2026年中考数学二轮复习《图形的相似》综合复习训练题

2026年春九年级数学中考二轮复习《图形的相似》综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1.如图，下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的是() D A.∠AED=∠B B.∠ADE=∠C AD_DE D.AD=AE AB BC AC AB 2.如图，已知AB‖CD,AD与BC相交于点E.若CE=2BE,AD=6,则AE的长为 () C A.1 B.2 c D.3 3.如图，AB‖EF,∠B=90°，AB=6,BE=8,EF=10,AF与BE相交于点C,点G 在AF上，点D在AE上，∠DGE=∠F,则DE最小值为() B G A E A.1 B.2 c.V5 D.25 4.如图，在△ABC中，∠A为直角，点D在AB上，DE⊥BC于点E.若BD=号， BD+DE+BE 的值为() BC+CA+BA A. B. 3 D. 5.如图，在Rt△ABO中，∠ABO=90°，反比例函数y=- 的图象与斜边0A相交于点 X C,且与边AB相交于点D.已知OC=2AC,则△AOD的面积为(). D B A.3 B. A D.2 6.如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位 似中心为点0.若点C(4,0),点C(8,0),点B(10,4),则点A的坐标为() A.（-5,2) B.（-2,-5) c.(5,-2 D.(-5,-2) 7.如图，在正方形ABCD中，AD=4,点M是AB上一点，且AM:BM=1:V2,过点A 作AN,使AN⊥DM,分别交DM、BD、BC于点E,F,N,下列结论正确的是() M E A.DE=DF B.点P为DM上任意一点，则PF+PC的最小值为3V2 C.SAADF=692 D.BN2=EM·DM 二、填空题 8知图，AD1 BEICF,.且2C-则2 EF A D B 9.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC,且边长为 12,则直角边AC+BC= B D 10.如图，钝角三角形ABC绕点A逆时针旋转得到△ABC,点C在直线BC上， AB LBC.已知BC=5,anC=号则AC的长为 11.如图，在矩形ABCD中，AB=4,点E在边BC上，且BE=3CE,F是AB的中点，P 是DF的中点，过点P作PQ‖lAB交EF于点Q,则PQ的长为 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切 于点E.若AD=5,AE=10,则BC的长为 E 13.如图，在Rt△ABC中，点D在BC上，∠BAD=2∠C,过AD上一点E作EF⊥BD 于点F,使得AE=EF,连结AF,若DF=5,CD=4,则AB的长为 14.如图，在菱形ABCD中，连接AC、BD交于点O,点F在OA上，且OF=OA,点 E在BC边上，且BC=3CE,连接EF、DE.若△CEF的面积为10，则四边形ABED的 面积为 三、解答题 15.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，BE>ED, AE=EC. A D G (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)点F是边BC上一点，AF与BD相交于点G,若BG·BE=AB·BF,求证： AB=BE·DG. 16.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系， △ABC的顶点均在格点上（网格线的交点）· ○ (1)画出△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的△A1B,C1: (2)以原点O为位似中心，在X轴的上方画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似，且 位似比为2：1： 3)△A,B,C,和△A,B,C,关于点s位似，直接写出点s的坐标为 17.综合与实践：探究凸透镜的成像规律：已知凸透镜成像的规律是：物体在一倍焦距以 内成倒立等大的虚像，在一倍到两倍焦距之间成倒立放大的实像，在两倍焦距处成倒立 的实像，在两倍焦距以外成倒立缩小的实像.己知AB过凸透镜成的像为AB. A (1)当BF=FO时，证明：△ABO≌△ABO,并据此完成填空； (2)证明： 1+1=1 BO BO FO 18.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD‖BC,AC分别与 BD、OD相交于点E、F. D B (1)求证：点D为弧AC的中点： (2)若CB=6,AB=10,求CE的长 19.如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=k的图象相交于A1,4、B4,m丙点， 与x轴交于点C,点D与点A关于点O对称，连接AD (1)求一次函数和反比例函数的表达式： 2)根据函数图象直接写出关于x的不等式ax+b>k的解集. (3)点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，请直接写出点P的坐标. 20.如图，在口ABCD中，点E在BC边上，将△DCE沿DE翻折得到△DFE,点C的对 称点F落在口ABCD内，延长DF交AB所在直线于点G,交BC所在直线于点H,延长EF 交AB边于点M. M M G 图1 图2 (1)如图1，当点E在BC中点处时，求证：△EFH≌△EBM; (2)在(1)的条件下，若BG=6,MG=10,求DC的长： H 3)如图2，当BE=2CE时.点H在BC边上.若-号，直接写出 AD的值. 参考答案 1.解：，∠A=∠A, ∴.当∠AED=∠B时，根据两角对应相等，能判定△ADE与△ABC相似； 当∠ADE=∠C,根据两角对应相等，能判定△ADE与△ABC相似； 当AD=DE 不能判定△ADE与△ABC相似： AB BC 当AD=AE 根据两组对应边成比例，夹角相等，能判定△ADE与△ABC相似； AC AB 故只有C选项符合题意. 2.解：AB‖CD, BE=AE CE DE .CE=2BE,AD=6,DE=AD-AE, AE ·2BE6-AE、 解得：AE=2,经检验符合题意. 3.解：∠B=90°，AB=6,BE=8, ..AE=10=EF. .∠EAG=∠F, :∠DGE=∠F, .∠EAG=∠DGE, '∠DEG=∠GEA, △DEG△GEA, 腮 .DE=EG2 10, .当EG最小时DE有最小值， 由“垂线段最短”可知当EG⊥AF时EG最小， .AB‖EF ∴.△ABC一△FEC, 提器 .BC_3 …E05 :.BC=3BE=3. 8 ∴AC=3V5 .∠B=90°， ∴.sin∠CAB= 35 355, .ABIl EF, ∴.∠F=∠CAB, sin∠F=sin∠CAB= 51 雪 .EG=2V5, ÷DE-25-20-2 1010 4.解：因为∠A=90°，DE⊥BC, 所以∠BED=90, 在△ABC与△DBE中， ∠A=∠BED=90° ∠B=∠B ∴.△ABC一△DBE, 所以BD-BE-DE、1 BC BA CA 2' 设BD=X,则BC=2X: 设BE=y,则BA=2y; 设DE=Z,则CA=2z, BD+DE+BE=x+z+y=x+z+y=1 所以BC+CA+BA2x+2Z+2y2(X+z+y)21 5.解：过点C作CE⊥OB于点E,如图： 设Da,b,Cm,n, :‘C,D在第二象限， .:a<0,b>0,m<0,n>0. .OB=-a,BD=b,OE=-m,CE=n. :C,D在反比例函数y=-2的图象上， X .:ab=mn=-2. .SAOBD=- ab=1.SaocE=-1 mn=1. :CE⊥OB,AB⊥OB, .:CE‖AB .:△OCE一△OAB. c2. OA 'OC=2AC, 8号 SAOCE =4 SAOAB 9 :Sao0=56aw5am是1-7 4 6.解：：点C(4,0),点C（8,0),且O为位似中心 0℃=4=1 :小矩形与大矩形的位似比为OC,82 ：矩形的对称中心与原点重合，点B10,4 .:大矩形在第三象限的顶点坐标为-10，-4 :‘点A是小矩形在第三象限的顶点，与大矩形在第三象限的顶点对应 点A的坐标为(-10×2,4×2，即(-5，-2) 7.解：，AN⊥DM, △些就为直角三角形， DE<DF,故A不符合题意： 四边形ABCD为正方形，AD=4, .:BC=CD=AD=AB=4,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AD‖lBC, BD=42+4=42 ,AN⊥DM, ∴.∠BAD=∠ABN=∠AED=∠AEM=90°， .∠ADM+∠DAE=90°=∠DAE+∠BAN, .∠ADM=∠BAN, ∴.△MAE△MDA, .ME-MA MA MD ∴.MA2=ME·MD, .AD=AB. ∴.△ABN≌△DAM AAS, ..BN =AM, BN2=EM.DM' 故D符合题意： .AD‖BC, .△BFN一△DFA, 器器 :点M是AB上一点，且AM:BM=1:V2, .BN=AM=4V2-4,BM=8-4V2, 85器-44-2-1， 4 :BF+DF=42, ..DF=4=AD, ∴AE=EF, ∴.DM是AF的垂直平分线， 如图，连接AC交DM于P,连接PF, .'PA=PF, ..PF+PC=PA+PC=AC=42 .PF+PC的最小值为4V2,故B不符合题意； BF =V2-1, DF :.SAABE=BF=2-1' SAADE DF :SAABE+S△ADe=S8AC=号×4x4=8, 小S。A0e=42故C不符合题意. 8.解：ADI BE CF, 器} 9.解：设BC=a,AC=b., 在Rt△ABC中，由勾股定理得a+b=AB2=352=1225, ,四边形CDEF是正方形， .EF‖BC,EF=FC=12, .∠FAE=∠CAB, ∴.△AFE~△ACB, 托器吕 b a .ab=12(a+b), 由完全平方公式得(a+bP=a2+b+2ab:代入得(a+b}=1225+24(a+b) 设a+b=x,则x2-24x-1225=0, 解得x1=49,X2=-25, .a>0,b>0, ,a+b>0,舍去x2=-25, ..AC+BC=49 10.解：延长B'A交BC于点H, AB⊥BC, .AH⊥BC, .∠AHB=90, tanC= 21 在R△AHC中，A=1 HC 2 .设AH=x,则HC=2x, .BC=5,AC=AC', .BH=5-2x,HC'=HC=2x, .△ABC绕点A旋转得到△ABC, .AB=AB,BC=BC=5,∠ABC=∠ABC, 又.∠AHB=∠BHC=90°， .△ABH△CBH, AH BH ·.CHBH .设AB=AB=y, B'H=AH+AB=x+y, AH BH x-5-2x ·CHBH即2xx+y .y=10-5x, ∴.在Rt△ABH中，由勾股定理得AB=AH+BH, y2=x2+(5-2x2, ·代入得，10-5x2=x2+(5-2x月 .整理，得4x2-16x+15=0, 解得xx :当x时，B0,不合题意，舍去 .AH-HC=3. 六AC--aH-hC-3+-程+g-矩-35. 11.解：连接CF交PQ于点H,延长PQ交BC于点G,如图， G E 矩形ABCD,AB=4, ∴.CD=AB=4,AB‖CD, PQ‖AB, ..PQ CD, ∴.△FPH~△FDC, 腮器需 :.PH=-CD=2,FH=CH, PQI AB, .△CHG一△CFB, ..HG-CG-CH_1 BF CB CF 2' :GH=号BF=AB=1,CG=BG, 4 .BE=3CE. .BE=3≥(， .GQ‖AB, △EQG一△QFB, .QG-EG-1 FB EB 3 GQn=3 31 QH=1号 P0=2*日3 12.解：设圆心为O,连接0E, 设⊙O的半径为r, :以DB为直径的圆与AC相切于点E, .:OE⊥AE, 在Rt△A0E中，5+r2=r2+102 解得：r=7.5, .:OA=12.5,AB=20, :‘∠C=90°， .OE BC, .:△OAE一△BAC, .BC=AB OE OA 即BC=20 7.512.5’ 解得：BC=12 13.解：：EF⊥BD,AB⊥BC, .EF AB. .:△△DAB, .EF-DE-DE AB DB DA :‘DF=5, D.DE=SAD .EF=5A BD :'AE=AD-DE=AD-5AD-AD(BD-5) BD BD 又·AE=EF, .AD(BD-5)_5AB BD BD .:AD(BD-5)=5AB①， 作∠BAD的平分线AK交BD于点K, ∠BAK=∠DAK=∠BAD :∠BAD=2∠C, .:∠BAK=∠C, 又：∠ABK=∠CBA=90, .:△ABK一△CBA, .AB_BK CB BA' .:AB=BK·CB, :‘CD=4, .:CB=BD+4, 在△ABD中，AK平分∠BAD, .点K到AB,AD的距离相等， ∴SAAE=BK=AB, S△AKD KD AD AB 、.BD-BK心、 :BK=AB·BD AB+AD AB=ABBD(BD+4). AB+AD .:AB(AB+AD)=BD(BD+4)②， 由①得AD= 5AB BD-5' 代入②得ABAB+5AB =BD(BD+4)' BD-5 :AB'.BD-=BD(BD+4). BD-5 BD≠0， .:AB=(BD-5)(BD+4)' 在Rt△ABD中，AB+BD=AD2, .:(BD-5)(BD+4)+BD2= 5AB 2, BD-5 (BD-5)(BD+4)+BD2=25(BD+4 BD-5 两边同乘(BD-5)得(BD-5P(BD+4)+BD2(BD-5)=25(BD+4)' 展开整理得2BD3-11BD2-40BD=0, :BD>0 .:2BD2-11BD-40=0, 即(2BD+5)(BD-8)=0, 解得BD=8或BD=- 2’ 经检验BD=8符合题意， .:AB2=(8-5)×(8+4)=3×12=36 :AB>0, ,:AB=6 14.解：：四边形ABCD是菱形， .AC L BD,OA=OC,OB=OD, S8元DAC-8D20C208)=20C-0B, :点F在OA上，OF=OA, 4 .:OF=10C, 4 .CF=OC+OF=OC+10C=5 OC. 4 4 过点E作EG⊥AC于点G, :AC⊥BD, EGOB, .:△CEG一△CBO, .EGCE OB CB :‘BC=3CE, .CE_1 CB 3' 6c号o8, ”Sa-CF.EG=10, .150C5OB=10, …24 :50C0B=10, 24 .:OC·OB=48, :S菱形ABCD=2×48=96, :四边形ABCD是菱形， 1 ..SABCD2 1 S菱形ABCD-2 ×96=48, ·‘点E在BC边上，BC=3CE, =1×48=16, :S四边形ABED=S菱形ABCD-SACDE=96-16=80. 15.(1)证明：如图，连接AC交BD于点O, ABCD 四边形 是平行四边形， .:OA=OC,OB=OD, :‘AE=CE, .:OE⊥AC, ,:四边形ABCD是菱形： (2)证明：：BG·BE=AB·BF, .AB_BG ·BEBF 由(1)知，四边形ABCD是菱形： AD‖BC,AB=AD, .:△ADG一△FBG, .DG_BG ·ADBF .:AB=DG_DG ·BE AD AB .:AB=BE·DG. 16.(1)解：如图，△A1B1C1即为所求： (2)解：如图，△A2B2C2即为所求： (3)解：如图，点S即为所求 YA 可得S6,-4 17.(1)解：记左边点F为F1,右边点F为F2,则OF1=OF2=BF1, 过点A作ADIlOF,:交OC于点D,作射线DF2、AO交于点A?过点A作AB⊥OE, 于点B,则AB过凸透镜成的像为AB, B 则四边形ABOC是矩形，AB‖OD‖AB, AB=OC'∠ABO=∠ABO=90'△ABO-△ABO'△DOF2~△ABF, .OB_AB ODOF2, OB AB AB BF2 .OB-OB」 OF2 BF2 .OF=OF2=BF1, .OB=20F2, 0B=0B=2 OF2 BF2 OB=2BF2 OF2=BF2 0B=20F2' ∴OB=OB, .∠AOB=∠AOB,OB=OB,∠ABO=∠ABO=90°， △ABO≌△ABO. ..AB=A B, ,在两倍焦距处成倒立等大的实像： (2)证明：由(1)得OB=OF OB BF, ..OB OF OF OB OB-OF,OB-OF 两边取倒数得： 0B=0B-0F=OB-1, OB OFOF 111 1+1=1 两边同时除以0B得：OB OF OB,即BO+BOFO, 18.(1)证明：，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的点， .∠ACB=90°，即BC⊥AC, OD‖BC, .OD⊥AC, AD=CD,即点D为弧AC的中点： (2)解：：∠ACB=90°，CB=6,AB=10, 六AC=AB2-BC2=102-62=8 .OD⊥AC, :CF-AF-1AC=4. 2 .OD Il BC, ∴△AOF-△ABC, 咒品 n0F_1 621 .OF=3, :0D=号AB=5. .DF=OD-OF=5-3=2, 设CE=X,则FE=4-X, ∠DFE=∠C=90°，∠些=∠BEC, △一△BEC, 器股4女-号 x 6 解得x=3, .CE=3. 19.(1)解：把A1,4代入y=k,得k=4, X ·反比例函数的表达式为y=4 X 把B4,m代入y=4.得m=4=L, X 4 .B4,1, a+b=4 把A1,4、B4,1代入y=ax+b,得4a+b=1 a=-1 解得b=5 .一次函数的表达式为y=-X+5. (2)解：·一次函数y=ax+b与反比例函数y=k的图象相交于A1,4、B4,1两点， X :由图象可得关于X的不等式ax+b>k的解集为x<0或1<X<4. (3)解：令y=-x+5=0,得X=5, ∴.C5,0, .0C=5, :点D与点A1,4关于点0对称， ∴D-1,-40D=0A=12+42=V17 设点Pm,0m<0, ..OP=-m, ,△AOC与△POD相似，∠AOC=∠POD, 当Aa0C-△P0D时，则88品 V17_5 .-m17' m p叶g 当△A0C-△D0P时，则288S 17-5 17-m 解得m=-5, .P-5,0: 综上所述，p的坐标为p-号0成p-50 20.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .:AB‖DC,∠ABC+∠C=180°， ：将△DCE沿DE翻折得到△DFE, .:∠C=∠DFE,CE=FE, :‘∠DFE+∠EFM=180°， .:∠ABC=∠EFH,即∠EBM=∠EFH, :点E是BC中点， BE=CE, BE=FE, :H在BC延长线上，M、F、E共线， .:∠MEB=∠FEH, 在△EFH和△EBM中：∠EFH=∠EBM,FE=BE,∠FEH=∠BEM, .:△EFH≌△EBM ASA. (2)解：由(1)知△EFH≌△EBM, .:FH=BM,EH=EM,∠EHF=∠EMB, :'∠EHF=∠BHG,∠EMB=∠HMG, .:∠BHG=∠HMG,即∠MHG=∠HMG, .:MG=HG=10,..BG=FG=6 :延长DF交AB所在直线于点G,交BC所在直线于点H, :D、F、G、H四点共线， :AB‖DC, .:△HGB~△HDC, .BG_HG DC HD' .:、6 10 DC10+6+DC' .:DC=24. (3)解：设AM=3x,BM=2x,则AB=5x, .DC=AB=5x, 设EC=y,BE=2y,则BC=3y, .AD=BC=3y, 延长ME交DC延长线于点P, :'AB‖DC B G .:∠BME=∠CPE, 又：∠MEB=LPEC, .:△MEB~△PEC, :9=E=2y=2, 'PC CE y 瓷2 .:PC=x, DP=DC+CP=5x+x=6x, ·将△DCE沿DE翻折得到△DFE, .:∠CDE=∠FDE,∠DEC=∠i, :D、F、H共线，M、F、E共线， ,:∠FDE=∠HDE,∠些=∠DEM, .:∠CDE=∠HDE,∠DEC=∠DEM, :‘H、E、C共线，P、E、M共线， .:∠DEH=180°-∠DEC,∠DEP=180°-∠DEM, ,:∠DEH=∠DEP, 在△DEH和△DEP中：∠HDE=∠PDE,DE=DE,∠DEH=∠DEP, .·△DEH≌△DEP ASA, .DH=DP=6x, :DE平分∠HDC, ,:点E到DH和DC的距离相等， :S△EI=DH=6X-6, SADEC DC 5x 5 又'△DEH和△DEC以HE、EC为底时，高相同， SADEL-HE, ·SADEC EC .:HE_6 EC 5' .:HE=6 EC= 6 5 , 6 .HE 2 AD 3y 5