程组求解】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【答案】B 【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解． 本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键． 【详解】解：∵ 且 ， 又∵ ， ∴ ， 解得 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知，，，，中每一个数值只能取，，中的一个，且满足，，则，，，，中数值是的个数是________． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，根据题意列出关于、的二元一次方程组是解答此题的关键．先设有个取，个取，根据，，可得出关于、的二元一次方程组，求出、的值即可． 【详解】解：设有个取，个取， ，， ， 解得：， 的个数是（个）． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）若和都是方程的解，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】把和代入，建立方程组，再解方程组即可. 【详解】解：和都是方程的解， ， 解②得：， 把代入①得：， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，二元一次方程组的解法，掌握“利用方程的解建立新的二元一次方程”是解本题的关键. 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）无论实数m取何值，方程总有一个固定的解，则这个解为 ____________________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，原方程可变形为，根据该方程的解与m无关，可得，解方程组即可． 【详解】解：原方程可整理得：， ∵无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个固定的解， ∴， 解得：， ∴这个解为． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广东东莞·月考）在等式中，当时，；当时，． (1)求、的值； (2)求当时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组的解和解二元一次方程组，掌握消元的思想是解题的关键． （1）将x与y的两对值代入等式得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解，即可得k与b的值． （2）由（1）得该等式为，再将代入，即可解答． 【详解】（1）将时，； 时，分别代入得： 解得：， （2）由（1）得， 将代入得： ． 【经典例题六 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例1】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）已知方程组的解满足，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合已知，建立关于的方程求解． 【详解】解： 得： 又 解得 故选：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法及应用，熟练掌握通过方程相减构造出与已知条件相关的式子是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·四川成都·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解的和为10，则k的值等于___________． 【答案】24 【分析】本题考查了解二元一次方程组，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，能根据方程组特点，灵活选择解方程组的方法是解题的关键．将两式相加得，即得，再根据已知列方程求解即可． 【详解】解：， 得， ， 二元一次方程组的解的和为10， ， 解得． 故答案为：24． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程和方程中，求得，再将、代入，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论． 【详解】解：， 得：， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， ∴，解得，①结论正确； 当时，方程组为，方程为， 解得： 将代入中，得：， 方程组的解是方程的解，②结论正确； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ，④结论不正确； 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n二元一次方程组的解为____________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握换元思想成为解题的关键．设，，将原方程组变形为，对比的解为，可得，进而即可求解． 【详解】解：设，， 则变形为， 等式两边同乘，得：， 关于x，y的二元一次方程组的解为， ， ， ， 解得， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广东深圳·月考）阅读以下内容：已知满足①，且满足 ，求的值． 三位同学分别提出了自己的解题思路： 甲同学：先解关于的方程组，解得：（用含的代数式表示），再代入①中求的值； 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，②＋③得：？④，他发现④中等号的左边和①中等号的左边在整体上存在一个倍数关系，利用这个关系求的值； 丙同学：先联立方程①和③，解方程组，，再代入②中求的值． (1)以上三位同学的解题思路中，正确的有 个； (2)你最欣赏 （填写“甲”或“乙”或“丙”）的思路，根据你所选的思路解答此题． 【答案】(1) (2)最欣赏乙的思路. 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，掌握解二元一次方程组的方法，解一元一次方程的方法是解题的关键. （）根据以上三位同学的解题思路，解答即可； （）根据题意，选择乙同学的思路解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：甲同学：通过解方程组得到，的表达式，再代入方程①，可建立关于的方程，解方程可得出的值，正确； 乙同学：②③，整理后，再结合的整体关系，直接求出的值，正确； 丙同学：联立①和③得方程组，解方程组得出，，再代入方程,即可求出的值，正确， ∴三位同学的思路都正确，共个. 故答案为：； （2）最欣赏乙的思路. 故答案为：乙； ， ②③,得,即, 把代入方程①，得, 解得：． 【经典例题七 方程组相同解问题】 【例1】（24-25七年级下·山东烟台·期末）已知方程组和有相同的解，则，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，充分理解二元一次方程组的解是解题的关键．由题意解方程组，把求得的解代入方程组中，即可求得结果． 【详解】解：解方程组，得， 把代入中， 可得，解得． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·河南周口·月考）若关于的方程组的解为，则关于的方程组的解为________． 【答案】 【分析】本题考查换元法解方程组，设，将转化为，再由同解方程组直接得到，解二元一次方程组即可得到答案，熟练掌握同解方程组的定义及解二元一次方程组的方法是解决问题的关键． 【详解】解：设， ， 关于的方程组的解为， 的解为，解得， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2023 【答案】B 【分析】联立不含与的方程组成方程组，求出方程组的解得到与的值，进而求出与的值，即可求出所求． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 把，代入得：， 解得：， 则原式． 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 2．（24-25七年级下·浙江·期中）已知关于的方程组的解是 ，则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】根据条件及所求，由同解方程组的性质得到方程组求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程组的解是 ， ， 若令，则方程组的解为， 解方程组得， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解及同解方程组，利用整体思想是解决问题的关键． 3．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）计算： (1)解方程组： (2)解方程组： (3)如果关于x，y的方程组的解适合方程，求k的值． (4)关于x，y的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）用代入消元法直接求解二元一次方程即可； （2）方程组整理后，用加减消元法直接求解二元一次方程即可； （3）先解方程组，求得x，y的值，再代入求解即可； （4）由题意可知两个二元一次方程组的解相同，可以把不含参数的两个二元一次方程组在一起，把含有参数的两个二元一次方程组在一起，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 将代入得，， 解得， 将代入得，， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理得， 得， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴方程组的解为； （3）解：由题意得， 得， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为； 将代入得，， 解得； （4）解：由题意得， 得，即③， 得， 解得， 将代入得，， 解得， 将，代入得 解得， ∴． 【经典例题八 三元一次方程组的定义及解】 【例1】（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【答案】A 【分析】把z看作是常数，再解二元一次方程组可得，，再代入代数式求值即可． 【详解】解：， 得：， ∴， 把代入②得：， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，求解代数式的值，把其中一个未知数看作是常数，解方程组是解本题的关键． 【例2】（2025·浙江·模拟预测）实数满足．则__________． 【答案】 【分析】由得：，，由得：，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， 由得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，三元一次方程组，根据题意得到，是解题的关键． 1．（24-25七年级下·重庆綦江·期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，，先将方程①中的未知数系数排成数列，然后执行如下步骤：（如图）第一步，将方程②中的未知数系数乘以3，然后不断地减一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似． 方程①： 第一步方程②： 第二步方程③： 其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为：（2）（3）其中正确的有（    ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】B 【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可. 【详解】解： 由，得④， 由，得⑤， 由，得， ∴， 由，得⑥， 由，得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的系数表示出来． 2．（2025七年级下·江苏·专题练习）小铃观察三元一次方程组各个未知数的系数特点，先用，得，记为，消掉未知数z，那么下一步应完成的是_____，得到_____，记为，由可解得x，y的值，通过代入x，y的值求出未知数z的值，完成这个三元一次方程组的求解． 【答案】 【分析】利用解三元一次方程组的基本思想—消元的思想，判断即可得到结果． 【详解】解：， ，得， ，得， 由得到二元一次方程组， 解得， 把代入①得，， ∴原方程组的解为， 故答案为，． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 3．（24-25七年级下·四川眉山·月考）在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2），求的值； （3）试根据上面的方法解决下面的问题： 某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少？ 【答案】（1）18；（3）3；（3）5分 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用等知识，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）由整体思想求值即可； （2）由整体思想求值即可； （3）先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案． 【详解】解：（1）， 得：， 得：， ∴的值为18； （2）， 得，， ∴， 得，， ∴； （3）设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分， 由于总分不变，得：， 由①得： ， 将②代入③得：， 解得：， 则原来一等奖比二等奖平均分多6分， 又调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分， 则调整后一等奖比二等奖平均分数多（分）． 【拓展训练一 不解方程组，整体求代数式值】 【例1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）在代数式 中，当x分别取， ， ， 1， 2， 3时， 对应代数式的值如表，则的值为（   ） x                1 2 3                3 5 7 A．3 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，二元一次方程组的应用，根据表格中相关数据，列出关于的方程组，求出的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 则， 故选：B． 【例2】（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为____． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，解方程组，当时，得到①，当时，得到②，然后求解即可． 【详解】解：当时，， ∵， ∴①， 当时，， ∴②， ，得：， ∴． 故答案为：． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）代数式，当x＝-2时，代数式的值为4；当x＝2时，代数式的值为10，则x＝-1时，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据代数式，当x＝-2时，代数式的值为4，当x＝2时，代数式的值为10，得到，解方程求出，由此求解即可． 【详解】解：∵代数式，当x＝-2时，代数式的值为4，当x＝2时，代数式的值为10， ∴ 解得，， ∴ 代数式为即为， 当x＝-1代入，得． 【点睛】本题主要考查了代数式求值和解二元一次方程组，解题的关键在于能够根据题意建立关于a、b的二元一次方程组求出a、b的值． 2．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)当为正整数时，求代数式的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式的解法多项式乘以多项式，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）解方程组得出，，代入不等式，可求出的取值范围； （2）根据题意求出，化简原式即可得出答案． 【详解】（1）解：方程组得 ， ， 解得； （2）解：由题意，得 ； ，为正整数， ， 当时，原式 3．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在代数学习中，常常需要对一个代数式进行变形，从而实现恒等代换、简化计算、研究性质等目的．例如：已知代数式，可将代数式进行变形，，从而建立、之间的内在联系．下列表格中利用不同的的值去探索代数式，之间的关系： 0 1 2 3 4 ① 1 3 5 ② 1 3 (1)补充表格中①、②对应的数值； (2)观察发现，当时，代数式的取值为；而当时，代数式的取值与相同，我们称代数式相对于代数式“取值右移”，此时右移值为1．若代数式相对于“取值右移”，且右移值为3，求代数式． (3)若代数式相对于代数式“取值左移”，且左移值为2，求对应，的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)， 【分析】（1）把代入，把代入即可求解； （2）代数式相对于“取值右移”，且右移值为3，所以，整理即可； （3）由题意可得，整理后列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：①：，故填； ②：，故填； （2）解：依题意，得． （3）解：依题意，得， 则有， 解得，． 【拓展训练二 看错系数、错解复原经典压轴】 【例1】（24-25七年级下·山东烟台·月考）在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入中可求出a，b的值，再把a，b的值代入中，解关于x，y的方程组即可解答． 【详解】解：把代入中可得：， 解得， 把代入中可得，， 解得：． 【例2】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【详解】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 1．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）小红和小虎两人共同解方程组，小虎看错了方程①中的，解得，小红看错了方程②中的，解得，求，的值． 【答案】， 【分析】分别将结果代入方程组中没有看错的方程中，得出关于的方程，求解即可． 【详解】解：∵小虎看错了方程①中的， ∴满足方程②， ， 解得，   ∵小红看错了方程②中的， 满足方程①， ， 解得， 综上所述，，． 2．（25-26七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两人同时解关于、的方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，求原方程组的正确解． 【答案】． 【分析】将代入方程，将代入方程，求出，的值，再把，代入解方程组即可． 【详解】解：将代入方程，得：，解得， 将代入方程，得：，解得， 把，代入原方程组， 得， 解得， ∴原方程组的正确解为． 3．（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）两个方程组有相同的解，因此该相同解同时满足两个只含x，y的方程，先求出x，y的值，再代入含m，n的方程求出m，n，即可计算得到的值； （2）甲看错a得到的解满足正确的方程②，乙看错b得到的解满足正确的方程①，分别代入求出正确的a，b，再解原方程组即可得到正确解． 【详解】（1）解：∵两个方程组有相同的解， ∴x、y满足方程组，解得， 将，代入， 得，解得， ∴． （2）解：将代入方程②，得：，解得， 将代入方程①，得：，解得， 把，代入原方程组，得到， 解得， ∴原方程组的正确解为． 【拓展训练三 新定义二元一次方程组压轴】 【例1】（24-25七年级下·重庆·期中）对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新定义，列出二元一次方程组，进行求解即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选A． 【例2】（25-26八年级上·河南郑州·月考）对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据新运算的定义，由已知条件列出关于a和b的二元一次方程组，解出a和b的值，再代入即可求的值． 【详解】解：由题意，得，解方程组得． ∴， ∴， 故答案为：17． 1．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 2．（24-25七年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入②，得， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ， ∵， ， 解得； （3）解：∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ， 解得：． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）对x，y定义一种新运算“※”，规定：，（其中x，y均为非零常数），若，，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，有理数的混合运算，根据新定义，得出方程组，利用加减消元法解方程组，得出m，n的值，然后再根据新定义，可得，把m，n的值代入即可得出答案． 【详解】解：由新定义，可得方程组为： ，得， 把代入①，得， 解得：． ． A基础训练 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（   ） A． B．由①变形得③，将③代入② C． D．由②变形得③，将③代入① 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．利用加减消元法和代入消元法，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：．，可以消去，故不符合题意； ．由①变形得③，将③代入②，可以消去，故不符合题意； ．，无法消元，故符合题意； ．由②变形得③，将③代入①，可以消去，故不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·福建福州·开学考试）若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：由得 ， 方程组的解是， ， 解得：； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了方程的解的应用，解二元一次方程组，掌握用整体代换方法解方程组是解题的关键． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于，的二元一次方程，其取值如下表，则的值为（    ） 5 A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】根据题意及表格中的数据列出关系式，计算即可求出p的值． 【详解】解：根据题意得：， 整理②得：③ 将①代入③，得： 故选：C． 【点睛】此题考查了代入法解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组准确代入计算是解题关键． 4．（24-25八年级上·河北保定·月考）题目：“已知m为负整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解（x，y均为整数），求m的值．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（   ） A．只有丙答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； 先通过解方程组得出x、y关于(m)的表达式，再根据x、y均为整数以及m为负整数这一条件来确定m的值即可． 【详解】解： 将两个方程相加得： ， 把代入可得： ， ， ∵方程组有整数解 ∴，， ∴，或或2或， ∵m为负整数，x，y均为整数， ∴或或． 故选：D． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（    ） A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0 【答案】A 【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可 【详解】解： 由，得， 由，得， 由，得， ∴， 由，得， 由，得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应． B 提高训练 6．（24-25八年级上·河南鹤壁·开学考试）设，当时，；当时，．当时，求的值是______________. 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把x与y的两对值代入等式列出方程组，求出方程组的解即可得到k与b的值．再代入求y的值． 【详解】解：把时，；当时，代入等式得： ， 解得：，． 即， 当时，． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算______． 【答案】0 【分析】把甲的解代入②求出b的值，把乙的解代入①求出a的值，再代入计算即可． 【详解】解：将代入方程组中的， 得：，即；        将代入方程组中的， 得：，即，                则． 故答案为：0 【点睛】此题考查了二元一次方程组的错解问题，乘方运算的含义，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以6，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_________． 【答案】 【分析】参考题中思路，将所求方程组的两个方程两边同时除以6，通过换元替换，与已知解的原方程组对比求解即可． 【详解】解：将方程组两边同时除以6得， 该方程组与原方程组结构相同， 由原方程组的解为，可得， 解得． 9．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查解三元一次方程组，分别用含的代数式表示，然后再相加即可得出的值 【详解】解： ，得：， ，得：， ∴， 故答案为：1. 10．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 2 … 关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 1 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】此题考查了含有字母参数的二元一次方程组的同解问题，解题的关键是能通过两个表格将关于x，y的二元一次方程组变为，解方程组即可得出答案． 【详解】解：∵从第一个表格中可知，当时，，时，， ∴， 解得：， 把代入得： ， 整理得：， ∵从第二个表格中可知，当时，，时，， ∴， 解得：， 把代入得： ， 整理得：， ①和②组成方程组， 解得： 故答案为：． C 培优训练 11．（2025七年级·全国·专题练习）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【详解】解：①②得， ①③得， 联立④⑤得方程组， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为． 12．（25-26七年级下·重庆·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ①②得 解得 把代入①得 解得 ∴原方程组的解是． （2）解： 整理原方程组，第一个方程两边同乘12得 展开移项整理得 展开整理第二个方程得 ， 即 得到方程组 ① ②得 解得 把代入② 得 解得 ∴原方程组的解是． 13．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于的方程组． (1)当时，求的值； (2)将方程①和方程②左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，求这个公共解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）①加②式得到一个新方程，根据方程的特点即可求得的值； （2））①加②式得到一个新方程根据题意列方程即可得到公共解． 【详解】（1）解：， ①②，得：， 整理得：， ∵， ∴， ∴将，代入①，得：， （2）解：， ①②，得：， 整理得：， 根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关， ∴， 解得：， 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法及与解二元一次方程相关的知识点，掌握二元一次方程的解法是解题的关键． 14．（24-25七年级下·全国·暑假作业）甲、乙两人共同解关于的方程组解完以后有下面一段对话，请认真阅读对话内容，然后求出的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解求参数，代数式求值，理解甲、乙两人对话内容是解题关键．根据甲的解求出，根据乙的解求出，再代入计算求值即可． 【详解】解：由甲可知，看错了方程中①的得到的解为， 将代入方程中②得：， 解得：； 由乙可知，看错了方程中②的得到的解为， 将代入方程中①得：， 解得：， 即． 15．（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知方程组与有相同的解． (1)求和的值； (2)如图，若有甲、乙两条数轴，甲数轴上的一点所对应的数为的值，乙数轴上的一点所对应的数为的值．当点与点上下对齐时，乙数轴上的点对应的数恰好与甲数轴上的原点上下对齐，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同解方程组、数轴上两点之间距离等知识，熟练掌握二元一次方程组的解法、数轴上两点之间距离表示是解决问题的关键． （1）由题意，的解与方程组与有相同的解，解方程组得到，代入求解即可得到答案； （2）根据题意，可得点到原点的距离与点到点的距离相同，得方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵方程组与有相同的解， 的解与方程组与有相同的解， 则解方程组得， ∴方程组的解为， ∴， 解得． （2）解：根据题意，可得点到原点的距离与点到点的距离相同， ， 解得， 即的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02解二元一次方程组重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 题型五 构造二元一次方程组求解 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型七 方程组相同解问题 题型八 三元一次方程组的定义及解 拓展训练一 不解方程组，整体求代数式值 拓展训练二 看错系数、错解复原经典压轴 拓展训练三 新定义二元一次方程组压轴 知识点一：二元一次方程组的解法 1. 消元思想 ​ 核心思路：化二元为一元，逐一求解 2.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 3.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·北京延庆·期中）解方程组： 2．（25-26七年级下·河南开封·期中）解二元一次方程组 知识点二：三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）请写出一个以为解的三元一次方程：______． 【经典例题一 代入消元法】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（   ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 【例2】（25-26七年级下·河南周口·月考）由可得用表示，得 ________． 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）已知关于x，y的二元一次方程，其取值如下表，则p的值为（    ） x m y n t 5 p A．17 B．18 C．19 D．20 2．（2025七年级下·浙江·模拟预测）如下表，是小明同学探究关于的代数式（其中，为常数）的值变化规律的情况，则的值是________． 3．（25-26八年级上·全国·期末）（1）解方程组：； （2）小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数和，求这两个数． 【经典例题二 加减消元法】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（   ） A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将 【例2】（25-26七年级下·全国·单元测试）解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路：________________． 1．（24-25七年级下·河南南阳·月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．消y，将 B．消x，将 C．消y，将 D．消x，将 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程组，则________． 3．（25-26七年级下·山东泰安·月考）按要求解方程组： (1)（代入消元） (2)； (3)；（加减消元） (4) 【经典例题三 二元一次方程组的特殊解法】 【例1】（24-25七年级下·吉林长春·月考）已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为______． 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）若方程组的解是，求方程组的解______，______． 3．（24-25七年级下·河南周口·期中）阅读材料： 善于思考的小亮同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形为，即③， 把方程①代入③，得，解得； 把代入方程①，得，所以方程组的解为． 请解决下列问题． (1)请模仿小亮同学用“整体代换”法解方程组； (2)已知，满足方程组，求的值． 【经典例题四 二元一次方程组的错解复原问题】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解同一个方程组时，甲同学由正确的解出，乙同学因看错了而解得，那么、、的正确的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）解方程组时，一学生把c看错而得到而正确的解是，那么_____． 1．（24-25七年级下·河南漯河·期末）在解方程组时，小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是．小亮把常数抄错了，得到的解是，则原方程组的正确解是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东聊城·期中）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则_________，_________，_______． 3．（24-25七年级下·四川宜宾·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为 (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么； (2)求出原方程组的正确解． 【经典例题五 构造二元一次方程组求解】 【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【例2】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知，，，，中每一个数值只能取，，中的一个，且满足，，则，，，，中数值是的个数是________． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）若和都是方程的解，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）无论实数m取何值，方程总有一个固定的解，则这个解为 ____________________． 3．（24-25七年级下·广东东莞·月考）在等式中，当时，；当时，． (1)求、的值； (2)求当时的值． 【经典例题六 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例1】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）已知方程组的解满足，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【例2】（25-26八年级上·四川成都·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解的和为10，则k的值等于___________． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n二元一次方程组的解为____________________ ． 3．（24-25七年级下·广东深圳·月考）阅读以下内容：已知满足①，且满足 ，求的值． 三位同学分别提出了自己的解题思路： 甲同学：先解关于的方程组，解得：（用含的代数式表示），再代入①中求的值； 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，②＋③得：？④，他发现④中等号的左边和①中等号的左边在整体上存在一个倍数关系，利用这个关系求的值； 丙同学：先联立方程①和③，解方程组，，再代入②中求的值． (1)以上三位同学的解题思路中，正确的有 个； (2)你最欣赏 （填写“甲”或“乙”或“丙”）的思路，根据你所选的思路解答此题． 【经典例题七 方程组相同解问题】 【例1】（24-25七年级下·山东烟台·期末）已知方程组和有相同的解，则，的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河南周口·月考）若关于的方程组的解为，则关于的方程组的解为________． 1．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2023 2．（24-25七年级下·浙江·期中）已知关于的方程组的解是 ，则关于的方程组的解是___________． 3．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）计算： (1)解方程组： (2)解方程组： (3)如果关于x，y的方程组的解适合方程，求k的值． (4)关于x，y的方程组与有相同的解，求的值． 【经典例题八 三元一次方程组的定义及解】 【例1】（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知，，都不为零，且，则式子的值为（   ） A． B． C．- D．- 【例2】（2025·浙江·模拟预测）实数满足．则__________． 1．（24-25七年级下·重庆綦江·期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，，先将方程①中的未知数系数排成数列，然后执行如下步骤：（如图）第一步，将方程②中的未知数系数乘以3，然后不断地减一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似． 方程①： 第一步方程②： 第二步方程③： 其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为：（2）（3）其中正确的有（    ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 2．（2025七年级下·江苏·专题练习）小铃观察三元一次方程组各个未知数的系数特点，先用，得，记为，消掉未知数z，那么下一步应完成的是_____，得到_____，记为，由可解得x，y的值，通过代入x，y的值求出未知数z的值，完成这个三元一次方程组的求解． 3．（24-25七年级下·四川眉山·月考）在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2），求的值； （3）试根据上面的方法解决下面的问题： 某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少？ 【拓展训练一 不解方程组，整体求代数式值】 【例1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）在代数式 中，当x分别取， ， ， 1， 2， 3时， 对应代数式的值如表，则的值为（   ） x                1 2 3                3 5 7 A．3 B．7 C． D． 【例2】（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为____． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）代数式，当x＝-2时，代数式的值为4；当x＝2时，代数式的值为10，则x＝-1时，求代数式的值． 2．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)当为正整数时，求代数式的值． 3．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在代数学习中，常常需要对一个代数式进行变形，从而实现恒等代换、简化计算、研究性质等目的．例如：已知代数式，可将代数式进行变形，，从而建立、之间的内在联系．下列表格中利用不同的的值去探索代数式，之间的关系： 0 1 2 3 4 ① 1 3 5 ② 1 3 (1)补充表格中①、②对应的数值； (2)观察发现，当时，代数式的取值为；而当时，代数式的取值与相同，我们称代数式相对于代数式“取值右移”，此时右移值为1．若代数式相对于“取值右移”，且右移值为3，求代数式． (3)若代数式相对于代数式“取值左移”，且左移值为2，求对应，的值． 【拓展训练二 看错系数、错解复原经典压轴】 【例1】（24-25七年级下·山东烟台·月考）在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 1．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）小红和小虎两人共同解方程组，小虎看错了方程①中的，解得，小红看错了方程②中的，解得，求，的值． 2．（25-26七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两人同时解关于、的方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，求原方程组的正确解． 3．（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 【拓展训练三 新定义二元一次方程组压轴】 【例1】（24-25七年级下·重庆·期中）对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·河南郑州·月考）对于、定义一种新运算“※”：，其中、为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：，，求的值______． 1．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 2．（24-25七年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）对x，y定义一种新运算“※”，规定：，（其中x，y均为非零常数），若，，求的值． A基础训练 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（   ） A． B．由①变形得③，将③代入② C． D．由②变形得③，将③代入① 2．（24-25八年级上·福建福州·开学考试）若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于，的二元一次方程，其取值如下表，则的值为（    ） 5 A．16 B．17 C．18 D．19 4．（24-25八年级上·河北保定·月考）题目：“已知m为负整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解（x，y均为整数），求m的值．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（   ） A．只有丙答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 5．（2025八年级上·全国·专题练习）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（    ） A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0 B 提高训练 6．（24-25八年级上·河南鹤壁·开学考试）设，当时，；当时，．当时，求的值是______________. 7．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算______．                  8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以6，通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是_________． 9．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为______． 10．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）已知关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 2 … 关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 1 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是______． C 培优训练 11．（2025七年级·全国·专题练习）解方程组： 12．（25-26七年级下·重庆·期中）解方程组 (1) (2) 13．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于的方程组． (1)当时，求的值； (2)将方程①和方程②左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个确定的方程，而这些方程总有一个公共解，求这个公共解． 14．（24-25七年级下·全国·暑假作业）甲、乙两人共同解关于的方程组解完以后有下面一段对话，请认真阅读对话内容，然后求出的值． 15．（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知方程组与有相同的解． (1)求和的值； (2)如图，若有甲、乙两条数轴，甲数轴上的一点所对应的数为的值，乙数轴上的一点所对应的数为的值．当点与点上下对齐时，乙数轴上的点对应的数恰好与甲数轴上的原点上下对齐，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $