精品解析：2026年广东省东莞光明中学九年级中考第一次模拟考试数学试题

2025－2026学年第二学期第一次模拟考试试题 初三年级数学科 （本套试题考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 国家知识产权局数据显示：截至2025年，我国国内有效发明专利达件，并连续多年位居全球第一．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 点（-3，2）关于Y轴的对称点是【 】 A. （-3，-2） B. （3，2） C. （-3，2） D. （3，-2） 4. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘（dá）龘，欣欣家园”，“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌，现将分别印有“龙”、“行”、“龘”、“龘大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 李师傅与张师傅为艺术节做手工艺品，张师傅比李师傅每小时少做4件，已知张师傅做40件与李师傅做50件所用时间相等，问张师傅、李师傅每小时各做手工艺品多少件？设张师傅每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（ ） A. B. C. D. 8. 若，是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将点先向左平移3个单位长度，在向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标是______． 12. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 13. 按如图所示的规律图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是_____． 14. 如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且与轴分别交于两点，若点，点关于原点对称，则的最大值为_________． 15. 如图，在中，，点D为中点，连接，过点D作交于点E，若，则的值为_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知平行四边形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，点的纵坐标为4， （1）求A点坐标； （2）连接，求平行四边形的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，是矩形的对角线． （1）请用圆规和无刻度的直尺，分别在，上找点，，使得四边形为菱形； （2）在（1）条件下，若，求菱形的面积． 20. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有_____名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是_____； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 21. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案？ 素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式．该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选． 素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： 【问题解决】 （1）确定函数模型：求该品牌马年吉祥物套装的月销售量（套）关于销售单价（元/套）的函数表达式． （2）计算定价金额：若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ （3）拟定最优售价方案：当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分第23小题14分，共27分． 22. 如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求阴影部分的面积． 23. 综合与探究 【定义】如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称点为线段的分割点． （1）【理解】如图2，在等腰中，，，点是的分割点，求的长； （2）【应用】如图3，在等腰中，，，点是的分割点，点在的上方，，与相交于点，与相交于点，求证：； （3）【拓展】如图4，在等腰中，，，点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动，以为边向右作，直线与，分别交于点，，当点运动至的分割点时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期第一次模拟考试试题 初三年级数学科 （本套试题考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用“负数小于0和正数，两个负数比较，绝对值大的反而小”的法则即可求解． 【详解】解：，，且， ∴， ∴，故最小的数是． 2. 国家知识产权局数据显示：截至2025年，我国国内有效发明专利达件，并连续多年位居全球第一．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，解题关键是正确确定和的值. 【详解】解：， 故选：C. 3. 点（-3，2）关于Y轴的对称点是【 】 A. （-3，-2） B. （3，2） C. （-3，2） D. （3，-2） 【答案】B 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数；这样就可以求出点（-3，2）关于y轴的对称点的坐标． 【详解】解：点（-3，2）关于y轴的对称点的坐标是（3，2）． 故选B. 【点睛】本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容． 4. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘（dá）龘，欣欣家园”，“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌，现将分别印有“龙”、“行”、“龘”、“龘大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式，找出所有等可能的结果总数和符合条件的结果数，代入公式计算即可． 【详解】解：∵由题意可知，随机抽取一张卡片，共有4种等可能的结果，其中抽取到印有“龘”的卡片的结果有2种， ∴抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为 ． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式的相关运算法则逐一判断即可． 【详解】解：∵ 选项A中，与不是同类项，不能合并，∴A错误； ∵选项B中，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，∴B错误； ∵ 选项C中，根据积的乘方运算法则，可得，∴C错误； ∵ 选项D中，根据完全平方公式，可得，与等式一致，∴D正确，符合题意． 6. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的应用，灵活运用正弦函数的定义是解题的关键．根据正弦函数的定义，结合直角三角形的边长关系，进而求出高的长度． 【详解】解：为仰角，米， 在中，， （米）． 故选：． 7. 李师傅与张师傅为艺术节做手工艺品，张师傅比李师傅每小时少做4件，已知张师傅做40件与李师傅做50件所用时间相等，问张师傅、李师傅每小时各做手工艺品多少件？设张师傅每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程，即可得到答案． 【详解】解：根据题意列方程得：， 故选：D． 8. 若，是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，代入数值计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 原式． 9. 如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案． 【详解】解：根据题意，则，， ∵， ∴， ∴，故①错误； 由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确； ∵， 令时，， ∴，故③正确； 在中， 令时，则， 令时，， 由两式相加，得，故④正确； ∴正确的结论有：②③④，共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号． 10. 如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点，容易证明，则，．容易证明四边形是正方形，则，．通过证明可得，利用平行可证明，则，计算得，最后相加即可． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将点先向左平移3个单位长度，在向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案. 【详解】解：点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点B的坐标是，即 故答案为：. 【点睛】本题考查坐标与图形变化一平移，关键是掌握点的坐标的变化规律. 12. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 按如图所示的规律图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是_____． 【答案】24 【解析】 【分析】分别求出前几个图中圆点的个数，并得出规律，即可解答． 【详解】解：第①个图中有个圆点； 第②个图中有个圆点； 第③个图中有个圆点； 第④个图中有个圆点； 第⑤个图中有个圆点； 第⑥个图中有个圆点． 14. 如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且与轴分别交于两点，若点，点关于原点对称，则的最大值为_________． 【答案】14 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形的性质得，若要使取最大值，则需要取最大值，再连接交于点，可知当点P位于点时，取得最小值，然后作轴于点Q，，接下来根据勾股定理求出，最后根据当点P在的延长线上时，取得最大值，并求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴． ∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴， 若要使取最大值，则需要取最大值， 连接交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，， 则， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴当点P在的延长线上时，取得最大值， ∴的最大值是， ∴的最大值为．    15. 如图，在中，，点D为中点，连接，过点D作交于点E，若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作于点F，构造，利用相似三角形的性质和已知线段比例关系，设、，则、，再分别在和中利用勾股定理建立方程，求出线段之间的数量关系，最后根据正切函数的定义求解． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设、，则、， 点D为中点， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 、， ， 在中， ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值化简和整数乘方的计算，分别计算出每一项的值，再合并得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，已知平行四边形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，点的纵坐标为4， （1）求A点坐标； （2）连接，求平行四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点C的坐标代入反比例函数解析式求出，根据平行四边形的性质结合点的纵坐标为4，可得点A的纵坐标为1，代入反比例函数解析式即可解答； （2）作轴于D，轴于E，轴于F，则，利用即可求得． 【小问1详解】 解：根据题意：，解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵平行四边形中，点的纵坐标为4， ∴点A的纵坐标为1， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作轴于D，轴于E，轴于F，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的意义，反比例函数图象上点的坐标特征，以及平行四边形的性质．掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，是矩形的对角线． （1）请用圆规和无刻度的直尺，分别在，上找点，，使得四边形为菱形； （2）在（1）条件下，若，求菱形的面积． 【答案】（1） 菱形即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线分别交边、、于点O、E、F，连接、，则菱形即为所求；； （2）连接，设，则，在中，利用勾股定理进行求解，再根据菱形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作的垂直平分线分别交边、、于点O、E、F，连接、， ∵是垂直平分线， ∴，， ∴． 四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴菱形即为所求； 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是菱形， 设，则， 四边形是矩形， ， 在中，，即， 解得， ， 菱形的面积． 20. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有_____名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是_____； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 【答案】（1）人， 条形统计图如下所示， （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图是解题的关键． （）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数，然后求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可； （）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数即可求出占比，再乘以即可求出圆心角； （）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得本次被调查的学生人数（人）， 喜爱足球的人数为：（人）； 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是； 【小问3详解】 解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母表示，根据题意画树状图如下： 一共有种可能出现的结果，它们都是等可能的，甲和乙同学同时被选中的有种， ∴甲和乙同学同时被选中的概率是． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案？ 素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式．该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选． 素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示： 【问题解决】 （1）确定函数模型：求该品牌马年吉祥物套装的月销售量（套）关于销售单价（元/套）的函数表达式． （2）计算定价金额：若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ （3）拟定最优售价方案：当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）60元 （3）当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元 【解析】 【分析】（1）将点代入得出方程组，求出解即可； （2）先表示出每套利润为元，月销售量为套，再根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解得出符合题意的结果； （3）先设每月销售利润为元，再根据单件利润乘以销售量得出二次函数，然后求出二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，每套利润为元，月销售量为套， 可列方程，， 解得，， 要尽可能让利于顾客， 选择较低定价． 答：每套吉祥物套装应定价60元； 【小问3详解】 解：设每月销售利润为元， 整理得， ，二次函数图象开口向下， 当时，取得最大值， 此时，最大利润为元． 答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分第23小题14分，共27分． 22. 如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的直径 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：连接 AI    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】+（1）分别证明，，从而可得结论； （2）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （3）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、 ∵是的直径， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是半径，是的中点， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，熟练地掌握相似三角形的判定和切线的判定是解决本题的关键。 23. 综合与探究 【定义】如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称点为线段的分割点． （1）【理解】如图2，在等腰中，，，点是的分割点，求的长； （2）【应用】如图3，在等腰中，，，点是的分割点，点在的上方，，与相交于点，与相交于点，求证：； （3）【拓展】如图4，在等腰中，，，点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动，以为边向右作，直线与，分别交于点，，当点运动至的分割点时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：∵点是的分割点， ∴， ∵在等腰中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 又∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）勾股定理求得，根据点是的分割点，即可求解； （2）根据得出，即可得出，进而证明，结合公共角，即可得证； （3）分两种情况讨论，当时，证明得出，进而证明，根据得出，勾股定理求得，进而求得；当时，证明，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在等腰中，，， ∴， ∵点是的分割点， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 设， ∵当点运动至的分割点时， ∴， ∴， ∵点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， ∴． 当时，如图5， 同理，可得， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $