专题08 线线、线面、面面的平行与垂直的判定与性质常考13题型（期中专项训练）高一数学下学期人教A版

专题08 线线、线面、面面的平行与垂直的判定与性质 题型1 空间点共面、线共点问题 题型8 判断线面、面面垂直（重点） 题型2 异面直线的判定 题型9 证明线面、面面垂直（常考点） 题型3 空间线面位置关系命题的判断（易错点、常考点） 题型10 由线面垂直的性质定理证明线线垂直（重点） 题型4 判断线面、面面平行（重点） 题型11 由线面垂直的性质定理证明平行问题 题型5 证明线面、面面平行（常考点） 题型12 平行与垂直的综合应用（难点） 题型6 由线面平行、面面平行证明线线平行 题型13 平行与垂直的探索性问题（难点） 题型7 由线面平行的性质判断线段成比例或点的位置或线段长度（重点） 题型一 空间点共面、线共点问题（共5小题） 1．（24-25高一下·河北·月考）下列判断正确的是（   ） A．若空间五点中任何三点不共线，则这五点不共面 B．若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面 C．若空间五点中有三点共线，则这五点必共面 D．若空间五点中有四点共线，则这五点必共面 【答案】D 【详解】平面五边形的五个顶点任何三点和四点均不共线，但这五点共面，故A，B错误； 若空间五点中有三点共线，则这五点仍不一定共面，故C错误； 若空间五点中有四点共线，则由基本事实可知，直线与直线外一点可确定唯一平面，即这五点一定共面，故D正确． 故选：D. 2．（24-25高一下·甘肃兰州·月考）在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】第一个图，如图：   分别是棱的中点，由正方体性质知，，则四个点共面； 第二个图，如图：   为棱的中点，由正方体的性质可知六点共面，记作， 因为，所以，所以与异面直线，即四个点不共面； 第三个图，如图：    因和分别是相邻侧面的中位线，所以，， 所以，即四个点共面； 第四个图，如图：    因为平面，所以平面，所以与异面直线， 即四个点不共面． 故选：C 3．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，三棱柱中，点分别为的中点，则下列说法错误的是（   ）.    A．四点共面 B．与是异面直线 C．∠=∠ D．三线共点 【答案】C 【详解】因为分别为的中点，所以，； 所以，所以四点共面，A正确. 因为平面，平面且，平面，所以与是异面直线，B正确. 由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以C不一定正确. 如图：    设，则，又平面，所以平面； 同理可得平面，即一定在平面与平面的交线上， 因为平面平面，所以，即三线共点.故D正确. 故选：C 4．（25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 【答案】(1)相交，理由见解析；(2)证明见解析. 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， 因为为正四棱台，所以， 又E，F，G，H分别为棱，，，的中点，所以，， 则，所以E，F，G，H四点共面，因为，所以， 所以为梯形，则与必相交． （2）因为为梯形，则与必相交． 设，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 又平面平面， 所以，则，，交于一点． 5．（24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 题型二 异面直线的判定（共5小题） 6．（25-26高一下·全国·课后作业）在长方体中，与棱异面的棱有（   ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】 与异面的是4条棱． 7．（25-26高二上·北京·期中）已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直 【答案】C 【详解】如下图所示，连接，    由、分别为、的中点，得，， 在正方体中，，，故四边形为平行四边形， 所以，，故，， 所以四边形为梯形，故直线、相交， 故选：C. 8．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【答案】C 【详解】由，是异面直线，则异面或相交，又，故异面或相交. 故选：C 9．（多选）（2027高三·全国·专题练习）（多选）如图，，，，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BD 【详解】图①中，直线；图②中，，，三点共面，但平面，，因此直线与异面； 图③中，连接（图略），，因此与共面； 图④中，，，三点共面，但平面，，因此直线与异面； 所以在图②④中，与异面． 故选：BD． 10．（25-26高三上·全国·月考）取正方体六个表面的中心，构成正八面体，如图所示，正八面体的12条棱中异面直线的对数为（   ）      A．16 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【详解】先任选一条棱，余下的11条棱中与它异面的有4条， 故共有对异面直线． 故选：B． 题型三 空间线面位置关系命题的判断（共8小题） 11．（24-25高一下·陕西渭南·期末）直线与平面相交，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与都相交 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都是异面直线 D．内存在唯一一条直线与平行 【答案】B 【详解】由题设，平面内的直线与直线只有相交或异面两种位置情况，不可能有平行的情况，A、C、D错、B对； 故选：B 12．（24-25高一下·新疆·期中）若直线与平面相交，则下列结论正确的是（    ） A．平面内任意直线和直线异面 B．平面内存在直线和直线平行 C．平面内有且仅有一条直线和直线相交 D．平面内有无数条直线都与直线相交 【答案】D 【详解】因为直线与平面相交，所以平面内的直线与直线的关系相交或异面，设直线与平面交于点， 对于A，当平面内的直线过交点时，此时过点的直线和直线相交，故A不正确； 对于B，若平面内存在直线和直线平行，根据线面平行的判定定理得出平面，与已知矛盾，故B不正确； 因为平面内过交点的直线有无数条，且这些直线都与相交，故C不正确；D正确． 故选：D． 13．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题为假命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由线面垂直的性质可知，一直线垂直同时垂直两个平面，则两平面平行，故A正确； 对于B，直线可能在平面内，故B错误； 对于C，由面面垂直的判定定理，若一平面包含另一平面的垂线，则两平面垂直，故C正确； 对于D，由由线面垂直的性质可知，两直线同时垂直一个平面，则这两直线平面，故D正确； 故选：B. 14．（24-25高一下·天津·期末）已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】因为，，所以，A正确； 若，，则或，B不正确； 因为，，，所以， 因为，，，根据线面平行的性质定理，所以，又，所以，C正确； 因为，，所以，D正确. 故选：B 15．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【详解】若，则或相交或异面，故A错误； 若，则存在过的平面，，则由线面平行的性质定理可知， 又因为，所以，因为，所以，故B正确； 若，，则或与相交或，故C错误； 若，，，当时，； 当时，或与相交，或，故D错误； 故选：B 16．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】选项A，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确； 选项B，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确； 选项C，若，，，则，故C选项正确； 选项D，，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确； 故选：C. 17．（24-25高一下·福建三明·期末）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】 A，    若，则或，故该选项错误； B，若，则，故该选项正确； C，若，不能得出，故不能得出，故该选项错误； D，若，还需要加上相交才能得出，如果不一定平行，故该选项错误. 故选：B. 18．（多选）（24-25高一下·江苏南通·月考）下列结论错误的有（    ） A．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． D．没有公共点的两条直线是异面直线． 【答案】BCD 【详解】对于A，当两两相交的三条直线不经过同一点，如图1，根据推论，这三条直线可以确定一个平面; 当两两相交的三条直线经过同一点且不共面，如图2，则确定一个平面， 确定一个平面，确定一个平面.共确定3个平面. 所以两两相交的三条直线最多可确定3个平面.故A正确； 对于B，由基本事实3，两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过A点的公共直线，而不是任意一条过点的直线都是两平面的交线，故B错误； 对于C，若这三个公共点共线，两平面可能相交，但不一定重合，故C错误； 对于D，没有公共点的两条直线可能平行也可能异面.故D错误 故选：BCD. 题型四 判断线面、面面平行（共6小题） 19．（24-25高一下·江西新余·期末）已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【详解】由，，是三条不重合的直线，，是两个不重合的平面，直线，知： A：，，由平行公理得A正确； B:，与相交、平行或异面，故B错误； C:，或，故C错误； D:或，故D错误． 故选：A. 20．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 【答案】C 【详解】对于A，由，，，得或与相交或与是异面直线，A错误； 对于B，由，，，，得或与相交，B错误； 对于C，由，，，得，C正确； 对于D，由，，，且，，得或与相交，D错误. 故选：C 21．（24-25高一下·河北邯郸·月考）已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，为异面直线，，，则 【答案】C 【详解】 在正方体中，由于平面，平面， 但平面与平面不平行，故A错误； 同理，由于平面，平面，且 但平面与平面不平行，故B错误； 同理，由于平面，平面，且与是异面直线， 但平面与平面不平行，故D错误； 对于C，由，得，而，因此，C正确. 故选：C. 22．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（   ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有无数条直线与平面平行 D．平面内有两条相交直线与平面平行 【答案】D 【详解】对于A：平面内有一条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于B：平面内有两条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于C：平面内有无数条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于D：平面内有两条相交直线与平面平行，则，面面平行判定定理， 故选：D 23．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足直线平面的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【详解】选项A，如题所示连接交与，则为中点，    又因为是中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，A满足题意； 选项B，将直线平移使得点与点重合，则显然可知与平面不平行，B不满足题意； 选项C， 连接，由条件和正方体的性质可知，，    所以五点共面，即在平面内，所以与平面不平行，C不满足题意； 选项D，取的中点为，连接，    因为是棱上中点，所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面，D满足题意； 故选：AD 24．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面. 【答案】在中点与中点连线上 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在平面与面的交线上， 所以点在线段上，即点在中点与中点连线上， 题型五 证明线面、面面平行（共10小题） 25．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)6 【详解】（1）在长方体中， 可得且， 所以四边形是平行四边形. 所以 且平面，平面， 所以平面. （2）在长方体中， ，，且平面 ∵， ∴. 26．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】取的中点为，连接，则，且， 又，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 27．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. （2）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 28．（24-25高一下·河北·期末）如图，直三棱柱中，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)平面将三棱柱分成两部分，求这大小两部分体积的比值. 【答案】(1)证明见解析；(2)5 【详解】（1）如图： 连接交于点，连接， 则为的中点，又为线段的中点，则， 因为平面平面， 所以直线平面. （2）由题知，所以， 所以三棱柱的体积. 三棱锥的体积， 所以多面体的体积. 所以. 29．（24-25高一下·陕西汉中·期末）如图，在边长为4的正方体中，点在上． (1)当是中点时，证明：平面； (2)当和重合时，求三棱锥的表面积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）如图，连结交于点，则为的中位线，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）当与重合时，三棱锥即三棱锥， 则在边长为4的正方体中，是边长为的正三角形， 所以三棱锥表面积为 . 30．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在； 【详解】（1）证明：取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2）存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，．    31．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 32．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，点分别在棱上，其中E是的中点，连接．    (1)若M为的中点，求证：平面； (2)若平面，求点M的位置． 【答案】(1)证明见解析；(2)点M为的中点 【详解】（1）证明：如图，取的中点N，连接， 因为分别为的中点，所以，且CD，    又底面是矩形，且E是的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面． （2）设过三点的平面与交于点N，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以， 因为底面是矩形，所以， 又平面平面，所以平面， 同理得，所以四边形为平行四边形， 所以， 又，且，所以， 且，所以点M为的中点．    33．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】法一：如图，过点作交于点，过点作交于点，连结，显然． 因为是正方体，所以，， 又因为，，且，所以， 所以四边形是平行四边形，从而. 因为平面，平面，所以平面． 法二：如图，连结并延长，与直线相交于点，连结． 因为是正方体，所以，． 又因为，所以，从而． 因为平面，平面，所以平面． 法三：如图，过点作交于点，连结，显然， 因为平面，平面，所以平面． 因为是正方体，所以，， 又因为，所以，故， 所以，从而， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 34．（25-26高二上·安徽亳州·期中）如图，在正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）连接,因为M，N，E，F分别是棱，，，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面 连接AC，，交MN，EF，BD于G，H，O， 连接AG，OH如图． 易得四边形为矩形，所以，且， 所以四边形是平行四边形，故 又平面，平面，则平面． 又，AG，平面， 所以平面平面． （2）设正方体的棱长为a，则体积为． 三棱锥的体积为 三棱台的体积为 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为． 故平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 题型六 由线面平行、面面平行证明线线平行（共5小题） 35．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台中，点在上，点是棱上的点，且有平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】∵平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，又因为，所以，AD正确； 同理根据面面平行的性质定理得,则B正确. 36.（25-26高三上·湖南·期中）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，，则 D．若，则 【答案】B 【详解】若，则或异面，故A错误； 若，由线面平行性质定理可知，故B正确； 若，当时，可以相交，故C错误； 若，当时，可以相交，故D错误. 故选：B. 37．（2026高三·上海·专题练习）如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【答案】证明见解析 【详解】在直三棱柱中，因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 38．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点.设平面平面，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】由已知得，又平面，在平面外， 则平面， 又平面平面平面， 则. 39．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1） 法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面.                法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 题型七 由线面平行的性质判断线段成比例或点的位置或线段长度（共6小题） 40．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵平面平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ， ∴，又， ∴，则. 41.（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在三棱锥中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且，，E为线段BC上的点，若，且满足平面PEF，则λ=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取的中点，连接， 由，所以为的中点，又为的中点，所以 PE， 平面，平面，所以平面， 又平面，且，平面， 所以平面平面，由平面，所以平面 又平面，平面平面，所以 又，所以，所以，故 故选：A 42．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接交于点，连接，显然平面平面， 又平面，平面，则，即， 由为平行四边形，且E为线段AD的中点，易知， 所以. 故选：A 43．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设平面DAM与交于点P，连接DP交于点Q，连接QN，如图： 因为平面DAM，平面DAM， 所以平面DAM，又平面，平面平面，所以， 因为M是三等分点，所以，因为平面平面，所以平面， 又平面PDM，平面平面，所以， 所以，因此． 故选：C 44．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 【答案】 9 【详解】在平面的下方，是与平面的交点，在直线上，因此线段， 因,，故三点可确定平面 ，平面 ,且，平面与平面,故. 则有，即有 ，代入，解得 . 45．（2024·浙江·模拟预测）三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为______． 【答案】/ 【详解】延长CM交AB于点I，因为平面ABD， 由线面平行性质定理可知，设， 因为三棱锥的所有棱长均为2， 所以，且E为线段BC的中点， 所以AE平分∠BAC，由角平分线定理可知， 所以， 因为F为线段AD的中点，所以， 由余弦定理可知， 所以， 令，，化简可得， 因为，所以， 则在时取得最小值， 所以， 综上当，即时MN取得最小值． 故答案为：． 题型八 判断线面、面面垂直（共7小题） 46．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，， 则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】对于A，若，，，则，故A正确； 对于B，若，，所以，因为，所以，故B正确； 对于C，若，，，则平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，则，又，，则，故D正确. 故选：C. 47．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对A：若，则或，或或与相交，错误； 对B：若，则或，错误； 对C：若，则或，错误； 对D：若，则，正确. 故选：D 48．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）在正四棱锥中，E，F，G分别是棱，，的中点，是底面的中心，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【详解】在正四棱锥中，，令，连接， 在中，由E，F分别是边的中点，得，是线段的中点， 而为的中点，则，又平面，平面， 因此平面，C正确，D错误； 由平面，平面，得，与相交不垂直， 又，且平面，因此与相交不垂直，AB错误. 故选：C 49．（25-26高一下·全国·课后作业）对于直线m、n和平面、，能得出的一个条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】对于A，当垂直相交且同时平行于时，可能有的情况，所以A错误； 对于B，如下图，当，，，不一定得到，所以B错误； 对于C，过直线作平面与平面交于直线，如下图， ∵，，，∴， ∵，，∴，∴， 又，从而得到，故C正确； 对于D，由，可得，而，故可得，即D错误. 故选：C. 50．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线与平面，则能使的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由，得，而，则，A不是； 对于B，，分别是平面内互相垂直的异面直线，满足，B不是； 对于C，由，得，又，则，C是； 对于D，由，得二面角的平面角可以是锐角、直角，也可以是钝角，D不是. 故选：C 51．（25-26高二上·北京·期中）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ）．    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 【答案】C 【详解】对于A选项，因为为圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面，A对； 对于B选项，因为平面，平面，所以平面平面，B对； 对于C选项，因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为过点作平面的垂线有且只有一条，故与平面不垂直， C错； 对于D选项，因为平面，平面，所以平面平面，D对. 故选：C. 52．（24-25高一下·北京西城·期末）在长方体中，，．给出下列四个结论： ①；②；③平面；④平面． 其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【详解】在长方体中，，， 所以底面是长方形，故不成立， 因为平面，由线面垂直的性质可知与平面不垂直， 因为平面，平面，所以， 因为，所以不成立，故①错误； 因为， 在长方体中，有， 因为平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形， 所以，故②正确； 因为，所以， 因为是正方形，所以， 因为，且平面， 所以平面，故③正确； 因为是长方形，所以不成立， 由线面垂直的性质可知，平面不垂直，故④错误； 所以正确的结论是②③. 故选：B 题型九 证明线面、面面垂直（共18小题） 53.（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】连接，取的中点，连接，，如图所示， 因为，为的中点，所以， 同理，，为的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面平面， 所以平面． 54．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 【答案】证明见解析 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，，， 则，且，则， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. 55．（25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【详解】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 56．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【详解】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 57．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，点E在线段上． (1)证明：平面； (2)当为何值时，平面，并求出此时三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)1； 【详解】（1）∵底面是菱形，， ． ，，，， ． 同理，． 又平面，平面，， 平面． （2）连接交于点O，则是的中点. 连接，则平面平面. 因为平面，平面，所以． 所以点E为的中点，所以. 即当时，平面． 证明：当时，点E为的中点. 连接交于点O，则是的中点. 连接，则． 又平面，平面， 所以平面. 又由（1）知平面， 所以三棱锥的体积． 所以三棱锥的体积． 58．（25-26高二上·天津·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，且分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接， 因为是的中点，所以且， 又因为四边形为正方形，所以且， 因为为的中点，可得，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）因为底面，平面，所以， 因为四边形为正方形，可得， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，可得， 又因为且为的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 由（1）知，所以平面.    59．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案． 因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面． 60．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】证明：取的中点，连接，如图， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，面，所以平面. 即证：平面. 61．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 【答案】证明见解析 【详解】因为底面为正方形，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 连接，易知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，则， 又因为，平面，所以平面． 62．（25-26高一下·全国·期末）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为、分别为、中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面，所以， 在正方形中，， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）解：取中点，连接， 因为为中点，为的中位线，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为是正方形，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，， 所以，所以， 即四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为. 63．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形中，，，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【详解】连接，．，，分别是，，的中点，且， ，且， ∴四边形为菱形，， 又，，， 又，．又，，平面， 平面，又平面， ∴平面平面． 64．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面平面. 又为正三角形，为中点，所以， 又平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为，，分别为的中点， 所以，，所以， 所以，所以， 由（1）可得，平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 65．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)若，求证：平面平面ABCD； 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）在四棱锥中，取PA中点，连接EF、BF， 由是PD的中点，得， 又因为，所以， 所以四边形EFBC是平行四边形，所以，又平面平面PAB， 所以平面PAB. （2）在等腰梯形ABCD中，，过点作交AD于点， 由，得， 在中，由余弦定理得， 则，所以， 又，平面PBD， 因此平面，而平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 66．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. 求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【详解】∵底面ABCD，平面ABCD， ∴. 如图，连接AC． ∵底面ABCD为正方形，∴， ∵M，N分别为棱AB，BC的中点， ∴，∴， 又平面PBD， ∴平面PBD， ∵平面MNE， ∴平面平面PBD． 67．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面，.    (1)求证：平面平面； (2)若为等边三角形，边长为2，与底面所成角为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）如图：    取中点，连接，， 又平面平面，平面平面， ，又 又，平面平面. （2）取中点，连接，连接，同理可证， 则为与底面所成角的平面角. 为等边三角形，边长为2，， 在中，解得，在中，解得. 则. ， . 68．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1）在三角形ABO中，，，， 因此，可得 由于平面平面BCD，AO在平面ABD内，平面平面， 因此平面BCD； （2） 连接PE，平面，平面ABD，平面平面， 因此因为，， 因此，，因此； （3）设四面体的体积为V， 由（2）得，则， 由于平面平面BCD，平面平面，，平面BCD， 因此平面ABD， 又平面BCD，平面BCD，则， 过O作于点F， ，FO，平面AFO，则平面AFO， 又平面AFO，因此， 因此即为二面角的平面角， 因为，，，则， 又，在中由勾股定理得，又， 由，得， 因此 69．（24-25高一下·福建福州·期末）如图所示的四棱锥 中，平面，，， ，，F为PC的中点； (1)求证：平面 (2)求证：平面 (3)若P，B，C，D在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面 ABCD上 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 （3）根据题干条件，可分别计算PE、BE、CE、DE的长度，结合条件，即可得证. 【详解】（1）证明：取PB 中点M，连接MF、AM， M、F分别为PB、PC的中点， ， ，点在上，， ， 且， 四边形AEFM为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB， 平面PAB. （2）证明：，， ， 平面， ， ，平面PAB，平面PAB， 平面PAB， 平面PAB， ， ，M为PB的中点， ， ，平面PBC，平面PBC， 平面PBC， ， 平面PBC. （3）证明：平面， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 在同一个球面上，且， 为球心， 球心在平面ABCD上. 题型十 由线面垂直的性质定理证明线线垂直（共6小题） 70．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任意一点，则下列关系正确的是（    ） A． B．平面 C． D． 【答案】BD 【详解】由题意，平面，因为平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，且为圆上异于的任意一点，所以， 故A错误； 因为，，又平面， 所以平面，故B正确； 因为平面，又平面，所以，故D正确； 若，由，平面， 则平面，又平面，则，这与矛盾，故C错误. 故选：BD. 71．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）如图，已知点为所在平面外一点，平面，，于，于，求证：    (1) 平面； (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面； （2）证明：由（1）得平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 72．（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【答案】证明见解析 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 73．（25-26高一·全国·假期作业）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）因为侧面是边长为2的正三角形，为的中点， 所以，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，即为棱锥的高， 因为底面为正方形， 所以四棱锥的体积为； （2）因为平面，平面，所以， 在正方形中，易知与全等， 所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 74．（24-25高一·全国·假期作业）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 【答案】证明见解析 【详解】∵，∴， 又，，∴， 由勾股定理逆定理可得. 又，即，，平面， ∴平面. ∵平面， ，，，∴，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，. ，、平面，平面， ∵平面，. 又，为的中点， ， ，、平面，平面， 平面，. 75．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面，且平面，所以 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，则由，可得， 因平面，故平面. 题型十一 由线面垂直的性质定理证明平行问题（共5小题） 76．（24-25高一下·浙江杭州·月考）已知为不同的平面，为不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对A选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能相交， 故A选项不正确； 对B选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能 故B选项不正确； 由线面垂直的性质定理可知，若，则成立， 故C选项正确； 对D选项：如图所示， 若，则还有可能， 故D选项不正确； 故选：C. 77．（24-25高一下·山东青岛·期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】B 【详解】对于A中， 若，，则或，所以A不正确； 对于B中，若，，由垂直同一平面的两直线平行，可得，所以B正确； 对于C中，由，设，若且，此时，所以C不正确； 对于D中，若，仅当与相交时，才能得到，否则也有可能相交，所以D错误. 故选：B. 78．（24-25高一下·海南·月考）设为两个不同的平面，则下列条件不能推出的是（   ） A．内有无数条直线与平行 B．内有一个三角形的三条边均与平行 C．垂直于同一条直线 D．平行于同一个平面 【答案】A 【详解】若内有无数条平行直线与平行，则可能平行或相交，故A符合题意； 若内有一个三角形的三条边均与平行，， 又，由面面平行的判断定理可得，故B不符合题意； 若垂直于同一条直线，由线面垂直的性质可得，故C不符合题意； 若平行于同一个平面，由面面平行的性质可得，故D不符合题意， 故选：A. 79．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，是两个不同平面，，是两条不同直线，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】由题意作长方体，    对于A，当直线分别为，平面为平面时，显然，但，故A错误； 对于B，当平面分别为平面平面，直线为，显然，但，故B错误； 对于C，当平面分别为平面平面，直线为，显然，但，故C错误； 对于D，由线面垂直的性质，可得D的正确. 故选：D. 80．（2024·安徽合肥·二模）设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ） A． B． C．与相交 D． 【答案】D 【详解】对于A：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故A错误； 对于B：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故B错误； 对于C：当满足与相交时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故C错误； 对于D:  因为，又，所以， 故是的一个充分条件，故D正确； 故选：D 题型十二 平行与垂直的综合应用（共9小题） 81．（多选）（24-25高一下·云南丽江·月考）在正三棱柱中，为中点，则下列命题错误的是（   ） A． B．平面 C．平面 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由题知，若，又，面， 所以面，又面，则，与相矛盾，所以与不垂直，故A符合题意， 对于选项B，若平面，又面，则， 又，则，显然与不垂直，所以与平面不垂直，故B符合题意， 对于选项C，因为，又面，面，所以平面，故C不合题意， 对于选项D，因为，若，则，显然不正确，故D符合题意，    故选：ABD. 82．（多选）（24-25高一下·江西九江·期末）如图，已知正方体中，为线段上的动点，为线段的中点，则下列四个结论正确的是（   ） A．对任意点，平面 B．三棱锥的体积为定值 C．直线与所成的角不可能等于 D．存在点，使平面 【答案】ABD 【详解】对于A选项，连接、、、，如下图所示： 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，、平面，故平面平面， 因为平面，因此平面，A对； 对于B选项，因为平面平面，平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离为定值， 而为定值，故为定值，B对； 对于C选项，因为，，故四边形为平行四边形， 所以，所以与所成的角为或其补角，如下图所示： 易知为正三角形，显然当时，，C错； 对于D选项，连接、、，如下图所示： 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 当为的中点时，因为为的中点，此时，故平面，D对. 故选：ABD. 83．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，直线垂直于圆所在的平面，内接于圆，且为圆的直径，点为线段的中点．现有结论中正确的是（   ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D． 【答案】ABD 【详解】因为为的中点，为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 所以A正确. 又平面，平面，所以， 由为圆的直径，得， 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 所以B正确. 因为平面，且过一点只能作平面的一条垂线，所以C错误； 因为平面，平面，所以，所以D正确. 故选：ABD. 84．（多选）（2025·福建厦门·三模）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体，下面部分可视为正四棱锥，为正方形的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则（ ） A． B．平面 C．平面平面 D．与为相交直线 【答案】BCD 【详解】对于A，设正方形边长为2，由正四棱锥性质可得平面，故， 因为面，故在底面的射影为， 又不与垂直，故不与垂直，故A不正确； 对于B，由题且，故四边形是平行四边形， 所以不在平面内，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，因为，平面，故平面， 平面即为平面，因为面，面， 所以，又因为，， 所以平面，又平面， 所以平面平面，即平面平面，故C正确； 对于D，由C可知与都在平面中且不平行，故与为相交直线，故D正确. 故选：BCD. 85．（多选）（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）如图，已知正方体，分别是的中点，则不正确的是（    ）    A．直线与直线垂直，直线平面； B．直线与直线平行，直线平面； C．直线与直线相交，直线平面； D．直线与直线异面，直线平面； 【答案】BCD 【详解】如图所示，连接，因为正方形，且为的中点， 所以点为的中点，又由为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在正方体中， 因为平面，且平面，所以， 又因为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，且与不相交， 所以与为异面直线，所以A正确，B、C错误； 在直角中，可得与不垂直，所以与平面不垂直， 因为，所以与平面不垂直，所以D错误. 故选：BCD.    86．（多选）（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，正方体的棱长为为与的交点，则下列判断正确的是（    ） A．直线与直线是异面直线 B．平面 C．直线与直线所成角是 D．在直线上存在点，使平面 【答案】BD 【详解】对于A，由图可知直线与直线都在平面中，故A错误； 对于B，正方体的棱长为1，由图可知直线， 又平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，由正方体性质知， 所以直线与直线所成角为直线与直线所成角， 因为为正方形，所以，即直线与直线所成角是，故C错误 ； 对于D，连接，，，取的中点，连接，则， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以平面，即在点处时，可使平面，故D正确． 故选：BD 87．（多选）（24-25高一下·福建福州·期末）在棱长为2的正方体中，动点满足（其中），则（    ） A．三棱锥的体积随的改变而变化 B．平面 C．平面平面 D． 【答案】BC 【详解】因为动点满足（其中）， 所以点在线段上运动； 对于A，在正方体中，，，即四边形为平行四边形，如图， 则，而平面，平面，则有平面， 因此，点P到平面的距离为定值，而面积是定值，则三棱锥的体积不变，A错误； 对于B，由选项A知，平面，同理平面，而，平面， 则有平面平面，又平面，因此，平面，B正确； 对于C，如图连接，在正方体中，，而平面，平面， 则，又，平面，有平面，平面，于是得， 同理，因，平面，则平面， 平面，所以平面平面，C正确； 对于D，如图，连接，显然是正三角形，当点P与点B重合时，， 点P在运动过程中，不是总有成立， D错误. 故选：BC. 88．（多选）（24-25高一下·广东清远·期末）已知正方体，点满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为1 B．当时，平面截得正方体的截面面积为 C．当时，平面 D．当时，平面 【答案】ABD 【详解】由知，点在四边形区域内（包括边界）. 对于A，因为平面，所以当点在点时，取最小值，故A正确； 对于B，当时,所以是的中点. 取的中点，的中点，连接，，，，，， 又∥且，∥且， 所以∥且，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 同理可知，∥，所以∥，显然， 所以平面截得正方体的截面为菱形， 因为 所以，故B正确； 对于C，取的中点，的中点，连接，则， 所以， 因为，所以，则点在线段上， 连接，，，，，，则∥，∥， 平面，平面平面，所以∥平面， 同理可得∥平面， 又，平面，所以平面∥平面， 显然平面与平面有公共点，且点平面， 所以与平面相交，则与平面相交，故C错误； 对于D，当时点在线段上（点除外），连接，则， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面，故D正确. 故选：ABD. 89．（25-26高一下·全国·期中）如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，有下列结论： （1）平面； （2）平面平面； （3）； （4）直线与直线所成角的大小为． 其中正确结论的序号是____________． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】如图所示，连接，因为分别为的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面，所以（1）正确； 因为分别为的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面，所以（2）正确； 由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以， 因为，所以，所以（3）正确． 由于，分别为侧棱，的中点，所以， 因为四边形为正方形，所以， 所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即为或其补角， 又因为三角形为等边三角形，所以，所以（4）错误． 故答案为：（1）（2）（3）. 题型十三 平行与垂直的探索性问题（共8小题） 90．（24-25高一下·湖北·月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在，. 【详解】（1）因为四边形为菱形，， 所以，，又为的中点， 所以为等边三角形，，，， 所以， 又平面，， 所以三棱锥的体积， （2）连结， 因为，分别为的中点，所以，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，，又是的中点，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面, 所以平面． （3）线段上存在点P，使得平面，且， 证明如下： 连接，其中AC交DE于点，连接 在菱形ABCD中，，且 所以，又， 所以， 所以四边形是平行四边形 平面，平面， 平面. 91．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析 【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． 92．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点N为的靠近的三等分点，证明见解析 【详解】（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接， ， ∴，. ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 93．（24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在，，理由见解析 【详解】（1）因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 因为，所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为. （2）连接,交于，则为中点，连接； 因为直线平面，且平面平面， 所以， 因为为中点，所以P为棱SD的中点. （3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足. 理由如下:取SD的中点Q，连接BQ， 因为，所以，又为的中点， 在△中, ,又平面，平面，所以平面， 过Q作，交于，连接， 又平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面，又平面, 所以平面，由，得, 由，Q为SD的中点，得， 所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC. 94．（24-25高一下·河北承德·月考）已知，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点．      (1)在棱上是否存在点，使？若存在，求的长；若不存在，说明理由． (2)已知点同时满足下列条件： ①平面；②平面. 请再写出与点M有关的两个结论：一个为“线面平行”，一个为“线面垂直”：________，________．（结论不要求证明） 【答案】(1)存在，2；(2)答案见解析 【详解】（1）存在，当点为棱的中点时，可使. 理由如下：如图，过点作，交于点，连接，设，    因为为的中点，所以为的中点，所以， 因为，，所以，则， 因为，所以，即， 因为底面，所以底面， 因为面，所以. 又因为，面，所以面， 因为面，所以， 故当点为棱的中点时，可使，此时. （2）如图，作于，而平面，    因为面，所以， 因为面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为面，面，所以平面， 因为平面，面，所以， 由正方形性质得，，则， 因为面，，所以平面. 95．（24-25高一下·河北·月考）如图1，在矩形中，是线段上的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面. (1)是线段上的点，若当时，平面，求的值； (2)若点在平面内的射影落在线段上. ①是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离. 【答案】(1)；(2)①存在，此时；. 【详解】（1）如图作，因平面，平面， 则平面.又平面，， 则平面平面.结合平面平面， 平面平面，则，又由题可得， 则四边形为平行四边形，从而，又， 则； （2）①假设存在点，使得平面. 因平面，则.因为点在平面内的射影， 则平面，又平面，则. 因，平面，则平面. 因平面，则.因，则. 即M与D点重合时，满足题意，此时； ②设，因为点在平面内的射影，则平面， 又平面，则，则为直角三角形，PB为斜边，则. 则， 其中，， 则， 当且仅当，即时取等号.则此时，. 从而可得，，. 则为等腰直角三角形，. 设点到平面的距离为， 则， 则. 96．（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，． 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 97．（24-25高一下·四川德阳·期末）在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析；；(2)当为中点时，平面平面，证明见解析. 【详解】（1）因为，又为的中点， 所以为等边三角形，四边形为菱形，所以， 因为为的中点，所以，所以，即 连接，所以， 若使构成的四棱锥体积最大，则平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面；    （2）当为中点时，平面平面. 取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以平面平面， 由（1）得平面，又平面，所以平面平面， 所以平面平面.    1 / 89 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08 线线、线面、面面的平行与垂直的判定与性质 题型归纳·内容导航 题型1空间点共面、线共点问题 题型8判断线面、面面垂直（重点） 题型2异面直线的判定 题型9证明线面、面面垂直（常考点） 题型3空间线面位置关系命题的判断（易错点 题型10由线面垂直的性质定理证明线线垂直 常考点) (重点) 题型4判断线面、面面平行（重点） 题型11由线面垂直的性质定理证明平行问题 题型5证明线面、面面平行（常考点） 题型12平行与垂直的综合应用（难点） 题型6由线面平行、面面平行证明线线平行 题型13平行与垂直的探索性问题（难点） 题型7由线面平行的性质判断线段成比例或点 的位置或线段长度（重点） 题型通关·靶向提分 题型一空间点共面、线共点问题（共5小题） 1.(24-25高一下河北月考)下列判断正确的是() A.若空间五点中任何三点不共线，则这五点不共面 B.若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面 C,若空间五点中有三点共线，则这五点必共面 D.若空间五点中有四点共线，则这五点必共面 2.(24-25高一下.甘肃兰州月考)在如图所示的正方体或四面体中，P,Q,M,N分别是 棱的中点，这四个点不共面的图有() M M A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 1/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25高一下辽宁大连期末)如图，三棱柱ABC-A,B,C,中，点E,F,G,H分别为 BB,CC,A,B1,A,C,的中点，则下列说法错误的是(）· B E B G2- A,- H A.E,F,G,H四点共面 B.AA,与GH是异面直线 C.∠EGH=∠FHG D.EG,FH,AA,三线共点 4.(25-26高二上四川内江·月考)如图，在正四棱台ABCD-A,B,CD,中，E,F,G,H分别 为棱AB,B,C,AB,BC的中点. D A E B D H B (1)判断直线FG与EH的位置关系，并说明理由； (2)证明GE,FH,BB相交于一点. 5.(24-25高一下.河北邯郸期中)如图，在多面体ABCDEFGH中，四边形ABCD和四边形 EFGH均为正方形，四边形ABGF和四边形ADEF均为梯形，其中AB∥FG,AD/IEF, 且AB=2FG G D (1)证明：B,D,E,G四点共面 (2)证明：AF,BG,DE三条直线交于一点， 2/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二异面直线的判定（共5小题） 6.(25-26高一下.全国课后作业)在长方体ABCD-A,B,CD,中，与棱AB异面的棱有() 条 A.4 B.3 C.2 D.1 7.(25-26高二上北京期中)已知正方体ABCD-A,B,C,D,中，E、F分别为AB,和B,C的 中点，则直线AE和CF的位置关系为() A.平行 B.异面 C.相交 D,垂直 8.(24-25高一下.云南曲靖期末)已知直线a,b,c,d,若a/b,c/1d,b,c是异面直线，则a 与d的位置关系为() A.相交 B.异面 C.相交或异面 D.不确定 9.(多选)(2027高三·全国.专题练习)（多选）如图，G,N,M,H分别是正三棱柱（两 底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图 形有() G N H 图① 图② 图③ 图④ A.① B.② c.③ D.④ 10.(25-26高三上全国·月考)取正方体六个表面的中心，构成正八面体，如图所示，正八 面体的12条棱中异面直线的对数为() A.16 B.24 C.32 D.48 题型三空间线面位置关系命题的判断（共8小题） 11.(24-25高一下.陕西渭南·期末)直线m与平面相交，则下列结论成立的是() A.内的所有直线与m都相交 B.内不存在与m平行的直线 3/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.a内的所有直线与m都是异面直线D.内存在唯一一条直线与m平行 12.(24-25高一下.新疆期中)若直线1与平面α相交，则下列结论正确的是() A.平面u内任意直线和直线I异面B.平面a内存在直线和直线1平行 C.平面α内有且仅有一条直线和直线l相交D.平面a内有无数条直线都与直线1相 交 13.(24-25高一下江苏南京期末)已知m,n为不同的直线，a,B为不同的平面，下列命 题为假命题的是() A.m⊥a,m⊥B→a/1β B.m⊥n,n⊥a→m//a C.m⊥a,mcβ→a⊥B D.m⊥，n⊥0→m//n 14.(24-25高一下·天津期末)已知三个不同的平面，B,Y和三条不同的直线m,n,1 ，下列命题中为假命题的是() A.若m∥n,m⊥a,则n⊥a B.若m∥n,m/la,则n/la C.若a∩B=m,nca,lcB,n1ll,则m/1n/1lD.若a⊥y,a/1B,则B⊥Y 15.(24-25高一下.浙江宁波.期末)己知直线1，m,n与平面a,B,下列命题正确的是() A.若l⊥n,n⊥m,则1⊥m B.若l⊥a,l∥B,则a⊥B C.若11la,1⊥m,则m⊥a D.若a⊥B,a∩B=m,1⊥m,则1⊥B 16.(24-25高一下湖南邵阳·期末)己知m,n是两条不同的直线，，阝是两个不同的平面， 则下列命题中正确的是() A.若m11a,n/1B,a/1B,则m∥nB.若m1la,m⊥n,n⊥B,则a/1B C.若m上B,n⊥a,m∥n,则a/B D.若⊥B,mCa,ncB,则m⊥n 17.(24-25高一下·福建三明期末)已知m,n为两条不同的直线，，B为两个不同的平面， 则下列结论正确的是() A.若a⊥B,m⊥阝，则mIa B.若m⊥a,m/n,a1/B,则n⊥B C.若m⊥n,mca,ncB,则a⊥BD.若mca,nca,m/B,n/1B,则au/B 18.(多选)(24-25高一下江苏南通·月考)下列结论错误的有（) A.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. B.两个平面a,B有一个公共点A,就说a,B相交于过A点的任意一条直线， C.如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. D.没有公共点的两条直线是异面直线， 题型四判断线面、面面平行（共6小题） 4/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(24-25高一下.江西新余期末)已知，b,c是三条不重合的直线，a,B是两个不重合 的平面，直线l∥a,则() A.allc,b/1c→aI1b B.a/B,b//B→a/1b C.allc,c11a→a1la D.a/1l→a/1a 20.（24-25高一下.安徽合肥期中)已知1，m,n是三条不同的直线，，B,Y是三个不 同的平面，则下列命题一定正确的是() A.若m/1a,n/1B,a1/B,则m∥n B.若mca,nca,m/B，,n//β，则/1β C.若l11a,1cB,a∩B=m,则1∥m D.若mca,nca,1cB,且m/1B,n/l,则a/1B 21.(24-25高一下.河北邯郸·月考)己知a,B为两个不同的平面，m,n为两条不同的直 线，则下列命题正确的是() A.若a∥m,B∥m,则a∥B B.若m∥n,m‖a,n‖B,则a∥B C.若m∥n,m⊥a,n⊥B,则a∥B D.若m,n为异面直线，m‖a,n‖B,则a∥B 22.(24-25高一下河南郑州期中)已知0，B是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得 出平面a与平面B平行的是() A.平面a内有一条直线与平面B平行B.平面内有两条直线与平面B平行 C.平面内有无数条直线与平面B平行D.平面内有两条相交直线与平面B平行 23.(多选)(24-25高一下江西南昌·期末)如图，点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱 的中点，则下列各图中满足直线MN∥平面ABC的是() 5/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M M D 24.(25-26高一下.全国.课后作业)如图，已知正方体ABCD-A'B'CD',E,F分别为AD, AB的中点，点G在上底面A'B'CD'（含边界)上运动.请补充一个恰当条件，当点G满足 时，有BC'∥平面EFG. D' 分G A Eδ A B 题型五证明线面、面面平行（共10小题）一 25.(24-25高一下.湖南岳阳期末)已知长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=4, AD=AA=3. D C B D B (1)求证：B,D,∥平面BC,D; (2)求三棱锥C-BDC的体积. 26.(2025高三·全国专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中， AB=2CD=2AP=2PD=4,PA⊥PD,AB⊥BC,ABIICD,E为PB的中点证明：CE∥平面 PAD. 6/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27.(24-25高一下浙江杭州期中)如图，长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=AD=2,AA=4 ,点P为DD的中点. D C A B 二二= (1)求证：直线BD,∥平面PAC; (2)求异面直线BD与PC,所成角的余弦值. 28.(24-25高一下河北期末)如图，直三棱柱ABC-A,B,C,中， AB=BC=BB=2,AC=2√2，N为线段AB的中点. B (1)证明：AC/平面B,CN; (2)平面B,CN将三棱柱分成两部分，求这大小两部分体积的比值 29.(24-25高一下.陕西汉中.期末)如图，在边长为4的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点E在 DD上. 7/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C A B A B (1)当E是DD,中点时，证明：BD∥平面AEC; (2)当E和D重合时，求三棱锥D-ACE的表面积. 30.(24-25高一下·福建厦门期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， 点E,F分别为AD,PC的中点. B (1)证明：DF1/平面PBE; (2)在棱BC上是否存在点G,使得平面DFGII平面PBE？若存在，求 BG的值；若不存 在，说明理由， 31.(24-25高一下.青海海南·期末)如图，在长方体ABCD-A,B,CD,中，E,F,G分别是棱 AB,BB,AB的中点. D C A G B D B (1)证明：CG/平面CEF. ②在棱M上是香存在点，使得平面CGH/平面CEF?若存在，求出4只 的值：若不 8/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 存在，请说明理由。 32.(2024高三·全国.专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点 E,M分别在棱AB,PC上，其中E是AB的中点，连接ME. M A E B (1)若M为PC的中点，求证：MEI1平面PAD; (2)若ME/1平面PAD,求点M的位置. 33.(2025高一.全国.专题练习)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F分别为AB,与 BC,上的点，且AE=BF.求证：EFII平面ABCD· D A B E B 34.(25-26高二上安微毫州期中)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，M,N,E,F分别 是棱AB,AD,BC,CD的中点. D M B C A B (1)求证：平面AMN∥平面DBEF: (2)求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比. 题型六由线面平行、面面平行证明线线乎行（共5小题） 9/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35.(多选)(25-26高一下全国课后作业)如图，在三棱台A,B,C,-ABC中，点D在AB,上， 点M是棱B,C上的点，且有平面BDM 11平面A,CCA,则() B D A.DM∥AC B.BM∥CC C.BM∥AA, D.DM∥AC 36.(25-26高三上·湖南·期中)设，阝是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列 命题正确的是() A.若mca,ncB,a/B,则m/1n B.若m/a,mcB,a∩B=n,则m/n C.若mca,nca,m/1B,n/1B,则/1B D.若mca,m/1B,ncB,n/1oa,则a/1B 37.(2026高三.上海.专题练习)如图，在直三棱柱ABC-AB,C,中，E是AC,边的中点， 过A,B,E作截面交B,C于点D.求证：DEI/AB. B 夕 38.(2026高三·全国.专题练习)如图所示，过圆柱的轴O0,的平面与该圆柱相截所形成的 截面是边长为2的正方形AA,C,C,B是该圆柱底面圆周上异于A、C两点的点设平面 AAB∩平面CCB=I,求证：I11AA: 10/28