专题06 因式分解重难点题型汇编(十大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题06 因式分解重难点题型汇编 （十大题型） 【题型01：判断是不是因式分解】.............................................................................................1 【题型02：已知因式分解的结果求参数】..................................................................................2 【题型03：公因式】....................................................................................................................2 【题型04：提公因式法分解因式】.............................................................................................2 【题型05：平方差分解因式】.....................................................................................................3 【题型06：完全平方分解因式】..................................................................................................3 【题型07：综合提公因式和公式法分解因式】..........................................................................3 【题型08：十字相乘法】............................................................................................................3 【题型09：分组分解法】...........................................................................................................4 【题型10：因式分解的应用】...................................................................................................4 【题型01：判断是不是因式分解】 1.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5.下列式子从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型02：已知因式分解的结果求参数】 6.若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．; B．; C．; D．． 7．若，则的值是（   ) A． B． C． D． 8.如果是的一个因式，则m的值是（   ） A． B．6 C． D．8 9.若可以因式分解为，那么的值为（    ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 10.若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（    ） A． B．5 C．1 D． 【题型03：公因式】 11.多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 12.多项式的公因式是（    ） A．a B．b C． D． 13．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 14.把多项式分解因式，应提的公因式是（   ） A． B． C． D． 15．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【题型04：提公因式法分解因式】 16．分解因式：____________。 17．因式分解：________。 18．因式分解：______。 19．因式分解：______。 20．因式分解：______________ ． 【题型05：平方差分解因式】 21．分解因式：_______。 22．因式分解：_____。 23．已知，，则等于________。 24．分解因式：______。 25.因式分解： (1)__________; (2)__________; (3)__________; (4)__________． 【题型06：完全平方分解因式】 26．因式分解：_____。 27．因式分解：_____________。 28.因式分解： (1)_______ (2)_______． 29．分解因式：_________。 30．如果能分解为，那么_______________。 【题型07：综合提公因式和公式法分解因式】 31．分解因式：_______。 32．因式分解：=___。 33．分解因式：___________。 34．因式分解______。 35．因式分解：_______。 【题型08：十字相乘法】 36．因式分解：______。 37．因式分解：________。 38．因式分解：________。 39.两名学生将一个二次三项式因式分解，一名学生看错了一次项系数，因式分解的结果为（；另一名学生看错了常数项，因式分解的结果为（，那么这个二次三项式正确的因式分解结果是_______。 40．因式分解：_____。 【题型09：分组分解法】 41．分解因式：_______。 42．因式分解：____________。 43．因式分解：______。 44．因式分解______。 45．分解因式：______。 【题型10：因式分解的应用】 46．已知，则的值为________。 47．若， 则 的值为_______。 48．已知，，则代数式的值为___。 49．若，则的值为_____。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 因式分解重难点题型汇编 （十大题型） 【题型01：判断是不是因式分解】.............................................................................................1 【题型02：已知因式分解的结果求参数】..................................................................................3 【题型03：公因式】....................................................................................................................5 【题型04：提公因式法分解因式】.............................................................................................6 【题型05：平方差分解因式】.....................................................................................................7 【题型06：完全平方分解因式】..................................................................................................9 【题型07：综合提公因式和公式法分解因式】..........................................................................10 【题型08：十字相乘法】............................................................................................................11 【题型09：分组分解法】...........................................................................................................12 【题型10：因式分解的应用】....................................................................................................13 【题型01：判断是不是因式分解】 1.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项，等式左边是单项式，不是多项式，不符合要求，错误； B选项，等式右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不符合要求，错误； C选项，，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，正确； D选项，该变形是整式乘法，将积化为多项式，不是因式分解，错误。 2.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因式分解要求左边是多项式，结果为几个整式乘积的形式， A 左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，不符合题意。 B 结果为 ，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意。 C 将多项式化为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义，符合题意。 D 该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意。 3.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因式分解需满足两个条件：变形结果是几个整式的积，且等式左右两边相等。 A．从左到右是整式乘法，结果是多项式和的形式，不是整式积，故不符合题意； B．等式右边为 ，不是整式积的形式，故不符合题意； C．从左到右是整式乘法，将整式积化为多项式，不是因式分解，故不符合题意； D．，左边是多项式，右边是整式的积，且等式左右相等，故符合题意。 4.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式乘积的形式，结合变形是否正确逐一判断选项，正确理解因式分解的定义是解题关键。 【详解】解：∵因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，A选项从左到右是整式乘法，不是因式分解， ∴A不符合题意； ∵，变形错误，不是正确的因式分解， ∴B不符合题意； ∵，将多项式化为两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义， ∴C符合题意； ∵的右边不是整式乘积的形式， ∴D不符合题意； 5.下列式子从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，判断变形是否为将多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断选项即可。 【详解】解：∵选项A中，左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解定义，故A不符合题意。 ∵选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解定义，故B符合题意。 ∵选项C中，变形是整式乘法，是将整式的积化为多项式，不属于因式分解，故C不符合题意。 ∵选项D中，右边是和的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解定义，故D不符合题意。 【题型02：已知因式分解的结果求参数】 6.若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．; B．; C．; D．． 【答案】A 【分析】本题考查的是多项式的整数解问题，灵活运用因式分解和整数的性质是解题的关键。由等式右边展开得 ，与左边比较系数，得 和 ．由于 、 为整数，枚举所有整数对 满足 ，计算 ，即可确定 的可能值。 【详解】， 比较系数，得 ，， 、 为整数，且 ， 所有整数对 为： ,; ,; ,; ,; ,; ,. （其余对为重复值，略） 的可能值为 ． 选项不在可能值中，故不可能。 7．若，则的值是（   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘多项式，计算（即可求解。 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 8.如果是的一个因式，则m的值是（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系。设，然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与的对应项的系数相同，据此即可求得a，m的值。 【详解】解：设， 整理得， 则， 解得：． 故选：A． 9.若可以因式分解为，那么的值为（    ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，将展开，利用对应项相同，求出的值，即可。 【详解】解：由题意，得：， ∴, ∴, ∴; 故选B． 10.若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（    ） A． B．5 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解的应用，整式乘法与因式分解的关系，理解题意得出多项式的另一个因式为是解本题的关键。 【详解】解：设， 则， ∴, 解得：， 故选C． 【题型03：公因式】 11.多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照确定公因式的方法，先求各项系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式。 【详解】解：∵多项式的两项为和， ①系数部分，5和10的最大公约数是5， ②字母部分，两项都含字母和，的最低次幂是，的最低次幂是， ∴公因式为． 12.多项式的公因式是（    ） A．a B．b C． D． 【答案】D 【分析】先确定系数最大公约数，再取相同字母最低次幂的方法。 【详解】解：多项式的两项分别为和， 两项系数的最大公约数为， 两项都含有的相同字母是和， 的最低次数是，的最低次数是， ∴公因式为． 13．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题按照公因式的求解方法，先计算各项系数的最大公约数，再确定各项共有的相同字母，取相同字母的最低次幂，相乘即可得到公因式。 【详解】解：∵多项式的各项系数为，，，三者的最大公约数是， 各项共有的相同字母为和， 在各项的次数分别为，，，最低次幂为， 在各项的次数分别为，，，最低次幂为， ∴该多项式的公因式为． 14.把多项式分解因式，应提的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟知公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的。据此求解即可。 【详解】解：把多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：B． 15．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公因式的定义，多项式的公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，据此求解即可。 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：C． 【题型04：提公因式法分解因式】 16．分解因式：____________。 【答案】 【详解】解：． 17．因式分解：________。 【答案】 【详解】解： ． 18．因式分解：______。 【答案】 【分析】将原式提取公因式即可解答。 【详解】解：． 19．因式分解：______。 【答案】 【分析】提取公因式即可完成分解。 【详解】解：． 20．因式分解：______________ ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可。 【详解】解：原式； 故答案为： ． 【题型05：平方差分解因式】 21．分解因式：_______。 【答案】 【分析】原式为两个整式的平方差，符合平方差公式的特征，可利用平方差公式进行因式分解。 【详解】解： ． 22．因式分解：_____。 【答案】 【分析】可以通过识别题目中的两个平方项，利用平方差公式，即可解答。 【详解】解：． 23．已知，，则等于________。 【答案】 6 【分析】利用平方差公式对所求代数式因式分解，再代入已知条件计算即可。 【详解】解：根据平方差公式可得． 将，，代入得：． 24．分解因式：______。 【答案】 【分析】将原式整理为平方差的形式，再套用公式分解即可。 【详解】解： ． 25.因式分解： (1)__________; (2)__________; (3)__________; (4)__________． 【答案】 【分析】这四道题均为两个数的平方差形式，可直接利用平方差公式进行因式分解，第（4）题需先将式子转化为平方差的标准形式再分解。 【详解】解：（1） ; (2) ; (3) ; (4) ． 【题型06：完全平方分解因式】 26．因式分解：_____。 【答案】 【详解】解：． 27．因式分解：_____________。 【答案】 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键。 将化为，再利用完全平方公式分解因式。 【详解】． 故答案为：． 28.因式分解： (1)_______ (2)_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法：公式法是解题的关键。 （1）用完全平方公式分解即可； （2）用完全平方公式分解即可。 【详解】解：（1） (2) 故答案为： ； ． 29．分解因式：_________。 【答案】 【分析】此题考查了公式法分解因式，涉及完全平方公式，熟练掌握相关知识是解题的关键；整理后用完全平方公式分解即可。 【详解】解：， 故答案为：． 30．如果能分解为，那么_______________。 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，完全平方公式，由完全平方公式计算，由因式分解定义得到k的值，正确理解因式分解定义是解题的关键 【详解】解： ∵能分解为， ∴ ∴ 故答案为： 【题型07：综合提公因式和公式法分解因式】 31．分解因式：_______。 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，得到答案。 【详解】解：． 32．因式分解：=___。 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，直至分解彻底。 【详解】解：原式. 33．分解因式：___________。 【答案】 【分析】本题考查提公因式法与公式法的综合运用分解因式，先提取公因数，再利用完全平方公式继续分解即可。 【详解】解： ． 34．因式分解______。 【答案】 【详解】解：． 35．因式分解：_______。 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可。 【详解】解： ． 【题型08：十字相乘法】 36．因式分解：______。 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴． 37．因式分解：________。 【答案】 【分析】本题考查因式分解，使用十字相乘法进行因式分解即可。 【详解】解：． 故答案为：． 38．因式分解：________。 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法。 利用十字相乘法分解即可。 【详解】解：． 故答案为：． 39.两名学生将一个二次三项式因式分解，一名学生看错了一次项系数，因式分解的结果为（；另一名学生看错了常数项，因式分解的结果为（，那么这个二次三项式正确的因式分解结果是_______。 【答案】 【分析】该题考查了整式乘法和因式分解，根据第一个学生的分解结果，常数项正确，得出，根据第二个学生的分解结果，一次项系数正确，得出，从而得到正确的二次三项式，再因式分解。 【详解】解：设正确的二次三项式为． 由第一个学生因式分解的结果，由于看错了一次项系数，但常数项正确，故，． 由第二个学生因式分解的结果 ，由于看错了常数项，但一次项系数正确，故，． 因此正确的二次三项式为， 故． 故答案为：． 40．因式分解：_____。 【答案】 【分析】本题考查利用十字相乘法因式分解，熟练因式分解的方法是解题的关键。利用十字相乘法因式分解即可。 【详解】解：， 故答案为：． 【题型09：分组分解法】 41．分解因式：_______。 【答案】 【分析】先分组，然后将前三项利用完全平方公式分解，得到一个整体的平方，再利用平方差公式继续分解即可。 【详解】解： ． 42．因式分解：____________。 【答案】 【分析】先分组提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至分解彻底。 【详解】解： ． 43．因式分解：______。 【答案】 【分析】本题考查因式分解，运用分组分解法进行分解即可。 【详解】解：． 故答案为： 44．因式分解______。 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解。先分组，再根据完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解。 【详解】解： ， 故答案为：（． 45．分解因式：______。 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键。利用分组分解法，先对因式分解得，再利用平方差公式因式分解。 【详解】解： , 故答案为：． 【题型10：因式分解的应用】 46．已知，则的值为________。 【答案】 【详解】解： 则， 那么． 47．若， 则 的值为_______。 【答案】150 【分析】先将进行因式分解为，再代入求解即可。 【详解】解： ． 48．已知，，则代数式的值为___。 【答案】16 【分析】先将因式分解，再将，代入计算即可。 【详解】解： 因为，，， 所以，原式． 49．若，则的值为_____。 【答案】2035 【分析】此题考查了因式分解的应用，将原式利用平方差公式分解，并代入已知条件，逐步化简即可求解。 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2035． 1 学科网（北京）股份有限公司 $