专题01 幂的运算重难点题型专训（7个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

专题01幂的运算重难点题型专训 （7个知识点+12大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 同底数幂相乘 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 用科学记数法表示数的乘法 题型四 幂的乘方运算 题型五 幂的乘方的逆用 十 题型六 积的乘方运算 题型七 积的乘方的逆用 题型八 同底数幂的除法运算 题型九 同底数幂除法的逆用 题型十 幂的混合运算 题型十一 零指数幂 题型十二 负整数指数幂 拓展训练一 幂的运算等于1的情况 拓展训练二 幂的新定义运算 拓展训练三 由幂的运算确定字母的关系 知识点一：幂的性质 包括幂的乘法、除法、指数法则等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方等。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列判断正确的有（    ）． ①；②；③；④一个有理数的零次方等于1 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 【答案】A 【分析】分，，即可判断①和②；根据绝对值的意义可判断③；根据零次方的意义可判断④． 【详解】解：①当时，；当时，；当时，；故原说法错误； ②当时，；当时，；当时，；故原说法错误；③，原说法正确； ④一个非零有理数的零次方等于1，故原说法错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的分类，零指数幂的意义，掌握相关知识是解题的关键． 2．（25-26七年级上·上海宝山·月考）写成只含正整数指数幂的形式： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂．根据负整数指数幂的意义，将负指数化为正指数． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点二：幂的运算法则 包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算，其中第一步运算的依据是（    ） A．同底数幂的乘法 B．积的乘方 C．幂的乘方 D．同底数幂的除法 【答案】B 【分析】本题主要考查积的乘方运算，关键是熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．根据题意可知，第一步运算的依据是积的乘方运算法则，积的乘方，等于每个因式乘方的积； 【详解】计算，其中第一步运算的依据积的乘方， 故选：． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方．在“”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的 ．（按运算顺序填序号） 【答案】③②① 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，熟练掌握各个运算的法则是解题的关键． 先进行积的乘方，然后进行幂的乘方，最后进行同底数幂的乘法运算． 【详解】解：在“”的运算过程中，先进行积的乘方运算，然后进行幂的乘方运算，最后进行同底数幂的乘法运算． 故答案为：③②①． 知识点三：同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算及合并同类项，熟练运用计算法则是解题的关键． 先利用同底数幂乘法法则计算乘法部分，再合并同类项得出结果即可． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴， 则， 故选：C． 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算，应用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，得：． 故答案为：． 知识点四：同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）的结果是（   ） A．0 B．1 C．-1 D．-8 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂的定义．依据“任何非零数的零次幂都等于1”即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 2．（2025·甘肃武威·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点五：幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算的结果是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：A． 2．（25-26八年级上·广西钦州·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方．根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 知识点六：积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列属于积的乘方的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方的概念，需明确积的乘方的定义：几个因式的积的乘方，即形如（为正整数）的运算，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项是和的乘方，不属于积的乘方； B选项是同底数幂的乘法，不属于积的乘方； C选项是幂的乘方，不属于积的乘方； D选项是2、、的积的5次方，符合积的乘方的定义； 故选：D． 2．（2025·江苏苏州·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，运用积的乘方法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点七：负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，根据负整数指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的运算法则； 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵任何非零数的零次幂等于1， ∴ ， ∵负整数指数幂等于这个数的倒数的正整数指数幂， ∴ ， ∴， 故答案为：4． 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·月考）下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法的法则进行分析即可，熟练掌握同底数幂的乘法法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、的底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故A不符合题意； B、，底数一样，能用同底数幂的乘法的法则运算，故B符合题意； C、只能用合并同类项的法则运算，故C不符合题意； D、，底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故D不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·浙江台州·期末）定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，则的值为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了新定义的运算、同底数幂乘法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．设，，，易得，，，且，然后根据，即可求得的值． 【详解】解：设，，， 则有，，，且， ∴，即有． 故答案为：30． 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）已知，，，那么、、之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据可得，再根据得到，最后根据同底数幂的乘法可得出结论．熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏·单元测试）已知m，n，x，y满足，，则 ． 【答案】 【分析】对进行通分、合并计算，然后结合已知条件进行整理，从而可求解． 【详解】解：∵1， ∴1， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的法则的掌握与应用． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）将表示成以为底数的幂． （2）将表示成以为底数的幂． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则和相反数底数的幂的转换． （1）根据同底数幂相乘，指数相加计算即可； （2）对于相反数底数，利用偶次幂的性质可得，再根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】（1）∵ ， （2） ． 【经典例题二 同底数幂乘法的逆用】 【例1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则． 【详解】解：由， 故选：． 【例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ． 【答案】128 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数： 甲袋：个，乙袋：（个），丙袋：（个）， 一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， 调整后每只袋中球数为：（个）， ，， ，， ， 故答案为：128． 1．（24-25八年级上·四川内江·月考）计算后的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则和有理数的乘方法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则和有理数的乘方法则，解答本题的关键是掌握运算法则． 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）规定：若实数x，y，z满足，则记作． (1）根据题意，，则 ． (2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法公式的应用， （1）根据定义可得，由即可得出． （2）由得，再用同底数幂的乘法公式可求得三者之间满足的关系式． 【详解】解：（1）由定义可知即， ∵， ∴， （2）由定义可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为3；． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）阅读探究，理解应用．根据乘方的意义填空，并思考： ① ； ② ； ③ (m，n是正整数)； ④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题： 计算： （1） ； ； ； （2）已知，，求的值． 【答案】①；②；③；④；（1）；；；（2）的值为625． 【分析】①利用乘方的意义，即可解答； ②利用乘方的意义，即可解答； ③利用乘方的意义，即可解答； ④从数字找规律，即可解答； （1）利用发现的规律，进行计算即可解答； （2）利用发现的规律，进行计算即可解答． 【详解】解：①； ②； ③（m，n是正整数）； ④一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，则有：； 故答案为：①；②；③；④； （1）；；； 故答案为：；；； （2），， ， ， 的值为625． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂的乘法法则逆用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【经典例题三 用科学记数法表示数的乘法】 【例1】 （25-26八年级上·全国·课后作业）光速约为，太阳光照射到火星上需要的时间约为，则火星与太阳之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的乘法运算． 根据“路程速度时间”列出算式，计算后将结果化为标准的科学记数法形式即可． 【详解】解：火星与太阳之间的距离约为 ． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）光年是一种长度单位，它表示光在一年中所通过的距离，已知光每秒通过的距离约为．若一年以计算，则一光年约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，用科学记数法表示数的乘法，先理解题意列式，再结合同底数幂相乘法则进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴一光年约为， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·月考）综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选D． 2．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为 米．(结果用科学记数法表示) 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，解题关键是明确同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据距离等于速度乘以时间计算即可． 【详解】解：（m）， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【答案】胡夫金字塔总重约为千克 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，科学记数法的含义，根据同底数幂的乘法进行法则进行计算，将最后的结果写成科学记数法的形式即可得出答案． 【详解】解：由题意，得： （千克） 答：胡夫金字塔总重约为千克． 【经典例题四 幂的乘方运算】 【例1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，则为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】本题考查幂数的乘方运算法则，解题的关键是将进行变形，使其符合的形式，从而确定的值． 对进行指数变形，然后找出与形式对应的． 【详解】解：对进行变形，根据指数运算法则，可得， 因为，所以， 已知，即， 所以， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列算式：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．根据幂的乘方法则逐个判断即可得． 【详解】解：①，则原算式错误； ②，则原算式正确； ③，则原算式正确； ④，则原算式错误； 综上，正确的是②③， 故答案为：②③． 1．（24-25七年级下·河南周口·月考）在比较和的大小时，老师给出了如下的方法： ， ， 因为，，所以． 请你仿照上面的方法比较和的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂乘法运算，有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：， ∵ ∴， 故选：B． 2．（2025七年级上·上海·专题练习）已知，用含x，y的代数式表示为 ； 【答案】 【分析】根据有理数乘方的逆运算、幂的乘方的逆用、积的乘方与幂的乘方法则即可得． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算、幂的乘方的逆用、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）计算下列各式，并用幂的形式表示结果： (1) ， ； ， ； ， ； ， ． (2)观察第（1）题的计算结果，你有什么发现？把你的发现用适当的数学符号表示出来． 【答案】(1)，；，；，；， (2) 【分析】本题考查幂的乘方，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法和乘方的意义进行计算，为发现规律作铺垫； （2）观察（1）的计算结果，归纳总结出幂的乘方法则． 【详解】（1）解：，； ，； ，； ，， 故答案为：，；，；，；，； （2）解：符号表示：． 【经典例题五 幂的乘方的逆用】 【例1】（2025七年级·全国·模拟预测）若，，则（    ） A．23 B．25 C．27 D．29 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方的化简求值，熟练掌握幂的乘方的法则是解答本题的关键，先计算幂的乘方，再将，代入计算，即得答案． 【详解】当，，时， ． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，利用积的乘方运算的逆用得出，再进行计算得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，根据，整理得，，，再比较底数的大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∵， ∴， 故选：C 2．（24-25八年级上·四川乐山·期末）观察等式：，，…，若，则 （用含m的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，幂的乘方的逆运算，由题意可知，将变形为，进而可得，由此可解． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题： (1)比较与的大小； (2)比较、、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则以及同底数或同指数幂的大小比较方法． （1）根据幂的乘方，可化成指数相同的幂的形式，根据指数相同，底数越大，幂越大，可得答案； （2）根据幂的乘方的运算法则，将各幂化为同底数幂的形式进行比较． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，，， ∵， ∴， ∴． 【经典例题六 积的乘方运算】 【例1】（2025·陕西咸阳·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方的运算法则是解题的关键，根据积的乘方与幂的乘方的运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）计算： ， ，则 ． 【答案】 4 【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】因为，， 所以， 解得， 故答案为：，，4． 【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 分为正奇数、为正偶数两种情况进行讨论，即可判断结论①；分为奇数、为偶数两种情况进行讨论，即可判断结论②；当时，等式成立，无论取何值，等式，均成立，由此即可判断结论③；分别对为偶数、为奇数以及为偶数、为奇数两种情况进行讨论，即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：①当为正奇数时，等式一定成立， 当为正偶数时，，等式不成立， 故结论①错误； ②当为奇数时，，等式不成立， 当为偶数时，等式成立， 故结论②错误； ③当时，等式成立， 无论取何值，等式，均成立， 故结论③错误； ④当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 故结论④正确； 综上，正确的结论为，共个， 故选：． 2．（24-25八年级上·河北邢台·月考）如果，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，则a，b，c三者之间的数量关系是 ； （2）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），则t的值为 ． 【答案】 a+b=c 80 【分析】（1）根据积的乘方法则，结合定义计算； （2）根据定义解答即可． 【详解】解：（1）∵（4，12）=a，（4，5）=b，（4，60）=c ∴， ∵12×5=60， ∴， ∴， ∴a+b=c； 故答案为：a+b=c. （2）设（m，16）=p，（m，5）=q，（m，t）=r ∴ ∵（m，16）+（m，5）=（m，t）， ∴p+q=r ∴， ∴，即16×5=t ∴t=80． 故答案为：80． 【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据积的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可； （）根据积的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可； 本题考查了积的乘方和同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【经典例题七 积的乘方的逆用】 【例1】（24-25八年级上·海南·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积的乘方的逆用 灵活运用即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】此题考查了积的乘方的逆用，灵活利用积的乘方的逆用是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则 ． 【答案】54675 【分析】根据常用的求和公式，找到数的变化规律，根据求解即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：54675． 【点睛】本题考查了数的变化规律，求和公式，积的乘方的逆用，解题的关键是找到数的变化规律． 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算；将1.5化为分数，并利用积的乘方逆用法则化简即可. 【详解】解：原式 . 故选：B. 2．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知，，，那么、、之间满足的等量关系是 ． 【答案】 【分析】逆用积的乘方和幂的乘方，即可得出结论． 【详解】解：， ∴、、之间满足的等量关系是； 故答案为：． 【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用．熟练掌握积的乘方和幂的乘方的运算法则，是解题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题考查了积的乘方逆运算熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方逆运算即可求解； （2）先利用积的乘方逆运算，然后再利用乘法结合律即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题八 同底数幂的除法运算】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，去括号，积的乘方与幂的乘方，同底数幂的除法法则计算即可． 本题考查了合并同类项，去括号，积的乘方与幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，此选项错误； B、，此选项错误； C、，此选项错误； D、，此选项正确． 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·重庆大渡口·开学考试）已知，则 ． 【答案】1 【分析】先把m的分子分成，逆用积的乘方法则，把分子写成两个幂相乘，分母逆用同底数幂相乘法则，写成两个同底数幂相乘，然后化简，求出的值，最后将整理为代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了积的乘方、同底数幂的乘法、除法和零指数幂，解题关键是熟练掌握运算法则的逆用． 1．（2025·海南省直辖县级单位·三模）下列各式中，计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ．和不是同类项，不能合并 ，故该选项不符合题意； ．，故该选项符合题意； ．，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025·天津西青·二模）计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】利用同底数除法的法则计算即可 【详解】解：=-4x4-3y2-1=-4xy 故答案为：-4xy 【点睛】本题考查同底数除法法则，正确使用法则是关键 3．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）利用乘法公式解决问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法和幂的乘方进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， ． 【经典例题九 同底数幂除法的逆用】 【例1】（24-25七年级下·河北保定·月考）若，，则的值为（    ） A．12 B．8 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了逆用同底数幂除法公式求解等知识，逆用同底数幂除法公式得到，代入即可求解． 【详解】解：． 故选：D 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂相除、幂的乘方的逆运算，根据题意得出，代入即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河南郑州·月考）如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴， 那么正确的有②③④． 故选：B． 2．（24-25七年级下·河南郑州·月考）如果，那么我们规定，例如：因为，所以．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，由新规定的运算可得，，，再将，转化为后，再代入求值即可． 【详解】解：由于，，根据新规定的运算可得， ，，， ∴ ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·四川巴中·月考）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）将代入，计算幂的乘方即可得； （2）利用同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得； （3）利用幂的乘方的逆用可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， ， 解得； （3）解：， ， ， ， ． 【经典例题十 幂的混合运算】 【例1】（2025·甘肃定西·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】A、，此项符合题意； B、，此项不符合题意； C、， 此项不符合题意； D、，此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 【例2】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若，则满足条件的x值为 ． 【答案】或2 【分析】本题考查了整式的幂运算，任意非零数的零次幂等于1；1的任意次幂均等于1；的偶次幂等于1，据此分情况讨论即可求解． 【详解】解：， 当，则； 当时，则； 当时，则，此时（舍去）， 故答案为：或2． 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， ． 选项的结论正确，不符合题意； 若， ， ， ， 选项的结论正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，符合题意； ，， 则， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：B 2．（24-25七年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简， ． 【答案】 【分析】先具体计算出S1，S2，S3，S4的值，得出面积规律，表示S2021，再设①，两边都乘以，得到②，利用①−②，求解S，从而可得答案． 【详解】解：∵ 设① ② ①-②得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 3．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）利用幂的运算性质进行计算：×÷×． 【答案】 【分析】直接利用分数指数幂的性质化简，进而计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 【经典例题十一 零指数幂】 【例1】（25-26八年级上·湖南永州·月考）若，则的取值有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了含参数的零指数幂的知识点，掌握其知识点时解题关键； 根据指数为零或底数为，分类讨论即可求解. 【详解】解：当时，即，原式； 当 时，即，原式； 当时，即，原式； 的取值有3个； 故选：C. 【例2】（2025七年级下·浙江·专题练习）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂的定义，熟练掌握零指数幂的定义是解答本题的关键． 根据零指数幂的定义解答即可． 【详解】解：有意义， ， 解得：， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若，都是绝对值不大于2的整数，且，则代数式值不可能是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方计算，根据题意可得的值可能为，再结合选项选择适合的值，逐项判断即可． 【详解】解：，都是绝对值不大于2的整数， 的值可能为：， 当，时，，故A不符合题意； 当，时，，故B不符合题意； 当，时，，故C不符合题意； 在a，b的可取范围内，代数式值不可能是，故D符合题意， 故选：D． 2．（2025·河北石家庄·一模）在学习完第一章前3节内容后，李老师留了这样一道课后题目：已知x为整数，且，求x的值，数学兴趣小组进行了讨论： 小鹿：零指数幂的结果为1， 小唯：底数是1的幂的结果为1， …… 根据上述给出的思路，聪明的你计算出x的值可能是 ． 【答案】，4，2 【分析】分别从底数等于1，底数等于且指数为偶数，指数等于0且底数不等于0去分析求解即可求得答案．此题考查了零指数幂的性质与有理数的乘方．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用． 【详解】解：①∵1的任何次幂为1， ∴，可得，则， ∴，符合题意， ∴； ②∵的任何偶次幂也都是1， ∴，可得，则， ∴，符合题意， ∴； ③∵任何不是0的数的0次幂也是1， ∴，可得，则， ∴，符合题意， ∴； 综上，的值可能是，4，2， 故答案为：，4，2． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用积的乘方、同底数幂的除法进行计算即可； （2）利用零指数幂和负整数指数幂进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【经典例题十二 负整数指数幂】 【例1】（2025·河北唐山·二模）下列结果不正确的是（   ） A． B． C． D．能被2整除 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法的正用与逆用等知识，根据这些知识逐项计算即可判断． 【详解】解：A、，计算结果不正确，故符合题意； B、，计算结果正确，故不符合题意； C、，计算结果正确，故不符合题意； D、∵， 而是2的倍数， ∴能被2整除； 故计算结果正确，故不符合题意； 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别计算负整数指数幂和零指数幂，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，，则用x的代数式表示y，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂，以及同底数幂乘法，熟练掌握负整数指数幂和同底数幂乘法的运算是解题的关键． 将化为，即可得出，即可得出结果； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）若，则的值为 ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 4 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方运算． （1）直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用同底数幂的除法运算法则将原式变形得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴ ， 故答案为：4． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期中）我们规定：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____，_____； (2)记，，，试说明． 【答案】(1)，； (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意得，，，然后通过同底数幂除法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：，； （2）解：因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 即． 【拓展训练一 幂的运算等于1的情况】 【例1】（24-25七年级下·山东威海·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，如果我们规定一个新数“”使它满足，即有一个根为i，并且进一步规定：一切实数可以与新数“”进行运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：……那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则，将变形成，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法及幂的乘方的逆运算，解题的关键是仔细阅读已知材料，找到关于运算的规律． 【例2】（24-25八年级上·全国·期中）阅读材料：①的任何次幂都等于；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于；④任何不等于零的数的零次幂都等于，试根据以上材料探索使等式：成立的的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查阅读理解，掌握；；求解是解决问题的关键．读懂题意，分别确定；；，再由分类讨论求解即可得到答案． 【详解】解：为正整数， ①的任何次幂都等于， ； ②的奇数次幂都等于， ； ③的偶数次幂都等于， ； ④任何不等于零的数的零次幂都等于， ； 当时， 当时，解得，此时，则， 即成立的的值为； 当时，解得，此时，则， 即成立的的值为； 当时，解得，此时，则， 即成立的的值为； 综上所述，当的值为或或时，， 故答案为：或或． 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或或； (3)的值为或． 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法的法则，零指数幂的定义等，分类讨论是解决问题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则进行运算，得到，再根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； （3）先分类讨论：（）当且时，求出的值并判断；（）当时，整理，得：，再根据题意进行的分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，的值为或或； （3）∵， ∴分类讨论： （）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，的值为或． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）我们规定：个相同的非零有理数的商可以表示为，读作“的圈次方”．，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：_______，________； (2)若为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈次方互为倒数；⑤圈次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是______． (3)试说明（，为正整数且）． 【答案】(1)， (2)②④ (3)证明见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的除法； （1）根据“的圈次方”的定义计算即可； （2）根据“的圈次方”的定义判断即可； （1）根据“的圈次方”的定义证明即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）解：， ①令，，，此时，故①说法错误； ②根据可得负数的圈奇数次方即是奇数，此时结果是负数，负数的圈偶数次方即是偶数，此时结果是正数，说法正确； ③，当为偶数时，，则互为相反数的两个数的圈次方互为相反数说法错误； ④，则互为倒数的两个数的圈次方互为倒数说法正确； ⑤当，n为偶数时，不满足圈次方等于它本身，说法错误． 所有正确结论的序号是②④， 故答案为：②④． （3）解：． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）阅读理解： 在学习同底数幂的除法公式（）时，有一个附加条件m>n，即被除数的指数大于除数的指数．仿照以上公式，我们研究m = n和m < n时，同底数幂的除法． 当被除数的指数等于除数的指数时，我们易得或=1， 即；同理可得，当时， 或=1． 由此启发，我们规定：（a ≠ 0）． 当被除数的指数小于除数的指数时，我们易得或，即；同理可得，当a ≠ 0时，或， 即． 由此启发，我们规定： （a ≠ 0，p是正整数）． 根据以上知识，解决下列问题： (1)填空：= ， ； (2)若，求m的值； (3)若，求x的值． 【答案】(1)1， (2) (3)或0或2 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法运算法则即可得出答案； （3）分三种情况：①当，且为任意数时，原方程成立；②当，且为偶数时，原方程成立；③当，且时，原方程成立，解方程即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：1，； （2）解： ∴   故 （3）解：解：分三种情况 ①当，且为任意数时，原方程成立．   解得， ②当，且为偶数时， 原方程成立．   解得， ③当，且时，原方程成立．         解得， 综上所述，或0或2． 【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂的运算法则，同底数幂的除法，正确理解题意是解题的关键． 【拓展训练二 幂的新定义运算】 【例1】 （24-25八年级上·福建泉州·月考）我们知道：，现定义一种新运算：；比如 ，则，若，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索、同底数幂的乘法等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据新运算的定义可得、、的值，再归纳类推出（其中为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 归纳类推得：（其中为正整数）， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·四川眉山·期中）若，则定义新运算：，根据定义新运算计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据题意可得：，，进而得到，计算求解即可； 【详解】解：根据题意可得：，， ， 即； 故答案为： 1．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）对于整数a，b定义新运算；（其中m，n为常数），如． (1)当，时，的值为________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，幂的运算的含义，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）根据新定义运算法则可得，再计算即可； （2）由可得，结合，可得，再计算即可． 【详解】（1）解：根据运算法则，． （2）∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 2．（24-25七年级下·北京房山·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂幂的乘法和除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是关键． （1）根据新定义可得到答案； （2）根据新定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据题意得到则，即可得到,整理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，若，∵， 则； 若，∵，则； （2）由题意可得，， ∵， ∴ ∴ （3）∵，，m，n为正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴, ∴ ∴ 3．（2025七年级下·江苏·专题练习）根据同底数幂的乘法法则，我们发现：（其中，，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，则______；______； (2)若，求，的值； (3)若，求的值； (4)若，直接写出的值． 【答案】(1)1；-1 (2)4；256 (3)4 (4)或 【分析】（1）根据即可得到；由即可推出，由此即可得到答案； （2）根据即可求出，再由，求解即可； （3）根据，，求解即可； （4）由（n为正整数， ），得到，则，从而推出再由（3）可以求出，则或，由此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ =… ， 故答案为：1；-1； （2）解：∵ ， ∴， ∴， ∴，； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵（n为正整数， ）， ∴， ∴ 设，则， ∴ ∴， 由（3）可知， ∴， ∴或， 当时，， 当时，． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和数字类的规律型问题，解题的关键在于能够根据题意进行求解． 【拓展训练三 由幂的运算确定字母的关系】 【例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，利用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则化简等式右边，再根据同底数幂相等时指数相等的性质推导m与n的关系． 【详解】解：∵， 又∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴， ∵，且底数且， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知，那么之间满足的等量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，根据幂的乘方计算法则得到，再由题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知：，，，写出，，之间的一个等量关系． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，熟练掌握该法则是解题的关键． 观察数据，可得出，即可通过同底数幂的乘法法则得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·北京西城·期中）如果，那么我们规定．例如；因为，所以． (1)根据上述规定填空：______，______； (2)记，，．判断，，之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)3，0， (2) 【分析】本题考查幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算； （1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案； （2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴； 3．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． 【答案】(1)C (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据根据同底数幂的乘法法则得，即可解答 【详解】（1）解：，，且， ， 上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）∵， ， ∴， 即． 故答案为：． A基础训练 1．（24-25七年级下·山东烟台·期末）若，，则与之间的关系为（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，以及相反数的定义，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则和相反数的定义解答即可． 【详解】解：，， ， ， 与之间的关系为互为相反数， 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）计算，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方的应用等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 将左边三个同底数幂相加合并，再运用同底数幂相乘的运算法则化简，右边幂的乘方化为同底数形式，然后再比较指数即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 3．（2025·河北沧州·一模）若（，，都是正整数），则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了幂的除法运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 化简，得到，整理出，由取值范围得出即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小整数解为，此时； 故选：B． 4．（24-25七年级下·山西太原·月考）已学的有关“幂的运算”的法则有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方．在计算下面题目的过程中，每一步的运算法则分别是（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 【答案】D 【分析】本题主要考查积的乘方，幂的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：的过程中，每一步的运算法则分别是积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法， 故选D． 5．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义将化成1012个的积，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． B 提高训练 6．（2025八年级上·全国·专题练习） ． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，解题关键是掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加的运算法则． 根据同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加），进行计算即可． 【详解】． 故答案为． 7．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）比较大小： ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较幂的大小，熟记幂的乘方运算的逆运算是解决问题的关键． 通过幂的乘方的逆运算，将两个幂化为同指数形式，比较底数大小即可判断． 【详解】解：，， 根据指数相同时，由底数大小确定幂的大小，可知当时，， 即 ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，， ，， ，，， 故其中正确的关系式是①③， 故答案为：①③． 9．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了新定义运算，幂的乘方，负整数指数幂，零指数幂，根据新定义列出算式是解题的关键． 根据新定义运算可得，分类讨论并列出方程，解方程即可． 【详解】根据定义， ． 化简得． 因为，分以下三种情况讨论： 情况一：底数为时 当，即时，指数 ， 根据的任何次幂都为， ，满足等式． 情况二：底数为时 当，即时，指数 ， ，不满足等式，舍去． 情况三：指数为时 当，即时，底数 ，根据非零数的次幂为， ，满足等式． 综上，x的值为0或1． 10．（24-25八年级上·广东广州·期中）如果， 那么我们规定． 例如：因为， 所以． 根据上述规定，若， 且满足， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方等知识．熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方是解题的关键．由题意知，，，，由，可得，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴，即， 解得，， 故答案为：． C 培优训练 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）规定．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，一元一次方程，按照新规定，根据同底数幂的乘法运算法则列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 解得． 12．（25-26八年级上·天津·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，积的乘方、幂的乘方，通过逆用积的乘方、幂的乘方来求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 13．（25-26八年级上·河南南阳·月考）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、及相应的逆运算，解题的关键是将底化相同； （1）将等式左边化成以为底，得出，求解即可； （2）将方程左边提取公因式，得出，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． 解得． （2）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 解得． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 趣味闯关 关卡一：已知，，，求的值； 关卡二：已知，，求的值． 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得． 【答案】关卡一：；关卡二：， 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，幂的除法逆运算，积的乘方以及逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．关卡一，利用，得出答案；关卡二，将转化成，然后计算出答案即可． 【详解】解：关卡一： ，，， ， ． 关卡二： ，， ， ． 闯关心得：关卡一属于幂的逆运算，需要通过所求指数的关系进行求解；关卡二需要先利用积的乘方对所求式子进行化简，再观察化简结果与已知条件的关系，最后利用幂的运算法则即可求解．（答案合理即可） 15．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，变形计算即可； （2）逆向应用积的乘方解答即可． 本题考查了公式的逆向应用，熟练掌握公式是解题的关键 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01幂的运算重难点题型专训 （7个知识点+12大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 同底数幂相乘 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 用科学记数法表示数的乘法 题型四 幂的乘方运算 题型五 幂的乘方的逆用 十 题型六 积的乘方运算 题型七 积的乘方的逆用 题型八 同底数幂的除法运算 题型九 同底数幂除法的逆用 题型十 幂的混合运算 题型十一 零指数幂 题型十二 负整数指数幂 拓展训练一 幂的运算等于1的情况 拓展训练二 幂的新定义运算 拓展训练三 由幂的运算确定字母的关系 知识点一：幂的性质 包括幂的乘法、除法、指数法则等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方等。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列判断正确的有（    ）． ①；②；③；④一个有理数的零次方等于1 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 2．（25-26七年级上·上海宝山·月考）写成只含正整数指数幂的形式： ． 知识点二：幂的运算法则 包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算，其中第一步运算的依据是（    ） A．同底数幂的乘法 B．积的乘方 C．幂的乘方 D．同底数幂的除法 2．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已学的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方．在“”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的 ．（按运算顺序填序号） 知识点三：同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（     ） A． B． C．0 D．1 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）计算： ． 知识点四：同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）的结果是（   ） A．0 B．1 C．-1 D．-8 2．（2025·甘肃武威·二模）计算： ． 知识点五：幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算的结果是(　　) A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西钦州·月考）计算： ． 知识点六：积的乘方 （1）积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列属于积的乘方的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·一模）计算： ． 知识点七：负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A． B． C．3 D． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）计算： ． 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·月考）下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江台州·期末）定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，则的值为 ． 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）已知，，，那么、、之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏·单元测试）已知m，n，x，y满足，，则 ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）将表示成以为底数的幂． （2）将表示成以为底数的幂． 【经典例题二 同底数幂乘法的逆用】 【例1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ． 1．（24-25八年级上·四川内江·月考）计算后的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）规定：若实数x，y，z满足，则记作． (1）根据题意，，则 ． (2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）阅读探究，理解应用．根据乘方的意义填空，并思考： ① ； ② ； ③ (m，n是正整数)； ④一般地，对于任意底数 a 与任意正整数m，n，则有： ，根据你发现的规律，完成下列问题： 计算： （1） ； ； ； （2）已知，，求的值． 【经典例题三 用科学记数法表示数的乘法】 【例1】 （25-26八年级上·全国·课后作业）光速约为，太阳光照射到火星上需要的时间约为，则火星与太阳之间的距离约为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）光年是一种长度单位，它表示光在一年中所通过的距离，已知光每秒通过的距离约为．若一年以计算，则一光年约为 ． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·月考）综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 2．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为 米．(结果用科学记数法表示) 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【经典例题四 幂的乘方运算】 【例1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，则为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列算式：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 1．（24-25七年级下·河南周口·月考）在比较和的大小时，老师给出了如下的方法： ， ， 因为，，所以． 请你仿照上面的方法比较和的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法比较 2．（2025七年级上·上海·专题练习）已知，用含x，y的代数式表示为 ； 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）计算下列各式，并用幂的形式表示结果： (1) ， ； ， ； ， ； ， ． (2)观察第（1）题的计算结果，你有什么发现？把你的发现用适当的数学符号表示出来． 【经典例题五 幂的乘方的逆用】 【例1】（2025七年级·全国·模拟预测）若，，则（    ） A．23 B．25 C．27 D．29 【例2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则的值为 ． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）比较、、的大小（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川乐山·期末）观察等式：，，…，若，则 （用含m的代数式表示） 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题： (1)比较与的大小； (2)比较、、的大小． 【经典例题六 积的乘方运算】 【例1】（2025·陕西咸阳·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）计算： ， ，则 ． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25八年级上·河北邢台·月考）如果，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，则a，b，c三者之间的数量关系是 ； （2）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），则t的值为 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题七 积的乘方的逆用】 【例1】（24-25八年级上·海南·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，则 ． 1．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）计算的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）已知，，，那么、、之间满足的等量关系是 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【经典例题八 同底数幂的除法运算】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·重庆大渡口·开学考试）已知，则 ． 1．（2025·海南省直辖县级单位·三模）下列各式中，计算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津西青·二模）计算的结果等于 ． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）利用乘法公式解决问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． 【经典例题九 同底数幂除法的逆用】 【例1】（24-25七年级下·河北保定·月考）若，，则的值为（    ） A．12 B．8 C．4 D．3 【例2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，，则的值为 ． 1．（24-25七年级下·河南郑州·月考）如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 2．（24-25七年级下·河南郑州·月考）如果，那么我们规定，例如：因为，所以．若，，则 ． 3．（24-25七年级下·四川巴中·月考）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【经典例题十 幂的混合运算】 【例1】（2025·甘肃定西·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若，则满足条件的x值为 ． 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简， ． 3．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）利用幂的运算性质进行计算：×÷×． 【经典例题十一 零指数幂】 【例1】（25-26八年级上·湖南永州·月考）若，则的取值有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2025七年级下·浙江·专题练习）若有意义，则的取值范围是 ． 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若，都是绝对值不大于2的整数，且，则代数式值不可能是（    ） A．5 B． C． D． 2．（2025·河北石家庄·一模）在学习完第一章前3节内容后，李老师留了这样一道课后题目：已知x为整数，且，求x的值，数学兴趣小组进行了讨论： 小鹿：零指数幂的结果为1， 小唯：底数是1的幂的结果为1， …… 根据上述给出的思路，聪明的你计算出x的值可能是 ． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）计算： (1)； (2)． 【经典例题十二 负整数指数幂】 【例1】（2025·河北唐山·二模）下列结果不正确的是（   ） A． B． C． D．能被2整除 【例2】（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算 ． 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，，则用x的代数式表示y，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）若，则的值为 ； （2）若，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·河南郑州·期中）我们规定：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____，_____； (2)记，，，试说明． 【拓展训练一 幂的运算等于1的情况】 【例1】（24-25七年级下·山东威海·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，如果我们规定一个新数“”使它满足，即有一个根为i，并且进一步规定：一切实数可以与新数“”进行运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：……那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·全国·期中）阅读材料：①的任何次幂都等于；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于；④任何不等于零的数的零次幂都等于，试根据以上材料探索使等式：成立的的值为 ． 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）我们规定：个相同的非零有理数的商可以表示为，读作“的圈次方”．，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：_______，________； (2)若为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈次方互为倒数；⑤圈次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是______． (3)试说明（，为正整数且）． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）阅读理解： 在学习同底数幂的除法公式（）时，有一个附加条件m>n，即被除数的指数大于除数的指数．仿照以上公式，我们研究m = n和m < n时，同底数幂的除法． 当被除数的指数等于除数的指数时，我们易得或=1， 即；同理可得，当时， 或=1． 由此启发，我们规定：（a ≠ 0）． 当被除数的指数小于除数的指数时，我们易得或，即；同理可得，当a ≠ 0时，或， 即． 由此启发，我们规定： （a ≠ 0，p是正整数）． 根据以上知识，解决下列问题： (1)填空：= ， ； (2)若，求m的值； (3)若，求x的值．      【拓展训练二 幂的新定义运算】 【例1】 （24-25八年级上·福建泉州·月考）我们知道：，现定义一种新运算：；比如 ，则，若，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·四川眉山·期中）若，则定义新运算：，根据定义新运算计算： ． 1．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）对于整数a，b定义新运算；（其中m，n为常数），如． (1)当，时，的值为________； (2)若，，求的值． 2．（24-25七年级下·北京房山·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 3．（2025七年级下·江苏·专题练习）根据同底数幂的乘法法则，我们发现：（其中，，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，则______；______； (2)若，求，的值； (3)若，求的值； (4)若，直接写出的值． 【拓展训练三 由幂的运算确定字母的关系】 【例1】（25-26八年级上·山东德州·期末）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知，那么之间满足的等量关系是 ． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知：，，，写出，，之间的一个等量关系． 2．（24-25八年级上·北京西城·期中）如果，那么我们规定．例如；因为，所以． (1)根据上述规定填空：______，______； (2)记，，．判断，，之间的等量关系，并说明理由． 3．（24-25七年级下·广东揭阳·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． A基础训练 1．（24-25七年级下·山东烟台·期末）若，，则与之间的关系为（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法判断 2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）计算，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北沧州·一模）若（，，都是正整数），则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级下·山西太原·月考）已学的有关“幂的运算”的法则有：①同底数幂的乘法；②幂的乘方；③积的乘方．在计算下面题目的过程中，每一步的运算法则分别是（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 5．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D． B 提高训练 6．（2025八年级上·全国·专题练习） ． 7．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）比较大小： ．（填“”或“”或“”） 8．（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 9．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为 ． 10．（24-25八年级上·广东广州·期中）如果， 那么我们规定． 例如：因为， 所以． 根据上述规定，若， 且满足， 则 ． C 培优训练 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）规定．若，求的值． 12．（25-26八年级上·天津·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（25-26八年级上·河南南阳·月考）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完幂的运算后，老师给大家设置了如下的闯关任务： 趣味闯关 关卡一：已知，，，求的值； 关卡二：已知，，求的值． 闯关规则：闯过一关得2分，闯过两关得4分，请你进行闯关，并和同学交流你的闯关心得． 15．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $