精品解析：辽宁丹东市第十三中学2025-2026学年度下学期七年级期中教学质量监测 七年级数学试卷

2025-2026学年度下学期七年级期中教学质量监测 七年级数学试卷 答题时间：90分钟 满分值：100分 一、单选题（共20分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C. 如果，那么 D. 三角形内角和是 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 红细胞，也称为红血球，是血液中数量最多的血细胞，主要功能是运输氧气和部分二氧化碳．人体红细胞的直径约为米，将用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 4. 下面各语句中，正确的个数有（ ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③若，，则；④相等的角是对顶角；⑤经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行；⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是同旁内角 C. 与是同位角 D. 与是内错角 6. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便，图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图,分别是的高、角平分线、中线,则下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是甲、乙两同学手中的扑克牌，若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与自己手中牌是相邻数的概率是（ ） A. B. C. D. 1 10. ①如图1，ABCD，则；②如图2，ABCD，则；③如图3，ABCD，则；④如图4，直线ABCDEF，点O在直线EF上，则．以上结论正确的是（ ） A. ①②③④ B. ③④ C. ①②④ D. ②④ 二、填空题（共10分） 11. 若 是一个完全平方式，则m的值是__________． 12. 若的展开式中不含项与项，则_____，_____． 13. 如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 14. 在中，为边上的高，，，则______． 15. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是________． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … 三、解答题（共70分） 16. 计算 （1） （2） （3） （4）简便运算：； 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. ，，，与平行吗？为什么？ 解：． ， ___________．（___________）． ___________． 在中，（___________）． ， ______________________．（___________）． ．（___________）． 19. 在一个不透明的袋子中装有10个黑球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球. （1）摸出的球是黑球的概率是多少?摸出的球是白球的概率是多少? （2）为了使摸出黑球的概率是摸出白球的概率的3倍，再放进去9个球，那么这9个球中黑球和白球的数量分别应是多少? 20. 如图，CD//AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°． （1）直线EF与AB有怎样的位置关系？说明理由； （2）若∠CEF＝68°，则∠ACB的度数是多少？ 21. 对于整数a，b定义新运算；（其中m，n为常数），如． （1）当，时，的值为________； （2）若，，求的值． 22. 请阅读下列材料并解答问题： 材料一：若，求的值． 解：设，则 我们解决上述问题的这种方法叫做换元法，利用换元法将式子转化为更简单的形式． 材料二：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个小正方形和长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 解决问题： （1）已知，求的值 （2）如图②，点是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，求出的面积． 23. 定义：在平面内，对于和，若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如：，，有，则是的“2系数补角”． （1）若，求的“5系数补角”的度数； （2）在平面内，直线，直线在上方，直线分别交直线，于点E，F，且，点H为直线右侧一个动点，的平分线与的平分线交于点M． ①如图，若点H在直线上方，且，，求的度数； ②已知，，是的“3系数补角”，且，请直接用含m和n的式子表示x． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期七年级期中教学质量监测 七年级数学试卷 答题时间：90分钟 满分值：100分 一、单选题（共20分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 B. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C. 如果，那么 D. 三角形内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能是反面向上，故原事件是随机事件，不符合题意； B、车辆随机到达一个路口，不一定遇到红灯，故原事件是随机事件，不符合题意； C、如果，那么或，故原事件是随机事件，不符合题意； D、三角形内角和是，是必然事件，符合题意； 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算，涉及合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，平方差公式等知识，掌握这些运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，平方差公式求解即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 3. 红细胞，也称为红血球，是血液中数量最多的血细胞，主要功能是运输氧气和部分二氧化碳．人体红细胞的直径约为米，将用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解；． 故选：B． 4. 下面各语句中，正确的个数有（ ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③若，，则；④相等的角是对顶角；⑤经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行；⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，对顶角的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误； ②同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原说法错误； ③若，，则，原说法正确； ④相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原说法错误； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，原说法错误． ∴说法正确的有1个， 故选：A． 5. 如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ） A. 与是同旁内角 B. 与是同旁内角 C. 与是同位角 D. 与是内错角 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查邻补角、同位角、内错角、同旁内角，根据邻补角、同位角、内错角、同旁内角对选项进行判断即可求解． 【详解】解：A. 与是同旁内角，说法正确； B. 与是邻补角，原说法错误； C. 与是内错角，原说法错误； D. 与是同旁内角，原说法错误； 故选：A． 6. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便，图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线判定与性质求角度，涉及平行线的判定与性质，先由得到，则，再由即可得到答案．熟记平行线的判定与性质，数形结合找到相关较大关系是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，则： 都与地面平行， ， ， ， ， 则， ， ， 故选：D． 7. 如图,分别是的高、角平分线、中线,则下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形高、角平分线、中线的定义；根据三角形高、角平分线、中线的定义判断选项即可． 【详解】解：A、是的高，即,所以，故A不符合题意； B、是的角平分线，即平分,所以，故B不符合题意； C、是的中线,即是中点，所以，故C不符合题意； D、无法由的高、角平分线、中线得出，故D符合题意． 故选：D． 8. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方法则得到，根据同底数幂的大小即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选C． 9. 如图，是甲、乙两同学手中的扑克牌，若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与自己手中牌是相邻数的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：甲手中的牌为2，5，8，乙手中有4张牌，分别为4，5，8，9， 当甲从乙手中抽到4和9的时候，则恰好与自己手中牌是相邻数， 故恰好与自己手中牌是相邻数的概率是． 10. ①如图1，ABCD，则；②如图2，ABCD，则；③如图3，ABCD，则；④如图4，直线ABCDEF，点O在直线EF上，则．以上结论正确的是（ ） A. ①②③④ B. ③④ C. ①②④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质即可得出结论；②先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③过点E作直线EFAB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，进而利用角的关系解答即可． 【详解】 ①如图1，过点E作直线EFAB， ∵ABCD， ∴ABCDEF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠AEC＝360°， 故本结论正确，符合题意； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵ABCD， ∴∠A＝∠1， ∴∠A＝∠C+∠P， ∴∠P＝∠A﹣∠C， 故本结论正确，符合题意； ③如图3，过点E作直线EFAB， ∵ABCD， ∴ABCDEF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故本结论错误，不符合题意； ④如图4，∵ABEF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CDEF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故本结论正确，符合题意； 故正确的结论为：①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 二、填空题（共10分） 11. 若 是一个完全平方式，则m的值是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或， 故答案为：或； 12. 若的展开式中不含项与项，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意先计算多项式乘以多项式，根据展开式中不含项与项，得出的值，即可求解． 【详解】解： ∵展开式中不含项与项， ∴， ∴， 故答案为：，． 13. 如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 【详解】解：∵ 是的中线，的面积是16， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 14. 在中，为边上的高，，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的高，解决问题的关键是进行分类讨论． 根据的不同位置，分两种情况进行讨论：在的内部，在的外部，分别求得的度数． 【详解】解：①如图，在的内部， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，在的外部， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为或． 15. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是________． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，找出正确的规律是解决本题的关键． 观察可知把看成常数，从左往右数，的第三项的系数为，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意得，把b看成常数， ∴从左往右数，的第三项的系数为， 从左往右数，的第三项的系数为， 从左往右数，的第三项的系数为， ……， 以此类推，从左往右数，的第三项的系数为， 而中， 第三项的系数是10， 故答案为：10． 三、解答题（共70分） 16. 计算 （1） （2） （3） （4）简便运算：； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的运算运算，整式的混合运算，熟练掌握幂的运算以及乘法公式是解题的关键； （1）先算零次幂、负整数指数幂及化简绝对值，再算加减法即可； （2）根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法进行计算即可求解； （3）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （4）将变形成运用简便方法计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算－化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 18. ，，，与平行吗？为什么？ 解：． ， ___________．（___________）． ___________． 在中，（___________）． ， ______________________．（___________）． ．（___________）． 【答案】；垂直定义；；直角三角形的两个锐角互余；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，根据以上知识完成填空，即可求解． 【详解】解：． ， ．（垂直定义）． ． 在中，（直角三角形的两个锐角互余）． ， ．（等角的余角相等）． ．（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；垂直定义；；直角三角形的两个锐角互余；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 19. 在一个不透明的袋子中装有10个黑球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球. （1）摸出的球是黑球的概率是多少?摸出的球是白球的概率是多少? （2）为了使摸出黑球的概率是摸出白球的概率的3倍，再放进去9个球，那么这9个球中黑球和白球的数量分别应是多少? 【答案】（1）摸出的球是黑球的概率是，摸出的球是白球的概率是 （2）这9个球中黑球有8个，白球有1个 【解析】 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）设这9个球中黑球有个，白球有个，根据摸出黑球的概率是摸出白球的概率的3倍列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵袋子中装有10个黑球和5个白球， ∴随机摸出一球，摸出的球是黑球的概率是，摸出的球是白球的概率是； 【小问2详解】 解：设这9个球中黑球有个，白球有个， 由题意得：， 解得：， 则， 答：这9个球中黑球有8个，白球有1个． 【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握概率的计算公式． 20. 如图，CD//AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°． （1）直线EF与AB有怎样的位置关系？说明理由； （2）若∠CEF＝68°，则∠ACB的度数是多少？ 【答案】（1）EF和AB的关系为平行关系．理由如下： ∵CD∥AB，∠DCB=70°， ∴∠DCB=∠ABC=70°， ∵∠CBF=20°， ∴∠ABF=∠ABC∠CBF=50°， ∵∠EFB=130°， ∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°， ∴EF∥AB； （2）42゜ 【解析】 【分析】（1）由题意推出∠DCB=∠ABC=70°，结合∠CBF=20°，推出∠CBF=50°，即可推出EF∥AB； （2）根据（1）推出的结论，推出EF∥CD，既而推出∠ECD=112°，根据∠DCB=70°，即可推出∠ACB的度数． 【详解】（1）略 （2）∵EF∥AB，CD∥AB， ∴EF∥CD， ∵∠CEF=68°， ∴∠ECD=112°， ∵∠DCB=70°， ∴∠ACB=∠ECD∠DCB， ∴∠ACB=42°． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质定理，关键在于（1）求出∠ABC的度数，（2）熟练运用已知和已证的结论，推出∠ECD=112°，熟练运用平行线的判定定理和性质定理． 21. 对于整数a，b定义新运算；（其中m，n为常数），如． （1）当，时，的值为________； （2）若，，求的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，幂的运算的含义，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）根据新定义运算法则可得，再计算即可； （2）由可得，结合，可得，再计算即可． 【小问1详解】 解：根据运算法则，． 【小问2详解】 ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 22. 请阅读下列材料并解答问题： 材料一：若，求的值． 解：设，则 我们解决上述问题的这种方法叫做换元法，利用换元法将式子转化为更简单的形式． 材料二：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个小正方形和长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 解决问题： （1）已知，求的值 （2）如图②，点是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，求出的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题包含两个小题，均考查完全平方公式的应用与换元法的结合． （1）通过换元将代数式转化为完全平方公式的形式，利用已知条件求解； （2）通过设边长，结合完全平方公式求出乘积，进而计算三角形面积． 【小问1详解】 解：设，，则， 且． 由完全平方公式，， 因此； 【小问2详解】 解：设，，则，，，故． 由完全平方公式，，代入得，解得． 在中，，， 因此的面积为． 23. 定义：在平面内，对于和，若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如：，，有，则是的“2系数补角”． （1）若，求的“5系数补角”的度数； （2）在平面内，直线，直线在上方，直线分别交直线，于点E，F，且，点H为直线右侧一个动点，的平分线与的平分线交于点M． ①如图，若点H在直线上方，且，，求的度数； ②已知，，是的“3系数补角”，且，请直接用含m和n的式子表示x． 【答案】（1） （2）①；②的度数为或或 【解析】 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． （1）根据“系数补角”的定义计算即可； （2）根据平行线的性质得出，根据题意求出，根据角平分线定义得出，，求出最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （3）分三种情况：当点在直线内部时，当点在直线下方时，当点在直线上方时；分别求解即可． 【小问1详解】 解：， 的“5系数补角”； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ②如图，当点在直线内部时， 平分，平分， ，， ∵， ， ， ，， ， ， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线下方时， ∵， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线上方时， 同理可得， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 综上所述，的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $