4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 训练-2027届高考数学一轮专题复习（通用版）

**基本信息** 以两角和差公式为核心，通过拆角技巧、方程思想、坐标旋转等方法体系，构建从公式应用到综合推理的知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选|4题（拆角求cos α等）|拆角技巧、公式逆用|公式正向展开→逆向拆角| |多选|3题（韦达定理应用等）|韦达定理、基本不等式求最值|公式变形→与方程思想结合| |填空|3题（角范围分析等）|角范围限定、符号判断|同角关系→角的范围确定| |解答|2题（角的组合变换）|角的组合（2α-β=α+(α-β)）|公式综合应用→复杂角变换|

4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、 单选题 1 [2026内蒙古名校联盟开学考试]已知α，β均为锐角，tan β＝，sin (α－β)＝，则cos α的值为(　　) A. B. C. D. 2 已知tan α＝2，则sin sin 的值为(　　) A. － B. C. － D. 3 已知点P，O为坐标原点，线段OP绕原点O逆时针旋转，到达线段OP1，则点P1的坐标为(　　) A. B. C. D. 4 已知α，β∈(0，π)且tan α＝，cos β＝－，则 α＋β的值为(　　) A. B. C. D. 二、 多选题 5 计算下列各式，结果为的是(　　) A. sin 15°＋cos 15° B. cos215°－sin15°cos 75° C. D． 6 已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且－<α<，－<β<，则下列结论中正确的是(　　) A. tan α＋tan β＝3 B. tan (α＋β)＝ C. tan αtan β＝4 D. α＋β＝－ 7 [2026湘豫名校开学考试]已知α，β均为锐角，且2sin (α＋β)＝3sin (α－β)，则下列说法中正确的是(　　) A. tan α＝5tan β B. 5tan α＝tan β C. 若α＋β＝，则tan β＝ D. tan (α－β)的最大值为 三、 填空题 8 [2026德阳五中开学考试]已知sin ＝－，cos ＝，α∈，β∈，则cos (α－β)＝________． 9 已知α∈，sin ＝，则cos (α＋)＝________． 10 [2025南京田家炳高级中学期初]已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________． 四、 解答题 11 已知sin α＝，α∈，tan (α－β)＝，求tan β 及tan (2α－β)的值． 12 [2025扬大附中期初]已知cos (α＋β)＝，tan β＝，且α，β∈. (1) 求cos2β－2sin2β＋sinβcos β的值； (2) 求2α＋β的值． 4．3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1. B　解析：由β为锐角，tan β＝，得且sin β>0，cos β>0，解得sin β＝，cos β＝.又α，β为锐角，所以－<α－β<.由sin (α－β)＝，得cos (α－β)＝＝，所以cos α＝cos [(α－β)＋β]＝cos (α－β)cos β－sin (α－β)sin β＝×－×＝. 2. B　解析：sin sin ＝(sin αcos －cos α·sin )＝(sin2α－cos2α)＝×＝×＝×＝. 3．D　解析：由点P的坐标可知点P在单位圆上，设α的终边经过点P，所以cos α＝，sin α＝.因为OP1为OP绕原点O逆时针旋转得到，所以α＋的终边经过点P1，且点P1也在单位圆上，所以点P1(cos ，sin ).又因为cos ＝cos α－sin α＝，sin ＝sin α＋cos α＝，所以点P1的坐标为. 4. B　解析：因为α，β∈(0，π)且tan α＝，cos β＝－，所以α为锐角，β为钝角，所以sin β>0，sin β＝＝，tanβ＝＝－3，所以α∈，β∈，所以α＋β∈，所以tan (α＋β)＝＝＝－1，所以α＋β＝. 5. AD　解析：对于A，sin 15°＋cos 15°＝2sin (15°＋45°)＝2sin 60°＝，故A正确；对于B，cos215°－sin15°cos 75°＝sin 75°cos 15°－sin 15°cos 75°＝sin (75°－15°)＝sin 60°＝，故B错误；对于C，＝＝，故C错误；对于D，＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝，故D正确．故选AD. 6. BCD　解析：由题意，得tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4，所以tan α<0，tan β<0，所以tan (α＋β)＝＝＝.又－<α<，－<β<，且tan α<0，tan β<0，所以－π<α＋β<0，所以α＋β＝－，故A错误，B，C，D正确．故选BCD. 7. ACD　解析：由2sin (α＋β)＝3sin (α－β)，得2(sin αcos β＋cos αsin β)＝3(sin αcos β－cos αsin β)，即sin αcos β＝5cos αsin β.又α，β为锐角，所以cos α≠0，cos β≠0，所以tan α＝5tan β，故A正确，B错误；若α＋β＝，则tan (α＋β)＝＝＝1，即5tan2β＋6tanβ－1＝0，解得tan β＝.又tan β>0，所以tan β＝，故C正确；tan (α－β)＝＝＝≤＝，当且仅当5tan β＝，即tan β＝时取等号，故D正确．故选ACD. 8. 　解析：由α∈，得＋α∈.又sin (＋α)＝－，所以cos ＝－.由β∈，得＋β∈(π，2π).又cos ＝，所以＋β∈，所以sin (＋β)＝－，所以cos (α－β)＝cos [(＋α)－＋]＝－sin [(＋α)－]＝－sin cos ＋cos (＋α)sin ＝－×＋(－)×(－)＝. 9. －　解析：因为α∈，所以－<α－<，所以cos ＝＝，所以cos＝cos (α－＋)＝cos cos －sin sin ＝×－×＝－. 10. － 　解析：方法一：由题意，得tan (α＋β)＝＝＝－2，α∈，β∈(2mπ＋π，2mπ＋)，k∈Z，m∈Z.又tan (α＋β)＝－2<0，所以α＋β∈((2m＋2k)π＋，(2m＋2k)π＋2π)，k∈Z，m∈Z，则sin (α＋β)<0.将＝－2与sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1联立，解得sin(α＋β)＝－. 方法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，所以cos α>0，cos β<0，则cos α＝＝，cosβ＝＝，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos αcos β·(tan α＋tan β)＝4cos αcos β＝＝＝＝－. 11. 因为sin α＝，α∈， 所以cos α＝＝＝， 所以tanα＝＝. 又tan (α－β)＝， 所以tan β＝tan [α－(α－β)]＝ ＝＝， 所以tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝ ＝＝2. 12. (1) 因为tan β＝， 所以cos2β－2sin2β＋sinβcos β＝ ＝＝. (2)因为α，β∈，所以0<α＋β<π. 又cos (α＋β)＝，所以0<α＋β<， 所以sin (α＋β)＝＝， 所以tan(α＋β)＝. 因为tan β＝，所以tan (α＋β)＝＝， 解得tan α＝， 所以tan (2α＋β)＝tan [(α＋β)＋α]＝＝＝1. 又0<α＋β<， 0<α<， 所以0<2α＋β<π， 所以2α＋β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $