辽宁沈阳市东北育才高中2025-2026学年高一下学期数学期中考试试卷

**基本信息** 东北育才高一期中数学卷立足三角函数、解三角形、向量等核心知识，通过开放探究（如解答题16选条件）、几何情境（如矩形向量问题）设计，梯度覆盖基础运算与综合应用，培养数学抽象、推理能力及几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|终边相同角、圆心角、三角恒等变换|基础概念辨析，如第4题充要条件判断| |多选题|3/18|解三角形性质、三角函数图像变换|多维度辨析，如第9题三角形边角关系| |填空题|3/15|三角函数最值、方程求解、向量应用|创新情境，如第14题单位向量综合| |解答题|5/77|三角化简、解三角形探究、函数综合|开放探究（16题选条件）、几何应用（17题矩形向量）、综合推理（19题函数零点）|

东北育才高中2025-2026学年度下学期 高一年级数学科期中考试答案 一、单选 1．与角终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D． 1．C 【分析】由终边相同的角运算求解即可. 【详解】与角终边相同的角为， 令，解得， 且，则的最小值为1， 所以与角终边相同的最小正角是，即为. 故选：C. 2．半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 2．C 【分析】根据弧长公式求出圆心角的弧度数，再转换为角度. 【详解】由得， 所以圆心角为. 3.设，，则可表示为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  4．在中，“”是“是锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．B 【分析】根据向量的数量积运算律可得角为锐角，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，即， 整理可得，可知， 且，可知角为锐角， 所以，等价于角为锐角， 因为角为锐角不能推出是锐角三角形，但是锐角三角形可以推出角为锐角， 所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件. 5．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 5．C 【详解】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 6．若，则（   ）. A． B． C． D． 6．D 【分析】根据诱导公式、两角和的余弦公式、二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可. 【详解】 可得. 因为 所以. 7．函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点， 若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 7．C 【分析】化简得到，得到的最大值为，最小值为，设的中点为，得到点和点都在轴上，由，得出，设的最小正周期为，列出关于的方程，求得，进而得到的值. 【详解】由函数，其中， 可得函数的最大值为，最小值为， 因为点为图象的最高点，可得，点为图象最低点，可得， 点是图象与轴的交点，可得， 设的中点为，因为和的纵坐标互为相反数，所以， 所以点和点都在轴上， 在中，因为，所以，且为的中点， 根据直角三角形的性质，可得， 过点分别作的平行线，交于点，则， 设函数的最小正周期为， 可得，， 因为，可得，解得，所以. 8．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．当时，，则（    ） A． B． C． D． 8．D 【详解】将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．可得是函数的周期的整数倍. 即，即， 又，则， 故， 当时，， 则在上单调递减， 由，得，即， 则. 二．多选题 （多选）9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（　　） A．若A＞B，则sinA＞sinB B．若A＝30°，b＝4，a＝5，则△ABC有两解 C．若，且，则△ABC为等边三角形 D．若A＝60°，a＝5，则△ABC面积的最大值为 【解答】解：A选项，在△ABC中，由A＞B得a＞b，即2RsinA＞2RsinB，所以sinA＞sinB； B选项，若A＝30°，b＝4，a＝5， 由正弦定理得，，解得， 又a＞b，所以A＞B，所以B只能是锐角，△ABC只有一解，B错误； C选项，和分别为与和同方向的单位向量， 由，可知∠BAC的角平分线与BC垂直，△ABC是等腰三角形且AB＝AC， 又因为， 所以，所以△ABC是等边三角形，C正确； D选项，因为A＝60°，a＝5，得25＝a2＝b2+c2﹣2bccos60°＝b2+c2﹣bc≥bc，当且仅当b＝c时取等号，即bc≤25， 所以，D正确． 故选：ACD． 10.函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有(    ) A. 是的一条对称轴 B. 在上单调递增 C. 的一个对称中心为 D. 是偶函数 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查了函数的图象与性质，属于中档题． 先由图象得出 ，再由三角函数性质逐一判定即可得出结论． 【解答】 解：由图知，则， ，所以，则， 即 因为，所以，，即， 因为，得，所以 所以 当时，，故A对 在上单调递增，在上单调递减，故B错 ，故C错 ， 是偶函数，故D对， 故选AD． （多选）11．如图，在四边形ABCD中，，则（　　） A．当λ＝1时， B．当时，DA＝DB C．的取值范围是 D．的取值范围为（3，+∞） 【解答】解：因为， 建立如图所示平面直角坐标系， 可得，过点D作DE⊥x轴，垂足为E， 因为AC⊥CD，则∠ACB+∠DCE＝90°， 又∠ACB+∠BAC＝90°，所以∠B＝∠E＝90°∠BAC＝∠DCE， 又∠ABC＝∠E＝90°，AC＝CD，所以直角△ABC≅直角△CED， 即，则 选项A，当λ＝1时，，则，A正确； 选项B，当时，， 则，， 故DA≠DB，B错误； 选项C，，，则， 因为λ＞0，由二次函数单调性可得3λ2+3λ∈（0，+∞），C错误； 选项D，，， 则：， λ＞0时，二次函数对称轴为， 由单调性可知6λ2+3λ+3＞3，即的取值范围是（3，+∞），D正确． 故选：AD． 三．填空题 12．已知sinA1+sinA2+⋯+sinA2026＝2026，则sin（A1+A2+⋯+A2026）＝　0　 ． 【解答】解：根据题意，若sinA1+sinA2+⋯+sinA2026＝2026， 则sinA1＝sinA2＝⋯＝sinA2026＝1， 不妨设A1＝2k1π，A2＝2k2π，A3＝2k3π，……，A2026＝2k2026π，（k1、k2、k3、……、k2026都是整数）， 则sin（A1+A2+⋯+A2026）＝sin[2（k1+k2+…+k2026）π+2026]＝sin1013π＝0． 故答案为：0． 13.关于的方程的解集为          ． 【答案】或  【解析】【分析】结合余弦的二倍角公式将方程转化为，进一步转化为解方程即可得答案． 【详解】因为， 所以， 所以或 显然无解； 方程的解为或 所以，原方程的解为或 14．已知函数，向量，，是平面内三个不同的单位向量，其中向量，相互垂直，且满足f（•）+f（•）+f（•）＝1，则（）•的取值范围是 　　 ． 【解答】解：已知，相互垂直，则，所以， 因为•， 所以， 又因为，所以•， 即，， 以，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，，设， 则，， 由且，可得， 已知，，， 则， 所以， 因为，所以， 则，所以， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题： 15．（1）已知化简求值： ； （2）已知且 求的值. 【详解】（1）由诱导公式得.．．．．．．．．．．5分 （2）因为，所以， 因为，， 所以，，．．．．．．．．．．9分 则 . ．．．．．．．．．．13分 16.本小题分 从；；； 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________． 求角的大小； 求取值范围； 【答案】解：若选：由正弦定理得  ， 即 ， 因为  ，所以  ， 所以  ，整理得  ， 又因为  ，则  ，所以 ．．．．．．．．．．．6分 若选：因为  ， 由正弦定理得  ， 即  ， 所以  ， 由  ，得  ， 所以  ，即  ， 因为  ，所以  ；．．．．．．．．．．6分 若选：因为  ，所以 ， 即  ， 又因为  ，所以 ， 又因为  ，所以  ， 因为  ，所以  ；．．．．．．．．．．6分 在锐角  中，由得，  ， 所以 ，  ，．．．．．．．．．．12分 由  ，所以 ， 所以  的取值范围为  ．．．．．．．．．．．15分 17.本小题分 如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点． ，，，求的值； 若，，求的最小值． 【答案】解： ， 故，，则；      ．．．．．．．．．．4分 在矩形中，， ， 所以 ， 因为，， 所以， 解得，即．．．．．．．．．．．8分 在中，，，则， 因为， 所以 ，                          设，， 所以 ，，．．．．．．．．．．13分 因此当且仅当 时， 有最小值， 从而的最小值为     ．．．．．．．．．．15分 18.本小题分 已知函数． 求函数的最小正周期； 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象． 若在区间上没有对称轴，求的取值范围； 若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．． 【答案】解： ，．．．．．．．．．．3分 函数的最小正周期为 ．．．．．．．．．．4分 将函数的图象向左平移个单位长度，得到， 将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数 ，而，， ，．．．．．．．．．．6分 解得， 又， 当时， ．．．．．．．．．．8分 当时，， 综上可知，的取值范围是 ．．．．．．．．．．．10分 由， 可得， 即， 即， 即，其中，．．．．．．．．．．14分 因为，则， 令， 则关于的不等式在上有解， 设，， 则或，．．．．．．．．．．16分 解得或， 所以实数的取值范围． ．．．．．．．．．．17分 19.本小题分 已知函数，，． 若，求的值域； 若，求在上的所有零点； 若对于满足的所有，，都存在使得，求正实数的最小值． 【解析】解：当，时，． 因为，所以，即的值域为；．．．．．．．．．．4分 当，时，． 令，即． 根据诱导公式可得， 则或，．．．．．．．．．．．8分 因为，所以． 当时，，即，解得． 当时，，即，解得舍去． 因此，在上的零点为；．．．．．．．．．．11分 （3），，故或，若存在使得，由零点存在定理，必存在使， 故此问题可转化为，若对于满足的所有，，都存在使得，求正实数的最小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 即或， 得或 当，取1或时，取得最小值．．．．．．．．．．17分 第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北育才高中2025-2026学年度下学期 高一年级数学科期中考试试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人、校对人：高一数学组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．与角终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D． 2．半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 3.设，，则可表示为  (    ) A. B. C. D. 4．在中，“”是“是锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 6．若，则（   ） A． B． C． D． 7．函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 8．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合．当时，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（　　） A．若A＞B，则sinA＞sinB B．若A＝30°，b＝4，a＝5，则△ABC有两解 C．若，且，则△ABC为等边三角形 D．若A＝60°，a＝5，则面积的最大值为 10．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（　　） A. 是的一条对称轴 B. 在上单调递增 C. 的一个对称中心为 D. 是偶函数 11．如图，在四边形ABCD中，，则（　　） A．当λ＝1时， B．当时，DA＝DB C．的取值范围是 D．的取值范围为（3，+∞） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知sinA1+sinA2+⋯+sinA2026＝2026，则sin(A1+A2+⋯+A2026)＝　 　 ． 13．关于的方程的解集为           ． 14．已知函数，向量，，是平面内三个不同的单位向量，其中向量，相互垂直，且满足f()+f()+f()＝1，则的取值范围是 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） （1）已知化简求值： ； （2）已知且 求的值． 16．（本小题15分） 从；；； 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在锐角中，分别是角的对边，若________________． （1）求角的大小； （2）求取值范围． 17．（本小题15分） 如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点． （1），，，求的值； （2）若，，求的最小值． 18．（本小题17分） 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象． (i)若在区间上没有对称轴，求的取值范围； (ii)若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围． 19．（本小题17分） 已知函数，，． （1）若，求的值域； （2）若，求在上的所有零点； （3）若对于满足的所有，，都存在使得，求正实数的最小值． 高一年级数学科试卷 第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 东北育才高中2025-2026学年度下学期高一年 级数学科期中考试答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 回▣ (正面朝上，切勿贴出虚线方 正确填涂 缺考标记 客观题(18为单选题；911为多选题) 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] I1[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12 13 14 ㄖㄖ■ 解答题 15. 囚囚■ 16.选择条件 ■ ■ 17. D C I E I I I ■ 囚■囚 18. 囚■囚 ■ 口 9 ■