专项练习08：空间中直线，平面的平行【13个题型归纳】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专项练习08：空间中直线，平面的平行】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础通关】 【题型1：定理辨析判断】 【题型专练】 1．（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）下列四个命题中错误的是（    ） A．如果，是两条直线且，那么平行于经过的任何一个平面 B．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 C．如果直线，和平面满足，，，那么 D．如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面 【答案】ABD 【分析】由题设及直线与直线平行，直线与平面平行相关知识可判断选项正误. 【详解】对于A，当//时，有可能平行于所在平面，也有可能在所在平面内，故A错误； 对于B，当//时，内的直线可能与平行，也有可能与异面，故B错误； 对于C，因 ，则存在 ，使得，又，则，结合，，则//，故C正确； 对于D，当直线与平面内无数条直线平行时，直线有可能在平面内，则此时直线与平面不平行，故D错误. 2．（25-26高一下·福建龙岩·期中）已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据线面、面面平行的性质定理与判定定理判断即可. 【详解】已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面， 若，，则或，A选项错误； 若，，，则由线面平行的性质定理可知，，B选项正确； 若，，则或，C选项错误； 若，，则或与异面，D选项错误. 3．（2026·湖北黄石·一模）已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】如果，此时也能找到且，但并不平行于，而是在内，所以充分性不成立； 根据线面平行的性质定理：如果直线平行于平面，那么过作一个平面与相交，交线就满足，且，所以必要性成立. 即“存在直线，使”是“”的必要不充分条件. 4．（25-26高一上·湖南湘潭·期中）（多选）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 【答案】ABD 【详解】对A：与两个平行平面分别平行的两条直线的位置关系不能确定，故A错误； 对B：根据条件，要想确定，还需要直线，相交这个条件，故B错误； 对C：根据线面平行的性质定理，可得C正确； 对D：如图， 可以满足所有条件，但，故D错误. 5．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为异面直线，，则 【答案】C 【分析】借助正方体中的空间关系，来举反例，判断ABD是错误的，故C正确. 【详解】 在正方体中，由于平面，平面， 但平面与平面不平行，故A错误； 同理，由于平面，平面，且 但平面与平面不平行，故B错误； 同理，由于平面，平面，且与是异面直线， 但平面与平面不平行，故D错误； 对于C，两平行平面被第三个平面所截,截得的两条交线一定平行，即若 ,则 , C正确. 【题型2：无辅助线直接证线面平行】 【题型专练】 6．（24-25高二下·湖南长沙·期中）如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．直线在平面内 【答案】A 【分析】根据正方体性质，结合线面平行的判定来判断即可. 【详解】根据正方体性质知道，平面，平面， 则平面. 故选：A. 7．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABD 【分析】根据线线平行证明线面平行，进而判断各选项. 【详解】因为为平行四边形对角线的交点，所以为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，A选项正确； 同理平面，平面，所以 ，B选项正确； 由四边形为平行四边形，所以，平面，平面，故平面，故D正确； 又与平面相交于点，故C错误； 故选：ABD. 8．（21-22高一·全国·课后作业）线段、、不共面，、、分别为它们的中点，则直线与平面的位置关系是________． 【答案】平面 【分析】根据线线平行证明线面平行. 【详解】 又已知、分别为、的中点， 则， 又平面，平面， 所以平面， 故答案为：平面. 9．（2024高一下·全国·专题练习）求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面． 已知：如图，空间四边形中，E，F分别是，的中点．    求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】通过证明，而在面外, 在面内,即可得出结论. 【详解】由题意，连接． 在中，，， ∴． 又平面，平面， ∴平面． 10．（2024高二·全国·专题练习）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理直接证明即可. 【详解】分别为的中点， ．又，所以， 又平面，平面， 所以平面. 【题型3：无辅助线直接证面面平行】 【题型专练】 11．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知正方体，求证:平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形证明线线平行，再证明线面平行，最后可证面面平行. 【详解】 如图，在正方体中，由可得，则 ， 又因为平面，平面，所以平面， 同理，因为可得，则， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，所以平面平面． 12．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析； 【分析】根据面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理平面，平面， 可得平面， 又，平面， 所以平面平面． 13．（23-24高三·全国·二轮复习）如图，多面体中，四边形与四边形均为梯形.已知点四点共面，且.证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】先根据线面平行的判定定理证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理即可得证。 【详解】证明：四边形与四边形均为直角梯形， 且有，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，得证. 14．（21-22高一·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG． 【答案】证明见解析 【分析】证明，进而证明出平面BCHG，再证明，得到平面BCHG，从而证明面面平行. 【详解】证明：∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴． ∵平面BCHG，平面BCHG， ∴平面BCHG． ∵，且 ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵平面BCHG，平面BCHG， ∴平面BCHG． ∵， ∴平面平面BCHG． 15．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知长方体，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据面面平行的判定定理，先证明线线平行，再证明线面平行，最后证明面面平行． 【详解】证明：在长方体中，易证． 因为平面，平面， 所以平面．同理可证平面． 又平面，平面，， 所以平面平面． 【B·中等进阶】 【题型1：中位线法证线面平行】 【题型专练】 16．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，已知在三棱柱中，平面，点是的中点． (1)求证：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据三棱柱的几何性质，利用线线平行推出线面平行； （2）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，利用等体积法求三棱锥的体积． 【详解】（1）证明：如图，连接，设，连接， 四边形是矩形，则为的中点， 又 是的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2） ，是的中点， ， 在三棱柱中， 底面，且， 平面， 平面， ， ，，平面， 平面，则是三棱锥的高， 在等腰中，，，则， 又， ． 17．（25-26高一下·重庆渝北·期中）如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）设，连接，可得，进而可得线面平行； （2）根据题意可知点到平面的距离相等，转换顶点结合锥体体积公式运算求解. 【详解】（1）设，连接， 由题意可知：为的中点，且为的中点，则， 且平面，平面，所以平面. （2）由题意可知：为的中点，则点到平面的距离相等， 则三棱锥的体积. 18．（25-26高一下·福建漳州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：直线平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值； 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求解； （2）由中位线性质可证，然后再根据线面平行的判断定理即可证明； （3）首先证明直线与所成角是或其补角，然后通过勾股定理计算， 最后根据余弦定理即可求解. 【详解】（1）. （2）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. （3）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 19．（25-26高一下·浙江丽水·期中）如图，在直三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设与的交点为，连接，结合中位线性质和线面平行的判定定理证明； （2）根据直三棱柱性质可知，三棱锥的高为，再利用，结合棱锥体积公式求解即可. 【详解】（1）连接，设，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由直三棱柱可知，三棱锥的高为，， 在中，，为的中点，由（1）知， 所以． 因此． 20．（25-26高二上·上海·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）连接，利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）由和可知或其补角即为所求，再利用余弦定理求解即可． 【详解】（1）连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有， 又平面，平面， 所以直线平面； （2）由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为． 【题型2：平行四边形法证线面平行】 【题型专练】 21．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，结合三角形中位线的性质及平行四边形的性质推理得证. 【详解】取PB中点，连接，由分别为的中点， 得且，且， 则，且，因此四边形为平行四边形， 则，而平面平面， 所以平面. 22．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，是边长为4的正方形，平面，，且．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】在上取点，使，连接，，证明四边形是平行四边形，即得，根据线面平行的判定定理，即可证明结论. 【详解】在上取点，使，连接，，如下图： 因为，即，且，故四边形是平行四边形， 则有且，因为是正方形，则有且， 故且，即四边形是平行四边形，则有， 因为平面，平面，故平面． 23．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件，利用线面平行判定定理证明结论； （2）利用三棱柱的几何性质，利用棱柱、棱锥的体积公式，结合已知条件求出底面面积关系，进而求出四棱锥的体积． 【详解】（1） 取棱的中点，连接， 分别是棱的中点，， 是棱的中点，， ， 则四边形是平行四边形，故， 分别是棱的中点，且四边形为平行四边形， ， ， 平面，平面， 平面． （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积， 故四棱锥的体积， 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积为． 24．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，证得，，得到四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. 【详解】取的中点，连接， 在中，且，因为，且， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. 25．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，连接，，通过证明是平行四边形，得到，即可. 【详解】 取中点，连接，， ，分别为，的中点. 且. 又，， 又，， 且，是平行四边形， 又平面，平面， 平面 【题型3：平行线段相似法证明线面面面平行】 【题型专练】 26．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. 【详解】连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. 27．（25-26高三·全国·二轮复习）已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由线段比例关系得到，进而可求证. 【详解】因为，，则，可得， 且平面，平面， 所以平面. 28．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面，为正三角形，分别是棱的中点，点在侧棱上，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】根据三角形中位线性质可证得，根据平行线分线段成比例可得，由线面平行的判定定理可证得结论. 【详解】连接交于点，设，连接， 四边形为菱形，为中点， 分别为中点，，且为中点，， 又，， 平面，平面，平面. 29．（25-26高二上·贵州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用平行公理及平面的基本事实推理得证. （2）利用线面平行的判定，结合平行四边形判定性质推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，由四边形是平行四边形，得，而，则， 由分别是线段上一点，且，得， 因此，即共面，所以与共面. （2）连接并延长交于，由是的重心，且，得， 即，在上取点，使得，连接， 由，得，且，又， 因此，且，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 30．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面是的中点，是的中点.点在线段上，且.求证： 平面； 【答案】证明见解析 【分析】取线段的中点，线段靠近点的四等分点，再证明四边形为平行四边形，得出 ，进而应用线面平行判定定理证明即可； 【详解】取线段的中点，线段靠近点的四等分点， 连接，如图， 是的中点， ，且，即， 又 ，且， ，且四边形为平行四边形， ， 平面平面， 平面. 【题型4：线面↔面面平行互推（线面平面面面平行的性质）】 【题型专练】 31．（25-26高一下·广东湛江·期中）如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用面面平行的性质定理可证得结论成立； （3）分析可知该三棱锥为正四面体，利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以是的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）由（1）可知平面 因为平面，平面平面，所以. （3）若三棱锥的各棱长均为， 则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形， 一个等边三角形的面积为，故该几何体的表面积为. 32．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明线线平行，从而证明线面平行； （2）通过相似三角形从而确定动点的位置，进而根据体积之间的比例进行求解； 【详解】（1） ， 平面， 平面， 面， 面，面面， ， 面，面， 面. （2）如下图所示，连接交于点，连接，作 交 于 ， 设， 平面，平面， 平面平面， ， 在梯形 中， ， ， ， ， ，即， 可得 ，故. 33．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于O点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设平面交平面于直线l． ①求证：； ②求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①证明见解析；② 【分析】（1）利用中位线可证，利用线面平行判定定理证明结论； （2）利用中位线可证 ,结合空间平行关系的转化可证面面平行； （3）①利用线面平行推出线线平行；②根据已知条件推出底面及高的比，再根据四面体体积公式计算求解． 【详解】（1）证明：连接EC，    ，， ，， 四边形是平行四边形， O为的中点， 又F是的中点， ， 又平面，平面， 平面BEF． （2）证明：F，H分别是的中点， ， 又平面PAD，平面PAD， 平面PAD， 又O是的中点，H是的中点， ，平面，平面， 平面， 又 在平面内相交于点H， 平面平面． （3）①证明：，平面，平面， 平面， 又 平面，平面平面直线l， ． ②且， ， 又E，H分别为的中点， ，且三棱锥与三棱锥高之比为， ． 34．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，在正方体中，分别为中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用等体积法求解即可； （2）由线面平行的判定定理可得平面,平面,从而可得平面平面,根据面面平行的性质定理，即可得证. 【详解】（1）因为； （2）证明：连接, 由题意可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 又因为平面,平面, 所以平面, 同理可证平面, 又因为平面，， 所以平面平面, 又因为平面， 所以平面. 35．（25-26高一下·福建福州·期中）（多选）下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【分析】利用线面平行、面面平行的判定性质推理判断①④；作出图形说明判断②③. 【详解】对于①，由分别为其所在棱的中点，得，由面， 面，得面，同理面，而， 平面，则平面平面，又面，因此平面，①能； 对于②，连接，显然不是的中点，由是的中点， 则在平面内与相交，直线与平面相交，②不能； 对于③，连接，则，而与相交，则与平面相交， 因此与平面相交，③不能； 对于④，由且，得四边形是平行四边形，则， 而，则，又平面，平面，因此平面，④能. 【C·拔高培优】 【题型1：动点存在性问题】 【题型专练】 36．（24-25高一下·湖北·月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）由条件求三棱锥的底面的面积和高，再由锥体体积公式求结论； （2）先证明，再根据线面平行判定定理证明结论； （3）提出猜测线段上存在点P，使得平面，且，再结合线面平行判定定理证明结论， 【详解】（1）因为四边形为菱形，， 所以，，又为的中点， 所以为等边三角形，，，， 所以， 又平面，， 所以三棱锥的体积， （2）连结， 因为，分别为的中点，所以，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，，又是的中点，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面, 所以平面． （3）线段上存在点P，使得平面，且， 证明如下： 连接，其中AC交DE于点，连接 在菱形ABCD中，，且 所以，又， 所以， 所以四边形是平行四边形 平面，平面， 平面. 37．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连和，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定，即可证得平面.； （2）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，结合面面平行的性质，即可证得平面． 【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． 38．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点M是棱上的一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接，利用正方体的结构特征及平行公理推理得证. （2）连接分别交于点，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可. （3）根据题意可得,即有，由此结合面面平行的判定证明即可． 【详解】（1）在正方体中，连接，由点分别为棱的中点， 得，由且，得四边形为平行四边形， 则，所以. （2）连接分别交于点，连接， 在正方体中，且， 则，即，同理， 因此，则，又平面，平面， 所以平面； （3）存在，，理由如下： 由，得，则，又， 于是，又平面，平面， 则平面，延长交于，延长交于，连接，      由为中点，得，因此， 由分别为的中点，得， 则，， 于是，又，即，则四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 所以当时，平面平面. 39．（25-26高一下·山西阳泉·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析 【分析】（1）由线面平行判定定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点的三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 因为在棱上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 40．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 【题型2：逆向推理由平行求位置比例】 【题型专练】 41．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线与平面平行性质可得：为使//平面，则//，据此可得答案. 【详解】若//平面，因平面，平面平面，则//，从而. 42．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为棱，上的点，，若平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面平行的性质定理，和线线平行，线段对应成比例，即可求解. 【详解】 连接，与交于点，连接，交于G，连接， 由于平面，平面，平面平面， 所以，由于O是的中点， 所以， 过F作，交于H，则， 因为，所以， 所以. 43．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 44．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作图，根据线面平行的判定定理可知平面，然后根据线面平行的性质定理可知，可得，判断即可. 【详解】设平面DAM与交于点P，连接DP交于点Q，连接QN，如图： 因为平面DAM，平面DAM， 所以平面DAM，又平面，平面平面，所以， 因为M是三等分点，所以，因为平面平面，所以平面， 又平面PDM，平面平面，所以， 所以，因此． 故选：C 45．（24-25高一下·湖北襄阳·月考）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点． (1)求证：面； (2)当平面时，面与交于， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）2；（ⅱ） 【分析】（1）先应用余弦定理得出，再应用勾股定理证明，最后应用线面平行判定定理证明； （2）（ⅰ）先应用线面平行性质定理得出再结合比例关系得出，最后再应用线面平行性质定理得出即可得出比例；（ⅱ）应用三棱锥体积公式结合比列关系计算. 【详解】（1）由为正三角形且可知． 又因为，且，在中，由余弦定理得 ． 所以，所以，所以，即． 所以，又因为平面平面， 所以面． （2）（ⅰ）如图，连接交于点，连接． 因为平面平面，平面平面，所以． 在梯形中，，所以． 因为，所以有， 又面面，平面平面． 所以． 又，所以． （ⅱ）因为． 设梯形高为，则 所以． 又，所以． 所以． 【题型3：组合几何体平行证明（与截面有关平行）】 【题型专练】 46．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知棱长为的正方体中，分别为的中点． (1)求证：四点共面； (2)若沿着平面将正方体截成两部分． ①请判断几何体是否是台体（不需说明理由）； ②求截得的两部分的体积之比． 【答案】(1)证明见解析 (2)① 是台体；② 【分析】（1）结合正方体性质可证得，即可得四点共面； （2）①利用棱台定义：上下底面平行且相似、各侧棱延长后交于一点判断即可得；②借助棱台体积公式计算可得几何体体积，再求出正方体体积后作差可得剩余部分体积，即可得截得的两部分的体积之比. 【详解】（1）连接AC，由正方体的性质可知：， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，分别是，的中点，∴，且， ∴，∴四点共面； （2）①几何体是台体，理由如下： 由四点共面，且， 故可延长、使得，则、， 又平面、平面， 且平面平面，故， 故、、三线共点， 由，分别是，的中点， 则，且， 故与相似， 又由正方体性质可得平面平面， 故几何体是台体； ② ， ，， 则， 即两部分的体积比为. 47．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知正方体的棱长为2，平面过体对角线，且与直线平行，则平面截该正方体所得截面的周长为__________. 【答案】 【分析】由正方体结构确定平面截该正方体所得截面为对角面，即可求解. 【详解】 如图，因为，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面截该正方体所得截面即为正方体对角面， 易知， 所以平面截该正方体所得截面的周长为. 48．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体.如图所示，四边形，，均为等腰梯形，，，，，且到平面的距离为7，CD与AB间的距离为14，则这个“羡除”的体积____. 【答案】392 【分析】先连线，合理分割目标图形，再根据棱锥体积公式计算组合体体积即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，连接， 因为，，，所以， 因为，平面，平面， 所以平面，故点到平面的距离相等， 所以， 因为，，，所以， 故，所以， 由题意得 . 49．（25-26高二下·广东佛山·月考）如图，正方体的棱长为4，P为正方形的中心，Q为棱的中点，则过点A、P、Q的截面周长为（   ） A． B． C． D．74 【答案】C 【详解】如图所示， ，且点靠近点，，且点靠近点， 过点作，过点作， 则，所以， 在正方体中，平面∥平面，又因为平面， 所以∥平面， 由线面平行的性质定理可得：∥， 则平面为平行四边形，且平面过、、三点， 所以过点A、P、Q的截面为平面， 因为正方体棱长为4，所以，， 则截面四边形的周长为：. 50．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）（多选）如图，该八面体的棱长均为2，且六边形ABCDEF为正六边形，则（    ） A．平面平面ABCDEF B．四边形ABHG是正方形 C．该八面体的体积为 D．该八面体外接球的体积为 【答案】ABD 【详解】在该八面体中，点，，，共面. 因为该八面体的棱长均相等，所以四边形是菱形，所以，平面. 同理，平面. 因为平面，所以平面平面，A正确. 如图，记正六边形的中心为，，的中点分别为，，连接，， 则点，在平面上的投影，分别在直线，上，连接， 则，. 在正六边形中，直线与直线，的夹角均为30°，即，所以， ，，，，. 又因为，所以平面，，所以四边形是正方形，B正确. 连接，，（图略），，，. 同理，可得，所以点到该八面体的顶点的距离均为2，即该八面体外接球的半径为2，该八面体外接球的体积为，D正确. 记点在平面上的投影为（图略）. 该八面体可看成由3个与三棱柱全等的三棱柱，3个与三棱锥全等的三棱锥，及三棱柱构成. 其体积为，C错误. 【D·压轴综合】 【题型1：多动点双线平行综合（或轨迹问题）】 【题型专练】 51．（25-26高一下·全国·课后作业）在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足什么条件时，平面？ 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定条件，利用线面平行的判定，结合棱柱的几何特征求解. 【详解】 如图，当时，平面，理由如下： 在长方体中，由，得， 由，得四边形是平行四边形， 则，即，而平面，平面， 因此平面，所以当时，平面. 52．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 故答案为：. 53．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面 平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面 平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 54．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在四棱锥中，E，F分别是线段AP，BC上的点，，则下列条件可以确定平面PCD的是（   ） A． B． C．平面PAD D．， 【答案】A 【分析】结合图形，设点M是对角线AC上一点，满足，则有，要使平面，则需使，根据各选项条件，判断是否可以推得即可. 【详解】设点M是对角线AC上一点，满足，则有平面，平面，进而平面，要使平面，则平面平面，需使. 对于A，在四边形ABCD中，由，，可得，故A 正确； 对于B，因为，又因为，但与不一定相等，所以不一定是平行四边形，从而得不到，故B错误； 对于C，因为平面PAD，平面ABCD，平面平面，所以，结合B项分析，可得C错误； 对于D，结合B项分析，同样得不到，故D项错误． 故选：A． 55．（21-22高一下·湖北襄阳·月考）正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，点，分别在和上，并且， 平面，则线段的长为______． 【答案】/ 【分析】连接并延长与交于点，连接，证明，根据比例关系得到，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】如图所示：连接并延长与交于点，连接，为中点，连接， ，故，， 平面，平面平面，平面，故， 故，，故， ，， 故. 故答案为： 【题型2：折叠类平行证明】 【题型专练】 56．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将沿折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，由A，B分别为线段与的中点可得，结合三角形相似得到，进而得到，进而求证即可； （2）根据棱锥的体积公式，结合面积比例求解即可. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接， 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为1:2，即. 又，则，故， 因为平面，平面，故平面. （2）设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为， 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为， 三棱锥的体积为，三棱锥的体积为， 由题有， 又，故，即， 则，又， 有， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 57．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】先把平面展开图还原为四棱锥，由面面平行的判定可判断A；易知四个侧面两两相交，据此可判断D；再根据线面平行的判定判断BC即可． 【详解】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则， 又平面，平面， 所以平面． 同理可证平面， 又，，平面， 所以平面平面，故选项A正确； 平面，平面，平面，平面是四棱锥的四个侧面， 则它们两两相交，故选项D错误； ，平面，平面， 平面，同理平面，故选项B，C正确． 故选：ABC． 58．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又H、G分别为的中点，所以. 平面，平面，所以平面， 因为FD、平面，， 所以平面平面. 59．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，通过证明进而证平面. 【详解】 取的中点，连接，， 由题意得，. 所以四边形为平行四边形，所以，. 又因为，将四边形沿翻折至四边形，故， ，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为在平面外，平面， 所以平面. 60．（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）如图是正方体的平面展开图关于这个正方体，以下列正确的是（    ） A．ED与NF所成的角为 B．平面AFB C． D．平面平面NCF 【答案】ABD 【分析】将展开图还原成正方体，根据异面直线所成角、线面平行以及面面平行的判定逐一判定即可. 【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图： 由，得四边形为平行四边形，则， 同理，， 对于A，是异面直线ED与NF所成的角或其补角，而，则，A正确； 对于B，由， 平面ABFE，平面ABFE，得平面AFB，B正确； 对于C，，而，因此，C错误； 对于D，，平面NCF，平面NCF，，平面NCF，平面NCF， 则平面NCF，平面NCF，又，BD、平面BDE， 所以平面平面NCF，D正确. 故选：ABD 【题型3：平行+距离/体积定值】 【题型专练】 61．（25-26高一下·重庆渝北·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 62．（25-26高一下·云南昭通·期中）（多选）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（    ） A．直线与为异面直线 B．平面 C．三棱锥的体积为 D．平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的周长为 【答案】ABD 【分析】对 A，利用异面直线的判定定理，通过判断直线与平面的位置关系判定；对 B，利用线面平行的判定定理，结合正方体中证明；对 C，先计算底面的面积，再根据三棱锥体积公式计算的体积并判断正误；对 D，通过确定截面为等边三角形，计算其边长和周长判断. 【详解】对于A，因为平面，平面，，所以直线与为异面直线，A正确； 对于B，因为在正方体中，，平面，平面，所以平面，B正确； 对于C，则由正方体的性质可得为等腰直角三角形，所以的面积为2，故三棱锥的体积为，C错误； 对于D，连接,则平面即为平面，截面图形为等边三角形，所以平面截正方体所得截面的图形的周长为，D正确. 63．（2026·四川内江·二模）（多选）在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（   ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过，，，四点的球的半径最小值为 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设，球心，半径为，利用球的性质可得，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，易知， 又平面，平面，所以平面. 又是中点，所以，又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，点是棱的中点， 则，所以C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为， 则，设，球心，半径为， 由，得到，解得，， 所以，又，且，所以当时，取到最小值，最小值为，故D正确. 64．（24-25高二上·贵州遵义·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的是（   ） A．点的轨迹长度为 B．的最小值为 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的最大体积为4 【答案】BC 【分析】令的中点为的中点为，求证平面平面得到点的轨迹为线段MN再逐项分析求解即可. 【详解】如图，令的中点为的中点为，连接. 在正方体中，为棱的中点， 所以，，因为平面，和在平面外， 所以平面平面. 又，且平面， 所以平面平面. 因为平面，且平面，所以平面. 又为正方形内一个动点（包括边界）， 所以平面平面. 因为平面平面，所以，点的轨迹为线段MN. 对，故A错误； 对B，过点作MN的垂线，则垂线段最短，因为 所以的最小值为，故B正确； 对C，因为平面，所以，故三棱锥的体积为定值，故C正确； 对D，因为点到平面距离为定值2， 则点到直线距离最大时即点在点处时，三棱锥的体积最大， 则三棱锥的最大体积，故D错误. 故选：BC 65．（24-25高二下·云南昭通·期末）（多选）如图，在正方体中，棱长为1，点为棱上的点，为棱上的点.下列说法正确的是（   ） A．正方体外接球的半径为 B．三棱锥的体积为 C．点到的距离为 D．若为的中点，则过，，三点的正方体的截面的面积为 【答案】BCD 【分析】根据外接球半径计算判断A，再应用三棱锥体积公式计算判断B，应用点到直线距离判断C，应用截面面积计算判断D. 【详解】A：因为外接球直径为，所以，故错误； B：，故正确； C：且，，故正确； D：平面平面，所以截面交平面为，设截面交平面为，所以， 因为若为的中点，所以为中点，连接，，则梯形的面积即为所求， 由题意得，，，，所以梯形的高为， ，故D正确， 故选：BCD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专项练习08：空间中直线，平面的平行】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础通关】 【题型1：定理辨析判断】 【题型专练】 1．（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）下列四个命题中错误的是（    ） A．如果，是两条直线且，那么平行于经过的任何一个平面 B．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 C．如果直线，和平面满足，，，那么 D．如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面 2．（25-26高一下·福建龙岩·期中）已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（2026·湖北黄石·一模）已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·湖南湘潭·期中）（多选）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 5．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为异面直线，，则 【题型2：无辅助线直接证线面平行】 【题型专练】 6．（24-25高二下·湖南长沙·期中）如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．直线在平面内 7．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 8．（21-22高一·全国·课后作业）线段、、不共面，、、分别为它们的中点，则直线与平面的位置关系是________． 9．（2024高一下·全国·专题练习）求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面． 已知：如图，空间四边形中，E，F分别是，的中点．    求证：平面． 10．（2024高二·全国·专题练习）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点．证明：平面； 【题型3：无辅助线直接证面面平行】 【题型专练】 11．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知正方体，求证:平面平面. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点．求证：平面平面． 13．（23-24高三·全国·二轮复习）如图，多面体中，四边形与四边形均为梯形.已知点四点共面，且.证明：平面平面. 14．（21-22高一·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG． 15．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知长方体，求证：平面平面． 【B·中等进阶】 【题型1：中位线法证线面平行】 【题型专练】 16．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，已知在三棱柱中，平面，点是的中点． (1)求证：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积． 17．（25-26高一下·重庆渝北·期中）如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 18．（25-26高一下·福建漳州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：直线平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值； 19．（25-26高一下·浙江丽水·期中）如图，在直三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 20．（25-26高二上·上海·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【题型2：平行四边形法证线面平行】 【题型专练】 21．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 22．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，是边长为4的正方形，平面，，且．证明：平面； 23．（25-26高二上·贵州遵义·月考）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为，求四棱锥的体积． 24．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点.求证：平面. 25．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点.求证：平面. 【题型3：平行线段相似法证明线面面面平行】 【题型专练】 26．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且，求证：平面. 27．（25-26高三·全国·二轮复习）已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，.证明：平面. 28．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面，为正三角形，分别是棱的中点，点在侧棱上，且．求证：平面． 29．（25-26高二上·贵州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 30．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面是的中点，是的中点.点在线段上，且.求证： 平面； 【题型4：线面↔面面平行互推（线面平面面面平行的性质）】 【题型专练】 31．（25-26高一下·广东湛江·期中）如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 32．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，在四棱锥中，均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 33．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于O点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设平面交平面于直线l． ①求证：； ②求的值． 34．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，在正方体中，分别为中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面． 35．（25-26高一下·福建福州·期中）（多选）下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【C·拔高培优】 【题型1：动点存在性问题】 【题型专练】 36．（24-25高一下·湖北·月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 37．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 38．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点M是棱上的一点，且. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 39．（25-26高一下·山西阳泉·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由. 40．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【题型2：逆向推理由平行求位置比例】 【题型专练】 41．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为棱，上的点，，若平面，则（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 44．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（   ） A． B． C． D． 45．（24-25高一下·湖北襄阳·月考）如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点． (1)求证：面； (2)当平面时，面与交于， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【题型3：组合几何体平行证明（与截面有关平行）】 【题型专练】 46．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知棱长为的正方体中，分别为的中点． (1)求证：四点共面； (2)若沿着平面将正方体截成两部分． ①请判断几何体是否是台体（不需说明理由）； ②求截得的两部分的体积之比． 47．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知正方体的棱长为2，平面过体对角线，且与直线平行，则平面截该正方体所得截面的周长为__________. 48．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体.如图所示，四边形，，均为等腰梯形，，，，，且到平面的距离为7，CD与AB间的距离为14，则这个“羡除”的体积____. 49．（25-26高二下·广东佛山·月考）如图，正方体的棱长为4，P为正方形的中心，Q为棱的中点，则过点A、P、Q的截面周长为（   ） A． B． C． D．74 50．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）（多选）如图，该八面体的棱长均为2，且六边形ABCDEF为正六边形，则（    ） A．平面平面ABCDEF B．四边形ABHG是正方形 C．该八面体的体积为 D．该八面体外接球的体积为 【D·压轴综合】 【题型1：多动点双线平行综合（或轨迹问题）】 【题型专练】 51．（25-26高一下·全国·课后作业）在长方体中，点P，R分别为BC，上的动点，当点P，R满足什么条件时，平面？ 52．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为______． 53．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 54．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在四棱锥中，E，F分别是线段AP，BC上的点，，则下列条件可以确定平面PCD的是（   ） A． B． C．平面PAD D．， 55．（21-22高一下·湖北襄阳·月考）正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，点，分别在和上，并且， 平面，则线段的长为______． 【题型2：折叠类平行证明】 【题型专练】 56．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将沿折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 57．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 58．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 59．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.证明：平面. 60．（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）如图是正方体的平面展开图关于这个正方体，以下列正确的是（    ） A．ED与NF所成的角为 B．平面AFB C． D．平面平面NCF 【题型3：平行+距离/体积定值】 【题型专练】 61．（25-26高一下·重庆渝北·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 62．（25-26高一下·云南昭通·期中）（多选）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（    ） A．直线与为异面直线 B．平面 C．三棱锥的体积为 D．平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的周长为 63．（2026·四川内江·二模）（多选）在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（   ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过，，，四点的球的半径最小值为 64．（24-25高二上·贵州遵义·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的是（   ） A．点的轨迹长度为 B．的最小值为 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的最大体积为4 65．（24-25高二下·云南昭通·期末）（多选）如图，在正方体中，棱长为1，点为棱上的点，为棱上的点.下列说法正确的是（   ） A．正方体外接球的半径为 B．三棱锥的体积为 C．点到的距离为 D．若为的中点，则过，，三点的正方体的截面的面积为 1 学科网（北京）股份有限公司 $