上海市华东师范大学附属浦东临港高级中学2025-2026学年高一下学期期中数学试题

华师大浦东临港高中2025学年高一下期中 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题， 1.已知d=(2,1),6=(1,x),若d⊥，则x= 2.函数y=1一cos2x的最小正周期是 3.已知1=1，l阿=2，d.=1,则1d+= 4.函数f(x)=cosx+√3sinx的值域是 5.已知向量d与6不平行，kd-6与d+26平行，则实数k= 6.若园=2，=6，则1d-的取值范围是 7.已知函数f(c)=Asi(ox十中)(A>0,ω>0，lp|<π)的部分图象如图所示， 则w= 8.把函数y=si(2c+平)的图像向右平移冬个单位，再将横坐标缩短到原来的2，所得函数的解析式为 8 9.已知1==1，若(2d-)⊥，则向量d与的夹角的余弦值为 l0.已知向量d=(cosx,inx),=(3,√3)，且x∈[0，x],则在d方向上的数量投影的取值范围是 11.已知函数f()=si血x(c∈[0，x])和函数g()=之tanx的图象交于A,B,C三点，则△ABC的面积为 12.如图，在锐角△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,a>b>c,且a、b、c是常数， O是△ABC的外心，OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥AB于F,设m=O元· O应，n=O应.0，l=0.O元，则m:n:l= 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。 13.在△ABC中，|A=B⊙=|AB+Bd,则△ABC是()三角形. A.等腰 B.等腰直角 C.等腰或直角 D.等边 14.设d,是非零向量，则“8+6=成-是“a⊥的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 15.已知含，2是平面向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（) A.高+e,e- B.ez,e+ez C.+2e,高+ D.3e-2e,-6+4e2 16.已知D为△ABC所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为() ①若DA+D+Dd=i,则D为△ABC内心： 需+亮)式=0，则△Ac为三角影 ②若 ③若DA·DB=D启·DG=D元，DA,则D为△ABC的外心： ④若而=、兰 B AC ABsinB dising(AE R,)则点D的轨迹=定经过△ABC的重心 A.1 B.2 C.3 D.4 三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题， 17.(本题满分8分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分. 已知|a=10,l=4,d与的夹角0=120°，求： (1川d+: (2)向量d和d+的夹角余弦值. 18.(本题满分8分)本题共有1个小题，满分8分. 设两个向量玄，高满足=2，同=1，高与高，的夹角为60，若向量号城+高与向量高+城，的夹角为锐 角，求实数t的取值范围. 19.(本题满分10分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B 点处，丙船在最后面的C点处，且BC:AB=3:1.一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量，在同 一时刻测得∠APB=30°，∠BPC=90°.（船只与无人机的大小及其他因素忽略不计） (1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比： (2)若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离。（精确到1米） 20.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 己知成=(o2号，W3inx),元=(2,1，设函数fm)=流元. ()当x∈[-冬，受]，求函数f()的值域： ②)当f@)=号且ae(-2,),求in(2+号)的值. 21.(本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分4分. 定义：若非零向量O=(a,b),函数f(x)的解析式满足f(x)=asinx+bcosa,则称f(c)为Oi的伴随函 数，O为f(c)的伴随向量. ()若向量Oi为函数f()=2sin(c+否)+4sin(c-)的伴随向量，求1o. (2)已知A(-2,3),B(2,6),O7=(-√5,1)为函数h(x)=msin(x-冬)(m∈R)的伴随向量，()= h(受一)，请问在)=9()的图象上是否存在一点P,使得A正⊥B驴？若存在，求出点P的坐标：若不存 在，说明理由， (3)若函数f()为向量Od=(2,1)的伴随函数，关于x的方程f()=m+2cos2号-2W引os在[0， 2π]上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围. 《2025-2026学年度高中数学期中考试卷》参考答案 1.-2 2.元 【详解】由题可得：y=1-(1+c0s2x)=-c0s2x,所以最小正周期T=2=元， 2 3.√7 4.[-2,2] 【详解】由于ka-方与a+2五平行，故设ka-万=(a+2b), 即ka-b=a+2乃，而向量a与i不平行， 12以解得长=克 6.[4,8] 【详解】由于后-≥H=4,当且仅当a,同向时等号成立， 故ā-的最小值为4： 又|a-b≤ā|+|b=8,当且仅当a,b反向时等号成立， 故a-的最大值为8： 即得ā-的取值范围是[4,8]： 7.1 8.y=sin4x 【详解】解：把函数y=sin(2x+孕的图象向右平移个单位， 所得图象的函数解析式为y=如2-令+孕=血2x。 41 再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的， 所得图象的函数解析式为y=si血4x. 【详解】设向量a与i的夹角为(8∈[0，)， 答案第1页，共8页 若(2a-)1i,则(2a-列-i=0, 所以2a-6-6=26os0-=2c0s0-1=0, 可得cos0-号 10.[-3,23] 【详解】因a=(cosx,sinx),b=(（3,V3), 则在ā方向上的投影为 -30sx+5sm-25sm(+到， 同 因xe®则x+引[放325m(+}2,， 故a在万方向上的投影的取值范围是[-3,23 1h.3m [y=sinx 【详解】画出两个函数图像如下图所示，由图可知A(0,0),C(兀，O),对于B点，由 1 y=tanx' 2 解得 π√3 32 2 24 B 0.5 2 0.5 12.1:1:1 【详解】 连接OA、OB、OC, 设∠BAC=∠1，∠ABC=∠2，∠ACB=∠3，可得 ∠DOC=∠DOB=∠1，∠AOE=∠COE=∠2，∠BOF=∠AOF=∠3， ∴m=OD.O=|OD-Ocos∠D0E=(Rcos∠D0C)-(Rcos∠C0E)cos(π-∠C) =-R2cos∠1cos∠2cos∠3 同理可得n=OE.OF=-R2cos∠1cos∠2cos∠3， 1=0F.OD=-R2cos∠1cos∠2cos∠3 所以m:n:1=1:1:1, 13.D 【详解】因为AB=BC=B+BC=AC,所以该三角形是等边三角形 14.C 【详解】由题，a+=a-则(a+=(a-台a.五=0台a1五 故a+=a-司”是“a1五”的充分必要条件. 15.D 【详解】A选项，g、马是平面向量的一组基底，故、马为不共线的非零向量， 设g+8=m(8-8),故 m=1 m=一1：无解，故只+马、名-弓为不共线的非零向量， 故可以作为一组基底，A错误； -1,无解，故马、马+名为不共线的非零向量，B错误： n=0 B选项，设g+6=n吧，解得{ ©选项。设百+2运=+)。故2，无解，放+运，2巧+后为不共战的非等向 答案第3页，共8页 量，C错误； D选项，6g+4g=-23-28),故3g-28、-6g+46共线，故不能作为基底，D正确. 16.B 【详解】对于①：由DA+DB+DC=0得D为△ABC重心，故①错误； A 对于②： AC 园冠 BC-0得 CCncloos (BGcoc=cosB-cosC, 又B,C∈(O,),所以B=C,所以△ABC为等腰三角形，故②正确： 对于③：由DA.DB=DBDC得DB·(DA-DC)=DB.CA=0=DB⊥AC,同理得 DC⊥AB,DA⊥BC, 所以D为△ABC的垂心，故③错误； 对于④：取BC的中点为M,所以AB+AC=2M,由正弦定理得 4C,令 sin C sin B 4Bsin B=AC sin C=h, AB A 则国sinBsi 三而+C-2孤，所以而-2头，点D的轨迹经过△4BC的 hh 重心，故④正确. 17.(1)a+b=29 2)4v四 19 【详解】(1)因为d=10,=4,ā与的夹角0=120， 所以a6-间lleo120=10x4( =-20, 则a+=(a+3}'=a2+2a.五+62=100-40+16=76 所以a+=2W9; a-(a+b)100-20-4. 2 c.+0)-a+司i 10×21919 答案第4页，共8页 18.（-o,-3-V万)u(-3+V万，+o) 【详解】解：由向量子8+名与向量名+的夹角为锐角，得 g+6j+回 分g+gIg+gl 副2g+6j(6+网>0， r+号r网8+8+G0, f+r写+写+4同0， 2 )x4+Px2c0s60+2c0s60+1>0 2 化简即得t2+6t+2>0, 解得t<-3-√厅或t>-3+√万， 当夹角为0m时。也有[合网+同a+同>0， 但此时夹角不是锐角， 设28+g=A+回)，<0， 则1=t, 元<0 t=-√2g(-0,-3-√7)U(-3+W7,+o) ∴所求实数t的范围是(-，-3-√)u(-3+V万，+). 19.(1) 子：2)275米 P 【详解】A 答案第5页，共8页 AP AB 、AB (1)在△MPB中，由正弦定理，得，sin∠4BP sin∠APB-1, 2 在△BPC中，由正弦定理，得 CP BC BC sin∠CBP sinLCPB-1’ BC 3 又Gi,sm☑MBP=sin∠CBP, 故、2 CP 3 即无人机到甲、丙两船的距离之比为 3 (2)由BC:AB=3:1得AC=400,且∠APC=120°，由(1)，可设AP=2x,则CP=3x, 在△4PC中，由余弦定理，得160000=(2x)}+(3x)2-2(2x)(3x)cos120°， 解得x=400-400V9 V1919’ 即无人机到丙船的距离为cP=3x=12001四 19 ≈275米. 20.（1)f(x)=2sin(x+ 51∈0，那 (2)24 25 【详解】试题分析：(1)利用平面向量数量积的运算，两角和与差的正弦函数可得f(x) 26否+1，由xE[-牙，牙1.可得：x晋[零2受利用正弦商数的 元2元， 图象和性质即可求得f(x)的值域， 2》由fa)号解得：血a 号可求范调石e(号行，可求osa5, 利用二倍角的正弦函数公式即可求值. 解：1)：(co受√im,示2,1， .f（x）=i72cos2受√5 inc-2sin(x+)+1, 6 x[行受1.可得：x零 血x召[分小，可0：f02如x1e0,引 6 (2)f(a)-2sim(a+）》+1-13 6 5 答案第6页，共8页 :.2<a< .元 6 2’3 ∴.cos(a+ -i2(ag)号 ,兀 .sin (2 sin(2 (at)sin (at)cos (at 晋2号 324 525 考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算. 21.(1)2√5 (2)P(0,2) 3)1,25-1U(25-13) 【解10=2+引4-引2mxosxm -4cosx xtSinx-scox 所以oM=(（3,-3),oM=√3+9=25. (2)由伴随向量的定义可知h(x)=-√3simx+1.cosx, 3m= 所以可得 2 ，解得m=-2,因此h(x)=-2sin 2 所以4=A任引-2m任引}-2s经2om经， 唧y=2cos设点P(2o到 又而-(r+22o登丽-(-22as号，由1丽， 释示.丽-+26-2r2aw2km登60. 展开并化简可得x2-4+4cos2 -18eos+18=0(,令1=cos:且e-l川， 方程变为x2+2(22-1-18t+16=0,即x2=-(4-181+14)≥0， 解得1≤1≤3，又1e-1川，所以1=1，此时=2a(ez且=0， 答案第7页，共8页 所以x=0,对应y=2cos0=2,即P(0,2). (3)函数f(x)为向量OM=(2,1)的伴随函数，所以f(x)=2sinx+cosx, 又关于x的方程为f()=m+2cos'艺-2同1os, 所以可得2si血x+c0sx=m+2.1+cosx-25eos对， 2 即m+1=2simx+25kosx|, 记M(x)=2sinx+25cosx= 2m+a6cwxe}[经2 2mx-25sx经 化简得M(x)= 4+}[经2 作出函数的图像， 4sm(x-引xe爱 2w/3 2 2元主 2 方程f(=m+2cos225s刘在[0,2上有且仅有四个不相等的实数根， 等价于M(x)图象与直线y=m+1有四个交点，故m+1∈(2,2W5U25,4), 即m∈(1,25-1(25-1,3) 答案第8页，共8页