广东省汕尾市陆丰市2025—2026学年度第二学期期中教学质量监测高二数学

**基本信息** 高中数学期中试卷通过真实情境与梯度设计，以生活实践问题考查抽象能力、运算推理及模型意识，适配阶段性学习评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6题82分|函数单调性、立体几何体积计算、数列求和|以社区人口统计为背景设计概率综合题，考查数据意识与数学语言表达|

2025一2026学年度第二学期期中教学质量监测 高二数学参考答案及评分标准 1.【答案】D 【详解】在等比数列{a}中，因为1=1,3=9，根据等比数列的性质得 ?=13=9,即2=3或2=-3，故选D. 2.【答案】A 【详解】法一：在等差数列{an}中，有a,+a3=4+a,=5+7=12, 所以9，=4+ax13=12x13=78. 2 法二：在等差数列{a,}中，有a+a3=2a,=5+7=12→a,=6, 所以S3=4+ax13=4,×13=6x13=78.故选A. 2 3.【答案】C 【详解】由导函数y='(x)的图象，可得： 当<0时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当0<<1时，'(x)>0,f(x)单调递增： 当1<<2时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当>2时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 所以，当x=0时，函数f(x)取得极小值，当=1时，函数f(x)取得极大值， 但不一定为函数的最大值.故选C 4.【答案】C 【详解】根据平均变化率公式可得： fb)-fa_(b--(a2-_b-a2 =b+a.故选C. b-a b-a b-a 5.【答案】B 【详解】数列的通项为=(-1)+1.(3-1)，令=-299（负数，说明 n为偶数)，解得=100.故选B. 6.【答案】C 【详解】利用等差数列重要性质：3,6-3,9一6成等差数列， 则2(6-3)=3+(9-6)，所以2×(63-21)=21+9-63， 所以9=126.故选C. 7.【答案】B 【详解】'()=2-8+4， 因为1014和1015是（)的两个极值点，所以它们是'()=0的两个根。 根据韦达定理：1014+1015=8， 1014·1015=4, 因为{}是等比数列，由等比数列性质得： 1014·1015=1·2028=2·2027=…=4, 20 ∑1og:a=1og4(12-2)=og:404=1014.故选B. 高二数学参考答案及评分标准第1页（共8页） 8.【答案】D 【详解】构造函数()=口，其中xe(引，则《)=+血>0 所以，函数()在（受上单调递增， 不等式()>2（写）os等价于Q>旦，即()>（写）， cos 由（)的单调性得>3又∈(-22)，故解集为(32.故选D. 9.【答案】AD 【详解】对于A,(2+1)'=(2)'+(1)'=2+0=2,所以A正确： 对于B(告）=40=a ,所以B错误： (1-)2 对于C,(cos2x)'=-2sin2,所以C错误： 对于D,(cos)'='cos+(cos)'=1·cos+·(-sin) =cos-sin,所以D正确.故选AD. 10.【答案】ABD 【详解】对于A因为1=克2=3,3=-2,4=-子5=1”…所 以{}为周期数列，且最小正周期为4，所以A正确： 对于B,因为一个周期内四项的和为+3-2-}名， 是连续4项之和， 等于名所以()是常数列，所以B正确： 对于C,因为{的周期为4，所以2024=4=-子2025=1=月，2026= 2=3,乘积为(-)××3=+分所以C错误： 对于D.因为4+3=×名+1+2+3=名++3-2=名+所以D 正确.故选ABD. 11.【答案】ACD 【详解】f(x)定义域为(-m,+oo)； f(x)=e-1=e(x+m)-1 x+m x+m 令()=(+)-1，'()=(++1)， 对于A,当m=1时，'()=(+2)>0， 所以函数()在(-1，+∞)单调递增，又(0)=0， 当∈(-1,0)时，()<0，则f(x)<0,函数f(x)在(-1,0)单调递减， 当∈(0，+o)时，()>0，则f(x)>0,函数f(x)在(0，+o∞)单调递增， 所以A正确； 对于B,当=1时，要证()≥1-1-ln(+1),即证≥1-1 注意：当-1<<0时，1-1>1，而<1，此时≥1-1不成立.所以B错 误； 对于C,当m=2时，因为∈(-2，+∞)，所以'()=(+3)>0 所以（)在(-2，+∞)上单调递增， 又(-1)=-1-1<0，(0)=1>0， 由零点的存在性定理可知， 高二数学参考答案及评分标准第2页（共8页） 所以存在x∈(-1,0)，使得（0)=0， 当∈(-2，o)时，则f(x)<0,函数f(x)在(-2，x)单调递减， 当∈(o,+o)时，则f(x)>0,函数f(x)在(x,+o)单调递增， 当x=x,时，函数有极小值点x,因此f(x)存在一个极小值点（唯一极值点）， 所以C正确： 对于D, 当≤2时，ln(+)≤ln(+2), 故-ln(+)≥-ln(+2). 由选项C可知，当m=2时， ()=-1n(+2)在处取得极小值（也是最小值）， 法1：其中满足0=中2即0=-1n(。+2), 则()≥0-ln(o+2)=1 F02+0=+n(。+2=ty 0+2 0+2 因为0∈(-1,0)，所以(0+1)2>0,0+2>0，故（0)>0. 因此-ln(+2)>0恒成立， 故当≤2时，（)=-ln(+)>0恒成立. 法2：显然0≠-1,0>-2， 则 ()≥0-ln(0+2) 、1 0+2 +0 1 0+2+0 >21,+2 (x。+2)-2=0, 因此-ln(+2)>0恒成立， 故当≤2时，()= -ln(+)>0恒成立， 所以D正确.故选ACD. 12.【答案】4 【详解】'()=4，根据导数的几何意义，曲线在=0处的切线的斜 率为'(0)=40=4. 13.【答案】[2，+o) 【详解】由题意，函数()在(0，+∞)上单调递增，所以'()≥0在(0，+∞) 上恒成立.因为'()=2+(-2)，要使2+-2≥0对任意>0恒成立， 则之对任意>0恒成立， 记（)=子e0,+o), 易知()在(0，+∞)上为减函数， 所以()<2，≥2， 综上，实数的取值范围是[2，+∞). 14.【答案】品(2分)，(3分)· +1 【详解】由题意可得F3=2,4=3,5=5,6=8,7=13, 高二数学参考答案及评分标准第3页（共8页） 则5=2-é=13-8=1 6-5=8-5=40 因为 =2-出， +1 那么=(3-2)+(4-3)+…+(2-出) =起-是=g-1=n1=阳 21 32 +1 +11 41 +1 15.解：(1)（)的定义域为R,…1分 ()=2+-2=(+2)(-1)…2分 令()=0，解得=-2或=1.…3分 当<-2或>1时，'()>0；…4分 当-2<<1时，()<0；…5分 所以，()的单调递增区间为(-∞，-2)和(1，+0)，…6分 单调递减区间为（一2,1）.…7分 (2)由(1)可知，在区间[-3,6]内： 当=-2时，()有极大值，并且极大值为(-2)=空：…8分 当=1时，()有极小值，并且极小值为（四=号 …9分 又(-3)=3， 2)…l0分 (6)=83,…11分 所以，()的最大值为83，…12分 最小值为一.… …13分 16.解：(1)()的定义域为(0，+∞)， …1分 f(x)=-(2x+(x-) …2分 X 令'()=0，解得=1. 令f(x)>0,解得x>1,函数f(x)在(1，+o）上单调递增，…3分 令f(x)<0,解得0<x<1,函数f(x)在(0,1)上单调递减，…4分 当x=1时，f(x)的极大值为(1)=0，…5分 无极小值，…………………………6分 所以函数只有一个零点X=1.…7分 1 (2)=+ 的导数为=1+二， ………………8分 曲线=+ 在=1处的切线的斜率为=1+2，…9分 则曲线=+在=1处的切线的方程为-1=2(-1)， 即=2-1.…10分 由于切线与曲线=2+(2+3)+1只有一个公共点， 将=2+(2+3)+1与=2-1联立， 得x2+(2a+1)x+2=0①有且只有一解，…11分 当=0时，①式变为+2=0，则=-2， 方程①有且只有一解，符合题意；…I2分 当≠0时，则△=(2a+1)2-8=0,…13分 高二数学参考答案及评分标准第4页（共8页) 即42-4a+1=0,解得a=2' 1 …14分 综上，a=0或a=} …15分 17.解：(1)法一：由+1=2+1得+1+1=2（+1)，…1分 即+12，…2分 又1=1十1=2，……………………………………3分 所以+坦=2，…4分 所以{}是首项为2，公比为2的等比数列.…5分 从而=2X2-1=2,…6分 故=2-1. …7分 法二：对∈*，出三1中=22=2,3分 +1 且1=1+1=2，…4分 所以{}是首项为2，公比为2的等比数列.…5分 从而=2·2-1=2，…6分 故=2-1. …7分 (2)由(1)知=2，则10g2=10g22= …8分 10g2+1三10g22+1三+1，…9分 三天…l分 =1+2十.+ =(1-)+(G-)+…+(-)=1-…13分 1 >0, =1-名<1，得证。 …15分 18.解：(1)由Sn=2n2+n, 当n≥2时，an=Sn-Sn1=(2n2+n-2(n-1)2+(n-1)=4n-1;…1分 当n=1时，有a=S=3也符合上式；…2分 所以n=4-1.…3分 由b1=bn+2×3”-,b=1→b1-b,=2×3m-，…4分 当n≥2时，有 bn=(b,-bn-1)+(b-1-bn-2）+(bn-2-b,-3)++(6-b2H62-b+b =2×3"-2+2×3"-3+2×3m-4++2×3+2×3°+1 3"1-1+1 =2 3-1 =3-1 ……………5分 由n=1,1=1符合上式，…6分 所以bn=3-小.…7分 高二数学参考答案及评分标准第5页（共8页） (2)(I)a=4n-1 bn3m-1’ …8分 有 =2+4+%+8++9 an1 4n b b2 b3 ba ba bn -+g2+++++品， 1 3 32 3号，①…9分 3 14x2-14x34x4-+4nh 3 32Γ+33 31 +30，②…10分 ①-②得， 2 =4×1-1+444,4 44-1 3 1+3++3京++…+33 =3+×1-4- 1 1- 3 =5-4+5 3 …13分 所以号0 .………………………………………14分 (I)法一：因为%=4二>0，所以7，关于n的递增函数.…15分 9=3%=7,4-14=54-19 bb23'b9'b49'b81 不-黄-1爱曾-万骨-6无-5会7+ b b 9 …16分 所以n的最小值为4.…17分 法二：由T>7→ 154n+5 22x3>7→a<1,., 3 …15分 令g(n)= 4n+5 所以a+l-,4n+9=n+9<1sga+1水ga), g(n）3(4n+5)12n+15 即g)=g中的为减商数…16分 而（四=9，②）=号.3)=号，（④=引=<1， 所以n的最小值为4.…17分 19.解：(1)由题意得，函数f的定义域为(0，+o),x)-a=1- ,…1分 当a≤0时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，…2分 当a>0时，令f(x)>0,解得0<x<1f(x)单调递增， 高二数学参考答案及评分标准第6页（共8页） 令f'(x)<0,解得x>三，f(x)单调递减， …3分 综上，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增， 当a>0时，()在0上单调递增，在（仁，+）上单调递减…4分 (2)解法一：当a=1时，由(1)知()的最大值为f)n1,…5分 所以f(x)=nx-x≤f(1)=-1, 所以lnx-x≤-1（当且仅当x=1取等号）. …6分 设h()=--2,则h'()=-1, 当≥0时，h()≥0，所以h()在∈[0，+∞)为增函数，…7分 所以当∈(0，+∞)时，h()>h(0)=-1,…8分 ()<--2.…9分 解法二：当a=1时，（)=ln-<--2,∈(0，+∞) 即证明当∈(0，+∞)时， -ln-2>0,… …5分 设（)=-n-2,则'()=-1，令()=-1， 由'()=+马>0得'()在∈(0，+∞)时为增函数， 又因为(1)=-1>0，'()=-2<0， 则存在o∈(2,1)，使得 (0）=0,… …6分 即8-=0，也即=卡0= -0, 0 当∈(0，)时，'()<0，()单调递减， 当 ∈(0，+∞)时，'()>0，()单调递增， 当=0时，（)有最小值，…7分 即()≥()=0-ln0-2=1-ln -0-2,…8分 =+。-2>2日·。-2=0（因为0≠1，所以基本不等式等号不成立） V0 所以当∈(0，+∞)时，-ln-2>0. ()<--2.… …9分 (3)由己知， 1 - ≤- 因为a>0,所以n +1 即ln- ≤-eh-+1,… …10分 设t=n 一，可 得t≤-e+1, …11分 也即e+t-1≤0， 设g(①)=e+t-1, 由g(①)=e+1>0,所以g()在R上为增函数， …12分 又因为g(0)=e0+0-1=0,所以t≤0.…13分 高二数学参考答案及评分标准第7页（共8页） 即ln-≤0，也即≥n在e(0,+o)恒成立， ……14分 令h()=n,h()=-h, 令h'()=0得=e,… …15分 列表 (0,e) e (e,+o) h'() 0 h() 单调递增 单调递减 e …16分 只需 …17分 高二数学参考答案及评分标准第8页（共8页）2025一2026学年度第二学期期中教学质量监测 高二数学 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处 2请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效 3,答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修 正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求. 1.已知等比数列an}满足a1=1,a3=9,则a2=（） A.3 B.-3 C.1 D.±3 2.记Sn为等差数列{a3的前n项和，若a3=5,a11=7,则S13=（) A.78 B.84 C.90 D.96 3.已知函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则下列描述正确的是 () A.f(x)在(-0,1)单调递增 B.f(x)在x=0处取得极大值 C.f(x)在(0，)单调递增 D.f(x)在x=1处取得最大值 4.函数f(x)=x2-1在区间[a,b]上的平均变化率为() A.b-a B.b C..b+a D.a 5.已知数列2，-5,8，-11,14，，则-299是该数列的() A.第99项 B.第100项 C.第101项 0.第102项 6.已知等差数列{anJ的前n项和为S,S3=21,S。63,则Sg=（) A.105 B.112 C.126 D.135 高二·数学 第1页共4页 7.已知a)为等比数列，a1014和a1o1s是函数f(x)=x3-4x2+4x+5的两个极 值点，则登1og,a=（) A.-1013 B.1014 C.-1014 D.1013 《已知两数的定义线为（引其特函数是/以，若 f)cosx+fx)sinx>0,则关于x的不等式f()>2f()cosx的解集为() A.(-2) B.(-) c.(-8) D.(5 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得 0分. 9.下列求导运算中，正确的是() A.(x2+1)=2x B(=-a家 C.(cos 2x)'=-sin 2x D.(xcosx)'=cosx-xsinx 10已知数列a满是a,=克且a1=尝芒∈N),记数列a,)的前n项和 为Sn,则下列结论正确的有（) A数列{a}为周期数列，且最小正周期为4 。B.若bn=an+an+1+an+2十an+3,则{bn}是常数列 C.a202402025·020z6=月 D.53=g+月 11.函数fx)=e-m(x+m),则下列说法正确的是() A.若m=1,则f(x)在(-1,0)单调递减，在(0，+∞)单调递增 B.若m=1,则fx)≥1-1-ln(x+1) C.若m=2,则f(x)存在一个极值点 D.若m≤2，则f(x)>0恒成立 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=4sinx+1,则曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率 为 高二·数学 第2页共4页 13.已知函数f(x)=ax3+(Q-2)x-1,若对于任意x1>x2>0,都有 f(x)>f(x2)则实数a的取值范围是 4设数列R,满足5=1=1.2=R1+定义a,=器-学 Sn为数列a)的前n项和，则a5=(结果用数字作答)，Sn= (结果用Fn和Fn+1表示) 四、解答题：本大题共5小题，共刀分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤， 15.13分)已知函数f(x)=x3+2x2-2x+5. (1)求函数f(x)的单调区间： (2)求函数f(x)在闭区间[-3,6上的最值. 16.(15分)已知函数f(x)=x+mx-x2 (1)求函数f(x)的零点和极值： (2)设直线1为曲线y=f(x)+x2在点(1,1)处的切线，若1与曲线 y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点，求a的值 17.(15分)已知数列(an}满足a1=l,an+1=2an+1,设bn=an+1. (1)证明：数列b}是等比数列，并求{a}的通项公式： 1 (②)设cn=g2,9记S,为数列c,的前n项和，证明：Sn<1. 高二·数学 第3页共4页 18.7分)设S,为数列a,的前n项和，且S,=2r2+n数列b,]满足1=1， bn41=bn+2×3m-1 (1)求数列(aJ和(b,通项公式： (2)记Tn为数列{侣}的前n项和 (I)求Tn (11)若Tn>7,求n的最小值。 19.(17分)已知函数f(x)=lhx-ax(aeR). (1)讨论f(x)的单调性： “(2)当a=1时，求证：fx)<e2-x-2: (3)已知a>0,xe(0,+o),恒有f(x)≤-are'+a,求a的取值范围. 高二·数学 第4页共4页