精品解析：2025年广东省东莞市雅正中学九年级中考数学一模试卷

2025年广东省东莞市雅正中学中考数学一模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列与1互为相反数的是（    ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查乘方，相反数及绝对值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据相反数的定义，即可作答． 【详解】解：与1互为相反数，而，， 故选：C 2. 一元复始，万象更新．年元旦假期，郑州市上下丰富文旅产品供给，提升文旅服务质量，满足广大市民游客的文旅需求．综合大数据监测、抽样调查和区县（市）统计，全市共接待游客万人次，按可比口径较年同期增长．那么万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 3. 下列四个图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后可与原图形重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 4. 在学习了平行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线从液体中射向空气时会发生折射，光线变成，点G在射线上，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 5. 下列二次根式的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次根式的混合计算，根据二次根式的合并和乘除以及性质判断即可． 【详解】解：A、和不能合并，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 从6男和4女的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率；解题的关键是熟练掌握概率公式．根据概率公式求解即可． 【详解】解：从6男和4女的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为女生的概率为：， 故选：C． 7. 如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数为（ ） A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形外角和为．由题意可知，该多边形的每个外角相等，结合多边形外角和求解即可． 【详解】解：∵该多边形的每一个外角都等于， ∴该多边形的边数为， 故选：C． 8. 下列选项中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么y是x的函数”判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，A中y不是x的函数，B、C、D中y是x的函数， ∴A符合题意，B、C、D不符合题意． 故选：A． 9. 已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线（k，b为常数，且）与直线相交于点P，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标即为联立两个解析式组成的二元一次方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴直线（k，b为常数，且）与直线的交点， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 故选A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点，，），已知的顶点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据，得出位似比为，进而将点的坐标乘以，即可求解． 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， ∴， ∴与的位似比为 ∵的顶点， ∴点的坐标为即 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在实数中，其中无理数有______个． 【答案】2 【解析】 【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 本题考查无理数以及算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：在实数，中，无理数有，，共2个． 故答案为： 12. 计算：__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方和零指数幂，再算加法即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 13. 单项式的次数是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式次数的定义，“单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数”，根据单项式的次数定义填空即可． 【详解】解：单项式的次数是． 故答案为：3． 14. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 15. 如图，点，，，都在直径为4的上，若，，则阴影部分扇形的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，垂径定理，圆周角定理，利用数形结合是解题的关键． 根据垂径定理得到，再由圆周角定理得到，从而求出扇形的面积得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵的直径为4 ， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再从1，、2中选择合适的x值代入求值． 【答案】，，2 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到最简结果，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式． 17. 在矩形中，． （1）请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在边上确定点，使．再在边上确定点，作出以为圆心的圆，且使经过点和点； （2）在（1）的条件下，若点在直线上，点在直线上，，且，则的半径为______．（使用备用图分析） 【答案】（1） 如图①中，点，点，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （2）连接，设，利用勾股定理构建方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， 设， 则， 解得， 的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图－复杂作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 18. 今年6月日这个国际禁毒日，某校八年级1，2班开展了一次禁毒知识竞赛，每班选名同学参赛，成绩评为，，，四个等级，相应等级的得分依次为分，分，分，分，将两个班的成绩整理后，绘制成如图所示统计图表： 平均数 中位数 众数 1班 2班 （1）请把1班竞赛成绩统计图补充完整； （2）计算出表格中，，的值：______，______，______； （3）请你根据上面计算的数据，分析比较1班和2班的竞赛成绩． 【答案】（1）2人，补充统计图见解答过程 （2），， （3）从平均数比较，两班相同；从众数方面进行比较，2班成绩更好；从中位数方面进行比较，1班成绩更好 【解析】 【分析】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数和众数，读懂统计图，从统计图中提取解题信息，熟练掌握加权平均数的计算公式，理解中位数和众数的定义是解答此题的关键． （1）根据每班选名同学参加比赛及条形统计图中的数据可得出1班等级的人数； （2）由条形统计图的数据根据加权平均数计算公式可求出的值；根据1班的成绩分布情况可求出的值；根据扇形统计图各级别所占的比例可求出的值； （3）比较两班的平均数和众数可得出答案． 【小问1详解】 解：每班选名同学参加比赛， 班等级的人数是：（人）， 补充统计图如图： 【小问2详解】 解：， 1班有6人分，人分，2人分，5人分， 按照从小到大的顺序将成绩排列，正中间的成绩为分， ， 由扇形统计图可知：2班等级为的占，为最多， 班成绩为分的人数最多， ， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：班和2班的平均成绩均为分，而1班的众数和中位数都是分，2班的众数和中位数分别是分和分， 从平均数比较，两班相同， 从众数方面进行比较，2班成绩更好， 从中位数方面进行比较，1班成绩更好． 19. 某果园实验基地推广甲、乙两种苹果苗，已知乙种苹果苗比甲种苹果苗每株贵2元，且用240元钱购买甲种苹果苗的株数与用360元钱购买乙种苹果苗的株数刚好相同． （1）求甲、乙两种苹果苗每株的价格； （2）某果农计划购买甲、乙两种苹果苗共300株．调查统计发现，甲、乙两种苹果苗的成活率分别为和，要使这批苹果苗的成活率不低于，且使购买苹果苗的费用最低，应如何选购苹果苗？最低费用是多少？ 【答案】（1）甲种苹果苗每株的价格为4元，乙种苹果苗每株的价格为6元； （2）购买甲种苹果苗120株，乙种苹果苗180株时费用最低，最低费用是1560元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的实际应用，根据已知等量关系正确列方程是解题关键，注意分式方程求解后要进行检验． （1）设甲种苹果苗每株的价格为x元，则乙种苹果苗每株的价格为元，根据题目中的等量关系列分式方程，求解即可； （2）设甲种苹果苗购买b株，则乙种苹果苗购买株，根据总成活率不低于列不等式，求出b的取值范围，列出总费用W与b的函数关系式，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种苹果苗每株的价格为x元，则乙种苹果苗每株的价格为元， 由题意得， 解得：， 经检验是原方程组的解． 所以甲种苹果苗每株的价格为4元， 乙种苹果苗每株的价格为元． 答：甲种苹果苗每株的价格为4元，乙种苹果苗每株的价格为6元； 【小问2详解】 解：设甲种苹果苗购买b株，则乙种苹果苗购买株，购买的总费用为W元， 由题意，， 解得， 由题意，， ∴， ∴W随b的增大而减小， ∴时，元． 答：购买甲种苹果苗120株，乙种苹果苗180株时费用最低，最低费用是1560元． 20. 如图1，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点F，O是的中点，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，如图2所示：求证：． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）可知：四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证出，根据菱形的判定得出即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明其是矩形，接着证明菱形是正方形，四边形是矩形，得到，然后推出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，最后证明，得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定，正方形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，三角形全等的判定与性质，能综合运用以上知识点是解此题的关键． 21. 为避免伤害器官，医学领域发明了一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器，采用新型检测技术的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】新生物处到皮肤的距离约为． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键．过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，． ∵， ∴， ∴． 答：新生物处到皮肤的距离约为． 22. 在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】（1）（2）（3）①6②的值为或 【解析】 【分析】（1）由题可知，再利用中建立勾股方程求解即可； （2）由相切可知，再由，代入求解即可； （3）①由与直线相切可得四边形是正方形，所以，再利用切线长定理，，从而的周长； ②证出，进而得到，代入，解得，则可得出答案． 【详解】解：（1）连接， 四边形是矩形， ，，， 过点， ， ， ， 在中，， 即， 解得； （2）过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， ， ，， ， ， 即， 解得； （3）①如图，过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， 四边形是正方形， ， 与圆相切，与圆相切，与圆相切， 由切线长定理可得，，， 的周长 ； ②在和中， ， 同理可证， ， ， ， ， 整理得， 解得或（舍）， 当时，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得，； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 已知二次函数（为常数）． （1）求证：不论为何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； （2）当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； （3）若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与轴交于A，两点（点A在点左侧），与轴交于点．点关于对称轴的对称点为，点为的中点，过点的直线（直线不过，两点）与二次函数图象交于，两点，直线与直线相交于点．求证：点在一条定直线上． 【答案】（1） 证明：令，则， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 不论为何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； （2） （3） 证明：如图， 作于，作对称轴直线于点， 作于，作于，作于， 对称轴直线，， 抛物线的解析式为：， ，， 设，， ，， ∵， ， ， ， ， 即， ，， ， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 当时，解得， ， 将代入，， 点在一条定直线上． 【解析】 【分析】（1）令，则，根据根的判别式求得，得到不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，进而即可得证； （2）由二次函数的解析式得到图象对称轴为直线，最大值为4，判断得，当时，y取得最小值，最小值为，根据二次函数的最大值与最小值之差为9，即可列出方程，求解后进行取舍即可解答； （3）作于，作对称轴直线于点，作于，作于，作于．由对称轴直线，得，进而得抛物线的解析式为，则，．设，，则，．根据列比例式得，整理得．再求得直线的解析式为，直线的解析式为，联立求得，，将代入中，求得，则可得结论点在一条定直线上上． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由二次函数的解析式得， 抛物线的顶点是， 函数图象对称轴为直线，最大值为4． ， ， ， ∴，， 当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9， ， （舍去）或， ∴二次函数的解析式为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，二次函数与方程，二次函数与坐标轴的交点等，综合运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省东莞市雅正中学中考数学一模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列与1互为相反数的是（    ） A. 1 B. C. D. 2. 一元复始，万象更新．年元旦假期，郑州市上下丰富文旅产品供给，提升文旅服务质量，满足广大市民游客的文旅需求．综合大数据监测、抽样调查和区县（市）统计，全市共接待游客万人次，按可比口径较年同期增长．那么万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列四个图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 4. 在学习了平行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线从液体中射向空气时会发生折射，光线变成，点G在射线上，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列二次根式的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 从6男和4女的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为女生的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数为（ ） A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 8. 下列选项中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线（k，b为常数，且）与直线相交于点P，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点，，的对应点分别为点，，），已知的顶点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在实数中，其中无理数有______个． 12. 计算：__________． 13. 单项式的次数是 _____． 14. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 15. 如图，点，，，都在直径为4的上，若，，则阴影部分扇形的面积是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再从1，、2中选择合适的x值代入求值． 17. 在矩形中，． （1）请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在边上确定点，使．再在边上确定点，作出以为圆心的圆，且使经过点和点； （2）在（1）的条件下，若点在直线上，点在直线上，，且，则的半径为______．（使用备用图分析） 18. 今年6月日这个国际禁毒日，某校八年级1，2班开展了一次禁毒知识竞赛，每班选名同学参赛，成绩评为，，，四个等级，相应等级的得分依次为分，分，分，分，将两个班的成绩整理后，绘制成如图所示统计图表： 平均数 中位数 众数 1班 2班 （1）请把1班竞赛成绩统计图补充完整； （2）计算出表格中，，的值：______，______，______； （3）请你根据上面计算的数据，分析比较1班和2班的竞赛成绩． 19. 某果园实验基地推广甲、乙两种苹果苗，已知乙种苹果苗比甲种苹果苗每株贵2元，且用240元钱购买甲种苹果苗的株数与用360元钱购买乙种苹果苗的株数刚好相同． （1）求甲、乙两种苹果苗每株的价格； （2）某果农计划购买甲、乙两种苹果苗共300株．调查统计发现，甲、乙两种苹果苗的成活率分别为和，要使这批苹果苗的成活率不低于，且使购买苹果苗的费用最低，应如何选购苹果苗？最低费用是多少？ 20. 如图1，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点F，O是的中点，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，如图2所示：求证：． 21. 为避免伤害器官，医学领域发明了一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器，采用新型检测技术的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 22. 在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 23. 已知二次函数（为常数）． （1）求证：不论为何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； （2）当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； （3）若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与轴交于A，两点（点A在点左侧），与轴交于点．点关于对称轴的对称点为，点为的中点，过点的直线（直线不过，两点）与二次函数图象交于，两点，直线与直线相交于点．求证：点在一条定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $